初中数学-二次函数的解析式

2
2 x1 x2 26
m 4 10 26 m 4 16, m 2 4
图象过A(1,0), B(5,0) 设函数解析式为： a( x 1)(x 5) y
当C为(0,3)时 a ( 5) 3, 得a 3 5
注：此题用了双根式.
3 得：y ( x 1)(x 5) 5 当C为（0， 3）时 3 a 5 3 得：y ( x 1)(x 5) 5
所求函数的解析式为 3 3 y ( x 1)(x 5)或y ( x 1)(x 5) 5 5
求抛物线在x轴上截得的线段的长
设抛物线y ax2 bx c与x轴交于 两点A（x1 ,0), B( x2 ,0) 由ax2 bx c 0得
b b 2 4ac x1, 2 2a AB | x1 x2 | | b b 4ac b b 4ac | 2a 2a
x1, x2 为方程： a(x－x1)(x－x2)=0的两个 根，即抛物线与x的两个交点的横坐标，
当已知抛物线与x轴两交点时，求解析式要 设双根式.
y
x1 o
x2
x
无论哪一种形式，要确定抛物线的解析式 都需要三个条件。
上一次例题补讲
2 11.若一抛物线 y ax 与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2
当x
b 1 1时 1 2a 2 2
y最小值
4ac b 2 4a
1 3 4 ( ) (1) 2 2 ＝ 2 ＝－2 1 4 2
b 1 当x 1时函数有最小值 1 2a 2 2 1 2 3 y最小值 1 1 2 2 2
∵抛物线过点C（1，2）
注：此题运用了
二次函数的双根式
解析式为: 1 y ( x 1)(x 3) 2
∴ a (1 1)(1 3) 2
4a 2 1 a 2
3 3.已知抛物线和y轴的交点（0，－ 2 ）
和x 轴的一个交点（-1，0），对称轴是x =1. （1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式； （2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值， 并求出这个最大值或最小值
1 a , 1 得解析式为： ( x 1) 2 2 y 2 2 k 2.
.
解法三 ∵对称轴为x=1，一个交点（-1，0）， ∴另一个交点为（3，0）. 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).
3 点（0，－ ）在图象上 2 注：此题的三种解法 3 3a 分别运用了二次函数 2 的一般式、顶点式、 1 双根式. a 2 1 解析式为： y ( x 1)( x 3) 2
a 1 解得： b 2
二次函数的解析为： x 2 2x 1 y
注：此题运用了二次函数的一般式
3.已知抛物线与x轴交于A(-1, 0),B(3, 0),且过 点C(1, 2) ，求抛物线的函数解析式. 解：由已知设函数的解析式为
y a( x＋ )(x 3) 1
x
y ax2 bx c 1.若抛物线
经过A（1，－4）、B（－1，0）、C（－2，5）三点 1)求抛物线的解析式并画出这条抛物线； 2)结合图形分别求出函数当y>0;y<0时的x的取值范围.
2. 已知抛物线
1 2 y x (n 1) x 2n 2
（n<0）经过点A（x1, 0）,B(x2, 0), D(0, y1),其中x1<x2, △ABD的面积等于12. 1)求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标； 2)如果点C（2, y2）在这条抛物线上，点P在y轴的 3)正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求直线PB的 4)解析式.
x2 4x 5 0 ( x 5)(x 1) 0 x1 1, x2 5, A(1,0), B(5,0)
S ABC c 3 A(1,0), B(5,0), C (0,3)或C（0， 3） 1 | c | AB 3 | c | 9 2
x1 x2
.
5.在平面直角座标系的x轴上有两点A（x1,0),B(x2,0) 在y轴上有一点C，已知x1，x2是方程x2-m2x-5=0的 两根，且x12+x22=26, △ABC的面积是9. (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求图象过A，B，C三点的二次函数的解析式.
解:(1) 由已知得:
x1 x2 m 2 x1 x2 5 2 2 x1 x2 26
围成的正方形有公共点，求a的取值范围. 解:如图,四条直线围成的正 方形为ABCD
x=1
y
x=2
则:A(1, 2),C(2, 1)
当抛物线过C点时 4a=1得 a1
1 4
A
D y=2
C y=1
3
当抛物线过A点时 a2=2 o
1
B
1 a2 4
1.已知抛物线的顶点为（1，－2），且过点（2，3） 求抛物线的二次函数解析式. 解：设二次函数解析式为：y=a(x- 1)2-2 ∵图象过点（2， 3）
∴a(2-1)2-2=3，得：a=5,
∴解析式为y=5(x- 1)2-2
注：此题运用了二次函数的顶点式
2.已知抛物线过三点：A（－1，2），B（0，1）， C（2，－7），求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为： y ax bx 1
2
a b 1 2 由已知得： 4a 2b 1 7
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二次函数有三种表达形式： 1.一般式：y=ax2+bx+c （a≠0） 当已知抛物线过三点时，求解析式要设一般式. 2.顶点式：y=a(x－h)2+k （a≠0） M（h, k）为抛物线的顶点，
当已知抛物线的顶点坐标时，求解析式要设顶点 式.
3.双根式：y=a(x－x1)(x－x2) （a≠0）
2 2
y
A O
B
x
公式：AB | x2 x1 | |a|
b 2 4ac |a| |a|
y ax2 bx c, (a 0)
6.抛物线y=-2x2+4x+1 在 x轴上截得的线段长度
为
6
.
y
16 8 6 解: AB |a| 2
A O B
解法二 设解析式为y=a(x-1)2+k，则由已知得
3 2 a(0 1) k , 2 a(1 1) 2 k 0. 3 ak , 得： 2 4a k 0.
3 （ 点（-1，0）， 0， ） 在图象上，所以 2
解这个二元一次方程组，得
3 解法一 （1）设二次函数的解析式为 y ax bx 2
2
（2）由于 a
1 a , 解得： 2 b 1. 1 2 3 得解析式为： y x x 2 1 2
2 所以这个二次函数有最小值， 0
b 2a 1, a b 3 0. 2