氢原子方程的解

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量子力学补充3-薛定谔方程解氢原子

的基态电子为例： l 以n=1， 0, ml 0r
即：4
4 2 2 a1 100 (r ) 3 r e a1 r

d100 (r ) 令： 0 dr
2r a1
2r 2r 0 a1
a1
[2re 3
2
2 a1
2 r ( nl )e ] 0 a1100 (r )
a1 2
45a 6
1
20 (r )
r / a1
8
10

r Y
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin
1 2 2m e2 2 (E ) 0 2 2 2 r sin 40 r
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin 1 2 2m e2 2 (E ) 0 2 2 2 40 r 其解： r sin
的,并非人为假设. 2)处于能量为En的原子,角动量有几种可能的值 l 0.1.2(n 1) 量子力学中通常用小写字母s.p.d.f.g.表示这些状态.
S
角量子数(
p
d
f
g 4
h 5
l)
0 0
1
2
3
角动量(L)
2
6 12 20 30
3)角动量的空间取向是量子化的角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴方向,则角动量在Z轴上的分量: 磁量子数
……………….
r ( 2 )e 3 a1 32a1 r
1
下面介绍由这些波函数得出的一些重要结论:
1）能量是量子化的
注意: n称为主量子数,氢原子的能量是不连续的,这些不连续的能量状态称为能级.

235薛定谔方程解氢原子

sin
drdd
4）(概r)率dV密度与2V电V0子nnlm云lm202drV2nslXmin2rd2rsdZinddrsdindrrdddrY
r (r)dr
称径向几率密度
r (r) r2
2
d
0
0
nlm
2
sin
d
下面列出了一些径向几率密度：
100 (r )
4 a13
r
r 2e 2a1
的,并非人为假设.
2)处于能量为En的原子,角动量有几种可能的值
l 0.1.2 (n 1) 量子力学中通常用
小写字母s.p.d.f.g.表示这些状态.
S pd
f
gh
角量子数( l ) 0 1 2 3 4 5
角动量(L) 0 2 6 12 20 30
3)角动量的空间取向是量子化的
角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴
讨论后者，U（r）与时间无关，故满足 Schrödinger方程：
2
2m 2
(
E
e2 ) 4 0 r
0
2
2 2
2m 2 (E
2
e2 ) 4 0 r
2m (E
0 e2
) 0
x2 y2 z 2 2
4 0 r
Z
Z
Y
r
X
0
Y
X
r x2 y2 z2 x r sin cos
y r sin sin
下面列出了一些径向几率密度：
100 (r ) 200(r)
4
r
r 2e 2a1
a13
1 8a13
(2
r a1
r
)r 2e 2a1

第一节氢原子的薛定谔方程(共26张PPT)

为了求解波动方程的方便，可先将氢原子（或类氢离子）波动方程整理为：
ħ2 2m
1 r2
[ ∂∂r
(r2
∂ ∂r
)ψ] +
+
si1nθ[
∂ ∂θ
(sinθ∂∂θ )ψ] +
1 ∂2 + [ sin2θ∂φ2 ψ]
+（
Ze2 r
+
E）ψ=
0
根据变量分离原理，令：
ψ(r,θ,φ) = R(r) Y(θ,φ）= R(r) Θ(θ〕Φ(φ)
z
在研究氢原子或类氢离子中电子的运动时，可
把原子核近似地看成相对固定不动，把原子核选作
坐标系的原点。
+
-e y
2.动能
T（e） >> T（p）
电子的动能
原子核的动能
x
电子对核的相对运动
经典物理学的动能
Ek =
1 2
mv2
电子的运动“速度”>>核的运动“速度”。
3.势能若把氢原子中的核近似地看成相对固定不动，并把原子核选作坐标系的
1 sinθ
[
∂ ∂θ
(sinθ
∂∂θ)Y
]
+
[
1 sin2θ
∂2 ∂φ2
Y
]
由于 r、θ、φ三个均为独立变量，要使方程成立，方程两端必须等于某一常量。
设此常量为β，则有：
1 R
[
d dr
(r2
d dr
)
R]
2mr2 Ze2 + ħ2（ r +
E）=
β
1 Y
si1nθ[
∂∂θ(sinθ

氢原子和类氢离子(一)氢原子的定态schrdinger方程及其解

得 R(r ) 方程
1 2 8 2 mr 2 Ze 2 [r R ( r )] [ E] k 2 R ( r ) r r h 4 0 r
Y ( , )
1 1 1 2 方程 Y ( , ) [ sin (sin ) sin 2 2 ]Y ( , ) k
1-3 氢原子和类氢离子
（一）氢原子的定态Schrö dinger方程及其解
（二）量子数的物理意义（三）波函数和电子云图示
（四）平均动能和平均位能
（一）氢原子的定态Schrö dinger方程及其解
电子和核合在一起是双粒子运动，简化为质心运动+粒子相对运动
mr r M 所以
M 1836.1m
4 0 r

0
2 e2 Z2 Ze 2 2 2 2 2 )( 2 ) 2 E n ( ) | R | r dr | | sin d | | d ( 0 0 4 0 a 0 n 4 0 r
T En V En
V 2
0
virial 定理:
m 一般表达式为 V ar
T
m
1
V 2
Ze 2 a 4 0
T V 2
氢原子体系 m 1
Ze 2 即V ar 4 0 r
内层电子 V （负值）增大， T （正值）也增大，互相平衡.
氢原子体系同样得到：
能量量子化，零点能（动能）和电子在空间概率分布
（四）平均动能和平均位能
1 e2 Z 2 ( )( E 总能量 n 有确定值 2 4 0 a 0 n )
En T V
V Ze
2

氢原子的薛定谔方程精确解

氢原子的薛定谔方程精确解
氢原子的薛定谔方程精确求解的原因如下：
1.单体化表示氢原子结构特征，选择电子相对质子运动的相对坐标，通过电子相对于质子的运动来代表结构的性质建立模型进行求解，并采用电子有效质量来修正模型的相关结果。

2.氢原子定态薛定谔方程计算结果与光谱实验数据可以完全符合。

在通过氢原子基态轨道共振，利用驻波方法建立数学方程的过程中，选定了氢的基态轨道作为参照用于氢原子激发态轨道的描述，经相关的数学变换最后获得了与氢定态薛定谔方程完全相同的方程。

因此氢原子基态及共振轨道已经成为薛定谔方程描述其它轨道振动的基准，因此其光谱也具有基准性质，原则上讲，氢原子的光谱实验数据与方程计算结果应严格符合。

氢原子的薛定谔方程

氢原子的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程之一。

对于氢原子来说，薛定谔方程起着至关重要的作用，它能够描述氢原子中电子的运动状态和能级分布，为我们理解氢原子的结构和性质提供了重要依据。

氢原子由一个质子和一个围绕质子运动的电子组成。

在薛定谔方程中，波函数描述了电子的运动状态，包括位置和动量等信息。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中电子的能级和波函数，从而揭示出氢原子的量子性质。

薛定谔方程的解可以分解为径向部分和角向部分，分别描述了电子在氢原子中径向和角向的运动。

径向部分的解决定了氢原子中电子的轨道半径和能级，而角向部分则描述了电子在轨道上的运动方式。

通过这两部分的解，我们可以全面了解氢原子中电子的运动规律。

薛定谔方程的一个重要应用是计算氢原子的能级结构。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中不同能级的能量和波函数。

这些能级决定了氢原子的光谱线，可以用来解释氢原子在不同波长下的吸收和发射现象。

因此，薛定谔方程的解不仅可以帮助我们理解氢原子的内部结构，还可以解释氢原子的光谱特性。

除了氢原子外，薛定谔方程还可以应用于其他原子和分子系统的研究。

通过对薛定谔方程的求解，我们可以得到不同原子和分子系统的波函数和能级，从而揭示它们的量子性质和相互作用规律。

这为我们研究原子和分子的结构、性质和反应机制提供了重要的理论基础。

总的来说，薛定谔方程是量子力学中的重要方程之一，对于理解氢原子和其他微观粒子系统的性质和行为具有重要意义。

通过求解薛定谔方程，我们可以揭示微观世界的奥秘，探索物质世界的微观规律，为科学技术的发展提供重要支持。

希望未来能有更多科学家通过对薛定谔方程的研究，揭示出更多微观世界的奥秘，推动人类对自然界的认识和探索。

氢原子和类氢离子一氢原子的定态schrdinger方程及其解

(sin
)
1 sin 2
2
2
]Y
(
,)
k2Y
(
,)
Mˆ 2Y(,) l(l 1)2Y(,) k l(l 1)
其中 Y ( , ) l,m ( ) m ( )
的解归一化条件的解
2 0
m ( )* m' ( )d
mm'
0
l,m ( )* l'm ( ) sin d
ll '
2。角向分布图
（四）平均动能和平均位能
总能量 En
有确定值
1 2
e2 (
4 0 a 0
)(
Z n
)2
En T V
T 和V 都没有确定值，可求平均值
V Ze 2
4 0 r
V
n,l ,m
(r,
,
)(
Ze2
4 0r
)
n,l ,m
(r,
,
)r
2
sin
drdd
)(Zn22
)
1 ( e2
2 40a0
)(Z )2 n
Å a0
0h2 me2
0.529
级数终止某一项（引入量子数n ）条件是
l n 1 (n 1,2,3, l 1)
Rn,l
(r)
[c1
(
Zr a0
)l
c2
(
Zr a0
) l 1
cnl
(
Zr a0
) n1 ]e Zr
na0
nl i 1
Zr ci ( a0
)
是里德堡常数
RH
简并度为n 2
n 1
g (2l 1) n 2 l0

5 氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程及其解

0
5. ()方程的解：
()方程是：
求解该方程的条件: 边界条件? 无
d 2 2 m 0 2 d
合格波函数的条件: 单值?有;连续,有限 ? 求得方程的解为： Φ
m
( ) Ae
im
式中A是归一化系数，如何求得？
归一化求A：

2
0
d
* m m
2
0
A2 e im e im d 1 1 e im 2
1 ( m m ) 2 1 ( m m ) i 2 1

1
cos m si nm

可以证明组合得到的实函数是归一化的,如:
1 1 [ 2 ( m m )]* [ 2 ( m m )]d 1 { m m d m m d 2 1 m m d m m d } 2 {1 0 0 1} 1

Zr a0
e E Z 2 2 8 0 h
2
Z2 e2 ( ) 13.6 Z 2 (e V) 2 4 0 a0
4. 将偏微分方程化为常微分方程 ——分离变量法
一般来说，偏微分方程化为常微分方程后才能求解。
令： (r , , ) R(r )Y ( , ) R(r ) ( ) ( ) 代入薛定谔方程, 先将径向部分(只与r有关) 和角度部分分开, 分别移到方程的两边. 这样该方程两边应等于同一个常数 . 然后在将角度部分分离成只含一个变量的两个常微分方程 , 就将偏微分方程分离成了三个常微分方程。
6. ()方程的解:
1 d d m2 (sin ) k 0 2 sin d d sin

氢原子薛定谔方程求解

氢原子薛定谔方程一、薛定谔方程1.定态薛定谔方程波函数所满足的微分方程：记哈密顿算符分离变量即，代入式得两边同时除以，令则有将时间和空间部分合并，薛定谔方程的解可以表示成：上式称为薛定谔方程的本征解，为哈密顿算符的本征函数，为能量本征值。

2.氢原子的定态薛定谔方程氢原子有质量较大的质子，通过正负电荷的相互吸引作用，束缚着一个质量很小带负电−e的电子绕其运动。

由库仑定律,势能为（SI单位），所以势函数为将式子代入定态薛定谔方程得到其中Z为核电荷数，r为电子与质子之间的距离，m为电子质量（忽略原子核的动能），式也称为库仑力场下定态薛定谔方程。

时，为氢原子的薛定谔方程。

二、球坐标下分离变数在球坐标下有拉普拉斯算符：则氢原子薛定谔方程为分离变数乘遍各项，并做适当移项左边是r的函数，右边是θ和φ的函数，我们通常有下面设法分解为两个方程角向分布的方程径向分布的方程进一步分离变数代入球函数方程得乘遍各项并适当移项得左边是的函数，右边是的函数，令此等式等于一常数分解为两个常微分方程：综上氢原子薛定谔方程可以分解为下面三个方程角向分布方程径向分布方程其中。

式与“自然的周期条件”构成本征值问题，解得这里可以采用更为简介等价的解的形式对进行归一化处理得到为磁量子数将代入到式并进行一定处理得连带勒让德方程令，将自变量变为得到此方程和自然边界条件有限构成本征值问题，本征值为，本征函数为，由梁老师的数学物理方法[2]可以得出本征解为综合角向解求得的归一化系数为归一化的解是缔合勒让德函数，也成为球谐函数。

氢原子的薛定谔方程

氢原子的薛定谔方程
氢原子是最简单的原子之一，由一个质子和一个电子组成。

在量子力学中，描述氢原子的运动状态的数学模型就是薛定谔方程。

薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，它描述了微观粒子在势场中的运动规律。

薛定谔方程是一个偏微分方程，描述了波函数随时间和空间的演化。

波函数包含了粒子的所有信息，包括位置、动量等。

在氢原子的情况下，薛定谔方程可以被简化为一个径向部分和一个角向部分的乘积。

径向部分描述了电子在原子核周围运动的距离，角向部分描述了电子在不同方向上的概率分布。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子的能级和波函数，从而进一步研究原子的性质和行为。

薛定谔方程的求解需要考虑原子核和电子之间的相互作用，以及外加的势场对电子的影响。

通过引入适当的近似和数值方法，可以求解薛定谔方程并得到氢原子的能级和波函数。

氢原子的能级是量子化的，即只能取离散的数值。

能级越高，电子离原子核越远，能量也越大。

每个能级对应一个波函数，描述了电子在原子周围的分布情况。

薛定谔方程的求解不仅可以用于氢原子，还可以推广到其他原子和
分子系统。

通过求解薛定谔方程，我们可以理解原子和分子的结构、性质和反应规律，为化学和物理学的发展提供重要的理论基础。

薛定谔方程是描述氢原子和其他微观粒子运动的重要方程，它揭示了量子力学世界的奥秘。

通过求解薛定谔方程，我们可以深入理解原子和分子的微观世界，为科学研究和技术应用提供重要支持。

希望未来能够进一步探索量子力学的奥秘，推动科学的发展和进步。

第二章原子结构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其

第二章原子结构与性质§2.1.氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其解 2.1.1.单电子原子的薛定谔方程H 原子和He +、Li 2+ 等类氢离子是单原子，它们的核电荷数为Z ，若把原子的质量中心放在坐标原点上，绕核运动的电子离核的距离为r ，电子的电荷为-e ，其静电作用势能为：r Ze V 024πε-= 将势能代入薛定谔方程：得 0)(22282=ψ++ψ∇rZe h mE π或ψ=ψ-∇-E rZe mh ][22228π为了解题方便，将x 、y 、z 变量换成极坐标变量r 、θ、φ。

其关系：φθcos sin r x = φθsin sin r y = φcos r z =2222z y x r++=1)/(cos 222z y x Z ++=θx y tg /=φ})(sin )({2222sin 1sin 1212φθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=∇r rr r 代入薛定谔方程：)()(sin )(2222222228sin 11sin 1121=ψ++++∂∂∂ψ∂∂∂∂∂∂∂rZe h mr r r rr E r πφθθθθθ2.1.2.分离变量§法：上述的方程是含三个度量的偏微分方程，要解这个方程可用度数分离法将其化为三个分别只含一个度量的常微分方程求解。

含：)()()(),,(φθθΦΘ=Φψr R r 代入方程：并乘以ΘΦR r θ22sin 移项可得：)(s)(s )(228s i2si n122222V E r r hud d d d dr dR dr dRd d ----=ΘΘΦΦθθπθθθθφ左边不含r 、θ，右边不含φ，欲左右两边相等必等于同一个常数（-m 2 ）Φ-=Φ222m d d φ, 而右边可为：（除以sin θ）)(sin )()(sin1sin 8212222θθθθπθd d d d m hur dr dR drdR V E r ΘΘ-=-+ 则有：K d d d d m =-ΘΘ)(sin sin1sin 22θθK E r rZe hur dr dR drdR =++)()(2222821π2.1.3.方程解的结果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解0222=Φ+Φm d d φ这是一个常系数二阶齐次线性方程，有两个复函数的独立解。

三维氢原子定态薛定谔方程的求解

∇2ψ+2m ℏ2(E +e 24πε01r)ψ=0 嗯，这个方程普普通通，在数学家眼中也就是一个二阶三元变系数偏微分方程，也就是说求解比较麻烦（事实上是相当麻烦！），仅此而已。

但是，若说这个方程是整个量子力学的核心，恐怕没有人会对之产生景仰之情。

原因是非常简单的——方程的形式，至少和矩阵力学相比，非常简洁。

海森堡矩阵的成功让我们相信，量子力学的核心应当是需要通过彻底改变描述原子体系所用的数学工具并展开极为复杂的数学运算最终形成的；这个不起眼的、原始形式非常简洁的、没有任何数学创新的方程——尽管是很难解的方程——看来不像是具有为神秘的量子力学所专美的气质。

尽管如此，处于对薛定谔焦头烂额三个星期的工作的尊重，我们还是不胜其烦地先把这个方程解出来再说，看看方程里头到底有什么东西值得我们汲取。

不过，动手之前先要做好两个准备工作，首先就是，∇2是什么？自然，它的名字我们很熟悉——这玩意儿叫做拉普拉斯算符。

但关键的问题是，拉普拉斯算符长什么样子？按照数学分析的场论部分，拉普拉斯算符的空间直角坐标系下的形式为：∇2=ð2ðx 2+ð2ðy 2+ð2ðz 2 但是，由于氢原子大约是一个类似于球状的客观存在的物体（事实上一谈到“原子”，我们的头脑中就浮现出一个匀质的球体，这是很自然的假设，也将被初步证明是正确的），因此，最好把算符取为极坐标的形式：∇2=1r 2ððr (r 2ððr )+1r 2sinθððθ(sinθððθ)+1r 2sin 2θð2ðφ2我已经可以想象，特别热衷于数学的读者们一定会问，这两者是如何互推的？可是，由于推导实在太烦琐，我不准备在正文里描述，而把它挪到文后的附注里去；另外由于推导三元的形式实在太繁琐了，我只以二元的为例进行推导，三元和它是完全类似的。

氢原子的薛定谔方程

氢原子的薛定谔方程
薛定谔方程是一个著名的电子结构理论，可以用来描述一个原子的电子状态。

它是一个带有四个变量的复合实现方程，被称为薛定谔方程。

它由20世纪伟大的物理学家Ernst Schrdinger发明，他是量子力学的创始人。

当谈到氢原子时，薛定谔方程还可以用来解释它的电子状态。

氢原子只有一个电子，因此为了解释它的电子状态，只需要一个薛定谔方程。

薛定谔方程可以如下表达：
iψ/t = ^2/2m·^2ψ + Vψ
其中，ψ表示波函数；i是虚数单位；表示普朗克常数，ψ/t表示时间导数；m是电子的质量；^2表示laplace算符；V表示电子的势能。

薛定谔方程简写为：
Hψ = εψ
其中，H表示哈密顿量，ε表示电子的能量。

对氢原子的薛定谔方程可以写为：
[^2/2m·^2+ V(r)E]ψ(r) = 0
其中，V(r)表示电子势能，E表示电子能量，r表示电子的位置半径。

解决氢原子的薛定谔方程需要一些技巧——定义一个适应性正交基函数组，利用拉普拉斯算符变换到正交空间，然后使用矩阵方法解决。

有时，哈密顿量可以被简化为一个对角矩阵，这一点取决于电
子势能的类型。

任何时候，电子能量的计算都是从在某个特定的位置的电子的能量开始的。

氢原子可以通过薛定谔方程来解释，并且可以计算出它的电子能量，解释的结果可以用来解释它的原子结构。

薛定谔方程对氢原子的电子状态起着至关重要的作用。

第二章原子构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其

第二章原子结构与性质§2.1.氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其解 2.1.1.单电子原子的薛定谔方程H 原子和He +、Li 2+ 等类氢离子是单原子，它们的核电荷数为Z ，若把原子的质量中心放在坐标原点上，绕核运动的电子离核的距离为r ，电子的电荷为-e ，其静电作用势能为：r Ze V 024πε-=将势能代入薛定谔方程：得 0)(22282=ψ++ψ∇rZe h mE π或ψ=ψ-∇-E rZe mh ][22228π为了解题方便，将x 、y 、z 变量换成极坐标变量r 、θ、φ。

其关系：φθcos sin r x = φθsin sin r y =φcos r z =2222z y x r++=21)/(cos 222z y x Z ++=θx y tg /=φ})(sin )({2222sin 1sin 1212φθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=∇r rr r 代入薛定谔方程：)()(sin )(2222222228sin 11sin 1121=ψ++++∂∂∂ψ∂∂∂∂∂∂∂rZe h mr r r rr E r πφθθθθθ2.1.2.分离变量§法：上述的方程是含三个度量的偏微分方程，要解这个方程可用度数分离法将其化为三个分别只含一个度量的常微分方程求解。

含：)()()(),,(φθθΦΘ=Φψr R r 代入方程：并乘以ΘΦR r θ22sin 移项可得：)(sin )(sin )(228sin 2sin 122222V E r r hu d d d ddr dR drdR d d ----=ΘΘΦΦθθπθθθθφ左边不含r 、θ，右边不含φ，欲左右两边相等必等于同一个常数（-m 2 ）Φ-=Φ222m d d φ, 而右边可为：（除以sin θ）)(sin )()(sin1sin 8212222θθθθπθd d d d m hur dr dR drdR V E r ΘΘ-=-+ 则有：K d d d d m =-ΘΘ)(sin sin1sin 22θθθθθK E r rZe hur dr dR drdR =++)()(2222821π2.1.3.方程解的结果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解0222=Φ+Φm d d φ这是一个常系数二阶齐次线性方程，有两个复函数的独立解。

氢原子拉盖尔方程

氢原子拉盖尔方程一、氢原子径向方程R氢原子极坐标薛定谔方程，会分离出一个径向R 方程：})]([2{(12222=--+R r r V E m dr dR r dr d r e λ0})]([2{22222=--++R r r V E m dr dR r dr Rd e λ---（0）令rZe r V 024)(πε-=令)1(+=l l λ令rr u r R )()(=，有drdRdr R d rdr ud 22222+=代入到（0）式得：0])1()4(2[202222=+-++u rl l r Ze E m dr ud eπε ------（1）再令2/12)][8(E m e =α <注，[E]表示取正数>，（玻尔半径相关） 2/102202][2(442E m Ze Ze m e e πεαπεβ== （波尔能级相关） rαρ= （半径系数）代入（1）转换得： <注，当E>0时为非束缚态有连续解，这里考虑E<0的束缚态，E 取负值>0])1(41[222=+--+u l l d ud ρρβρ ------（2）方程（2），当∞→ρ时近似为：04122=-u d ud ρ其通解为：2221)(ρρρe C e C u +=-取：)()(2ρρρf e u -= （注，另一解无穷大，舍去）代回（2）得：)()1([)()(222=+-+-ρρρβρρρρf l l d df d f d ------（3）二、系数特性（量子性）方程（3）的解是s v v v b f +∞=∑=ρρ0)(11)()(-+∞=+='∑s v v v s v b f ρρ22)1)(()(-+∞=-++=''∑s v v v s v s v b f ρρ代回方程（3）得：)1()()1)((021122=+-++--+++∞=+∞=-+∞=-+∞=∑∑∑∑s v v v s v v v s v v v s v v v b l l b s v b s v s v b ρρρρβρρ整理：0)1()()1)((01111=+-++--+++∞=++∞-=++∞-=+∞=∑∑∑∑s v v v s v v v s v v v sv v v b l l b s v b s v s v b ρρβρρ0)1()1()1)((01010=+-+-+--+++∞=+∞=-+∞=-+∞=∑∑∑∑s v v v sv v v sv v v sv v v b l l b s v b s v s v b ρρβρρ0])1()1()1)(([110=+-+-+--+++--∞=∑sv v v v v v b l l b s v b s v s v b ρβ 方程为0的必要条件是系数须为0：0)]1()1()1)((11=+-+-+--++--v v v v b l l b s v b s v s v b β变形为：1])1[()]1()1)([(---+=+--++v v b s v b l l s v s v β于是可得递推公式：1)1()1)((1-+--++--+=v v b l l s v s v s v b β变形为：vv b l l s v s v s v b )1())(1(1+-+++-+=+β设最高次为r n v =得n l n s n r r =++=+=1β1+=l s此决定了主量子数：n=β3,2,1,0=n 13,2,1,0-=n l再得到氢原子的能量本征值（与玻尔理论完全一致）22204212)4(n m e Z E en πε-= （玻尔能级）22004e m a e πε=（玻尔半径，即氢原子的第一轨道半径）222204a n n e m r e n == πε （各轨道半径）氢原子轨道半径分别为：、、、、、、060504030201a 36a 25a 1694a ======r r r a r r a r系数项：2022/12220422/122/12214212)4((8(][8(na Zn e Zm n e Z m m E m e e e e ==== πεπεα （玻尔轨道半径倒数的n 分子2Z ）0022na Zrr na Z r ===αρ （转换系数）三、拉盖尔方程)(x L q ：拉盖尔方程，)1(22=+-+qL dx dLx dxLd x ------（4） 0=x 是拉盖尔方程的奇点，在0=x 及其邻域上为有限的级数解：∑∞==)(k kk xc x L求导可得：∑∑∞=+∞=-+==0111)1(k kk k k k x k c kx c dx dL∑∑∑∞=+∞=-+∞=-++=+=-=21112222)1)(2()1()1(k kk k k k k k k x k k c kx k c x k k c dx L d代回方程（4）整理可得系数递推式：kk C k k q C 21)1(+--=+ ...3,2,1,0=k进而可计算出各项系数：0021)10(0qC C q C -=+--=2121222)1(21)11(1C q q C q C q C --=--=+--=212222223)!3()2)(1(32)2)(1(32)12(2q q q C q q C q C q C ---=---=--=+--=2)!()1)...(2)(1()1(C k k q q q q C k k +----=-=最后得拉盖尔方程的解：0222221]!)1()!()1()1()1()!2()1()1()!1()1(1[)(C x q x k k q q q x q q x qx L qq k k -+++---++--+-+=当q 为整数时，)(x L 退化为多项式，适当地选取常数，使最高次幂项成为q x )(-，就叫做拉盖尔多项式，记作：)(x L q 。

氢原子的薛定谔方程解

r 2

mvr e 2m

e 2m
L
i
量子力学薛定谔方程求解出的轨道角动量：
L l(l 1) h l(l 1)
2
是量子化的
l

e 2m
L

l(l 1) he
4m
l(l 1)B
量子化的。
B

he
4m

9.27401023 A m2
玻尔磁子
简言之，请大家记住
*非均匀磁场中,环绕电流所受的合外力
F

dB
dr
如果非均匀磁场的方向规定为z方向，
则原子内部的总磁矩就会绕着此方向转动，
而且绕的角度是量子化的，即在z方向投影是量子化的，那么受到的力的大小
F

z
dB dz

g
jmjB
dB dz
也是量子化的
以上理论预言在实验上的验证！
史特恩-革拉赫实验
z

θ
i
关于刚体转动相关知识的回顾
一个绕着中心公转的质点m每秒钟转过的角度叫做角速度
则这个转动的角动量L J0 mR2 mvR,
方向沿着公转平面的法线方向！
原子内部电子轨道角动量运动形成的磁矩
电子(带负电)轨道运动的磁矩（公转形成的磁矩）
z

l

iS

e
v
2r
2S1
2
对z方向的非均匀磁场: F 0 , 原子受到z方向力的作用, 而改变运动路径，所以就会发生偏离现象！
F

z
dB dz

将氢原子薛定谔方程化为合流超几何方程详细推导

将氢原子薛定谔方程化为合流超几何方程详细推导《将氢原子薛定谔方程化为合流超几何方程详细推导》薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，描述了微观粒子的波函数随时间的演化。

在经典的氢原子中，薛定谔方程可以用来描述电子围绕着原子核运动的情况。

然而，在具体求解薛定谔方程时，通常会遇到复杂且难以解析的数学问题。

为了更好地求解氢原子薛定谔方程，人们进行了一系列研究和推导，其中一种方法是将薛定谔方程化为合流超几何方程。

首先，我们考虑氢原子的薛定谔方程：$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} + E_i\right]\Psi(\mathbf{r}) =E\Psi(\mathbf{r})$$其中，$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$表示动能项，$-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$表示库仑势能项，$E_i$是离子化能，$E$是总能量。

我们将进行径向分离变量，令$\Psi(\mathbf{r}) =R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$，其中$Y_{lm}(\theta,\phi)$是球谐函数。

接下来，我们将径向部分的波函数$R(r)$代入薛定谔方程中，并做变量代换$r = 2\alpha r'$，其中$\alpha = \frac{me^2}{2\pi\epsilon_0\hbar^2}$是玻尔半径。

$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r'^{2}}\frac{d}{dr'}\left(r'^2\frac{d}{dr'}\right)-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r'} + E_i - \frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr'^2} \right]R(r') = ER(r')$$利用变换$R(r') = \frac{u(r')}{r'}$，上式可化为：$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dr'^2}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}u(r') +\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr'^2} - \frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2} + E_i \right]R(r') = ER(r')$$进一步变形得到：$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dr'^2}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}u(r') + \left(E_i +\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2} \right)\right]R(r') = ER(r')$$观察最后一项可以发现，当$l = 0$时，相对于$l \neq 0$，这一项可以忽略不计。

薛定谔方程求解氢原子

§3.6 (类)氢原子的量子力学处理 (r,,)
一、氢原子的薛定谔方程
电子在原子核的库仑场中运动：
U Ze2
4 0r
定态薛定谔方程：
[ 2 2
e2
]
(r )

E
(r )
2 4 0r
氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：
x r sin cos y r sin sin z r cos
l 动量，但是大小是非连续取值的！角量子数来自于薛定谔方程求解
过程条件限制的必然结果！ ~ l 0,1,2,3, , , , , , n 1
L l l 1
名字s.p.d. f .g.h.i. j.k
对于同一个总能级量子数第n个轨道,会有对应的n
个亚轨道，这些亚轨道对应的总能量大致相等，
亚轨道l=0,取名s轨道，对应的角动量L=0，亚轨道l=1,取名p轨道角
动量大小L= 2 ！l=2,取名d轨道，L= 6 ；l=3,取名f 轨道，
L= 12 ！
其实，不同的角动量大小对能级的能量值有细微影响
1926年，海森堡解得氢原子的
能量 En,l为

En,l

13.6 n2
L 转动惯量I 角速度 mr2 mvr
但是电子绕原子核运动形成角动量的方向并不是跟宏观一样，
方向只能取特定值！（方向量子化）而且这些特定值跟l有关,可能存在的方向为2l+1个！
比如，n=1，亚能级只有一个，对应的
轨道量子数l=0,取名s亚能级，对应的角动量L=0！所以不存在方向问题！对应的能量值为[-13.6-ΔE(1,0) ]eV
L l l 1

氢原子薛定谔方程的解

l 1 为缔合勒盖尔多项式。 L2 n l
同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l 可能取n个值：l=0,1,2,…n-1
氢原子的波函数： nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
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氢原子薛定谔方程的解
第十一章量子物理学基础
讨论n、l、ml 参数的物理意义
氢原子薛定谔方程的解
第十一章量子物理学基础
在球坐标系下： x r sin cos ,
z

y r sin sin , z r cos ,
在球坐标系下的薛定谔方程：
y
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程求解，即设 R(r )( )( ) 代入上式得：
方程（1）得到的波函数 ()表明：电子绕核转动的角动量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴方向，Lz表示L在外场方向投影大小，则：
这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l， ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。
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氢原子薛定谔方程的解
第十一章量子物理学基础
一般s、p、d、f、g……等字母表示 l=0,1,2, ……，显然，对于s 态的电子来说，其动量矩L=0.
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氢原子薛定谔方程的解（3）角动量的空间取向量子化
第十一章量子物理学基础
索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设
氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动轨道平面在空间的取向不是任意的而只能取有限的特定方位这既是轨道空间量子化假设第十一章量子物理学基础氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院如图即为n4l0123电子的角动量空间取向量子化的情形