一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵

9.3 一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵

1.杆端内力与位移关系回顾

（轴向）；

；（弯曲）；

2.公式推导（图1）

图1 杆件性质：长度l，截面面积A，截面惯性矩I，弹性模量E；杆端位移u、v、θ。

（1）

（2）列成矩阵形式：

（3）

即：（4）局部坐标系下单元刚度矩阵：

（5）

9.4 梁单元

1.简支梁

简支梁单元见图1。

图1

说明：（a）梁单元通常忽略轴向变形；（b）图10-3中；相应的力分量也应该为零；（c）依据刚度矩阵的物理意义，可以由一般单元的刚度矩阵生成梁单元矩阵。即去掉位移分量为零

的相应行和列。

即：单元刚度方程：单元刚度矩阵：

（1）

2.悬臂梁等

思考：建立图2的单元刚度矩阵：（固定端位移为零；自由端有转角和竖向位移)

图2

图a：图b：

3.桁架

仅有轴向位移

9.5 单元刚度系数的物理意义

1.单元刚度系数的意义

一般地，第j 个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为0 时所引起的第i个杆端力分量的值。

例：的物理意义：当第3个杆端位移分量时引起的第5个杆端力分量。

对称性

（反力互等定理）

3.奇异性（，不存在逆矩阵）

根据式可由杆端位移求解杆端力，且是唯一解。但由杆端力求杆端位移，可能无解，如有解也是非唯一解。

说明：已知6个杆端力分量，（a）无法保证力状态的合法性——可能造成无解；（b）无法确定杆的支承条件——可能造成非唯一解。

9.6 单元坐标转换矩阵的物理意义

1.问题的提出

单元刚度矩阵——单根杆；多根根组成的复杂结构呢？（图1）

图1 分析（a）从数学的角度理解整体坐标系（xy）与局部坐标系（）的区别；

（b）力分量应向整体坐标系转换，图f给出了两种坐标系下力分量之间的数学关系：

。

同理：

2.公式推导

矩阵形式：

（1）同理：（2）

其中：为单位坐标转换矩阵。

3.［T］的特性

正交矩阵：其逆矩阵等于转置矩阵，即。

α＝0时，（单位矩阵）。

9.7 整体坐标系单元刚度矩阵

1.整体坐标系中的单元刚度矩阵

两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系为：

单元刚度矩阵的性质：同局部坐标系下。

2.实例

例10-1：图1结构，已知单元（1）、（2）在局部坐标系（杆件箭头方向）中的单元矩阵如下（单位：长度m，角度rad，力kN），求各单元在整体坐标系下的刚度矩阵。

图1

分析：→求［T］→求α→依据图形。

解：（1）单元1：α＝0，（2）单元2：α＝90

；

（3）单元2：α＝120

；

注意：图中单元的方向，计算时宜取与整体坐标系相同（转角以逆时针为正）。思考图2的求解。

图2

9.8 位移法建立整体刚度矩阵

1. 回顾

（1）连续梁的特点：并考虑杆件的轴向变形；一般情况下，结构仅有转角位移。

（2）两端固定的梁，在近端有一转角θ，相应产生杆端弯矩：4iθ（近端）和2iθ（远端）。

2. 公式推导

图1两跨连续梁。

图1

结点力与结点力偶的关系见表1。

表1

位移

M1 M2 M3 结点力偶

θ1 4i1θ1 2i1θ1 0

θ2 2i1θ2 （4i1+4i2）θ2 2i2θ2

θ3 0 2i2θ3 4i2θ3 矩阵形式：

记为：――整体刚度方程

其中：――整体刚度矩阵

注意：红、绿框中分别是单元（1）和（2）的单元刚度矩阵。

3.单元集成法的概念

基本思路：考虑单元独立贡献，再叠加。如图1。

图1 基本过程：局部单元刚度矩阵→单元贡献矩阵→整体单元刚度矩阵

；

4.单元定位向量的概念

总码（整体分析）：结点位移在结构中统一编码，如1，2等；

局部编码（单元分析）：单元结点位移，如（1），（2）等。

单元定位向量（λ）：单元结点位移的总码组成的向量。

具体见图2和表1。

图2

表10-1

单元局部码→总码单元定位向量（λ）

（1）→1

①

（2）→2

（1）→2

②

（2）→3

（i）→r

任意单元

（j）→s

5.实例分析

求图10-11连续梁的整体刚度矩阵。

图10-11

分析：固定端总码为0；总码的最后编号为n，则整体刚度矩阵为n×n阶。

解：见表10-3

单元单元刚度矩阵定位向量单元贡献矩阵整体刚度矩阵

①

②

③

6.整体刚度矩阵的性质

Kij――第j 个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为0 时所引起的第i个杆端力分量的值。

［K］是对称矩阵、可逆矩阵、和带状稀疏矩阵（非零元素集中在主对角线两侧的局部带宽之内）。

9.9刚架整体刚度矩阵刚结点

1．问题的引出

（a）连续梁建立方法：单元刚度矩阵通过单元定位向量形成整体刚度矩阵。

（b）刚架与连续梁的区别：考虑轴向变形（有水平竖向位移）。

（c）必须采用整体坐标系，统一各杆的方向。

2．建立过程：编码→单元定位向量→单元集成

编码原则：

已知位移分量为零的，总码为零；

位移分量不为零的，总码（每个结点）按顺序：水平位移→竖向位移→转角位移；其方向由整体坐标系的方向确定。一般结点顺序可按：刚结点→支座；左→右；上→下。