函数和方程、数形结合

高中数学思想—函数和方程、数形结合

知识点：函数与方程，数形结合的数学思想

考点：几种常见题型：构造函数，不等式，最值问题，位置关系

能力：变量间关系的理解和分析；数学语言与直观的图像结合

方法：启发式

教学重难点：变量间关系的理解和分析

第一讲函数与方程思想

1．函数的思想

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。

2．方程的思想

方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

3．函数思想与方程思想的联系

函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。

4．函数与方程思想解决的相关问题

（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：

①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；

②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。

（2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： ①解方程或解不等式；

②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；

③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系； ④构造方程或不等式求解问题。

5.导数函数在解题中常用的有关结论（需要熟记）：

1、曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为

000()()()y f x x x f x '=-+。

2、若可导函数()y f x =在 0x x =

处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。

3、对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。

4、函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ∀∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不恒为0）.

5、函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。（若()f x '为二次函数且I=R ，则有0∆>）

。 6、 ()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或

()f x '0≤在I 上恒成立

7、若x I ∀∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ∀∈，()f x 0<恒成立，则

max ()f x 0<

8、若0x I ∃

∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ∃∈，使得0()f x 0<，则

min ()f x 0<.

9、设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ∀

∈D ()()f x g x >恒成立，则有

[]min ()()0f x g x ->.

10、若对11x I ∀∈、22x I ∈ ，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ∀

∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.

11、已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，

若对11x I ∀

∈,22x I ∃∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ⊆。

12、若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大

于0，极小值小于0.

题型一（运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题） 例1、若a 、b 是正数，且满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围。

变式：已知1F ，2F 分别为22

221x y a b

-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支

A. 上任一点，若 2

1

2

PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A .(1,2]

B (1,3]

C [2,3]

D [3,)+∞ 题型二（运用函数与方程思想解决方程问题） 例2、已知函数2

11

()2cos cos

cos 2,222

x f x x x =+-2()cos (1cos )cos 3.g x x a x =++--