考研高等数学辅导讲义(蔡子华)
数学分析考研辅导班讲义1
n
2n p
p
11 2n1 2n2
1 2n
p
1 2n1
1
1 2p
1
1 2
1 2n
1 n
，
故 0 ， N 1 0 ，当 n N 时， 自然数 p ，由以上不等式知
an p an
1 n
，
故an 收敛. 定理 1.2.2 数列an 收敛 an 的任意两个子数列都收敛，且都收敛于同一
1
2 n2 n
n
1 n2 1
2 n2
2
n n2
n
1
2 n2 1
n
nn 1
2 n2 1
而
lim n n 1
n 2 n2 1
1 2
，故原极限
1 2
.
例 1.2.8 设 0 x1 1, xn1 xn 1 xn , n 1, 2, ， 证 明 xn 收 敛 ， 并 求
第 3 步 写出 u 在不同区间段上 x 所对应的变化区间；
第 4 步 将第 3 步中所得结果代入 y f (u) 中，便得 y f (g(x)) 的
表达式及相应 x 的变化区间 .
练习题
1
设
f
(x)
1, 0,
x 1 x 1
，
g(x)
2 x2,
2,
x 2 x 2
ab
b 0 不存在 b 0 不定 a 0 不存在 a 0 不定
不确定
lim an b n n
文都考研数学公式手册蔡子华
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx xx x·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
2020高等数学辅导讲义练习题参考答案
《高等数学辅导讲义》练习题解答第一章 函数、极限、连续 1. 【解】应选（D）.由于+∞=−→xx xe x tan lim 2π，则)(x f 无界.2. 【解】应选（B）. 由于x x x x sin ,1sin都在),0(+∞上连续.且01sin lim 0=→x x x ，;11sin lim =+∞→xx x 1sin lim 0=→x x x ，0sin lim =+∞→x x x .故xxx x sin ,1sin 都在),0(+∞上有界. 3. 【解】应选（D）.由于)]()([t f t f t −+是奇函数，则∫−+xt t f t f t 0d )]()([是偶函数.4. 【解】应选（D）.反证：否则，若n x 和n y 都有界，则n n y x 有界，与题设矛盾。
（A）的反例：L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y （B）的反例：L ,1,3,1,1:n x ；.,4,1,2,1:L n y （C）的反例: L ,0,3,0,1:n x ；.,4,0,2,0:L n y 5. 【解】应选（A）.反例见上题.6. 【解】应选（C）.若}{n a 收敛，由 1+≤≤n n n a b a 及夹逼原理知}{n b ；反之若}{n b 收敛，则}{n b 上有界，由 1+≤≤n n n a b a 知}{n a 单调增且上有界，故}{n a 收敛.7.【解】选（A）.若附加条件,0)(≠x ϕ则应选（D）. 8.【解】选（B）.)1(1)1(1lim 1)11(1sinlim )11()11(1lim11sin≠−=−+=+−+−∞→−∞→∞→ααααxxx x x x e x x xx9.【解1】选（C）.20)()21ln(lim xx xf x x ++→2220)()](2)2(2[lim x x xf x x x x ++−=→ο,12)(2lim0=−+=→x x f x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x【解2】20)()21ln(lim x x xf x x ++→20)](2[2)21ln(lim xx xf x x x x ++−+=→ ,1)(2lim 2)21ln(lim 020=++−+=→→xx f x x x x x 又.2)2(21lim 2)21ln(lim 22020−=−=−+→→xx x x x x x 则 ,3)(2lim 0=+→x x f x 10.【解1】应选（D）.直接法: 由2cos 1)(lim 0=−→x x f x 知 221)(lim20=→x x f x .即2~)(x x f n x n xx n x x x x x dt t x t t f 60sin 020sin 00sin 31lim lim d )(lim 22→→→==∫∫.0≠=a 则6=n . 【解2】 排除法：由2cos 1)(lim 0=−→xx f x 知，取2)(x x f =显然符合题设条件，此时∫∫==x x x x t t t t f 22sin 0sin 0662.31~sin 31d d )( 则（A）（B）（C）均不正确，故应选（D） 11. 【解】应选（D）.若,2=a 则bx xx x g x f x x 22ln 2sin arctan lim )()(lim−=→→2ln 222ln 2limb bx x x x −=−=→，显然（B）不正确，则,1=a 且 3002sin arctan lim )()(lim x b x x x g x f x x −=→→302][sin ][arctan lim x b x x x x x −−−=→ 33302]61[]31[lim x b x x x −−−=→,131261lim 330=−=−=→b xb x x 故应选（D）. 12. 【解】应选（C）. k x x cx x x x g x f 3sin sin 3lim )()(lim00−=→→k x cxx x x x ]33[sin ]3sin 3[lim 0−−−=→ k x kx cx x cx x x 303304lim 6)3([)]61(3[lim →→=−−−=13. 【解】应选（D）（A）)(21)](21[)](211[1222244242x x x x x x ex x οοο+−=++−++=−+ （2阶）或]1[]11[1242422−−−+=−+x x ex ex 22~24x x −2~2x −（B）221~)cos 1(tan sin tan x x x x x x −=− （3阶） （C）3sin 02sin 02)(sin 31~sin x dt t dt t xx =∫∫ （3阶）（D）25cos 1023cos 1023)cos 1(52~sin x dt t tdt xx −=∫∫−−252)21(52~x （5阶）14.【解】应选（A）. 验证知2,1π±==x x 为)(x f 的无穷间断点，而1)(lim ,1)(lim 00−==−+→→x f x f x x .15.【解】应选（D）.)(x f 在1,0±=x 处可能间断，验证可知1−=x 为无穷间断点.16.【解】应选（C）. xx x x x f xln )1(1)(+−=在1,0,1−=x 处没定义，x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=−→−→−→=∞=+=+−→−→11lim ln )1(ln lim 11x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 000+−=+−=→→→111lim ln )1(ln lim 00=+=+=→→x x x x x x x x x x x e x x x x x f xx x xx x ln )1(1limln )1(1lim )(lim ln 111+−=+−=→→→=2111lim ln )1(ln lim 11=+=+→→x x x x x x x x 故0=x 和1=x 为可去间断点. 17.【解】 应选（C）. 由函数be x a x xf x+−+=122)1)(()(在),(+∞−∞上有一个可去间断点和一个跳跃间断点可知，0<b ，否则)(x f 只有一个间断点.0=x显然0=x 是)(x f 的一个间断点，而另一个间断点只能是.1=x 而.e b −=,)(lim 20ea x f x =−→ .0)(lim 0=+→x f x ee x a x xf xx x −−+=→→12211)1)((lim)(lim e e x a x x −−+=→112)1(lim )1(e a e xa xx 21212111lim )1(+−=−+=→则1=x 为可去间断点，而0≠a 时，0=x 为跳跃间断点。
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2013硕士研究生考研讲义数学强化班(海天版)
′′ ( x, y ) 、 f yx ′′ ( x, y ) 称为二阶混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数. 其中 f xy
以上的偏导数统称为高阶偏导数. 4. 可微 定义 如果函数 z= f (x, y)在点(x, y)的全增量 Δz= f(x+Δx, y+Δy)−f(x, y) 可表示为
xy ，试证极限 lim f ( x, y ) 不存在． x →0 x + y2
2
y →0
【 证 】 这 个 证 明 过 程 比 较 经 典 , 请 记 住 . 当 P ( x, y ) 沿 着 直 线 y = kx 趋 于 点 (0,0) 时 ， 有
lim
x →0 y = kx →0
xy kx 2 k = = lim 2 ，结果随 k 的变化而变化，故二重极限 lim f ( x, y ) 不存在． 2 x →0 x →0 x + k 2 x 2 x +y 1+ k 2
x → x0 y → y0
y)−A|<ε 成立, 则称 A 为函数 f(x, y)当(x, y)→(x0, y0)时的极限, 记为 lim f ( x, y ) = A .这极限也称为二重极
限. 这里有两点说明. 第一，二元函数的极限怎么计算？在考研中这个要求不高.举个例子. 【例 1】设 f ( x, y ) = ⎨
x
2
2
∂2 z . ∂x∂y
第三节
1、极值与最值的概念 极值定义
多元函数的极值与最值问题的理论
本部分是这几年的重要考点，几乎都是大题，分值很高，请大家关注. 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于 ( x0 , y0 ) 的点
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张宇2013考研数学辅导讲义高等数学第1,2章习题详解(理工类)
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2020考研高等数学0基础电子讲义-武忠祥
ln(− x)
=
−
1. 2
1
综上可知， lim⎜⎛ ln(1 + x) ⎟⎞ex −1 = 1 .
x→0⎝ x ⎠
e
【解 2】
【例 3】(2013 年，数二，4 分)
1
lim⎜⎛ 2 − ln(1 + x) ⎟⎞ x = _________ .
1
[e2 ]
x→0⎝
x⎠
【例 4】(2010 年，数一，4 分)
3）泰勒公式
(1)
ex
=1+
x
+
x2 2!
+L+
xn n!
+
o(xn )
(2)
sin
x
=
x
−
x3 3!
+
L+
(−1)n−1
x 2 n −1 (2n −1)!
+
o( x 2 n−1 )
(3) cos x = 1− x2 + L + (−1)n x2n + o(x2n )
2!
(2n)!
(4) ln(1+ x) = x − x2 + L + (−1)n−1 xn + o(xn )
2020 年考研高等数学基础
武忠祥 教授 (2019 年 1 月)
第一篇 考研数学高分导学
（一） 复习策略
以下通过一个常考的专题，即求极限，分析如何复习考研数学才能得高分，考研数学复习
到什么程度才能得高分.
求极限常见的是七种类型不定式，即 0 ， ∞ ，0 ⋅ ∞ ，∞ − ∞ ，1∞ ，∞0 ，00 ，其重点 0∞
1
2024考研数学李林高等数学辅导讲义解析
2024考研数学李林高等数学辅导讲义解析一、概述2024年考研数学高等数学一直是考研学子备战考试的焦点。
为帮助考生更好地掌握数学知识，提高解题能力，李林老师精心编写了高等数学辅导讲义。
本文将对李林老师的辅导讲义进行解析，帮助考生更好地理解和应用这些知识。
二、讲义内容概述李林老师的高等数学辅导讲义分为多个章节，涵盖了高等数学的各个知识点，包括微积分、多元函数、级数、常微分方程等内容。
讲义内容扎实，逻辑严谨，既包括基础知识的讲解，也包括典型例题的分析和解答，适合考生系统复习和巩固知识点。
三、微积分部分1.极限与连续讲义对极限与连续的概念进行了详细介绍，从基本概念到极限存在的条件，再到连续性的定义和性质，帮助考生理解和掌握这一重要知识点。
讲义中还包括了大量例题分析，帮助考生加深对极限与连续的理解，提高解题能力。
2.微分与微分中值定理针对微分的定义和微分中值定理等内容，讲义中提供了详细的公式推导和典型例题讲解，帮助考生掌握微分的概念和性质，熟练运用微分中值定理解决实际问题。
3.不定积分与定积分在不定积分与定积分部分，讲义重点讲解了换元积分法、分部积分法等解题技巧，并结合典型例题进行深入分析，帮助考生掌握积分的计算方法和技巧，提高解题效率。
四、多元函数部分1.多元函数的概念与性质讲义对多元函数的概念、多元函数的极限、连续性、偏导数等内容进行了系统介绍，并结合实际问题进行讲解，帮助考生理解多元函数的重要性及其在实际问题中的应用。
2.方向导数与梯度在方向导数与梯度的部分，讲义对方向导数的定义、计算方法和梯度的概念进行了详细讲解，并提供了大量例题进行分析，帮助考生掌握这一知识点的计算方法和应用技巧。
五、级数部分1.数项级数的收敛性与敛散性讲义对数项级数的收敛性与敛散性进行了全面介绍，包括正项级数的收敛判别法、一般项级数的审敛法等内容，帮助考生系统掌握级数收敛性的判别方法，提高解题能力。
2.幂级数与傅立叶级数在幂级数与傅立叶级数部分，讲义介绍了幂级数的收敛半径、函数展开成幂级数的方法，以及傅立叶级数的基本概念和性质，帮助考生理解级数在实际问题中的应用。
蔡子华解析2007年考研数学试题 平均分75左右
蔡⼦华：各位⼴⼤考⽣，⼤家好。
⼀年⼀度的考研已经结束，现在我只是在上得到了部分题⽬，有⼀部分题⽬的准确度还值得怀疑，因此很抱歉，有些题⽬我不能绝对地说出来，因为怕引起误会，如果⼤家有问题，我们可以在上进⾏交流。
今年的题⽬难度略⾼于2006年，难度主要体现在有些题⽬的计算量⽐较⼤，⽽且也没有偏题、怪题。
我看到的这两份试卷，总体是考察考⽣的理解概念，在考察能⼒⽅⾯下了很⼤功夫。
绝⼤多数题都是常规题，在⼀些运⽤数学原理⽐较突出的情况下，这些题才可以很好地解出来。
像数⼀当中，考察考⽣的能⼒就很突出，例如把线性⽅程组的相关理论全部考察到位，这是⼀个⾮常好的题⽬。
填空题中没有难题，在选择题中也是基本上没有难题，但是是考察考⽣对数学基本原理的理解，要必须到位才能把题⽬做好。
总体来看，从现在我的学⽣的反映情况来看，普遍反映计算量⽐较⼤，有的学⽣也没有经过系统的复习，所以我的学⽣给我发短信说，今年的题⽬变化很⼤，但是我个⼈认为没有什么变化。
这和我在元⽉初在腾讯上预测的差不多，是考察考⽣的能⼒和主要的知识点上，基本上是我说的哪些内容，特别是⼤题⽬，⼀个是线性⽅程组、⼀个是向量相关问题。
像随机变量函数的分布问题今年也考了，就是说今年的难度应该不算太⼤，我预计平均分估计在75分左右，就是说这两份试卷，甚⾄会⾼于75分。
蔡⼦华：像考察考⽣的能⼒问题，像数学⼀第21、22两个常规题，数学三也是，基本上没有许多绕弯的地⽅。
总的题⽬来说，数学⼀⾥⾯微分⽅程也是常规的⽅程，也不算很难。
因为我没有看到真题，这个题⽬的准确度还值得怀疑，有些问题不好谈得太深。
像数⼀的17题，求函数在⼀个区域⾥⾯的值或最⼩值，这个题⽬在⼀般的复习班上，有经验的⽼师都应该讲过。
数⼀的18题：计算曲线积分这也是我们预见的⼀个常规题。
19题：是证明题在我们的课程当中，⽼师都应该讲了相关问题。
总体来说，这是⼏个⼤题，我们都说了，⼤题中基本上没有很难题⽬，只是有些题⽬的计算量⼤⼀些⽽已。
文都蔡子华：考研数学最后一个月咋冲刺
主持⼈：各位友⼤家好，欢迎光临搜狐嘉宾聊天室。
今天来到现场的是⽂都的考研数学辅导专家蔡⼦华⽼师，⾸先请蔡⽼师针对最后的冲刺阶段给⼤家说⼀下总体的情况。
蔡⼦华：现在离考试时间只有⼀个⽉多⼀点，这个阶段同学们的疑问很多，特别是最后应该做些什么事情，我认为⾸先应该系统地把知识再过⼀点，这是⾮常重要的。
不少考⽣反映，前⼀段时间做的题现在觉得不会做了，原因是前⼀段时间做题出现两个问题，⼀个是没有看完⼀部分内容之后紧接着做题，这样做题⽐较逊⾊⼀些。
现在时间⽐较多了之后，有很多内容就不像原来那么清晰了，所以做题出现混乱，这是正常的。
第⼆个原因，前段时间做题过程当中没有认真归纳总结，造成印象不深，所以现在再拿出同样的题，还不会做。
同学们应该将整个知识系统理⼀遍，第⼆，做题过程当中应当注意归纳总结解题⽅法。
主持⼈：这个⽉的复习重点应该放在基础上⾯吗？ 蔡⼦华：对。
应该放在基础，不光是这个⽉的重点，⽽是整个复习的重点都应该放在基础上，扎实的基础上应该下⼯夫。
最后这个⽉我已经说过，要做两件事。
第⼀件事，有必要对整个考试的内容做⼀次清理，必须要把你不清楚的地⽅搞清楚。
第⼆件事，整个数学知识的观点性要搞清楚，很多知识通过对⽐是可以知道它们的相同或者不同。
举例来说⼀元函数微分学和多元函数微分学，它们有相同的地⽅，也有不同的地⽅。
把相同、不同的地⽅辨别清楚了，那么你的概念就很清晰，印象也就很深刻，不会容易犯错误。
我前⼀段时间在成都做考前的讲座，我出了⼏个题⽬，专门考察学⽣的概念清不清楚。
结果⼤部分学⽣根本不知道，这个不是很难的问题。
这些问题⼜是历年考试中很常见的⼀些问题，说明考⽣只重视做题，⽽不重视数学理论的理解。
友：在时间分配上，数学试卷应该按怎样的⽐例分才算是⽐较合理的，怎样才能在考场上把握好时间？ 蔡⼦华：主要是客观和主观的答题时间，按照过去考试成功同学的经验，客观题花的时间应该占30?45分钟之间⽐较合适。
海文高数赵达夫强化班讲义
6
正无穷： lim f (x) ； 负无穷： lim f (x) .
x x0
x x0
2
无穷小量：
若 lim x x0
f (x) 0 ,
称
f (x) 是 x x0 时的无穷小量。
(1)
设
f (x) 、 g(x) 都是 x x0 时的无穷小量,
若且 lim xx0
f g
x x
l
，
x
（A） f (t) f (t)dt
0
（C） f '(x)
x
（B） f (t) f (t)dt
0
（D）根据上面条件无法判断
3
例 4 设函数 f (x) 具有二阶导数，并满足 f ( x) f ( x),且 f (x) f (x 1). 若
f '(1) 0, 则（ ）
(A) f ''(5) f '(5) f (5).
且
lim
n
an
0
,
lim
n
bn
1
，
lim
n
cn
,
则(
)
A an bn ,n
B bn cn , n
C
lim
n
ancn
不存在
D
lim
n
bncn
不存在
例 4 设函数 f (x) 在 , 内单调有界, {xn} 为数列, 下面命题正确的是( )
A 若{xn} 收敛，则{ f (xn )} 必收敛 B 若{xn} 单调，则{ f (xn )} 必收敛 C 若{ f (xn )} 收敛， 则{xn} 收敛 D 若{ f (xn )} 单调， 则{xn} 收敛
2023考研数学历年真题精析
同样的道理，如果考生对考研数学的试题和命题规律不了解或者不甚了解的话，那么就应该去接触考研数学 历年真题。了解的途径有多种多样，如每年教育部制订的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》（以下 简称《考试大纲》）、试题、答案、评分标准、名家评析等。
《2011考研数学历年真题精析(数学3)》内容简介：硕士研究生入学数学考试是为招收工学、经济学、管理 学硕士研究生而设置的具有选拔功能的水平考试。要求考生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数 学基本方法，具备抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解 决问题的能力。历年考研数学真题便充分体现了如何通过数学题目考查考生的“三基”及“五种能力”。每年的 真题并不能覆盖考纲中所规定的所有考点。但从多年真题的汇总可以看出：考纲规定的考点都可能考到；有些考 点却是每年都会必然考查的；试题难度随年上下浮动等等。这些印象是快速浏览真题的所得。若能仔细地做几套 历年真题，会有另一番心得：命题组老师对考点考查的方式；从一个题目揣摩命题人的本意；试题所蕴含的解题 技巧等等。若再认真地研究一下历年真题，也许正在备考的你会做出与未来真题的偏差不大的预测：选择题填空 题考哪些考点的可能性大一些；解答题的大分值分配在哪些考点上；抓住重点复习最后能得多少分等等。已经考 过的真题是把握未来真题走向的证据，通过查探其中的蛛丝马迹可达到见微知著的目的。在考研备考复习的每个 阶段中，真题都有着不可或缺的参考作用与价值！点击链接进入新版：文都教育·2012考研数学历年真题精析 (数学3)(附赠50元网校增值卡1张)
2011考研数学历年真题精析
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历年考研数学高等数学基础讲义
考研数学高等数学基础讲义目录第一讲极限 (1)第二讲高等数学的基本概念串讲 (9)第三讲高等数学的基本计算串讲 (13)第四讲高等数学的基本定理串讲 (24)第五讲微分方程 (27)第六讲多元函数微积分初步 (29)1 第一讲 极限核心考点概述1.极限的定义2.极限的性质3.极限的计算4.连续与间断内容展开 一、极限的定义1. lim 是什么？ lim 是什么？x →∙n →∞（1）lim 的情况：x →∙①“ x → ∙ ”代表六种情形： x → x , x → x +, x → x -, x → ∞, x → +∞, x → -∞②函数极限运算的过程性——必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存在了。
比如下面这个例子：sinx sin 1 x【例】计算lim x →0. x sin 1x事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = → 0（| k | 为充分大的正整数），k πsin x s in 1 sin x s in 1 x x 使 在该点没有定义，故lim不存在. x sin 1 x x →0x sin 1x（2）lim 是什么？n →∞2.极限的定义（1）函数极限的定义：lim f (x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当0 < x →x 0x - x 0< δ 时，恒有f (x ) - A < ε1n n12注：趋向方式六种（2）数列极限定义：lim x = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N 时，恒有 x - a < ε n →∞注：趋向方式只有一种【例】以下三个说法，（1）“ ∀ε > 0 ，∃X > 0 ，当 x > X 时，恒有件；εf (x ) - A < e 10”是“ lim x →+∞f (x ) = A ”的充要条（ 2 ）“ ∀ 正整数 N ， ∃ 正整数 K ，当 0 <“ lim f (x ) = A ”的充要条件；x →x 0x - x 0 ≤ K时，恒有 f (x ) - A ≤ 1 ” 是 2N（3）“ ∀ε ∈ (0,1) ， ∃ 正整数 N ，当n ≥ N 时，恒有| x n - a |≤ 2ε ”是“数列{x n } 收敛于a ” 的充要条件；正确的个数为（）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3二、极限的性质1.唯一性（1） lim e x= ∞, lim e x= 0 ，（2）limsin x 不存在（3）lim arctan x 不存在（4）lim [x ]x →+∞x →-∞x →0xx →∞x →0不存在1- π e x 1【例】设k 为常数，且 I = lim x →0+k ⋅ arctan 存在，求 k 的值，并计算极限 I 。
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海文名师蔡子华根据新大纲指导考研数学复习
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2010年硕士研究生入学考试数学考试大纲已面市。
相比于2009年的考纲，2010年考纲无变化，这也体现了研究生考试对考生要求的稳定性。
数学考试大纲是考生复习的参照，因此，考生在备考中一定要注意以下几点：
1、认真按考纲规定的内容与要求进行复习，做到复习时内容不遗漏。
也不要超纲复习，现在市面上有的考研复习指导书很多内容超纲，而考试内容是没有超纲的，考生若按这样的书复习，就会偏离正确的复习方向，造成不必要的损失。
2、认真按考纲的要求打好基础，历年考研数学真题非常重视考查考生对数学理论的理解。
因此，考生在复习时一是要认真钻研教材中的相关数学理论，只有理解了它才会正确的使用它来解题，不要片面追求答题技巧，更不要相信什么思维定势，生搬硬套是永远也不会解题的。
3、要认真进行客观题和主观题的训练，在做题的过程中加深对数学理论的理解。
做完题后的归纳总结甚至比做题花的时间更多才有收获，不要盲目搞题海战术。
专题训练应在十月底前完成。
4、要认真做历年真题，1997年以后的真题特别是2003年以后的真题参考价值更高，做真题要一套套地做，这样一是可以检验复习水平。
可以粗略估计以下分。
另外为合理安排考场上答题时间积累经验。
这个过程应在十二月初完成。
5、最后的一个月的时间是冲刺阶段。
这个时间段内考生要重温一遍教材，查遗补漏，将知识条理化、系统化。
这个阶段还可以做八套左右的难度适中的模拟题，千万不能做太难太偏的模拟题，不然会做无用功甚至对参考失去信心的。
以上意见纯属一家之言，仅供参考。
祝广大考生考研成功!。