考研高数讲义新高等数学上册辅导讲义——第三章上课资料

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第三章一元函数积分学§3. 1 不定积分（甲）内容要点一、基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立。

则称()x F 为()x f 在区间I 的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数成为()x f 在区间I 的不定积分，记为()⎰dx x f 。

原函数：()()⎰+=C x F dx x f其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积分函数，()dx x f 称为被积表达式。

2．不定积分的性质设()()⎰+=C x F dx x f ，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。

则（1）()()⎰+='C x F dx x F 或()()⎰+=C x F x dF 或⎰+=+C x F C x F d )(])([ （2）()[]()x f dx x f ='⎰或()[]()dx x f dx x f d =⎰（3）()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （4）()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f3．原函数的存在性一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。

原函数存在的条件：比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。

可导要求比连续高。

⎰-dx ex这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如()⎰dx x 2sin ，()⎰dx x 2cos ，⎰dx x x sin ，⎰dx x x cos ，⎰x dx ln ，⎰-dxe x 2等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

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【最新整理，下载后即可编辑】第二章一元函数微分学§2.1 导数与微分一、主要内容㈠导数的概念 1．导数：)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000 00)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 00)(0x x x x dxdy x f y ==='='2．左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+定理：)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：)(lim )(00x f x f x x '='-→-（或：)(lim )(00x f x f x x '='+→+）3.函数可导的必要条件：定理：)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件：定理：)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒，且存在。

5.导函数： ),(x f y '=' ),(b a x ∈)(x f 在),(b a 内处处可导。

)(x f6.导数的几何性质： y ∆)(0x f '是曲线)(x f y =上点 ()00,y x M 处切线的斜率。

x㈡求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算：1o v u v u '±'='±)（2ov u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（3o2vv u v u v u '⋅-⋅'='⎪⎭⎫⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：)]([),(),(x f y x u u f y ϕϕ===dxdu du dy dx dy ⋅=，或)()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别： })]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导。

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第一篇高等数学第一章函数、极限与连续一、大纲内容与要求【大纲内容】函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0sin lim 1x x x →=，1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质. 【大纲要求】1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9．理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.二、知识网络Nε-”定义X-”定义δ-”定义数列整体有界函数局部有界两个重要的极限(数一、三)∞∞型、型∞-∞型、0∞⋅1∞、0∞、00型初等函数的连续性分段函数连续性的判定闭区间上连续函数的性质——左右极限都存在第二类——左右极限中至少有一个不存在跳跃间断点可去间断点关系极限连续性函数零点定理最值定理有界性、单调性、奇偶性、周期性1lim1nnen→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭sinlim1xxx→=单调有界数列有极限夹逼定理三、基本内容(一)函数1．定义设x 与y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于D 中的每个值x ，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应，称变量y 为变量x 的函数，记作()y f x =．数集D 称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定，相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素. 2．几种特性(1)有界性设函数()y f x =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个x X ∈，都有()f x M ≤成立，称()y f x =在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称()f x 在X 上无界．所以函数在X 上无界，是对任何0M >，总存在0x X ∈，使0()f x M >．(2)单调性设函数()y f x =在区间I 上有定义，若对于I 上任意两点1x 与2x ，当12x x <时，均有12()()f x f x < [或12()()f x f x >]，称函数()f x 在区间I 上单调增加(或单调减少)．如果其中的“<”(或“>”)改为“≤”(或“≥”)，称函数()f x 在I 上单调不减(或单调不增)． (3)奇偶性设函数()y f x =的定义域为(,)(0)a a a ->，若对于任一x ∈(,)a a -，都有()()f x f x -=，称()f x 为偶函数，如常数2,,cos C x x 等，其图像关于y 轴对称;若对于任一(,),x a a ∈-都有()()f x f x -=-，称()f x 为奇函数，如3,,sin x x x 等，其图像关于坐标原点对称．(4)周期性对函数()y f x =，若存在常数0T >，使得对于定义域内的每一个,x x T +仍在定义域内，且有()()f x T f x +=，称函数()y f x =为周期函数，T 称为()f x 的周期． 3．复合函数、反函数、隐函数与分段函数(1)基本初等函数与初等函数基本初等函数常数函数;幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数.初等函数由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.(2)复合函数设函数()y f u =的定义域为f D ，函数()u x ϕ=的值域为z ϕ，若集合f D 与z ϕ的交集非空，称函数[()]y f x ϕ=为函数()y f u =与()u x ϕ=复合而成的复合函数，u 为中间变量．对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合而成的．(3)反函数设函数()y f x =的值域为f z ，定义域为f D ，则对于每一个f y z ∈必存在f x D ∈使()y f x =．若把y 作为自变量，x 作为因变量，便得一个函数()x y ϕ=，且[]()f y ϕ y =，称()x y ϕ=为()y f x =的反函数，但习惯上把()y f x =的反函数记作1()y f x -=．y()f x =与其反函数1()y f x -=的图像是关于直线y x =对称的．(4)隐函数设有方程(,)0F x y =，若当x 在某区间内取任一值，便总有满足该方程唯一的值y 存在时，称由方程(,)0F x y =在上述区间内确定了一个隐函数()y y x =．(5)分段函数若一个函数在其定义域的不同部分要用不同的式子表示其对应规律，如(),()(),x a x bf x x c x dϕψ<<⎧=⎨<<⎩称为分段函数． (二)极限 1．概念(1)定义1 设()y f x =在0x 的一个去心邻域010001(,)(,)x x x x δδ-+内有定义，若对于任意给定的0ε>，总存在0δ>，使得当上述去心邻域内任意x 满足00x x δ<-<时，不等式()f x a ε-<恒成立，则称常数a 为函数()f x 在0x x →的极限，记作0lim ().x x f x a →=或()f x a → (当0x x →)．直观地说，即当x 无限趋近0x 时，函数()f x 无限趋近常数a ．定义2 设()f x 在区域0x E >>内有定义，若对于任意给定的0ε>，存在0M >，使得当x M E >≥时，不等式()f x a ε-<恒成立，则称a 为当x →∞时函数()f x 的极限，记作lim ().x f x a →∞=直观地说，即当x 无限增大时，函数无限趋近常数a ．(2)左极限与右极限在定义1中，若把“00x x δ<-<”改为“00x x x δ-<<”，即自变量x 从0x 的左侧趋近于0x ，则称a 为函数()f x 当0x x →时的左极限，记作0lim ()(0);x x f x a f x a -→=-=或相应把定义1中的“00x x δ<-<”改为00x x x δ<<+， a 便是函数()f x 当0x x →时的右极限，记作00lim ()(0).x x f x a f x a +→=+=或极限存在的充分必要条件：当0x x →时，函数()f x 的极限存在的充分必要条件为其左、右极限存在并相等，即00(0)(0)f x f x -=+.在定义2中，把x M >改为x M >，便得到x →+∞时函数()f x 的极限的定义，即lim (),x f x a →+∞=以及把“x M >”改为x M <-，便得到lim ()x f x a →-∞=的定义.注把数列{}n x 看作整数函数即()n x f n =(1,2,)n =，则数列极限的概念lim n n x a →∞=便是()f x 在x →+∞时极限的特殊情况：自变量x 取正整数.即对于任意给定的0ε>，总存在正整数N ，使当n N >时，不等式n x a ε-<恒成立，则称常数a 为数列{}n x 的极限，也称此数列收敛于a .2.性质(1)唯一性在自变量的一个变化过程中(0x x →或x →∞)，函数的极限存在，则此极限唯一. (2)有界性若0lim ()[lim ()]x x x f x a f x a →→∞==或，则存在0x 的某去心邻域(或0x M >>)，()f x 在此邻域(或0x M >>)内有界.(3)保号性设0)lim ()x x f x a →→∞=(x ，0()lim ()x x x g x b →→∞=，若在0x 的某去心邻域(或0x M >>)内恒有()()f x g x <(或()()f x g x ≤)，则a b ≤.3.极限存在准则夹逼准则：若在x 的某去心邻域(或0x M >>)内恒有()()()g x f x h x ≤≤，且000()()()lim ()lim ()lim ().x x x x x x x x x g x h x a f x a →→→→∞→∞→∞===，则单调有界准则：单调有界数列必收敛. 4.两个重要极限(1)0sin lim 1.x x x→= (2)1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或10lim xx x e →=（1+）. 5.极限的运算设在自变量的同一变化过程中(0x x →或x →∞)，lim (),lim ()f x a g x b ==，则有(1)和差：[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x a b ±=±=±.(2)积：[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x a b ⋅=⋅=⋅.特别地，lim ()lim ()cf x c f x =ca = (其中c 为常数)，[][]lim ()lim ()k kk f x f x a ==(其中k 为正整数).(3)商：若lim ()0g x b =≠，则()lim ()lim()lim ()f x f x ag x g x b==. (4)复合函数的运算法则：已知00lim (),lim ()u u x x f u A x u ϕ→→==⇒在有意义的情况下，lim [()]x x f x ϕ→.A =6.无穷小量与无穷大量(1)无穷小量的概念若0()lim ()0x x x x α→→∞=，称()x α为0x x →(x →∞)时的无穷小，即极限为0的变量为无穷小量，以下简称无穷小.常数0也是无穷小.(2)无穷小量的性质 0lim ()x x f x a →→∞=(x )的充分必要条件为()()f x a x α=+，其中()x α为0x x →(x →∞)的无穷小.(3)无穷小量的运算1°加法：有限多个无穷小的和仍为无穷小; 2°乘法：有限多个无穷小的积仍为无穷小; 3°有界变量与无穷小的乘积亦为无穷小. (4)无穷小量的比较设()x α与()x β都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且()lim ()x x αβ也是在此变化过程中的极限：若()lim0()x x αβ=，称()x α是比()x β高阶的无穷小，记作()(())x o x αβ=; 若()lim()x x αβ=∞，称()x α是比()x β低阶的无穷小; 若()lim0()x c x αβ=≠(其中c 为常数)，称()x α与()x β是同阶的无穷小;特别()lim1()x x αβ=，称()x α与()x β是等价无穷小，记作()~()x x αβ. 在求极限过程中，有时利用等价无穷小代换可以化简计算，所以应掌握几个常见的等价无穷小：当0x →时，sin ~~tan x x x ，ln(1)~x x +，1~x e x -11~x n ，211cos ~2x x -等等. (5)无穷大量的概念设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义(或x 大于某一正数时有定义)，如果对于任意给定的正数M (不论它多么大)，总存在正数δ (或正数X )，只要x 适合不等式00x x δ<-<(或x X >)，对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大量，以下简称无穷大.(6)无穷小量与无穷大量之间的关系在自变量的同一变化过程中，若()f x 为无穷大，则其倒数1()f x 必为无穷小;反之，若()f x 为无穷小，且()0f x ≠，则其倒数1()f x 必为无穷大. 7.洛必达(L’Hospital)法则(1)00⎛⎫⎪⎝⎭型 (),()f x g x 在点0x 的某去心邻域内可导，()0g x '≠，若lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →0=，且0()lim()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. (2)∞⎛⎫⎪∞⎝⎭型 (),()f x g x在点0x 的某去心邻域内可导，()0g x '≠，若 0lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →=∞，且0()lim ()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. (三)连续1.函数的连续性(1)连续性的概念设函数()y f x =在点0x 某邻域内有定义，若当自变量增量x ∆=0x x -0→时，对应的函数值增量00()()0y f x x f x ∆=+∆-→，即0lim 0x y ∆→∆=，或0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x 处连续.若00lim ()()x x f x f x -→=，称函数()f x 在0x 处左连续，00lim ()()x x f x f x +→=，称函数()f x 在0x 处右连续. 显然，函数()f x 在0x 处连续的充分必要条件是()f x 在0x 处既左连续又右连续.若函数()f x 在区间(,)a b 内每一处都连续，称()f x 在开区间(,)a b 内连续，也称()f x 是(,)a b 内的连续函数;若()f x 在(,)a b 内连续，又在a 点处右连续，b 点处左连续，则称()f x 在闭区间[,]a b 上连续.(2)运算1°加法有限多个在同一点连续的函数之和，仍在该点处连续; 2°乘法有限多个在同一点连续的函数之积，仍在该点处连续; 3°除法若()f x 与()g x 均在点0x 处连续，且0()0g x ≠，则()()f xg x 在点0x 处连续. (3)复合函数与初等函数的连续性设函数()u x ϕ=在点0x x =处连续，且00()x u ϕ=，若函数()y f u =在点0u u =处连续，则复合函数[()]y f x ϕ=在点0x x =处连续.一切初等函数在其定义区间上都是连续的. 2.函数的间断点(1)函数间断点的概念设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数()f x 有下列三种情形之一：1°在0x x =没有定义;2°虽在0x x =有定义，但()0lim x x f x →不存在;3°虽在0x x =有定义，且()0lim x x f x →存在，但()00lim (),x x f x f x →≠则函数()f x 在点0x 不连续，而点0x 称为()f x 的不连续点或间断点.(2)函数间断点的类型设0x x =为函数()y f x =的间断点，若0lim ()x x f x -→与0lim ()x x f x +→都存在，称0x 为函数()f x 的第一类间断点，其他均称为第二类间断点.在第一类间断点中，左、右极限相等的称为可去间断点，不相等的称为跳跃间断点；无穷间断点与振荡间断点都是第二类间断点.3.闭区间上连续函数的性质(1)最大值和最小值定理闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值. (2)有界性定理闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界.(3)介值定理设函数()f x 在闭区[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠，则对于()f a 与()f b 之间的任一常数C ，必在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()f C ξ=.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.(4)零点定理设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则在开区间(,)a b 内至少存在函数()f x 的一个零点，即至少有一点(,)a b ξ∈使()0f ξ=.四、典型例题[例1.1]设函数11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，，，则[()]f f x =.[例1.2]已知2()sin ,[()]1,f x x f x x ϕ==-则()________x ϕ=，其定义域为 .[例1.3]设函数2sin ()(ln )(tan )x f x x x e =，则()f x 是( ).(A)偶函数.(B)无界函数.(C)周期函数.(D)单调函数.[例1.4]设对任意(,)∈-∞+∞x 有(1)()+=-f x f x ，则()f x 一定是( ).(A)奇函数.(B)偶函数.(C)周期函数.(D)单调函数.[例1.5]设函数21tan(3)()(1)(2)(3)x x f x x x x --=---，则()f x 在下列哪个区间内有界().(A)(0,1).(B)(1,2). (C)(2,3). (D)(3,4).[例1.6]设数列n x 与n y ，满足lim 0n n n x y →∞=，则下列叙述正确的是().(A)若n x 发散，则n y 必发散. (B)若n x 无界，则n y 必有界. (C)若n x 有界，则n y 必为无穷小量. (D)若1nx 为无穷小量，则n y 必为无穷小量. [例1.7]下列极限正确的是().(A)sin lim1x xxπ→=.(B)1lim sin1x x x→∞⋅=. (C)11limsin 1x x x→∞=. (D)sin lim1x xx→∞=.[例1.8]设n n x a y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，a 为常数，则数列{}n x 和{}n y ( ).(A)都收敛于a .(B)都收敛，但不一定收敛于a . (C)可能收敛，也可能发散.(D)都发散.[例1.9]设n n n x a y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，{}n x ，{}n y 和{}n a 均为数列，则lim n n a →∞( ).(A)存在且等于0.(B)存在但不一定等于0. (C)一定不存在. (D)不一定存在.[例1.10]22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪++++++⎝⎭.[例1.11]30arctan sin limx x xx →-=.[例1.12]求极限limx [例1.13]求下列极限：2011lim()tan x x x x→-. [例1.14]设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =.[例1.15]21ln(1)0lim(cos )+→x x x =.[例1.16]当0x →时，211()sin f x x x=是( ). (A)无穷小量.(B)无穷大量.(C)有界量非无穷小量.(D)无界但非无穷大量.[例1.17]设220ln(1)()lim 2x x ax bx x →+-+=，则().(A)1a =，52b =-. (B)0a =，2b =-. (C)0a =，52b =-. (D)1a =，2b =-. [例1.18]设当0x →时，()()21cos ln 1x x-+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin n x x 是比2(1)x e -高阶的无穷小，则正整数n 等于().(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.[例1.19]当0x →时，求常数,c k 使得(I)3sin sin3~;kx x cx -~kcx .[例1.20]设110x =，1n x +=(1,2,n =)，试证数列{}n x 极限存在，并求此极限.[例1.21]下列各式中正确的是( ).(A)01lim (1)1xx x+→+=. (B)01lim(1)e xx x+→+=. (C)1lim(1)e xx x→∞-=. (D)1lim(1)e xx x-→∞+=-.[例1.22]求极限21lim ln(1)→∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦x x x x.[例1.23]()f x 在0x 点连续是()f x 在0x 点连续的( ). (A)充分条件，但不是必要条件. (B)必要条件，但不是充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不是充分条件，也不是必要条件.[例1.24]函数1()tan ()x x e e xf x x e e +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[],ππ-上的第一类间断点是x =().(A)0.(B)1.(C)2π-. (D)2π. [例1.25]设函数21()lim 1nn xf x x →∞+=+，讨论函数()f x 的间断点，其结论为().(A)不存在间断点. (B)存在间断点1x =. (C)存在间断点0x =. (D)存在间断点1x =-.[例1.26]设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =.[例1.27]设函数()tan 21e ,0arcsin 2e ,0xx x x f x a x ⎧->⎪⎪=⎨⎪⎪≤⎩在0x =处连续，则________a =.[例1.28]设)(x f 在(+∞∞-,)内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩，则( ).(A)0=x 必是)(x g 的第一类间断点. (B)0=x 必是)(x g 的第二类间断点.(C)0=x 必是)(x g 的连续点.(D))(x g 在点0=x 处的连续性与a 的取值有关.[例1.29]设函数()f x 在[,]a b 上连续，且12n a x x x b <<<<<，证明：存在(,)a b ξ∈，使得12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.[例1.30]设()f x 是[0,1]上非负连续函数，且(0)(1)0.f f ==证明：对任意实数r (01r <<)，必存在0[0,1]x ∈，使得0[0,1]x r +∈，且00()()f x f x r =+.[例1.31]设()f x 在[0,1]上连续，(0)(1)f f =且 . (1)证明：存在[0,1],ξ∈使1()()2f f ξξ=+.(2)证明：存在[0,1],η∈使1()()f f nηη=+(2n >且n 为正整数).五、经典习题1.求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x sin 1)1ln(1lim 0. 【答案】212.求xx e e xx x sin lim tan 0--→.【答案】23.已知()01lim2=--++-∞→b ax x xx ，则___________,==b a .【答案】21,1--. 4.极限()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( )(A) 1.(B) e . (C) a be-.(D) b ae-.【答案】(C).5.求22201cos lim sin x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【答案】43. 6.求1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 【答案】1. 7.若()3sin 6lim0x x xf x x →+=，则()26limx f x x →+为( ).(A)0.(B)6.(C)36.(D)∞.【答案】(C).8.1lim1cosn n→∞++=________. 【答案】π.9.设103x <<，1n x +=(n =1，2，…)，证明数列{}n x 的极限存在，并求此极限.【答案】证明{}n x 单调增加且有上界，3lim 2n n x →∞=. 10.设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数，且()00f ≠，()00f '≠，若()()()20af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.【答案】2,1a b ==-.11.设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，且[()]f f x x =，证明在(,)-∞+∞内至少有一个0x 满足00()f x x =.【答案】利用反证法.第二章一元函数微分学导数与微分是一元函数微分学中的两个重要概念，在高等数学中占有重要地位，其内涵丰富，应用广泛，是研究生入学考试的主要内容之一，应深入加以理解，同时应熟练掌握导数的各种计算方法.中值定理与导数的应用在高等数学中占有极为重要的位置，内容多，影响深远，是复习的重点也是难点，而且具有承上启下的作用，应熟练掌握.一、大纲内容与要求【大纲内容】导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值 (弧微分;曲率的概念;曲率圆与曲率半径，数学三不要求). 【大纲要求】1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，(了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，数学一、二要求)，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数.当''()0f x >时，()f x 的图形是凹的;当''()0f x <时，()f x 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.9.了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径(数学一、二要求).二、知识网络三、基本内容(一)导数概念1．导数定义设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若自变量从0x 变到0x x +∆时，导数的定义左、右导数基本初等函数的导数导数的四则运算复合函数的导数反函数的导数隐函数的导数参数方程求导（数一、二）2阶导数n 阶导数高阶导数导数的概念导数的计算罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理中值定理应用洛必达法则求极限研究函数性质及几何应用单调性定理、函数的单调区间函数的极值、最值曲线的凹凸性及拐点渐近线、函数作图边际、弹性经济中的最大值和最小值应用经济应用(数学三要求) 微分概念微分的计算一阶微分形式不变性微分导数泰勒定理曲率(数学一、二要求) 费马引理切线、法线方程函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-与自变量增量x ∆之比的极限0000()()limlim x x f x x f x yx x→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称()y f x =在0x 处可导，此极限值称为()f x 在0x 处的导数，记作0()f x '，或00,x x x x dyy dx=='等.令0x x x =+∆，可得导数的等价定义0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-2.左导数若000()()lim x f x x f x x -∆→+∆-∆存在，则称此极限值为()f x 在x =0x 处的左导数，记作0()f x -'.3.右导数若000()()lim x f x x f x x+∆→+∆-∆存在，则称此极限值为()f x 在x =0x 处的右导数，记作0()f x +'.4.若函数()f x 在区间(,)a b 内任意点x 处的导数()f x '都存在，则称()f x 在(,)a b 内可导.5.若函数()f x 在(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，称()f x 在闭区间[,]a b 上可导. (二)函数可导的条件1.()f x 在x =0x 处可导的必要(非充分)条件是()f x 在x =0x 处连续.2.()f x 在x =0x 处可导的充分与必要条件是0()f x -'与0()f x +'存在且相等. (三)导数的几何意义与物理意义1.设函数()f x 可导，则0()f x '等于曲线y ＝()f x 在点00(,())x f x 处切线的斜率.曲线y ＝()f x 在点00(,())x f x 处的切线与法线方程分别是：000()()()y f x f x x x '--＝和0001()(),()y f x x x f x -=--'其中0()0f x '≠. 2.设一质点作变速直线运动，若其位移s 随时间t 的变化规律为函数()s s t =，则导数0()s t '表示该质点在时刻0t 的瞬时速度.注导数的物理意义有多种，如细棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等.(四)导数的计算1.基本初等函数的导数公式 (1)()0()c c '=为常数(2)1()()x x μμμμ-'=为实数(3)()ln (01)xxa a a a a '=>≠， (4)();x x e e '=(5) 1(log ||)(0,1);ln a x a a x a '=>≠ (6) 1(ln ||);x x'= (7)(sin )cos ;x x '= (8)(cos )sin ;x x '=- (9)2(tan )sec ;x x '= (10)2(cos )csc x x '=-(11)(sec )sec tan ;x x x '= (12)(csc )csc cot ;x x x '=-(13)(arcsin )x '=(14)(arccos )x '=(15)21(arctan );1x x'=+ (16)21(arccot ).1x x-'=+ 2.导数的四则运算法则设函数(),()u x v x 都可导，则 (1)();u v u v '''±=±(2)()uv u v uv '''=+，特别()cu cu ''=(c 为常数).(3)2(0).u u v uv v v v '''-⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数求导法设()u x ϕ=在x 处可导，()y f u =在对应的()u x ϕ=处可导，则复合函数[()]y f x ϕ=在x 处可导，且{[]}()(),f x f u x ϕϕ'''=()即d .y dy dudx du dx=⋅ 4.反函数的导数若()x y ϕ=在某区间内单调、可导，且()0y ϕ'≠，则其反函数()y f x =在对应的区间内也可导，且1()()f x y ϕ'='. 5.隐函数的导数设()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的可导函数，注意到x 是自变量，y 是x 的函数，y 的函数是x 的复合函数，在方程的两边同时对x 求导，可得到一个含有y '的方程，从中解出y '即可.注 y '也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式x y F dydx F '=-'得到，这里()y x 是由方程(,)0F x y =确定的函数.6.高阶导数(1) 函数()y f x =导数的导数，称为函数()f x 的二阶导数，即(),y y ''''=记作()y f x ''''=，或2(2)2,d y y dx.一般地，函数()y f x =的n 阶导数为()(1)(),n n y y-'=也可写作()()n n n d y fx dx或.(2)设(),()u x v x 具有n 阶导数，则有()()()[()()]()()n n n au x bv x au x bv x +=+(,a b 为常数);()()1(1)()()()[()()]()()()()()()()().n n n k n k k n n n u x v x u x v x C u x v x C u x v x u x v x --'=+++++7.由参数方程所确定的函数的导数(数学一、二要求)设()y y x =是由参数方程()()()x t t y t ϕαβψ=⎧<<⎨=⎩确定的函数，(1)若()t ϕ和()t ψ都可导，且()0t ϕ'≠，则()()dy t dx t ψϕ'='. (2)若()()t t ϕψ,二阶可导，且()0t ϕ'≠，则223()1()()()()()()()td y t t t t t dx t t t ψψϕψϕϕϕϕ''''''''⎡⎤-=⋅=⎢⎥'''⎣⎦. (五)微分1.微分定义设函数()y f x =在点x 的某邻域内有定义，若对应于自变量的增量x ∆，函数的增量y ∆可以表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 与x ∆无关， ()o x ∆是x ∆的高阶无穷小，则称函数()y f x =在点x 处可微，并把A x ∆称为()f x 在点x 处的微分，记作dy 或()df x ，即dy =A x ∆.2.函数()y f x =在点x 处可微的充分必要条件是()f x 在x 处可导，此时()A f x '=，即有()dy f x dx '=.3.一阶微分形式的不变性设()y f u =可微，则微分()dy f u du '=，其中u 不论是自变量还是中间变量，以上微分形式保持不变. (六)微分中值定理1.费马(fermat)引理若()f x 在0x 的某邻域0()U x 内有定义，且在0x 处可导，如果对任意0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤(或0()()f x f x ≥)，则0()0f x '=.2.罗尔(Rolle)定理若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，并且f (a )＝f (b )，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.3.拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数()f x 在闭区间上连续，在开区间(,)a b 内可导，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()().f b f a f b a ξ'-=-4.柯西(Cauchy)中值定理若函数()f x 和()g x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()0g x '≠，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()().()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-5.泰勒(Taylor)定理(1)假设函数()f x 在含有0x 的开区间(,)a b 内具有直到1n +阶的导数，则()20000000()()()()()()()()(),2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+其中(1)10()()(),(1)!n n n f R x x x n ξξ++=-+是0x 与x 之间的某个值，此公式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.(2)假设函数()f x 在含有0x 的开区间(,)a b 内具有直到n 阶的导数，则()200000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''⎡⎤=+-+-++-+-⎣⎦，此公式称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.注当00x =时，以下两公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式，即()21(0)(0)(1)()()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n f f f n x f x f f x x x x n n θθ+''+'=+++++<<+和 ()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x o x n '''=+++++.(七)洛必达(L ’Hospital)法则 1.00⎛⎫⎪⎝⎭型 0()()()0,f x g x x g x '≠设，在点的某去心邻域内可导，若0lim ()lim ()x x x x f x g x →→=0=，且0()lim()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. 2.∞⎛⎫⎪∞⎝⎭型设()()f x g x ，在点0x 的某去心邻域内可导，()0g x '≠，若0lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →=∞，且0()lim()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. (八)利用导数研究函数及平面曲线的性态1.单调性定理设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，若对任一x ∈(,)a b ，有()0(0)f x '><，则()f x 在[,]a b 上单调增加(减少).注若将上面的不等式()0(0)f x '><，改为()0(0)f x '≥≤，且使()0f x '=的点(驻点)只有有限个，则结论仍成立.2.极值(1)极值的定义若()f x 在0x 的某邻域0()U x 内有定义，且对该邻域内任意异于0x 的点x 都有0()()f x f x <(或0()()f x f x >)，则称0x 的极大(或小)值点，0()f x 称为()f x 的极大(或小)值.(2)判断极值的第一充分条件设函数()f x 在点0x 的某邻域00(,)x x δδ-+内连续，0x 是()f x 的驻点或不可导点，在00(,)x x δ-及00(,)x x δ+内()f x 均可导.1°若在00(,)x x δ-内()0(0)f x '<>而在00(,)x x δ+内()0(0)f x '><则()f x 在0x 处取21极小值(极大值);2°若在00(,)x x δ-和00(,)x x δ+内()f x '符号相同，则()f x 在0x 处不取得极值. (3)判断极值的第二充分条件设函数()f x 在x =0x 处，一阶导数0()0f x '=，二阶导数0()f x ''存在且不等于零，则当0()0f x ''>时，()f x 在0x 处取得极小值;当0()0f x ''<时，()f x 在0x 处取得极大值.3.取到极值的唯一性定理若()f x 在区间I 上可导，驻点唯一，且该驻点是极值点，则该驻点一定是最值点.4.曲线凹凸性及拐点(1)凹凸性的定义设()x f 在区间I 上连续，若对任意不同的两点21,x x ，恒有()()()()12121212112222x x x x f f x f x f f x f x +⎛+⎫⎛⎫⎛⎫>+<+⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭或则称()x f 在I 上是凸（凹）的.(2)凹凸性的判断若函数()f x 在区间I 上()0(0)f x ''><则曲线()y f x =在I 上凹 (凸)的.(3)拐点的定义在连续曲线上，凹凸部分的分界点00(,())x f x 称为曲线的拐点.(4)拐点的第一充分条件设函数()f x 在点0x 的某邻域内连续且在该去心邻域内二阶可导，若()f x 在0x 的左右两边()f x ''的符号相反，则点00(,())x f x 是曲线)(x f y =的拐点.(5)拐点的第二充分条件：设函数()f x 在点0x 的某邻域内连续，0()0f x ''=，而0()0f x '''≠，则点00(,())x f x 是曲线)(x f y =的拐点.5.曲线的渐近线(1)若lim ()x f x C →∞=(或x →+∞或x →-∞)(C 为常数)，则y C ＝是曲线()y f x ＝的一条水平渐近线;(2)若0lim ()x x f x →∞＝(或0x x +→，或0x x -→)，则0x x =是曲线()y f x ＝的一条铅直渐近线; (3)若()lim,0,x f x a a x→∞=≠且lim[()],x f x ax b →∞-=则y ax b +＝是曲线()y f x ＝的斜渐近线.22(九)平面曲线的曲率(数学一、二要求) 1.弧微分设()y f x ＝是平面内的光滑曲线，则弧微分.ds = 若曲线方程为(),(),x x t y y t =⎧⎨=⎩则弧微分为.ds =2.曲率(1)设M 和N 是曲线上不同的两点，弧MN 的长为s ∆，当M 点沿曲线到达Ｎ点时，Ｍ点处的切线所转过角为α∆，则称极限0lims K sα∆→∆=∆为该曲线在点M 处的曲率. (2)曲率计算公式若曲线方程为()y f x ＝，则曲率23/2(1)y K y ''='+. 若曲线由参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩给出，则曲率223/2()t t t t t t x y y x K x y ''''''-=''+. (3)曲率半径1(0)R K K=≠. 三、典型题型[例2.1]已知(3)2f '=，则0lim 2h h→=______________.[例2.2]设函数()f x 在0x =处连续，且201lim (1cos )1h f h h→-=，则().(A)(0)1-'=f .(B)(0)2-'=f .(C)(0)1+'=f . (D)(0)2+'=f .[例2.3]设函数()f x 可导，()(sin 2)()xF x e x f x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的( )条件.(A)充要. (B)充分非必要. (C)必要非充分.(D)非充分非必要.[例2.4]设周期函数()f x 在),(+∞-∞内可导，周期为4，0(1)(1)lim2x f f x x→--=1-，则曲线()y f x =在点))5(,5(f 处的法线斜率为(). (A)21. (B)0.(C)1 .(D)2-.[例2.5]设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当x ∈(,)δδ-时，恒有2()f x x ≤，则23x 0=必是()f x 的( ).(A)间断点.(B)连续而不可导的点. (C)可导的点，且(0)0'=f . (D)可导的点，且(0)0'≠f .[例2.6]设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则(0)________.f '=[例2.7]设函数0()y f x x x ==在处可导，0()1f x '=-，则0limx y dydy∆→∆-=_______.[例2.8] 设函数()f x 处处可微，且有()01f '=，且对任何,x y 恒有()()x f x y e f y +=()x e f y +，求().f x[例2.9]设函数()f x 在(,)-∞+∞上有定义，对任意,x y ，()f x 满足关系式()()[()1]()f x y f x f x y y α+-=-+，其中0()lim0y y yα→=.又已知(0)2,f =则(1)f =.[例2.10]设()()(),()F x g x x x ϕϕ=在x a =连续，但不可导，又()g a '存在，则()0g a =是()F x 在x a =可导的()条件.(A) 充要. (B) 充分非必要.(C) 必要非充分.(D) 非充分非必要. [例2.11]函数32()2arctan f x x x x x =+-的不可导点的个数是( ). (A)3.(B)2.(C)1.(D)0.[例2.12]设函数11,0()1,0x x f x x e k x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩连续，求常数k 的值，并求()f x '.[例2.13] 求下列函数的导数(1)arctanx y e=-(2)2()ln |2a f x x =.24[例2.14]设2sin[()]y f x =，其中f 具有二阶导数，求22,dy d ydx dx . [例2.15]设函数1,()21,x f x x ⎧≥=⎨<⎩，()()y f f x =，则x edy dx ==_____________.[例2.16]设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1=-x 处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)'=f _________________.[例2.17] (数一、二)设()2arctan ,25t x t y y x y ty e =⎧⎪=⎨-+=⎪⎩由所确定，求.dy dx[例2.18]设22411x y x -=-，求(100)y .[例2.19]设函数()y f x ＝由方程23ln()sin +=+x y x y x 确定，则==x dy dx_________.[例2.20]设()()()nf x x a x ϕ=-，其中()x ϕ在x a =处具有1n -阶连续导数，试求()()n f a (2)n ≥.题型三利用导数研究函数的性态[例2.21]设当a x b <<时函数()f x ，()g x 是大于零的可导函数，且()()f x g x '-()f x ()0g x '<，则当a x b <<时，有().(A)()()()()f x g b f b g x >.(B)()()()()f x g a f a g x >.(C)()()()()f x g x f b g b >.(D)()()()()f x g x f a g a >.。

高等数学教材讲义

高等数学教材讲义第一章导数与微分1.1 导数的定义与性质在这一节中，我们将介绍导数的定义及其基本性质。

导数是描述函数变化率的重要概念，它与切线的斜率密切相关。

我们将详细解释导数的定义，并通过例题演示如何求取导数。

1.2 常见函数的导数本节将探讨一些常见函数的导数计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及其他一些常见函数。

我们将给出这些函数的导数公式，并通过具体例子进行说明和求解。

1.3 高阶导数在这一节中，我们将讨论高阶导数及其应用。

高阶导数描述了函数变化率变化的速度，它可以帮助我们更全面地理解函数的性质。

我们将介绍高阶导数的定义和计算方法，并通过实例说明如何应用高阶导数解决实际问题。

第二章积分与定积分2.1 不定积分与原函数这一节我们将引入不定积分的概念，并介绍原函数的定义及其计算方法。

不定积分是求解定积分的重要步骤，它可以帮助我们找到函数的原始形式。

我们将详细解释不定积分的定义和性质，并通过实例演示如何求取原函数。

2.2 定积分的概念与性质在这一节中，我们将介绍定积分的概念和性质。

定积分描述了函数在一定区间内的累积变化量，它可以用来计算曲线下的面积、求解平均值等。

我们将详细讲解定积分的定义和性质，并通过例题演示如何求解定积分。

2.3 定积分的计算方法本节将讨论定积分的计算方法，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。

这些方法可以帮助我们解决各种形式的定积分问题。

我们将给出这些方法的具体步骤，并通过实例演示如何应用它们求解定积分。

第三章微分方程3.1 微分方程的基本概念在这一节中，我们将介绍微分方程的基本概念和分类。

微分方程是描述变量之间关系的方程，它在自然科学和工程技术中具有广泛应用。

我们将详细解释微分方程的定义和分类，并通过例题演示如何求解微分方程。

3.2 常微分方程本节将讨论常微分方程的求解方法。

常微分方程是最常见的微分方程类型之一，它描述了未知函数及其导数之间的关系。

高等数学上册第一到第三章复习资料

高等数学上册第一到第三章复习资料写在前面：小伙伴们，高数是比较重的一门课，以下内容我可以保证是在问过罗老师后总结的第一章函数与极限总说：1.第一节至第三节是概念问题，小伙伴们只需要了解。

但是在这里有个函数极限的定义，下面我会列出2.第四、五、六、七节可以说是第一章重点了，牵扯到极限的运算。

3.第八、九、十节也是概念居多，而且与第二章函数导数牵扯较大。

在第十节，零点定理与介值定理也是重点二、极限运算的各种定理与推论（极限运算的基础）x 0是x 0+ x 0- 1.定理1：有限个无穷小的和也是无穷小2.定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小3.定理3：如果limf ﹙x ﹚=A ，limg ﹙x ﹚=B ，那么：﹙1﹚lim[f ﹙x ﹚±g ﹙x ﹚]=lim f ﹙x ﹚±limg ﹙x ﹚=A ＋B ﹙2﹚lim[f ﹙x ﹚·g ﹙x ﹚]= lim f ﹙x ﹚·limg ﹙x ﹚=A ·B﹙3﹚若有B ≠0，则 lim [f ﹙x ﹚/ g ﹙x ﹚]= limf ﹙x ﹚/ limg ﹙x ﹚=A/B 4.定理4：设有数列﹛x n ﹜和﹛y n ﹜，如果lim n →∞x n =A ， lim n →∞y n =B 那么：（1）lim n →∞（x n ±y n ﹚=A ±B（2） lim n →∞x n ·y n =A ·B（3）当n x 0(1,2,3...)B 0lim n n nAy n y B →∞≠=≠=且时， 5.定理5：[][][]00000,00()()lim (),lim (),(),g(x)u ,lim ()lim ()x xu u x x u u y f g x g x g x u f u A x f g x f u Aδ→→→→===∈≠== 设函数是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f 在点x 的某去心邻域内有定义，若且存在x 有则：4.推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小5.推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小6.推论3：如果limf(x)存在,而c 为常数，则：[]lim ()lim ()cf x c f x =7.推论4：如果limf(x)存在，而n 是正整数，则：[][]lim ()lim ()nnf x f x = 二、无穷小的比较处公式：（可根据题干变换x ）11nx 等价于 arcsinx x 等价于 sinx x 等价于211-cos x 2x 等价于 1sec cos x x等价于 tan tx x等价于三、重要极限：0sin lim1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭四、零点定理与介值定理：1.零点定理：设函数f(x)在闭区间[a ，b ]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间﹙a ，b ﹚内至少有一点ξ ，使：f(ξ)=02.介值定理：设函数f(x)在闭区间[a ，b ]上连续，且在这区间的端点取不同的值f （a ）=A f(b)=B,那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间（a,b ）内至少有一点ξ ，使：f(ξ)=C （a<ξ<b ）第二章导数与微分总说：这一章可以说是前半本书的重点，它不仅与极限联系，而且与后面的积分息息相关，这章必须融会贯通。

高等数学(上册)第三章教案

第三章：一元函数积分学及其应用教学目的与要求 1．理解不定积分和定积分的概念及性质。

2．掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。

3．会求简单的有理函数的积分。

4．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton ）-莱布尼兹（Leibniz ）公式。

5．了解广义积分的概念。

6．了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。

7．掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法所需学时：20学时（包括：18学时讲授与2学时习题）第一节：不定积分的概念与性质1、原函数概念引例在下列括号中填入适当的函数：（1）(cos =x c x +sin )' （2） (2=x c x +331)' 上例中的问题是：已知)()(x f x F =' 求 )(x F定义1 若在区间I 上，对任意x 有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 是)(x f 在I 上的原函数。

例如：x x sin )(cos -='，则x cos 是x sin -的一个原函数；又x x e e =')(，则x e 是xe 的一个原函数。

原函数存在定理：若)(x f 是连续函数，则)(x f 必有原函数。

由x x e e =')(有x x e e ='+)2(，x x e c e ='+)(，因此可知xe 的原函数不止一个，而是无穷多个。

说明：（1）若)(x f 有一个原函数)(x F ，则)(x f 就有无穷多个原函数c x F +)(（c 为任意常数），即c x F +)(是)(x f 的全部原函数；（2）)(x f 的任意两个原函数之差是一个常数。

设)()(x f x F ='，)()(x f x =Φ'，则有[]0)()()()()()(=-='-Φ'='-Φx f x f x F x x F x 由前面所学定理知 c x F x =-Φ)()(2、不定积分定义 2 在区间I上，函数()f x 的全体原函数的集合，称为()f x 在I上的不定积分，记为()f x dx ⎰,其中“⎰”称为积分号，)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量.由不定积分的定义可知：求()f x 的不定积分就是求()f x 的所有原函数.若()F x 为()f x 的一个原函数，则()=()f x dx F x C +⎰.其中C 为任意常数，称之为积分常数.简言之，求已知函数的不定积分，就是求出它的一个原函数，再加上任意常数C 即可. 例1 求下列不定积分.（1）2x dx ⎰ （2）sin xdx ⎰ （3）x e dx ⎰解（1）因为321()3x x '=，所以313x 是2x 的一个原函数，于是 2313x dx x C =+⎰. （2）因为(cos )sin x x '-=，所以cos x -是sin x 的一个原函数，于是sin cos xdx x C =-+⎰.（3）因为()xx ee '=，所以xe是xe 的一个原函数，于是x x e dx e C =+⎰. 例2 已知某曲线上任意点),(y x 处切线斜率为2x ，并且曲线过点)1,0(，求曲线方程。

高等数学第三章

证法二由于 f (b) f (a ) f ( )(b a ) 等价于
{[ f (b) f (a )] x } x [(b a ) f ( x )] x 0
即等价于 {[ f ( b ) f ( a )] x [( b a ) f ( x )]} x 0. 因此构造辅助函数
即
f ( )
f ( )

.
例2
证明 arcsin x arccos x

2
( 1 x 1).
证明设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1],
f ( x )
1 1 x2
1 ( ) 0. 2 1 x
( x ) [ f (b) f (a )] x [(b a ) f ( x )].
并且显然， ( x ) 在 [a , b] 上连续，在(a , b)内可导，
(a ) (b) af (b) bf (a ). 满足 Rolle 定理的条件,
由Rolle 定理可证得结论.
f ( x )在 [0, x ] 上满足 Lagrange 中值定理的条件,
f ( x ) f (0) f ( )( x 0), (0 x ),
x 1 , f (0) 0, f ( x ) , 由上式得 ln(1 x ) 1 1 x
又0 x
在 (a , b)内至少存在一点 , 使得 ( ) 0.
即
或
f (b) f (a ) f ( ) 0 , ba f (b) f (a ) f ( )( b a ).
注意:Lagrange 中值定理精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.

《高等数学(上册)》课件第三章

高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛必达法那么
02 函数的单调性、极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日中值定理条件？假设满足，找出点．
解函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使

高等数学第三章.Microsoft PowerPoint 演示文稿2

1.基本积分公式
1 1 (1) x dx x C 1
x a (3) a x dx C ln a
1 (2) dx ln x C x
(4) e x dx e x C
(5) sin xdx cos x C
(6) cos xdx sin x C

1 x e d (2 x) x ln(1 x) dx 2 1 x
2x
1 2x e x ln(1 x) x ln(1 x) C 2 2x
例4（10）求不定积分解法一：

e
ex 1
dx.

x ( e 1) 1 x dx de x x e 1 e 1
e2 x
1 1 x x x 2 2 (e 1) (e 1) d (e 1) 3 2 x (e 1) 2 2 e x 1 C 3 2 x 2 x x ln( u 1) 解法二：设 u e 1 则 e u 1,
或 udv uv vdu

分部积分的目的在于 uv dx 积分比较困难时，转化为较容
易的积分 u vdx ，关键是选取适当的 u 和 dv ，按照“反
——对——幂——三——指”的顺序从左向右优先选取
u。
例1.（08）计算不定积分
x arctan xdx.
1 2
解： x arctan xdx. arctan xd ( x 2 )
2
3 2 x cos x dx.
1 1 1 1 t sin t sin tdt t sin t cos t C 2 2 2 2 1 2 1 2 x sin x cos x 2 C 2 2

《2021数学》第三章考研讲义

《2021数学》第三章整式、分式和函数一、基本定义1.单项式数与字母的积这样的代数式叫做单项式，如23x ；单独一个数或一个字母也是单项式.其中单项式中的字母因数叫做单项式的系数；所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；若单项式表示p m n x y ax ，那么a 称为单项式pm n x y ax 的系数，p m n ++叫做这个单项式的次数. 2.多项式几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.3.整式单项式和多项式统称为整式. 4.分式分式定义：用A 、B 表示两个整式,B A ÷就可以表示成BA的形式，如果除式Ｂ中含有字母，式子BA就叫做分式． 5.最简分式分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式. 【练习】1.若x 2+xy +y =14，y 2+xy +x =28，则x +y 的值为( ) A.6或-7 B.-6或-7 C.6或7 D.7 E.-6或7【答案及解析】A 由已知两式相加得(x +y)2+(x +y )−42=0，把x+y 看作整体，分解得到(x +y +7)×(x +y −6)=0，故x+y=6或x+y=-7.二、整式的因式因式定理:)(x f 含有（b ax -）因式⇔)(x f 能被（b ax -）整除⇔()0bf a=；尤其，)(x f 含有（a x -）因式⇔)(x f 能被（a x -）整除⇔0)(=a f 【练习】1.已知多项式f (x )=2x 4−3x 3−ax 2+7x +b 能被x 2+x −2整除，则 ab 的值是( )A.1B.-1C.2D.-2E.0【答案及解析】C 令x 2+x −2=0，得x=-2或x=1，从而,{f (−2)=0f (1)=0,解出a=12，b=6，则a b=2.2. 多项式f (x )=x 2+x +n 能被x +5整除,则此多项式也可以被( )整除. A. x −6 B. x +6 C. x −4 D. x +4 E. x +2【答案及解析】C 由因式定理，f (−5)=0，得n=-20，故f (x )=x 2+x −20=(x −4)(x +5).三、分解因式1.分解因式的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式（又叫因式分解）. （1）因式分解的实质是一种恒等变形，是一种化和为积的变形. （2）因式分解与整式乘法是互逆的.（3）在因式分解的结果中，每个因式都必须是整式. （4）因式分解要分解到不能再分解为止. 2.因式分解的基本方法：（1）运用公式法；（2）分组分解法；（3）十字相乘法；（4）双十字相乘法.3.因式分解的一般步骤：一提二套三分组. 【练习】1.解分式方程2x2−2x−1+6x−6x2−1=7,解得x=（）A. 1B.12C.1或12D.-1E.0【答案及解析】B 2x 2−2x−1+6x−6x2−1=(2x2−2)(x+1)+6x−6x2−1=2(x+1)2+6x+1=7,且x2−1≠0，x≠±1，故x=122. 已知2x−3x2−x =Ax−1+Bx，其中A，B为常数，那么A+B的值为( )A.-2B.2C.-4D.4E.1【答案及解析】B 2x−3x2−x =Ax−1+Bx=(A+B)x−Bx2−x,A+B=2.四、集合的有关概念1.集合的概念集合：将能够确切指定的一些对象看成一个整体，这个整体就叫做集合，简称集.元素：集合中各个对象叫做这个集合的元素.2.集合的分类有限集：含有有限个元素的集合.无限集：含有无限个元素的集合.规定：空集是不含任何元素的集合.3.元素与集合的关系属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A.4.常用数集1.非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合，记作N.2.正整数集：非负整数集排除0的集合，记作N+.3.整数集：全体整数的集合，记作Z.4.有理数集：全体有理数的集合，记作Q.5.实数集：全体实数的集合，记作R.【注】(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括0；(2)非负整数集内排除0的集，记作N.5.集合的基本运算1.A=B(指集合A 与集合B 有完全相同的元素).2.A ⊂B(集合A 真包含于集合B).A ⊆B(指集合A 包含于集合B ，即集合A 的元素都是集合B 的元素). A ⊈B(指集合A 不包含于集合B ，并且A ≠B).3.A ⋃B(指集合A 与B 的并集，是由属于集合A 或属于集合B 的全体元素组成的集合).4.A ⋂B(指集合A 与B 的交集，是由既属于集合A 又属于集合B 的全体元素组成的集合)5.∁⋃A (指集合A 的补集，是由属于全集但不属于集合A 的元素组成的集合). 【练习】1. 设集合A={x|−12＜x ≤2}，B={x |x 2≤1}，则A ⋃B=( ) A. {x |−1≤x ≤2} B. {x|−12≤x ≤14} C. {x|x ＜2} D. {x |1≤x ≤2} E. {x |−2≤x ≤1}【答案及解析】A B={x |x 2≤1}={x |−1≤x ≤1}, A={x|−12＜x ≤2}, A⋃B = {x |−1≤x ≤2}.2.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁⋃(A ∩B)=( ) A.{2,3} B.{1,4,5} C.{4,5} D.{1,5} E.{1,4}【答案及解析】B A={1，2，3}，B={2，3，4}，A ∩B={2，3}，则∁⋃(A ∩B)={1，4，5}.五、函数1.一元二次函数 (1) 函数形式.一般式：.顶点式：. 分解式：.2(0)y ax bx c a =++≠224()24b ac b y a x a a-=++(0)a ≠12()()(0)y a x x x x a =--≠(2) 函数图像：抛物线 (3) 一般解析式与图像关系一般解析式：. 开口：开口向上；开口向下.截距：在轴上的截距为. 判别式：.零点：当时,在轴上的交点为对称轴：. 顶点：.最值：,最小值；最大值. 单调性：若,单调减(增)区间为； 2. 指数函数及对数函数（1）指数和对数运算公式（2）图像及性质 2(0)y ax bx c a =++≠0a >0a <y c 24b ac ∆=-0∆>x 1,2x =2bx a =-24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭0a >244acb a -0a <244ac b a-0(0)a ><,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【练习】1. 一元二次函数y=x(1-x)的最大值为（）A.0.05B.0.10C.0.15D.0.20E.0.25【答案及解析】E 看到二次函数求最值，要想到图像的顶点公式，或者利用配方法.y =x (1−x )=x −x 2=−(x −12)2+14≤14,当x =12时，函数取最大值y max =14 = 0.25. 2. 已知log a 12<1，那么a 的取值范围为（） A.0< a ≤12 B. a>1 C.a>1或0< a <12D.0< a < 32E. 12< a <1【答案及解析】C 由log a 12<1=log a a ,得当a>1时a> 12,故a>1；当0<a<1时，a<12，故0< a <12.因此a>1或0<a<12.练习题1.如果a 2+b 2+2c 2+2ac =2bc =0,则a+b 的值为（） A.0 B.1 C.-1 D.-2 E.22.如果3(a 2+b 2+c 2)=(a +b +c)2,则a,b,c 三者的关系为（） A. a +b =b +c B. a +b +c =1 C. a =b =c D. ab +bc =ac E.abc=13.已知(2021-a)(2021-a)=2021，那么(2021-a)2+(2021-a)2=( ) A.4002 B.4012 C.4042 D.4020 E.40004.若x ，y ，x 为实数，设A=x 2−2y +π2，B=y 2−2z +π3，C=z 2−2x +π6，则在A ，B ，C 中( )A.至少有一个大于零B.至少有一个小于零C.都大于零D.都小于零E.至少有两个大于零 5.已知x 2-x+a -3是一个完全平方式，则a=( ). A. 214 B. 314C. 114D. 334 E. 2346.对任意实数x ，等式ax -4x+5+b=0恒成立，则(a+b)2021为( ) A.0 B.-1 C.1 D.2021 E.27.当a ，b ，c 为( )时,多项式f(x)=2x ー7与g(x)=a(x -1)2ーb(x+2)+c(x 2+x -2)相等. A.a =−119,b =53,c =119B.a =−11,b =15,c =11C.a =119,b =53,c =−119D.a =11,b =15,c =−11E.以上答案均不正确8.确定m ，b 的值为( )，使mx 4+bx 2+1能被(x -1)2整除. A. m=1,b=4 B.m=3,b=-4 C.m=-3,b=4 D.m=1,b=-3 E.m=1,b=39. 已知(x 2+px+8)(x 2-3x+q)的展开式中不含x 2和x 3项，则p ，q 的值为( ). A. {p =2q =1 B.{p =3q =2 C. {p =2q =2D. {p =1q =3E. {p =3q =110.已知x 2−3x +1=0，则|x −1x |=（）A.√2B. √3C.1D. 2E. √511.设集合P={1，2，3，4}，Q={x ||x |≤2,x ∈R }，则P ∩Q 等于（） A.{1,2} B.{3,4} C. {1} D.{-2,-1,0,1,2} E.{1,4}12. 已知二次函数f (x )满足 f (1+x )=f (1−x )，且f (0)=0，f (1)=1，以及在区间[m，n]上的值域是[m，n]，则实数m+n的值为( )A.0B.1C.2D.3E.413.一元二次函数y=x(1-x)的最大值为( )A.0.05B.0.10C.0.15D.0.20E.0.2514. 如果log a5>log b5>0，那么a与b的关系是( )A.0＜a＜b＜1B. 1＜a＜bC. 0＜b＜a＜1D.1＜b＜aE. -1＜a＜b＜115. 已知(a2+2a+5)3x>(a2+2a+5)1-x，则x的取值范围是( )A. [14,+∞) B.(14,+∞) C. [14,1]D.[1, +∞)E.(1,+∞)答案及解析1.A a 2+b 2+2c 2+2ac −2bc =(a +c )2+(b −c )2=0,根据非负性，所以a=-c,b=c,从而a+b=0,选择A 选项。

《高等数学》课件高等数学第三章

（2）f
(x)
3
3
2 x
，当x 1
1时，f
(x)不存在.
（3）列表，点x 1将定义域分为三个小区间：(∞，1，) (1， ∞， ) 如表所示．
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
例10 求 lim( 1 1．)
x0 sin x x
解 ∞ ∞型未定式，所以
lim( 1 1 ) lim x sin x lim 1 cos x lim
sin x
0.
x0 sin x x
x0 x sin x
x0 sin x x cos x
2 x0 cos x cos x x sin x 洛必达法则
高等数学第三章. 第一节
第4 页
定理1 拉格朗日〔 Lagrange 〕中值定理
如果函数y f (x)满足下列条件：
（1）在闭区间a, b 上连续；
（2）在开区间(a, b)内可导，
则在开区间(a, b)内至少存在一点 (a b，) 使得函数y f (x)
在该点的导数满足等式
f ( ) f (b) f (a) 或
x
x2
2 洛必达法则
高等数学第三章. 第二节
第 18 页
例5 求 lim x cos x．
x∞ x sin x
解 0 型未定式，由于对分子、分母同时求导后的极
0
限 lim 1 sin x 不存在，所以不能用洛必达法则求解. x∞ 1 cos x
事实上，lim
x
cos
x
lim
1
1 x
cos
高等数学第三章. 第二节
第 24 页
例11 求 lim x．x x0

《高等数学》课件第三章

07
错!
08
上面两式相比即得结论.
证: 作辅助函数
注意:
弦的斜率
切线斜率
A
B
C
柯西定理的几何意义:
例8. 设
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
设
则
在 [0, 1] 上满足柯西中值
定理条件,
因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,
使
即
证明
例9. 试证至少存在一点
使
证:
法1 用柯西中值定理 .
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件,
令
因此
即
分析:
使
1
法2 令则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件,
2
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件,
3
使
4
因此存在
5
例9. 试证至少存在一点
例11.
且
试证存在
在 I 上为常数 .
08
令
09
则
10
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
若函数
在区间(a , b)内每一点 x 处都有
则
和
最多相差一个常数,
即
(其中C为常数).
推论2:
设
01
证明对任意
02
有
03
证：
04
例5.
05
不妨设
06
证: 设
由推论可知
(常数)
令 x = 0 , 得
又
11
思考与练习
1. 填空题
1) 函数

高等数学高数上第三章1微分中值定理CH3-1

首要问题：
f ( x)
联系
？
f ( x )
已知：当 |Δx | 很小时
y dy f x x
可是近似关系，在理论分析与实际应用中很难发挥作用。微分中值定理则是沟通二者之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数在区间上整体性的重要工具。微分中值定理为将导数应用于实践打开了方便之门。
则
2 a a n2 a n 2 n ＜ arctan arctan ＜ 2 2 n n 1 nn 1 nn 1 2 1 2 1 1 a 1 a n n 1
问题定理结论中的唯一吗？
想一想
定理中的只是个理论值，且不唯一；
问题定理的条件是充分条件？还是必要条件？
定理的条件是充分条件！并非必要条件！
y A
y=f(x)
B
问题定理的条件能否再放宽些呢？
则结论不一定成立！
y y y
0
aξ
b
x
如果定理的三个条件之一被破坏，
在 (b, a ) 内 f ( x ) 1 存在，则由拉氏定理 x f (a ) f (b ) 1 ， ba ab
有
1 1 1 1 f (a ) f (b ) 1 由于从而 a b a ab b
2 不等式得证。综合1，
#
练习3 证明方程 x5 x 1＝0 有唯一正根.
则至少存在一个 a ， b ，使 f (b)－ f ( a ) f ( ) ＝成立。 F (b)－F ( a ) F ( )
和拉格朗日中值定理关系？
证明中构造的辅助函数: f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) F ( x) F (b) F (a )