(完整版)圆的知识点总结(史上最全的)

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行走,则下列结论正确的是( ) (A)甲老人先到达 B 处 (B)乙老人先到达 B 处(C)甲、乙两老人同时到达 B 处(D)无法确定
例题 2.如图,△ABC 是正三角形,曲线 CDEF…叫做正三角形的“渐开线”,其中 CAD 、 DA E 、 EA F …的圆心依次按 A、B、C 循环,将它们依
次平滑相连接。如果 AB=1,试求曲线 CDEF 的长。
以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论,即:
①AB 是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ BA C BA D ⑤ AAC AAD
推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB∥CD
hing at a time and All things in their being are good for somethin
S 圆= r2 ,
S 扇形= nr 2 ,或 S 扇形= 1 lr
360
2
(即 S 扇形= nr 2 = 1 lr )
360 2
S 圆锥= r底面圆l母线
hing at a time and All things in their being are good for somethin
3、求面积的方法 直接法→由面积公式直接得到 间接法→即:割补法(和差法)→进行等量代换
旋转直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( )圈。
A 4 B 3 C 5 D 3.56.
例题 5.(08 大兴二模)如图,一个人握着板子的一端,另一端放在圆柱上,某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动,假设滚动时圆柱与
地面无滑动,板子与圆柱也没有滑动.已知板子上的点 B(直线与圆柱的横截面的切点)与手握板子处的点 C
∴∠C=∠D
B B
O A
D
C
O
推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直 径
即:在⊙O 中,∵AB 是直径
或∵∠C=90°
∴∠C=90°
∴AB 是直径
B
A C
A O
推论 3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三
角形
即:在△ABC 中,∵OC=OA=OB
hing at a time and All things in their being are good for somethin
A cm2 B cm2 C cm2 D cm2
12
8
6
4
例题 3.(08 大兴)北京市一居民小区为了迎接 2008 年奥运会,计划将小区内的一块平行四边形 ABCD 场地进行绿化,如图阴影部分为绿化
圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
C
即:在⊙O 中,∵四边形 ABCD 是内接四边形
∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180°
∠DAE=∠C
B 切线的性质与判定定理 (1)判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线
O
B
A
M
D
A
E
hing at a time and All things in their being are good for somethin
1、圆。
→封闭曲线围成的图形
静(集合)
2、弦、直径、切线。→直线
3、弧、半圆。
→曲线
4、圆心角、圆周角。
5、三角形的外接圆、外心。 →用到:线段的垂直平分线及性质
6、三角形的内切圆、内心。 →用到:角的平分线及性质
二、圆的有关性质(涉及线段相等、角相等,求线、角)
轴对称 1、圆的对称性。→
A
圆心角定理
C
D
O
A
B
O
E
C
D
B
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所 对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等 此定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个结论也即:①∠AOB=∠DOE ②AB=DE
③OC=OF ④ BA A EA D
O A
C
O
B
D
A
B
C
O
A
E
D
O
B A
弧长、扇形面积公式
(1)弧长公式: l
n R
O
(2)扇形面积公式:
S 18n0 R2 1 lR
360 2
A
S
l
B
总结归纳:《 圆》的知识考点
圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。包括性质定理与判
定定理及公式。
一、圆的有关概念

1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线;
3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线
两圆公切线长的计算公式: (1)公切线长:在 Rt△O1O2C 中,
A
O1
O2
AB 2 CO12 O1O22 CO22
(2)外公切线长:CO2 是半径之差;
B
内公切线长:CO2 是半径之和
圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在⊙O 中 △ABC 是正三角形,有关计算在 Rt△BOD 中进行,OD:BD:OB= 1 : 3 : 2
中心对称
2、垂径定理及其推论。 3、弧、弦、圆心角之间的关系定理 4、圆周角定理及推论。→同圆、等圆,同弧、等弧,圆周角 5、切线的性质定理。 6、切线长定理。 三、判定定理
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二、面积:设圆的面积为 S,半径为 r,扇形的面积为 S扇形 ,弧长为 l.
①圆的面积: S r2
②扇形的面积: S扇形
n r2 360
1 lr
2
③弓形面积:
S弓形 S扇形 SA
例题 1.(05 丰台练习二)如图,△ABC 内接于⊙O,BD 是⊙O 的直径,如果∠A=120°,CD=2,则扇形 OBAC 的面积是____________。 例题 2.(江西省)如图,⊙A、⊙B、⊙C 两不相交,且半径半径都是 0.5cm.图中的三个扇形(即三个阴影部分)的面 积之和为( )
B
∴PA·PB=PC·PA
(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
C OE A
D
即:在⊙O 中,∵直径 AB⊥CD
∴ CE 2 DE 2 EAAEB
(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条
线段长的比例中项
D
B
O
即:在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线
点与圆的位置关系:
点在圆内
d<r
点在圆上
d=r
点在此圆外
d>r
直线与圆的位置关系:
点 C 在圆内 点 B 在圆上 点 A 在圆外
A
d
r B
O d百度文库
直线与圆相离 d>r 无交点
C
直线与圆相切 d=r 有一个交点
d=r
直线与圆相交 d<r 有两个交点
rd
rd
圆与圆的位置关系: 外离(图 1) 无交点 外切(图 2) 有一个交点 相交(图 3) 有两个交点 内切(图 4) 有一个交点 内含(图 5) 无交点
C
E F D
B
C
圆周角定理
圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即:∵∠AOB 和∠ACB 是
所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论:
推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧
即:在⊙O 中,∵∠C、∠D 都是所对的圆周角
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN⊥OA 且 MN 过半径 OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线
(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心
以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件
d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r
d Rr
图4
dr R
图5
d
R
r
图1
d
R
r
图2
d
R
r
图3
垂径定理: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
数量关系 d>R+r d=R+r
R-r<d<R+r d=R-r d<R-r
五、正多边形和圆
1、有关概念
正多边形的中心、半径、中心角及其度数、边心距
2、方法思路:构造等腰(等边)三角形、直角三角形,在三角形中求线、角、面积。
六、圆的有关线的长和面积。
1、圆的周长、弧长
C=2 r,
l= nr
180
2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积
与圆有关的计算
一、周长:设圆的周长为 C,半径为 r,扇形的弧长为 l,扇形的圆心角为 n. ① 圆的周长:C=2πR;②扇形的弧长: l n r 。 180
例题 1.(05 崇文练习一)某小区建有如图所示的绿地,图中 4 个半圆,邻近的两个半圆相切。两位老人同时出
发,以相同的速度由 A 处到 B 处散步,甲老人沿 AADA1、AA1、EA2 AA2FB 的线路行走,乙老人沿 AACB 的线路
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圆的总结
集合:
圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹:
B
∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°
注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中
半的逆定理。
C
A O
线等于斜边的一 C
弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。 即:∵MN 是切线,AB 是弦
∴∠BAM=∠BCA N
间的距离 BC 的长为 L m ,当手握板子处的点 C 随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时,人前进
了_________ m .
例题 6.(08 房山二模)如图,∠ACB= 60 ,半径为 2 的⊙0 切 BC 于点 C,若将⊙O 在 CB 上向右滚动,则当
滚动到⊙O 与 CA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离为.
∵MN 是切线 ∴MN⊥OA
O
M
A
切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心
的连线平分两条切线的夹角。
即:∵PA、PB 是的两条切线
P
∴PA=PB PO 平分∠BPA
N B
O
A
圆内相交弦定理及其推论:
(1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等
即:在⊙O 中,∵弦 AB、CD 相交于点 P
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(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在 Rt△OAE 中进行,OE :AE:OA= 1 :1 : 2
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在 Rt△OAB 中进行,AB:OB:OA= 1 : 3 : 2
例题 3.(06 芜湖)已知如图,线段 AB∥CD,∠CBE=600,且 AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm,⊙O 的半径为 10cm,从 A 到 D 的表面很粗糙,求⊙O 从 A 滚动到 D,圆心 O 所经过的距离。
例题 4.如图,一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动
∴ PA2 PC APB
P
C
A
(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交
点的两条线段长的积相等(如上图)
A
即:在⊙O 中,∵PB、PE 是割线
∴ PC APB PDAPE
圆公共弦定理:连心线垂直平分公共弦
D
E
P
O
C
B
即:∵⊙O1、⊙O2 相交于 A、B 两点
∴O1O2 垂直平分 AB
切线的判定→两种思路:①连半径,证垂直;②作垂直,证半径
四、点、直线、圆与圆的位置关系
1、点与圆的位置关系
位置关系
数量关系
点在圆外
d>r
点在圆上
d=r
点在圆内
d<r
2、直线与圆的位置关系: 位置关系 相离 相切 相交
3、圆与圆的位置关系: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
数量关系 d>r d=r d<r
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