二数形结合在函数中的应用

(二) 数形结合在函数中的应用1. 利用数形结合解决与方程的根有关的问题方程的解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化.【例5】已知方程︱x2-4x+3︱=m有4个根，则实数m的取值范围.【分析】此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决.解：方程x2-4x+3＝m根的个数问题就是函数y=︱x2-4x+3︱与函数y=m图象的交点的个数.作出抛物线y=x2-4x+3=（x-2）2-1的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折上去，得到y=x2-4x+3的图象，再作直线y=m，如图所示：由图象可以看出，当0<m<1时，两函数图象有4交点，故m的取值范围是（0，1）.数形结合可用于解决方程的解的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提.2. 利用数形结合解决函数的单调性问题函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高考中的热点问题之一.在解决有关问题时，我们常需要先确定函数的单调性及单调区间，数形结合是确定函数单调性常用的数学思想，函数的单调区间形象直观地反映在函数的图象中.【例6】确定函数y=的单调区间.画出函数的草图，由图象可知，函数的单调递增区间为（-∞，0］，［1，＋∞），函数的单调递减区间为［0，1］.3. 利用数形结合解决比较数值大小的问题【例7】已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）；②对任意的0≤x1<x2≤2，都有f（x1）<f（x2）；③y=f（x+2）的图象关于y轴对称.则f（4.5），f（6.5），f（7）的大小关系是.解：由①：T=4；由②：f（x）在［０，２］上是增函数；由③：f（－x－２）＝f（x＋２），所以f（x）的图象关于直线x=2对称.由此，画出示意图便可比较大小.显然，f（4.5）<f（7）<f（6.5）.4. 利用数形结合解决抽象函数问题抽象函数问题是近几年高考中经常出现的问题，是高考中的难点.利用数形结合常能使我们找到解决此类问题的捷径.【例8】设f（x），g（x）分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，在区间［a，b］（a<b<0）上，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，且f（x）·g（x）有最小值－５.则函数y=f（x）·g（x）在区间［－b，-a］上（）.Ａ. 是增函数且有最小值－５Ｂ. 是减函数且有最小值－５Ｃ. 是增函数且有最大值５Ｄ. 是减函数且有最大值５【解析】f′（x）g（x）+f（x）g′（x）=［f（x）·g（x）］′>0.∴y=f（x）·g（x）在区间［a，b］（a<b<0）上是增函数，又∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数.∴y=f（x）·g（x）是奇函数.因此它的图象关于原点对称，作出示意图，易知函数y=f（x）·g（x）在区间［-b，-a］上是增函数且有最大值５，因此选Ｃ.（三）运用数形结合思想解不等式1. 求参数的取值范围【例9】若不等式>ax的解集是｛x|0<x≤4｝，则实数a的取值范围是（）.Ａ. ［０，＋∞）Ｂ. （－∞，４］Ｃ. （－∞，０）Ｄ. （－∞，０］解：令f（x）＝，g（x）=ax，则f（x）＝的图象是以（２，０）为圆心，以２为半径的圆的上半部分，包括点（４，０），不包括点（０，０）；g（x）＝ax的图象是通过原点、斜率为a的直线，由已知>ax的解集是｛x|0<x≤4｝，即要求半圆在直线的上方，由图可知a<0，所以选Ｃ.【点评】本题很好的体现了数形结合思想在解题中的妙用.【例10】若x∈（１，２）时，不等式（x-1）2<logax恒成立，则a的取值范围是（）.Ａ. （0，1）Ｂ. （１，２）Ｃ. （１，２］Ｄ. ［１，２］解：设y1=（x－1）2（1<x<2），y2=logax.由图可知若y1<y2（1<x<2），则a>1.y1=（x-1）2过（２，１）点，当y2=logax也过（２，１）点，即a=2时，恰有y1<y2（1<x<2）∴１<a≤2时（x-1）2<logax在x∈（１，２）上成立，故选Ｃ.【点评】例１、例２两题的求解实际上综合运用了函数与方程以及数形结合的思想方法.2. 解不等式【例11】已知f（x）是Ｒ上的偶函数，且在［０，＋∞）上是减函数，f（a）＝０（a>0），那么不等式xf（x）<0的解集是（）.Ａ. ｛x|0<x<a｝Ｂ. ｛x|-a<x<0或x>a｝Ｃ. ｛x|-a<x<a｝Ｄ. ｛x|x<-a或0<x<a｝解：依题意得f（x）是Ｒ上的偶函数，且在［０，＋∞）上是减函数，f（a）＝０（a>0），可得到f（x）图象，又由已知xf（x）<0，可知x与f（x）异号，从图象可知，当x∈（-a，０）∪（a，+∞）时满足题意，故选Ｂ.【例12】设函数f（x）＝2，求使f（x）≥２的取值范围.【解法１】由f（x）≥２得2≥２＝２.易求出g（x）和h（x）的图象的交点立时，x的取值范围为［，+∞）.【解法3】由的几何意义可设Ｆ1（－１，０），Ｆ２（１，０），Ｍ（x，y），则，可知Ｍ的轨迹是以Ｆ1、Ｆ２为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（，０），由双曲线的图象和x+1－x-1≥知x≥.【点评】本题的三种解法都是从不同角度构造函数或不等式的几何意义，让不等式的解集直观地表现出来，体现出数形结合的思想，给我们以“柳暗花明”的解题情境.（四）运用数形结合思想解三角函数题纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.【例13】函数f（x）=sinx+2sinx，x∈［０，２π］的图象与直线y=k有且仅有２个不同的交点，则k的取值范围是.【分析】本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制的高考中就能大大地节约时间，提高考试的效率.解：函数f（x）＝由图象可知：1<k<3.【例14】当0<x<时，函数f（x）＝的最小值为（）.Ａ. ２Ｂ. ２Ｃ. ４Ｄ. ４解：y=则y为点Ａ（０，５）与点Ｂ（－sin2x，3cos2x）两点连线的斜率，又点Ｂ的轨迹方程（0<α<），即x2+＝１（x<0），如图，当过点Ａ的直线l∶y=kx+5与椭圆x2+＝１（x<0）相切时，k有最小值４，故选Ｃ.【例15】若sinα+cosα=tanα（0<α<），则α∈（）.解：令f（x）=sinx+cosx=sin（x+ ）（0<α<），g（x）=tanx，画出图象，从图象上看出交点Ｐ的横从标xP>.再令α＝，则sin+cos=≈１.366，tan =≈1.732>1.367，由图象知xP应小于.故选Ｃ.【点评】本题首先构造函数f（x），g（x），再利用两个函数的图象的交点位置确定α>，淘汰了Ａ、Ｂ两选项，然后又用特殊值估算，结合图象确定选项Ｃ，起到了出奇制胜的效果.【例16】已知函数f（x）是定义在（－３，３）上的奇函数，当0<x<3时f（x）图象如下图所示，那么不等式f（x）cosx<0的解集是（）.解：函数f（x）定义在（－３，３）上，且是奇函数，根据奇函数图象性质可知，f （x）在（－３，０）上的图象如图所示，若使f（x）cosx<0，只需f（x）与cosx异号，即图象须分别分布在x轴上下侧，由图可知，有三部分区间符合条件要求，即（－，－１）∪（０，１）∪（，３），故选B.【点评】已知函数的一部分图象，根据函数的性质可得到函数的另一部分图象，利用数形结合的思想，可以先画出完整的函数图象，再研究有关问题.【例17】△ＡＢＣ中，Ａ＝，ＢＣ＝３，则△ＡＢＣ的周长为（）.解：本题是我们常用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成的，但是应用数形结合，可以很快解决问题.为此，延长ＣＡ到Ｄ，使ＡＤ＝ＡＢ，则ＣＤ＝ＡＢ＋ＡＣ，∠ＣＢＤ＝∠Ｂ＋，∠Ｄ＝，由正弦定理即ＡＢ＋ＡＣ＝６sin（B+），故选Ｃ.四、运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意如下几点在解题时，有时把数转化为形，以形直观地表达数来解决，往往使复杂问题简单化、抽象问题具体化.但是，依赖图象直观解题，也要注意如下几个问题.1、注意图象延伸趋势【例19】判断命题：“当a>1时，关于x的方程ax=logax无实解.”正确与否.错解：在同一坐标系中分别作出函数y=ax及y=logax的图象（a>1）（如图1），可见它们没有公共点，所以方程无实解，命题正确.【评析】实际上对不同的实数a，y=ax和y=logax的图象的延伸趋势不同.例如当a=2时，方程无实数解；而当a=时，x=2是方程的解.说明两图象向上延伸时，一定相交，交点在直线y=x上.2、注意图象伸展“速度”【例20】比较2n与n2的大小，其中n≥2，且n∈N+.错解：在同一坐标系中分别作出函数y=2x及y=x2的图象（如图2）.由图可知，两图象有一个公共点.当x=2时，2x=x2；当x>2时，2x<x2.∴当n=2时，2n=n2；当n>2，且n∈N+时，2n<n2.【评析】事实上，当n=4时，2n与n2也相等；当n=5时，2n>n2.错因是没有充分注意到两个图象在x≥2时的递增“速度”！要比较两个图象的递增速度，确实很难由图象直观而得.本题可以先猜想，后用数学归纳法证明.本题的正确答案是当n=2、4时，2n=n2；当n=3时，2n<n2；当n≥5时，n∈N+时，2n>n2.证明略.3、注意数形等价转化【例21】已知方程x2+2kx-3k=0有两个实数在-1与3之间，求k的取值范围.错解：令f（x）=x2+2kx-3k，结合题意画出图象3中的（1），再由图象列出不等解略.【评析】事实上，不等式组（*）并不与题意等价，图象3中的（2）也满足不等式组（*），但两实根均大于3，还可以举出两实根均小于-1的反例.若不等式组（*）与图3中的（1）等价，需加上条件-3<k<1.因此，数形转化要注意等价性.4、注意仔细观察图象【例22】已知关于x、y的方程组（a>b>0）有四组实数解，求a、b、m应满足的关系.错解：已知方程组中的两个方程分别是椭圆和抛物线的方程，原方程组有四组实数解等价于椭圆与抛物线有四个不同的公共点.由图4知，m<-b，且<a，即-a2<m<-b.【评析】观察图象过于草率！事实上，图5也是一种可能的情形，即当=a时，仍有可能为四组解.例如当a=2，b=1，m=-4时，可得解集为：｛（２，０），（－２，０），（，），（－）｝.现用数形结合求解：考虑一元二次方程a2y2+b2y-（m+a2）b2=0，令Δ=0（即相切情形），解得m=-，结合图象，注意到m<-b，则a、b、m应满足的关系是-<m<-b.从以上看出，有些问题可以用图象解决，但要认真分析，有些问题很难由图象直观而得，值得注意.。