人教版初中数学 相交线与平行线 知识点

知识点

1.相交线

同一平面中，两条直线的位置有两种情况：

相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：∠1，∠2，∠3，∠4；

邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像∠1和∠2这样的角我们称他们互为邻补角；

对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O，并且∠1

的两边分别是∠3两边的反向延长线，具有这种位

置关系的两个角，互为对顶角；

∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，因为同角的补

角相等，所以∠1＝∠3。

所以，对顶角相等

例题：

1.如图，3∠1＝2∠3，求∠1，∠2，∠3，∠4

的度数。

2.如图，直线AB、CD、EF相交于O，且AB CD

2_______，

⊥，∠=︒

127，则∠=

FOB__________。

∠=

C

E

A 2 O B

1

F

D

垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其

中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，

图中AB⊥CD，垂足为O。垂直的两条直线共形成四个直角，

每个直角都是90︒。

例题：

如图，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O，∠1＝26︒，求∠EOD，∠2，∠3的度数。(思考：∠EOD可否用途中所示的∠4表示？)

垂线相关的基本性质：

（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

（3）从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

例题：假设你在游泳池中的P点游泳，AC是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？

*线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如何作下图线段的垂直平分线？

2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。

平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

如上图，直线a与直线b平行，记作a//b

3.同一个平面中的三条直线关系：

三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一

个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。

（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如

图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关

知识解决；

例题：

如图，直线AB,CD,EF相交于O点，∠DOB是它的余角的两倍，∠AOE＝2∠DOF,且有OG⊥OA，求∠EOG的度数。

（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。）如

图所示，直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：

*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；

*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF 的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；

*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；

指出上图中的同位角，内错角，同旁内角。

两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；

两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等

两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。

如上图，指出相等的各角和互补的角。

例题：

1.如图，已知∠1＋∠2＝180︒，∠3＝180︒，求∠4

的度数。

2.如图所示，AB//CD ，∠A ＝135︒，∠E ＝80︒。求∠CDE 的度数。

平行线判定定理：

两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？答案是可以的。

两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行： 平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行

如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5

＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB//CD

平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行

如图所示，只要满足∠6＝∠2（或者∠5＝∠4），就

可以说AB//CD

平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行

如图所示，只要满足∠5+∠2＝180︒（或者∠6+∠4

＝180︒），就可以说AB//CD

平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行

这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中∠1＝∠2＝90︒就可以得到。

例题：

1.已知：AB//CD ，BD 平分∠ABC ，DB 平分∠ADC ，求证：DA//BC

A

B 1

2D

C

34

2.已知：AF 、BD 、CE 都为直线，B 在直线AC 上，E 在直线DF 上，且∠=∠12，∠=∠C D ，求证：∠=∠A F 。

D E F

1

3

2

4

A B C

（3）有三个交点

当三条直线两两相交时，共形成三个交点，12个角，这是三条直线相交的一般情况。如下图所示：

你能指出其中的同位角，内错角和同旁内角吗？

三个交点可以看成一个三角形的三个顶点，三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。

（4）没有交点：

这种情况下，三条直线都平行，如下图所示：

即a//b//c。这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况。

例题：

如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与CD 有怎样的位置关系，为什么？