函数和方程、数形结合
函数与方程思想在初中数学解题中的应用
函数与方程思想在初中数学解题中的应用张猛【内容提要】：函数与方程思想是初中数学中的基本思想。
它们密切相关，有时需要互相转化来解决问题。
本文对初中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体案例说明了函数与方程思想在初中数学解题中的应用。
关键词：函数；方程；函数与方程思想应用案例数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。
近年来中考考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。
其中，函数与方程思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。
学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程思想。
一：函数与方程思想的地位与作用函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。
在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。
用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。
函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。
目前初中阶段主要数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想、图形运动思想、数学模型思想。
函数与方程思想，既是函数与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数，相等与不等过程中的基本数学思想。
本文例析函数与方程思想在解题中的应用:二：函数与方程思想的应用案例通过整理与归纳，可以发现，在数学解题中，函数与方程思想常用于以下几类问题的解决。
1 求代数式的值例1 已知22a b ==+求22(3124)(2813)a a b b -+-+的值。
解：因为24,1,,410a b ab a b x x +==-+=所以为方程的两个根。
当x a =时，2410.a a -+=可得2231243(41)11a a a a -+=-++=；当x b =时，222410.28132(41)1111b b b b b b -+=-+=-++=可得∴ 原式=1⨯11=11。
初中数学思想
中学数学思想数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
1、函数方程2、数形结合3、分类讨论4、整体思想5、转化思想6、类比思想7、建模思想8、归纳推理9、概率统计思想10、极限思想一、方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题。
二、数形结合“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。
把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。
三、分类讨论当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量或图形的各种情况进行分类讨论。
比如解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。
四、整体思想从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
五、转化思想（划归思想）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。
常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。
转化思想亦可在狭义上称为划归思想。
化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B，通过解决问题B来解决问题A的方法。
常用的数学思想和方法
不怕难题不得分，就怕每题扣点分！常用的数学思想和方法一．数学思想：1．数形结合的思想；2．分类与整合的思想；3．函数与方程的思想；4．转化与化归的思想；5．特殊与一般的思想；6．有限与无限的思想；7．或然与必然的思想；8．正难则反的思想．二．数学基本方法：配方法、换元法、反证法、割补法、待定系数法；分析法、比较法、综合法、归纳法、观察法、定义法、等积法、向量法、解析法、构造法、类比法、放缩法、导数法、参数法、消元法、不等式法、判别式法、数形结合法、分类讨论法、数学归纳法、分离参数法、整体代换、正难则反、设而不求、设而求之．【解题时：方法多，思路广，运算准，化简快．】三．数学逻辑方法：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等．【也称数学思维方法．】四．选择题的方法：四个选项有极大的参考价值！千万不要小题大做！①求解对照法(直接法)；②逆推代入法(淘汰法)；③数形结合法(不要得意忘形)；④特值检验法(定值问题)；⑤特征分析法(针对选项)；⑥合理存在性法(针对选项)；⑦逻辑分析法(充要条件)；⑧近似估算法(可能性)．五．填空题的方法：①直接法；②特例法(定值问题)；③数形结合法；④等价转化法．六．熟练掌握数学语言的三种形式：自然语言、符号语言、图形语言的相互转化．七．计算与化简：这是一个值得十分注意的问题！平时的训练中，要多思考如何快速准确的计算和熟练的化简！八．学会自学！课堂上不可能把所有的题型都讲到！所以要多看例题，多思考！看之前一定要想自己会怎么做！怎么看：一看解题思路【看完后要归纳步骤、总结方法】，二看规范表达【尽量学会使用数学语言、符号】．学会总结归类：①从数学思想上归类；②从知识应用上归类；③从解题方法上归类；④从题型类型上归类．【特别提醒】1．一道题有没有简便解法，关键就在于你能不能发现其中的一些条件的特殊性，并能加以灵活运用！（灵机一动）【转化、联想、换元等，另外，解题时有时对一些细节的处理也很关键，会起到峰回路转、柳暗花明的作用．】2．解函数、解析几何、立体几何的客观题，应特别注意数形结合思想的运用！但在解答题中，不能纯粹只凭借图象来解答问题；图象只起到帮助找到解题思路的作用【图象尽量画准，甚至在有时给出图象时也需要自己重新准确画一遍】；解题过程还是要进行严谨的理论推导【用数学语言表达】，不能纯粹以图象代替推理、证明．3．转化数量关系时，若是写不等式，则要注意是否可以取“=”．特别是求取值范围时，端点一定要准确处理．4．平常做解答题应该做完整：解题过程的表达是否流畅、简洁．否则到考试时，还需为如何组织语言表达去思考而耽误时间．这是平时训练值得注意的【条理分明、言简意赅、字迹工整】！表达也是思维的一部分！5．在解答题中，某些局部问题解答过程的书写的详略，取决于整个解题书写过程的长短：长则略写，可用易证、易知等字眼；短则详写．如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明．6．在设置有几问的解答题中，后面问题的解决有时候依赖于如何灵活运用前面已解决的问题的结论．有些解答题某一问貌似与前面无关，实则暗【明】示你必须把它与前面联系起来，才能解决问题．7．平常要多积累解题经验和解题技巧．熟记一些数学规律和数学小结论对解题也是很有帮助的．8．数学总分上不上得去，很大程度上取决于选择题、填空题得分高不高．而选择题、填空题更注重对基础知识，基本数学思想、方法和技能的全面考察．因此，要熟练掌握解选择题、填空题的特有方法：在解选择题或填空题时，优秀的解题方法更显得重要．建议每天做一份选择、填空题，花大力气提高解选择、填空题的准确率和速度．【注意：选择题的四个选项中有且只有一个是正确的，是一个需要特别重视的已知条件．】9．可以在专门的笔记本上，收集作业、考试中的错题，学习中遇到的经典题，便于日后考前复习巩固．⒑作业本上的错题、试卷上的错题一定要及时更正！做错了不可怕，可怕的是做错了不去纠正！我的成功归功于精细的思考，只有不断地思考，才能到达发现的彼岸。
高考数学：数学解题七大基本思想方法
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高考数学：数学解题七大基本思想方法数学学科有自己独特的思维模式，所以在解决数学问题时，就要以数学的基本方法去考虑，这样才能在最有效的时间内答对题目。
第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用(2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面(2)在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准(3)划分只是手段，分类研究才是目的(4)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5)高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想(1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路(2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向(3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用(4)随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想(1)随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2)偶然中找必然，再用必然规律解决偶然(3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。
数学方法与思想方法
数学方法与思想方法数学方法与思想方法数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。
以下是店铺整理的数学方法与思想方法，希望能够帮助到大家！初中数学常见的思想方法1初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．（1）转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．（2）数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数”）与直观的图象（“形“）结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．（3）分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如，初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块，并分别采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现．具体而言，实数的分类，方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等，都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．（4）函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外，初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法：（1）几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；（2）几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；（3）几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
数形结合在函数和方程中的应用-课件
数形结合方法解题就是在解决和几何图形有关的问题时，将图形信息转换 成代数信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量相关的 问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题. 从而利用数形的辨证统一和各自的优势尽快地得到解题途径.
2.基本函数图象及性质：
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的图象及性质.
二.例题讲评： (一)数形结合在函数中的应用
1.若奇函数f(x)在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区 间 [-7，-3]上是（ ）C
A.增函数且最小值为-5；
B.减函数且最小值为-5；
C.增函数且最大值为-5；
D.增函数且最小值为-5；
著名的数学家华罗庚说过：
“数缺形时少直观，形少数时难入微.”
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021 10:27:07 AM
出该函数的草图或示意图，即以形助数；如果给定了函
数图象，我们可以联想到与之相对应的函数解析式，即
由数思形.
小结2：在确定超越方程的根的个数或含参数的方程的根的情况
时，应由数思形，观察该方程对应的在同一坐标系中两 个函数图象的交点个数或交点的情况即可；如果已知含 参数的方程的根的情况，应由数思形，画出该方程对应 的函数的示意图，再由形思数，挖掘出不等式或不等式 组，从而求出参数的取值范围.
y
y
y
y
O
x
A
数形结合思想在函数、方程和不等式中的渗透
数形结合思想在函数、方程和不等式中的渗透湖北省长阳土家族自治县第二高级中学 刘军华 443500数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。
在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，揭示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法称之为数形结合的思想方法。
这样就把抽象的数学语言与直观的图形结合起来进行思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，从而利用数形的辩证统一，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
借助数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
笔者将从几个方面来体现数形结合思想的优越性和重要性。
【问题1：函数的最值】1．（2006浙江卷）对R b a ∈,，记函数⎩⎨⎧=a b a a b a ,,|,|max 则函数)(||2||,1||max )(R x x x x f ∈-+=的最小值是。
【分析】方法一：写出函数的表达式，求分段函数的最小值。
方法二：根据函数的意义，这是一个所谓“取大”的问题。
-数学思想(方程、函数、数形结合、整体、分类、转化)(1)
中考数学二轮复习重要考点精析数学思想一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点一：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
例1如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．思路分析：（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在△Rt ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x-2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x-2，在△Rt ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x-2）2+x2=42，解得：x1=1+7，x2=1-7（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+7．点评：此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．对应训练1．某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在△Rt ACD中，∠CAD=30°，．则 AD= 3 CD= 3 x ，在 △Rt BCD 中，∠CBD=45°，则 BD=CD=x ，由题意得， 3 x -x=4，4解得：x= 3 - 1 =2（ 3 +1）≈5.5．答：生命所在点 C 的深度为 5.5 米．考点二：函数思想函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数与方程思想和数形结合思想
函数与方程思想和数形结合思想主干知识整合1．函数与方程思想(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决；(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决；(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系．2．数形结合思想(1)根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面；(2)数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程；(3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野． 【百度百科】函数思想/view/2045453.htm 【百度百科】属性结合/view/134322.htm 要点热点探究► 探究点一 列方程（组）解题例1 (1)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90(2)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.【分析】 (1)根据数列中的基本量方法，列方程组求数列的首项和公差；(2)根据弦长公式建立关于p 的方程．(1)C (2)2 【解析】 (1)由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，得2a 1＋3d ＝0，再由S 8＝8a 1＋562d ＝32得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋902d ＝60.故选C.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知过焦点的直线方程为y ＝x －p2，联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，消元后得x 2－3px ＋p 24＝0.又|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，解得p ＝2.► 探究点二 使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5，则数列{a n }前n 项和S n 的最大值是________．(2)长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立S n 关于n 的函数；(2)将向量坐标化，建立m ＋n 关于动向量OC →的函数关系．(1)4 (2)233 【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2.S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA →＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3≤233. 变式题若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)B 【解析】 e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.► 探究点三 联用函数与方程的思想例3 已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)．(1)设a >0，问是否存在x 0∈⎝⎛⎭⎫－1，a3，使得f (x 0)>g (x 0)？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由；(2)记函数H (x )＝[f (x )－1]·[g (x )－1]，若函数y ＝H (x )有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．【解答】 (1)假设存在，即存在x 0∈⎝⎛⎭⎫－1，a3，使得， f (x 0)－g (x 0)＝x 0(x 0－a )2－[－x 20＋(a －1)x 0＋a ]＝x 0(x 0－a )2＋(x 0－a )(x 0＋1)＝(x 0－a )[x 20＋(1－a )x 0＋1]>0，当x 0∈⎝⎛⎭⎫－1，a3时，又a >0，故x 0－a <0， 则存在x 0∈⎝⎛⎫－1，a 3，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0， ①当a －12>a 3即a >3时，⎝⎛⎭⎫a 32＋(1－a )⎝⎛⎭⎫a 3＋1<0得a >3或a <－32，∴a >3； ②当－1≤a －12≤a 3即0<a ≤3时，4－(a －1)24<0得a <－1或a >3，∴a 无解．综上：a >3.(2)据题意有f (x )－1＝0有3个不同的实根，g (x )－1＝0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．(i)g (x )－1＝0有2个不同的实根，只需满足g ⎝⎛⎭⎫a －12>1⇒a >1或a <－3； (ii)f (x )－1＝0有3个不同的实根，①当a3>a 即a <0时，f (x )在x ＝a 处取得极大值，而f (a )＝0，不符合题意，舍；②当a3＝a 即a ＝0时，不符合题意，舍；③当a 3<a 即a >0时，f (x )在x ＝a3处取得极大值，f ⎝⎛⎭⎫a 3>1⇒a >3322；所以a >3322； 因为(i)(ii)要同时满足，故a >3322.(注：a >334也对)下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x 0使得f (x 0)－1＝0和g (x 0)－1＝0同时成立； 若存在x 0使得f (x 0)＝g (x 0)＝1， 由f (x 0)＝g (x 0)，即x 0(x 0－a )2＝－x 20＋(a －1)x 0＋a ，得(x 0－a )(x 20－ax 0＋x 0＋1)＝0，当x 0＝a 时，f (x 0)＝g (x 0)＝0，不符合，舍去； 当x 0≠a 时，即有x 20－ax 0＋x 0＋1＝0 ①；又由g (x 0)＝1，即－x 20＋(a －1)x 0＋a ＝1 ②； 联立①②式，可得a ＝0；而当a ＝0时，H (x )＝[f (x )－1]·[g (x )－1]＝(x 3－1)(－x 2－x －1)＝0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当a >3322时，函数y ＝H (x )有5个不同的零点．变式题函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2(a >0)，满足f (x )<g (x )的整数x 恰有4个，则实数a 的取值范围是________．⎝⎛⎦⎤4916，8125 【解析】 在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2的图象，则由两个函数的图象可知，y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象在区间(0,1)内总有一个交点，令：h (x )＝f (x )－g (x )＝(4－a )x 2－4(2x －1)2<ax 2的解集中的整数解恰有4个，则需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)<0，h (5)≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧49－16a <0，81－25a ≥0⇒4916<a ≤8125.► 探究点四 以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，－1B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离．(1)A (2)A 【解析】 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4(x <－3)，2x ＋2(－3≤x <1)，4(x >1).画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.(2)点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，代入y 2＝4x 得x ＝14，故点P 坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1，正确选项为A.► 探究点五 数量分析解决图形问题（以数助形）例5 (1)下列四个函数图象，只有一个是符合y ＝|k 1x ＋b 1|＋|k 2x ＋b 2|－|k 3x ＋b 3|(其中k 1，k 2，k 3为正实数，b 1，b 2，b 3为非零实数)的图象，则根据你所判断的图象，k 1，k 2，k 3之间一定成立的关系是( )图22－1A．k1＋k2＝k3B．k1＝k2＝k3 C．k1＋k2>k3D．k1＋k2<k3(2)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是()图22－2【分析】(1)含有绝对值问题的函数，常去绝对值，转化为分段函数来解决；(2)乌龟的速度是恒定的，表现在时间和路程的图象上是直线上升的，这个过程没有变化；兔子的速度也是恒定的，表现在时间与路程的图象上也是直线上升的，并且比乌龟的时间和路程的图象上升的要快，但中间一段时间内，函数图象是水平的．(1)A(2)B【解析】(1)当x足够小时，y＝－(k1＋k2－k3)x－(b1＋b2－b3)，当x足够大时，y＝(k1＋k2－k3)x＋(b1＋b2－b3)，可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有③符合条件．此时k1＋k2－k3＝0.(2)根据时间和路程的关系以及乌龟首先达到目的地，故选B.规律技巧提炼1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当试题与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过形分析这些数量关系，达到解题的目的．4．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．。
常用的数学思想方法有哪些
常用的数学思想方法有哪些数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法, 在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。
<一>常用的数学方法：配方法，换元法，消元法，待定系数法；<二>常用的数学思想：数形结合思想，方程与函数思想，分类讨论思想和化归与转化思想等。
<三>数学思想方法主要来源于：观察与实验，概括与抽象，类比，归纳和演绎等一、常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想。
函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础。
运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
2．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。
分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 。
引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。
4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
数形结合思想在函数与方程中的应用
数形结合思想在函数与方程中的应用数形结合思想，就是把代数中的数与几何中的形结合起来理解问题，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想在高考数学中占有重要地位。
下面练习利用数形结合思想解决函数与方程问题（一）数形结合在函数中的应用例1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，则f(x)在区间内是( )2A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0解析由f(x＋1)＝f(－x)可知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又函数f(x)为奇函数，故f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，又当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，故可得到函数f(x)的大致图象如图所示.由图象可知选B.2答案 B例2.已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.解析y＝＝＝函数y＝kx过定点(0，0).由数形结合可知：0＜k＜1或1＜k＜k，OC∴0＜k＜1或1＜k＜2.答案 (0，1)∪(1，2)例3.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A.9B.10C.11D.18解析：在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.答案 B[点评] 解决本题的关键是在同一坐标系中准确画出两函数的图象，有几个交点，原函数就有几个零点.1.数形结合在方程中的应用例4.已知点在函的图象上，且．求方程解的个数。
思路分析方程解的个数问题，用数形结合思想，其实是画出图像求图像交点个数答案：3解析：，画出及的图像，方程解的个数既为函数图像交点的个数，由图像知原方程有3个解。
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。
而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。
可以说，函数的研究离不开方程。
列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
浅谈初中函数教学中的 “数形结合”思想方法
（追问）T: ⑸你能从解析式出发给出证明吗？
在上面的教学设计中，教师借助几何画板课件，帮助学生形象直观的理解了反比例函数图象的变化规律，发现变化过程中的特殊点的，自然的归纳出反比例函数增减性的性质及自变量的取值范围，并且通过结合符号语言和解析式全方位诠释增减性的意义。学生不但理解而且记忆，而且途径全面，更好的感受到函数的三种表示方法的整体一致性。
浅谈初中函数教学中的“数形结合”思想方法
函数是初中数学教学中的重要内容，学生初次接触函数，感觉难度大，不容易理解。那么怎样进行函数教学，学生会学的轻松一点呢？我在函数的教学过程中，针对学生的知识结构与年龄特点，结合自己的一点教学经验，谈谈函数教学中的“数形结合”思想方法。
一、数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。
（2）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。
（1）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。
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1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式，要想用好它，需要敏锐的观察、丰富的联想、创新性的思维等能力，故有一定的难度，高考中常见的构造对象有构造数学模型（即实际问题数学化）、构造方程、构造恒等式、构造函数、构造数列、构造图形、构造反例等。
六，整体的思想方法
人们在研究某些数学问题时，往往不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能、或作种种处理以后，达到顺利而以简捷地解决问题的目的，象这种从整体观点出发研究问题的思维活动过程，我们称它为“整体的思想方法”.
解题方法指导:1.运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径.
2.运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，又有逆向的；在思维形态上，既有集中的又有发散的，既有直观的，又有抽象的.
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。
函数与方程思想、数形结合思想
第1讲函数与方程思想、数形结合思想数学思想解读1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系，相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.热点一函数与方程思想应用1求解不等式、函数零点的问题【例1】(1)(2017·衡阳联考)设0<a<1，e为自然对数的底数，则a，a e，e a－1的大小关系为()A.e a－1<a<a eB.a e<a<e a－1C.a e <e a －1<aD.a <e a －1<a e(2)(2017·衡水中学质检)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －6.若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)设f (x )＝e x －x －1，x >0，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (0)＝0，f (x )>0， ∴e x －1>x ，即e a －1>a .又y ＝a x (0<a <1)在R 上是减函数，得a >a e ， 从而e a －1>a >a e .(2)由f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为4， 因为当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－6.所以若x ∈[0，2]，有－x ∈[－2，0]， 则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x－6＝3x －6，因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝3x －6，x ∈[0，2]， 由f (x )－log a (x ＋2)＝0得f (x )＝log a (x ＋2)， 作出函数f (x ) 的图象如图.当a >1时，要使方程f (x )－log a (x ＋2)＝0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f (x )与g (x )＝log a (x ＋2)有3个不同的交点，则满足⎩⎨⎧g （2）<f （2），g （6）>f （6），即⎩⎨⎧log a 4<3，log a 8>3，解得34<a <2，故a 的取值范围是(34，2).答案 (1)B (2)(34，2)探究提高 1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决. 【训练1】 (1)设函数f (x )＝x 2－cos x ，则方程f (x )＝π4所有实根的和为( ) A.0 B.π4 C.π2D.3π2(2)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析 (1)由f (x )＝x 2－cos x ＝π4，得x 2－π4＝cos x ， 令y ＝x 2－π4，y ＝cos x .在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0.∴方程f (x )＝π4的实根之和为π2. (2)由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 联立⎩⎨⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0.依题意，Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8(a ＝0舍去). 答案 (1)C (2)8应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】 (2017·深圳调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＋a 4＝14，且a 1，a 2，a 7成等比数列.(1)求{a n }的通项公式a n 与前n 项和公式S n ；(2)令b n ＝S nn ＋k ，若{b n }是等差数列，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n 的最小值.解 (1)a 1＋a 4＝2a 1＋3d ＝14，由a 1，a 2，a 7成等比数列得a 1(a 1＋6d )＝(a 1＋d )2，整理得d 2＝4a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝4a 1，由d ＝4a 1与2a 1＋3d ＝14联立，解得a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －3，S n ＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n .(2)由(1)知b n ＝2n 2－nn ＋k ，∵{b n }为等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，代入可解得k ＝－12或k ＝0，当k ＝－12时，b n ＝2n ，则1b n b n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n4（n ＋1），又y ＝x 4（x ＋1）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴当n ＝1时，T n 有最小值18. 当k ＝0时，b n ＝2n －1，则1b n b n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1.又y ＝x 2x ＋1＝12＋1x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴当n ＝1时，T n 取到最小值13. 综上，当k ＝－12时，T n 的最小值为18； 当k ＝0时，T n 的最小值为13.探究提高 1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求T n ，构造函数，利用单调性求T n 的最小值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n 项和公式即为相应的解析式，因此在解决数列最值(范围)问题的方法如下：(1)由其表达式判断单调性，求出最值；(2)由表达式不易判断单调性时，借助a n ＋1－a n 的正负判断其单调性.【训练2】 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列.(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ； (2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值. 解 (1)∵a 1＝2，a 23＝a 2(a 4＋1)， 又∵{a n }是正项等差数列，故d ≥0，∴(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)， ∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)∵S n ＝n (n ＋1)，则1S n＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.∴b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n ＋3. 令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2>0恒成立，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，(b n )max ＝16. 要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16， ∴实数k 的最小值为16.应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】 设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点. (1)若ED → ＝6DF → ，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)(如图)，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4. 故x 2＝－x 1＝21＋4k2.① 由ED → ＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2； 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k .所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0， 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2），h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）.又|AB |＝22＋12＝5， 所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12·5·4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2＝21＋41k ＋4k ≤22， 当且仅当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝12时，上式取等号. 所以S 的最大值为2 2.即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高 几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值问题的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)的基本方法.【训练3】 (1)(2017·平顶山一模)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作直线y ＝－b a x 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB → ＝2F A → ，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5D.7(2)已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________. 解析 (1)设F (c ，0)，则直线AB 的方程为y ＝ab (x －c )代入双曲线渐近线方程y ＝－b a x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c ，－ab c .由FB → ＝2F A → ，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2－c2c ，－2ab c ，把B 点坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得（2a 2－c 2）2a 2c 2－4a 2c 2＝1.∴c 2＝5a 2，所以离心率e ＝ca ＝ 5.(2)如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h . 则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2. 令f (h )＝16h ＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h 2， 令f ′(h )＝0，解得h ＝2.显然当h ∈(0，2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减； 当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增.所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12， 故其侧棱长的最小值l ＝12＝2 3. 答案 (1)C (2)2 3 热点二 数形结合思想应用1 讨论函数的零点或方程的根【例4】 (1)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.(2)(2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.解析(1)由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，从而可得函数y＝|2x－2|的图象与函数y＝b的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0＜b＜2.(2)作出f(x)的图象如图所示.当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.答案(1)(0，2)(2)(3，＋∞)探究提高 1.本题利用数形结合思想，将函数零点或方程的根的情况转化为两函数图象交点问题.2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】(2017·乐山二模)若函数f(x)满足f(x－1)＝1f（x）－1，当x∈[－1，0]时，f(x)＝x，若在区间[－1，1)上，g(x)＝f(x)－mx＋m有两个零点，则实数m 的取值范围为________.解析∵x∈[－1，0]时，f(x)＝x.∴当x∈(0，1)时，－1<x－1<0，∴f(x－1)＝x－1，从而x－1＝1f（x）－1.因此，x ∈(0，1)时，f (x )＝1x －1＋1， 作出函数f (x )在[－1，1)上的图象，如图所示.因为g (x )＝f (x )－mx ＋m 有两个零点.∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝m (x －1)在区间[－1，1)上有两个交点， 又k AB ＝0－（－1）1－（－1）＝12，由几何直观知0<m ≤12.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 应用2 利用数形结合思想求最值、范围【例5】 (1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8D.10(2)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5D.4解析 (1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 点C 下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋3，y ＝13－x 得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离. 因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.答案 (1)C (2)B探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题利用几何直观，把m 的值转化为圆上的点到原点的距离. 2.运用数形结合思想求解最值问题(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【训练5】 (2017·九江十校联考)设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|P A → ＋PB → |的最小值为( ) A.3 B.4 C.175D.195解析 设AB 的中点为D ，则P A → ＋PB → ＝2PD →，∴当且仅当O ，D ，P 三点共线时，|P A → ＋PB → |取得最小值，此时OP ⊥AB ，且OP ⊥l .∵圆心到直线的距离为129＋16＝125，|OD |＝1－34＝12，∴|P A → ＋PB → |的最小值为2⎝ ⎛⎭⎪⎫125－12＝195. 答案 D应用3 数形结合求解不等式、参数问题【例6】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)(2)(2017·西安调研)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，mx －y ≤0，x －2y ＋2≥0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝( ) A.－1 B.－2 C.1D.2解析 (1)设g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示.当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0， 得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).(2)将目标函数变形为y ＝2x －z ，当z 取最大值时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最小，故当m ≤12时，不满足题意.当m >12时，作出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，mx －y ≤0，x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界).y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x －y 取得最大值. 易求点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22m －1，2m 2m －1，∴最大值为z ＝2×22m －1－2m2m －1＝2，解得m ＝1. 答案 (1)A (2)C探究提高 1.第(1)题利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f (－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x 的取值范围.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.【训练6】 (1)当x ∈(1，2)时，(x －1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)(2017·沈阳调研)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，x ＋y ≤0，2x ＋y ＋2≤0，则z ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫y －1x －1＋32的取值范围是________. 解析 (1)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)， 得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. (2)作线性约束条件表示的可行域如图所示. 令t ＝y －1x －1表示可行域内的点P (x ，y )与定点M (1，1)连线的斜率.易求点B (－1，0)，k MB ＝1－01－（－1）＝12，且x ＋y ＝0的斜率为－1.∴－1<t ≤12，从而12<y －1x －1＋32≤2，故－1<z ≤1.答案 (1)(1，2] (2)(－1，1]1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.。
例说向量中数形结合、函数、方程思想的应用
例说向量中数形结合、函数、方程思想的应用数形结合法思想就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙得结合起来，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，是高中数学教学中的一条重要的数学原则。
如果能注意数形结合思想的应用，能使许多数学问题简单化．下面从这几方面浅谈数形结合思想在高中数学中的应用。
一. 数形结合思想在解函数和方程问题中的应用．1.数形结合思想在解函数问题中的应用。
函数的图像是函数关系的一种表示，它是从―形‖的方面来刻画函数的变化规律。
函数图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了―形‖的直观性，它是探求解题途径，获得答案的重要工具。
例1 求函数y=x2-2x-3,xE(-1,2) 的值域.解析：所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求值域，因此需要借助图像来观察，如右图：借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当x=1 时，y=-4 。
从而该函数的值域为：(0,-4) 。
小结：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。
2.数形结合思想在解方程问题中的应用。
方程f(x) –g(x) = 0的解情况，可化为f(x)＝g(x) 的解情况，也可看作函数y = f(x) 与y = g(x) 图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确地画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，这样我们就可以根据这些信息来解题，特别是选择题。
对于计算题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也可以用来检查自己到底有没有做错。
例2 设方程lx2-1l=k+1 ，试讨论k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况。
解析几何中的数学思想
教学实践2014-03解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，解几知识中，蕴含着深刻的数学思想，对解几本质的考查往往通过对其思想应用的考查得以体现。
首先是由解几本质特征所决定的函数与方程思想，数形结合思想，其次是研究几何问题常用到的化归与转化的思想方法，分类与整合的思想方法，一般与特殊的思想方法等。
一、数形结合思想解析几何的基本思想就是数形结合，因为数与形是数学中最古老、最基本的研究对象，在解题中要善于将数形结合的数学思想运用于对圆锥曲线和平面几何性质以及相互关系的研究，即通过“以形辅数”“以数解形”“数形结合”将抽象的数学问题与直观的几何图形相结合，从而达到优化解题的途径。
例1（2012年福建理19题）如图椭圆E ∶x2a2+y2b2（a >b >0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e =12，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8。
（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ∶y =kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4相交于点Q ，试探究在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。
评析：本题是一道循规蹈矩的解析几何题，对于问题（2）在探求“数”与“形”之间的联系时，若发现只需判断∠PMQ 为直角即证明MP ，MQ 即可将问题化繁为简.然而，在平时如果能注意结合探究教学，不难得出如下结论：已知F 1（-c ，0）、F 2（c ，0）分别是椭圆C ∶x2a2+y 2b2=1（a >b >0）的左右焦点，点P （x 0，y 0）为椭圆上的一个动点，过点P 作椭圆的切线e 1与过右焦点F 2作与焦半径PF 2垂直的直线l 2交于点Q ，则点Q 的轨迹即为椭圆的左准线x =a2c，那么，由此进行必要的合情推理，是可以猜想出所求的点M 应该是右焦点，设为M （x 0，0），这样就大大减少了计算量。
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高中数学思想—函数和方程、数形结合知识点：函数与方程，数形结合的数学思想考点：几种常见题型：构造函数，不等式，最值问题，位置关系能力：变量间关系的理解和分析；数学语言与直观的图像结合方法：启发式教学重难点：变量间关系的理解和分析第一讲函数与方程思想1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数与方程思想解决的相关问题（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
（2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： ①解方程或解不等式；②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系； ④构造方程或不等式求解问题。
5.导数函数在解题中常用的有关结论（需要熟记）：1、曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。
2、若可导函数()y f x =在 0x x =处取得极值，则0()0f x '=。
反之，不成立。
3、对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。
4、函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ∀∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不恒为0）.5、函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。
（若()f x '为二次函数且I=R ，则有0∆>）。
6、 ()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或()f x '0≤在I 上恒成立7、若x I ∀∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ∀∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0<8、若0x I ∃∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ∃∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<.9、设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ∀∈D ()()f x g x >恒成立，则有[]min ()()0f x g x ->.10、若对11x I ∀∈、22x I ∈ ，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.11、已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，若对11x I ∀∈,22x I ∃∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ⊆。
12、若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大于0，极小值小于0.题型一（运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题） 例1、若a 、b 是正数，且满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围。
变式：已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支A. 上任一点，若 212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A .(1,2]B (1,3]C [2,3]D [3,)+∞ 题型二（运用函数与方程思想解决方程问题） 例2、已知函数211()2cos coscos 2,222x f x x x =+-2()cos (1cos )cos 3.g x x a x =++--若()y f x =与()y g x =的图象在(0,)π内至少有一个公共点，试求a 的取值范围。
变式：设函数∈-=-m x e x f mx 其中,)(R .（I ）求函数)(x f 的最值；（Ⅱ）证明:当1>m 时，函数)(x f 在区间)2,(m m 内是否存在零点.题型三：（运用函数与方程思想解决不等式问题） 例3、已知且那么（ ）变式：设不等式对满足m ∈[-2，2]的一切实数m 都成立，求x 的取值范围．题型四（运用函数与方程思想解决最优化问题）例4、图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为3,设AB =2x ,BC =y .（Ⅰ）写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； （Ⅱ）求当x 取何值时，凹槽的强度最大.变式：一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？例5、已知函数xax x f -=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R . （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数4)(2+-=mx x x h , 当2=a 时，若)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有)()(21x h x g ≥成立，求实数m 的取值范围．变式：已知关于x 的函数f(x)＝331x ＋bx 2＋cx ＋bc,其导函数为f +(x)。
. 令g(x)＝()f x ',记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.(Ⅰ)如果函数f(x)在x ＝1处有极值-34，试确定b 、c 的值： （Ⅱ）若∣b ∣>1,证明对任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M ≧K 对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值。
模拟训练1：1.已知正数x,y 满足xy=x+9y+7，则xy 的最小值为( ) (A)32 (B)43 (C)49 (D)60 2．方程有解，则m 的最大值为（ ） (A)1(B)0(C)-1(D)-23.一个高为h 0，满缸水量为V 0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为h 时，鱼缸内剩余水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象可能是（ ）adl4.对任意a∈［-1,1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是( )(A)1<x<3 (B)x<1或x>3 (C)1<x<2 (D)x<1或x>25.若正实数a,b满足a b=b a，且a<1,则有( )(A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)不能确定a,b的大小6．已知圆上任意一点P(x,y)都使不等式恒成立，则m的取值范围是（）7.国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值v（美元）与其重量ω（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54 000美元.（1）写出v关于ω的函数关系式；（2）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；（3）试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1∶1切割，价值损失的百分率最大.第二讲数形结合思想题型一：（利用数学概念或数学式的几何意义解题）例1、实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：（1）点（a,b）对应的区域的面积；（2）的取值范围；（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．总结：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（1）连线的斜率；（2）之间的距离；（3）为直角三角形的三边；（4）图象的对称轴为x=．只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法． 题型二：（用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题）例2、已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x ∈[-1,1]时，f(x)=x 2,则方程f(x)=lgx 解的个数是（ ）(A)5 (B)7 (C)9 (D)10变式：设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x ∈[-4,0]时，恒有f(x)≤g(x)，求实数a 的范围．题型三：（数形结合在解析几何中的应用） 例3、已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点(0,2)F ，且长轴长与短轴长的比是2:1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值； （Ⅲ）求PAB ∆面积的最大值．题型四：（数形结合在立体几何中的应用）例4、如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===, M 为线段AB 的中点.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ； (Ⅱ) 求二面角A CD M --的余弦值.变式：已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）。