(完整版)圆的知识点总结(史上最全的)

C
E F D
B
C
圆周角定理
圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半
即：∵∠AOB 和∠ACB 是
所对的圆心角和圆周角
∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论：
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧
即：在⊙O 中，∵∠C、∠D 都是所对的圆周角
C
O
B
D
A
B
C
O
A
E
D
O
B A
弧长、扇形面积公式
（1）弧长公式： l
n R
O
（2）扇形面积公式：
S 18n0 R2 1 lR
360 2
A
S
l
B
总结归纳：《 圆》的知识考点
圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积等知识。包括性质定理与判
定定理及公式。
一、圆的有关概念
动
d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r
d Rr
图4
dr R
图5
d
R
r
图1
d
R
r
图2
d
R
r
图3
垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
S 圆= r2 ，
S 扇形= nr 2 ，或 S 扇形= 1 lr
360
2
（即 S 扇形= nr 2 = 1 lr ）
360 2
S 圆锥= r底面圆l母线
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3、求面积的方法 直接法→由面积公式直接得到 间接法→即：割补法（和差法）→进行等量代换
与圆有关的计算
一、周长：设圆的周长为 C，半径为 r,扇形的弧长为 l,扇形的圆心角为 n. ① 圆的周长：C＝２πR；②扇形的弧长： l n r 。 180
例题 1．(05 崇文练习一）某小区建有如图所示的绿地，图中 4 个半圆，邻近的两个半圆相切。两位老人同时出
发，以相同的速度由 A 处到 B 处散步，甲老人沿 AADA1、AA1、EA2 AA2FB 的线路行走，乙老人沿 AACB 的线路
圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
C
即：在⊙O 中，∵四边形 ABCD 是内接四边形
∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180°
∠DAE=∠C
B 切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线
O
B
A
M
D
A
E
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圆的总结
集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹：
切线的判定→两种思路：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径
四、点、直线、圆与圆的位置关系
1、点与圆的位置关系
位置关系
数量关系
点在圆外
d>r
点在圆上
d=r
点在圆内
d<r
2、直线与圆的位置关系： 位置关系 相离 相切 相交
3、圆与圆的位置关系： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
数量关系 d>r d=r d<r
1、圆。
→封闭曲线围成的图形
静（集合）
2、弦、直径、切线。→直线
3、弧、半圆。
→曲线
4、圆心角、圆周角。
5、三角形的外接圆、外心。 →用到：线段的垂直平分线及性质
6、三角形的内切圆、内心。 →用到：角的平分线及性质
二、圆的有关性质（涉及线段相等、角相等，求线、角）
轴对称 1、圆的对称性。→
A
圆心角定理
C
D
O
A
B
O
E
C
D
B
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE
③OC=OF ④ BA A EA D
O A
以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：
①AB 是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ BA C BA D ⑤ AAC AAD
推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB∥CD
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例题 3．（06 芜湖）已知如图，线段 AB∥CD，∠CBE=600，且 AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm，⊙O 的半径为 10cm,从 A 到 D 的表面很粗糙，求⊙O 从 A 滚动到 D，圆心 O 所经过的距离。
例题 4．如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动
二、面积：设圆的面积为 S，半径为 r,扇形的面积为 S扇形 ，弧长为 l.
①圆的面积： S r2
②扇形的面积： S扇形
n r2 360
1 lr
2
③弓形面积：
S弓形 S扇形 SA
例题 1．（05 丰台练习二）如图，△ABC 内接于⊙O，BD 是⊙O 的直径，如果∠A＝120°，CD＝2，则扇形 OBAC 的面积是____________。 例题 2．（江西省）如图，⊙A、⊙B、⊙C 两不相交，且半径半径都是 0.5cm.图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面 积之和为（ ）
B
∴PA·PB=PC·PA
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（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
C OE A
D
即：在⊙O 中，∵直径 AB⊥CD
∴ CE 2 DE 2 EAAEB
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条
线段长的比例中项
D
B
O
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线
数量关系 d>R+r d=R+r
R-r<d<R+r d=R-r d<R-r
五、正多边形和圆
1、有关概念
正多边形的中心、半径、中心角及其度数、边心距
2、方法思路：构造等腰（等边）三角形、直角三角形，在三角形中求线、角、面积。
六、圆的有关线的长和面积。
1、圆的周长、弧长
C=2 r,
l= nr
180
2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积
旋转直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）圈。
A 4 B 3 C 5 D 3.56.
例题 5．(08 大兴二模)如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与
地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点 B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点 C
两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：在 Rt△O1O2C 中，
A
O1
O2
AB 2 CO12 O1O22 CO22
（2）外公切线长：CO2 是半径之差；
B
内公切线长：CO2 是半径之和
圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙O 中 △ABC 是正三角形，有关计算在 Rt△BOD 中进行，OD:BD:OB= 1 : 3 : 2
B
∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中
半的逆定理。
C
A O
线等于斜边的一 C
弦切角定理: 弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN 是切线，AB 是弦
∴∠BAM=∠BCA N
∴ PA2 PC APB
P
C
A
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交
点的两条线段长的积相等（如上图）
A
即：在⊙O 中，∵PB、PE 是割线
∴ PC APB PDAPE
圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦
D
E
P
O
C
B
即：∵⊙O1、⊙O2 相交于 A、B 两点
∴O1O2 垂直平分 AB
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A cm2 B cm2 C cm2 D cm2
12
8
6
4
例题 3．(08 大兴)北京市一居民小区为了迎接 2008 年奥运会，计划将小区内的一块平行四边形 ABCD 场地进行绿化，如图阴影部分为绿化