考研高数总复习专题六第3讲(讲义)
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主干知识梳理
1．随机抽样
(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：
本 讲
总体中的个体较少．
栏 目
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的
开 关
规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．
(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适
用范围：总体由差异明显的几部分组成．
开
关
(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，
n
y2)，…，(xn，yn)，通过求Q＝ (yi－a－bxi)2最小时，得
i＝1
到线性回归方程y^＝b^x＋a^的方法叫做最小二乘法．
主干知识梳理
5．独立性检验
对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样 本频数列联表是：
关
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08
B．07
C．02
D．01
热点分类突破
(2)某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽
取 40 名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按 1～
200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组(1～5 号，6～10 号，…，
＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，
939.
本
讲 落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为
栏
目 459，公差为30的等差数列，
开
关 设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.
所以做问卷B的有10人．
答案 C
热点分类突破
在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取
几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为
N n
(N为
本 讲
样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从
栏 后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是
目
开 深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样
关
方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容
量和总体容量的比值．
(单位：环)，结果如下：
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
本
甲
87 91 90 89 93
讲 栏
乙
89 90 91 88 92
目 开
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为
关 ________．
解析 (1)由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又 [0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B，应选A.
本
y1
y2 总计
讲 栏
x1
a
b a＋b
目 开
x2
c
d c＋d
关
总计 a＋c b＋d n
则K2＝
nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d
(其中n＝a＋b＋c＋d为样
本容量).
热点分类突破
考点一 抽样方法
例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问
本 讲
卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在
栏 目
第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32
开 关
人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间
[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，
做问卷B的人数为
()
A．7
B．9
C．10
D．15
热点分类突破
解析 由系统抽样的特点知：
抽取号码的间隔为
960 32
例2 (1)(2013·四川)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网
上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距
为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所
本 作的频率分布直方图是
讲 栏 目 开 关
()
热点分类突破
本 讲 栏 目 开 关
热点分类突破
(2)(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩
(2)由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为
本 讲
22，即第n组抽取的号码为5n－3，
栏 目
所以第8组抽出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为
开 关
200×0.5＝100，
则应抽取的人数为24000×100＝20人．
答案 (1)D
(2)37 20
热点分类突破
考点二 用样本估计总体
196～200 号)．若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号
本 讲
码应是________．若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应
栏 目
抽取________人．
开
关
热点分类突破
解析 (1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依
次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.
主干知Hale Waihona Puke Baidu梳理
2．常用的统计图表
(1)频率分布直方图
频率
本
①小长方形的面积＝组距×组距＝频率；
讲 栏
②各小长方形的面积之和等于1；
目 开 关
③小长方形的高＝频组率距，所有小长方形的高的和为组1距.
(2)茎叶图
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．
主干知识梳理
3．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
样本数据
频率分布直方图
取最高的小长方形底
众数 出现次数最多的数据
本
边中点的横坐标
讲 栏
将数据按大小依次排 把频率分布直方图划
目 开 关
列，处在最中间位置 分左右两个面积相等 中位数
的一个数据(或最中间 的分界线与x轴交点的
两个数据的平均数) 横坐标
平均数
样本数据的算术平均 数
每个小矩形的面积乘 以小矩形底边中点的 横坐标之和
主干知识梳理
(2)方差：s2＝n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]．
标准差：
本
s＝ n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
讲 4．变量的相关性与最小二乘法
栏
目
(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．
热点分类突破
(1)(2013·江西)总体由编号为01,02，…，19,20的
20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法
本 是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选
讲 栏
取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
()
目 开
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
(2) x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，
热点分类突破
x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，
s2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]
1．随机抽样
(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：
本 讲
总体中的个体较少．
栏 目
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的
开 关
规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．
(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适
用范围：总体由差异明显的几部分组成．
开
关
(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，
n
y2)，…，(xn，yn)，通过求Q＝ (yi－a－bxi)2最小时，得
i＝1
到线性回归方程y^＝b^x＋a^的方法叫做最小二乘法．
主干知识梳理
5．独立性检验
对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样 本频数列联表是：
关
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.08
B．07
C．02
D．01
热点分类突破
(2)某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽
取 40 名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按 1～
200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组(1～5 号，6～10 号，…，
＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，
939.
本
讲 落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为
栏
目 459，公差为30的等差数列，
开
关 设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.
所以做问卷B的有10人．
答案 C
热点分类突破
在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取
几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为
N n
(N为
本 讲
样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从
栏 后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是
目
开 深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样
关
方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容
量和总体容量的比值．
(单位：环)，结果如下：
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
本
甲
87 91 90 89 93
讲 栏
乙
89 90 91 88 92
目 开
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为
关 ________．
解析 (1)由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又 [0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B，应选A.
本
y1
y2 总计
讲 栏
x1
a
b a＋b
目 开
x2
c
d c＋d
关
总计 a＋c b＋d n
则K2＝
nad－bc2 a＋bc＋da＋cb＋d
(其中n＝a＋b＋c＋d为样
本容量).
热点分类突破
考点一 抽样方法
例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问
本 讲
卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在
栏 目
第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32
开 关
人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间
[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，
做问卷B的人数为
()
A．7
B．9
C．10
D．15
热点分类突破
解析 由系统抽样的特点知：
抽取号码的间隔为
960 32
例2 (1)(2013·四川)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网
上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距
为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所
本 作的频率分布直方图是
讲 栏 目 开 关
()
热点分类突破
本 讲 栏 目 开 关
热点分类突破
(2)(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩
(2)由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为
本 讲
22，即第n组抽取的号码为5n－3，
栏 目
所以第8组抽出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为
开 关
200×0.5＝100，
则应抽取的人数为24000×100＝20人．
答案 (1)D
(2)37 20
热点分类突破
考点二 用样本估计总体
196～200 号)．若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号
本 讲
码应是________．若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应
栏 目
抽取________人．
开
关
热点分类突破
解析 (1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依
次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.
主干知Hale Waihona Puke Baidu梳理
2．常用的统计图表
(1)频率分布直方图
频率
本
①小长方形的面积＝组距×组距＝频率；
讲 栏
②各小长方形的面积之和等于1；
目 开 关
③小长方形的高＝频组率距，所有小长方形的高的和为组1距.
(2)茎叶图
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．
主干知识梳理
3．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
样本数据
频率分布直方图
取最高的小长方形底
众数 出现次数最多的数据
本
边中点的横坐标
讲 栏
将数据按大小依次排 把频率分布直方图划
目 开 关
列，处在最中间位置 分左右两个面积相等 中位数
的一个数据(或最中间 的分界线与x轴交点的
两个数据的平均数) 横坐标
平均数
样本数据的算术平均 数
每个小矩形的面积乘 以小矩形底边中点的 横坐标之和
主干知识梳理
(2)方差：s2＝n1[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]．
标准差：
本
s＝ n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
讲 4．变量的相关性与最小二乘法
栏
目
(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．
热点分类突破
(1)(2013·江西)总体由编号为01,02，…，19,20的
20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法
本 是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选
讲 栏
取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
()
目 开
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
(2) x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，
热点分类突破
x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，
s2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]