初中数学-二次函数的解析式
初中数学：二次函数知识清单
初中数学：二次函数知识清单1.二次函数的概念解析式形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数；它的定义域为一切实数；2.二次函数的图像与性质对称轴顶点开口方向变化情况2y ax =直线0x =(0,0)0a >时，开口向上，顶点是最低点；0a <时，开口向下，顶点是最高点；当0a >时，抛物线在对称轴（直线2b x a =-）左侧的部分下降，在右侧上升；0a <时，在对称轴左侧上升，在对称轴右侧下降.2y ax c =+直线0x =(0,)c 2()y a x m =+直线x m =-(,0)m -2()y a x m k=++直线x m =-(,)m k -2y ax bx c=++直线2bx a=-24(,)24b ac b a a--1．抛物线2y ax =（其中a 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线0x =；顶点是原点．抛物线的开口方向由a 所取之的符号决定，当0a >时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当0a <时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．【注意】抛物线的对称轴是一条直线，答题时一定要写直线0x =.2．抛物线2y ax c =+（其中a 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线0x =；顶点坐标是（0，c ）.抛物线的开口方向由a 所取之的符号决定，当0a >时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当0a <时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．3．抛物线2()y a x m =+（其中a 、m 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（m -，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x m =-；顶点坐标是（m -，0）．当0a >时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当0a <时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．4．抛物线2()y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（m -，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x m =-；顶点坐标是（m -，k ）．当0a >时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当0a <时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．【注意】在二次函数中，我们常常会做到平移的题目，一般我们在做平移时都会把二次函数化为顶点式来进行平移的求解。
初中数学二次函数解析式的解题方法和技巧
初中数学二次函数解析式的解题方法和技巧摘要：函数是数学解决实际问题的重要工具，初中的二次函数是初中数学的重要知识点，通过二次函数及函数图像，能够将各类数学问题将更加形象和直观测呈现在学生脑海中，这极大的提高了学生对问题的理解、解析和解答。
本文将结合二次函数相关的知识点、运用、难易点做出自己有益的分析。
关键词：初中数学；二次函数解析式；解题方法和技巧初中数学不同于小学数学，初中数学的知识体量大，而且各类知识点已完全精简化，许多概念对于部分学生而言过于抽象。
二次函数是高度概括的，如何让学生领悟透彻，函数与函数图像相结合，将数形结合作为切入点，无疑是最好的选择。
如何将数形结合的思维常态化，让学生能够自行融合二次函数与相对应的函数图像。
在新课改后，学生是否有效利用各类知识点，才是教师授课及考核的关键[1]。
一、二次函数的相关概念函数都是由代数式组成，在几何含义上的函数实在xy轴系上存在一定的图形意义。
例如y=aX2+bx+c,这是函数，所在二位轴系上呈现的是抛物线形状。
当令y=0时，即aX2+bx+c=0，这就是一元二次方程，此方程的解在函数图像上就是抛物线与X轴相交的点，即解为。
由此可看出方程重在表述数与数的关系，而函数则是自变量对因变量影响。
函数图像呈现的是代数问题几何化，是将数字在空间中立体表现，是将数与数之间的逻辑关系在坐标图上轨迹化，方程则是特定的数值在函数图像上的一两个特定的点。
由此方程与函数图像相结合具有天然性的共通。
在学习函数和函数图像时，将相关问题图像化；在研究函数图像时，则将函数图像代数化。
这样的数形结合有利于快速打开学生的解题思路，更利于培养学生数形结合的学习思维[2]。
二、二次函数解析式的解题方法和技巧1，一般式的解法函数知识在初中主要二次函数，这也是解决许多实际问题的基础。
解析式作为二次函数较为重要的表达形式[2]，尤其是一般式的解答，可将函数图像引入，结合对应的方程，这利于将抽象的概念具体化。
求二次函数解析式的常用方法及注意点
求二次函数解析式的常用方法及注意点作者：杨燕华来源：《新高考·升学考试》2018年第04期二次函数是初中数学的一个重要知识板块，其中二次函数解析式的求解是解决相关二次函数类型题的基础，更是二次函数与方程、三角函数、相似三角形等其他相关知识结合的前提，由此可见，掌握二次函数的解析式的重要性.初中阶段，求二次函数的解析式一般用待定系数法，下面我根据不同的条件设出恰当的解析式，给同学们归纳出常用的四种基本方法.1. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）一般式是最常见的，当题目给出的是抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax2+bx+c （a≠0），然后把三点坐标分别代入函数解析式，构成一个三元一次方程组，解得系数a、b、c，最后得到函数解析式.例1. 已知二次函数的图像经过点A（-1，6）、B（3，0）、C（0，3），求这个函数的解析式.解：设所求函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）由已知函数图像过（-1，6），（3，0），（0，3）三点，得a-b+c=6.9a+3b+c=0c=3，解方程得a=12，b=-52c=3，，∴所求得的函数解析式为y=12x2-52x+3.【注意点】有少部分同学把点坐标代入函数时，将x与y的值没有代入正确的位置，可能x与y的值颠倒了，为避免此类错误，建议同学们可以将点的坐标代入一般式时，写成ax2+bx+c=y的形式，这样就不容易错了.2. 顶點式：y=ax-h2+k（a≠0）若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y=ax-h2+k（a≠0），其中h，k是顶点坐标，此时题目的已知条件需要一个顶点坐标和经过函数图形的一个点的坐标.例2. 已知一个二次函数图像的顶点坐标是P（8，9），且经过点（0，1），求这个二次函数的关系式.解：设所求函数解析式为y=ax-h2+k（a≠0），由已知函数图像的顶点坐标是P（8，9），可得函数y=ax-82+9，将点（0，1）代入函数，得1=a0-82+9.解方程得a=-18，∴所求得的函数解析式为y=-18x-82+9.【注意点】若题目改成“已知一个二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）顶点坐标是P（8，9）”，其他条件不变，那么最好抛开题目给出的y=ax2+bx+c（a≠0），重新设顶点式y=ax-h2+k（a≠0），解题过程同上，得出y=-18x-82+9，最后将顶点式化成一般式y=-18x2+2x+1.3. 交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式.首先已知Ax1，0、Bx2，0两点实际上是抛物线与x轴的交点，那么可设交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），其中x1、x2是抛物线与x轴的交点的横坐标；其次，还需要二次函数图形经过一个已知点，将点代入函数，求出a；最后得到函数解析式.例3. 已知：抛物线与坐标轴交于A，B，C三个点，其中A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并且△ABC的面积是6，求这个函数的解析式.解：设所求函数解析式为y=a（x-x1）·（x-x2）（a≠0），∵A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），∴函数解析式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0），由题意可知AB=4，S△ABC=12AB·OC=6，∴OC=3，∴点C的坐标为（0，3）或（0，-3），当C的坐标为（0，3），∴a=-1，函数解析式y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3；当C的坐标为（0，-3），∴a=1.函数解析式y=（x+1）（x-3），即y=x2-2x-3.【注意点】交点式也称为对称点式：y=a（x-x1）（x-x2）+m（a≠0），其中x1、x2为抛物线上关于对称轴的两个对称点的横坐标，m为对称点的纵坐标.若图像过（x1，m）、（x2，m）时，则对称轴为x=x1+x22.4.平移式若将二次函数图像平移，形状和开口方向、大小没有改变，发生变化的是顶点坐标.故可先将原函数解析式化成顶点形式，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出平移后的抛物线的解析式.例4.将抛物线y=x2+2x-3先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求所得的抛物线的解析式.解：函数解析式可化为顶点式y=（x+1）2-4，因为向左平移4个单位长度，向下平移3个单位长度，所求函数解析式为y=（x+1+4）2-4-3，即y=x2+10x+18.【注意点】将抛物线平移必须先化成顶点式后再将抛物线平移，而同学们做错往往是因为将一般式中的x直接平移了，这样就错了.以上，是我对二次函数解析式的几种求法的归纳讲解，希望同学们在解题时能较好地根据题目的已知条件，选择较为合理的函数解析式，让计算更简便，也更容易解决二次函数的后续问题.。
14秋季班09-二次函数的解析式教师版
初中数学备课组 教师 班级初三 学生日期月 日 上课时间 教学内容：二次函数的解析式二次函数内涵丰富，变化多端，它有三种形式的解析式：一般式，配方式和分解式•本节要讨论的是：怎样根据 不同的已知条件解析式的选取 ；在不同的几何背景下怎样寻找确定解析式的条件 ；怎样根据二次函数的图像特征确定解析式的系数特征二次函数解析式的三种形式1. 一般式： 2y -ax 2 bx • c(a = 0),图像顶点坐标为(一卫，里兰 —),对称轴是直线x —2a 4a 2a 2.配方式： 2y 二a(x - m) - k(a = 0),图像顶点坐标为(-m, k),对称轴是直线x 二-m3.分解式：y =a(x-X i )(x-X 2),图像与x 轴的交点坐标是 A(X i ,0), B(X 2,0),对称轴是直线x=? 例1如图3-2-1,已知二次函数的图像与工轴两交点之间的距海是4个单位，且顶点sy q,求此二欢函数的解析式.M 方迭T 一般式)：V •二次函数的图像顶点M 为〔一1,4)t A 对称釉是貢线工=一｝・设宜线x —— 1与工轴交点为N *则N<—0).又设二次函数图像与皇轴交点的塑拯是4(^, 0)、Eg 0)’由丨A& | ~ 4« *'» A/V = NE = 2山1 h —1 — 2 —— 3*Xj = -1+2 =h 点仏H 的坐标分别是A(-a. 0). B<1, 0).设二次歯数的解析式为y =尬十+屁+“将久 & M 的坐 扳优人，得I 所我解析式为y = — — 2疋+ &ffi J - i -10,方法二£配方式h先求点A或点B的坐标，同方法一・V二次函数图像的顶点坐标为(」1‘ 4), A设解析式为y = a(x+W+^将B仃,0)坐标代入得3 + 4二0,解得a =亠L/•所求解析式为$ - - Q + lf +4*方法三(分解式)：先求点A或点B的坐标，同方法一*•:二次憾数图像与丁轴交点的坐标是A(-3,0)、B(b 0),A设解析式为y = aCr + 3)(工一1几将顶点坐标(一1.4)代入，得一4a = 4r =-L:.所求解析式为y =—Q + —1).化为一般式，得y=-^十2工+ 3.点评选择何种形式的解析式吳根攥题目的条件而定•①巳知田像所经过的三点坐标丫用一般，丸y = at' +屁+百(a 0) ♦建立关于a、b、c的三元一次方稅组求解j②已知图像顶点坐标或对称轴*用配方式y^a(r + m)l+k (a#0>*③已知图像与工轴的两金交点坐标是A<Z| * 0》、B(T2丫0) *用分解戎y = a(z —Jr】)(鼻一％》•对于本题来说、用配方式或分解式校为简捷.◎举-反三i根据已知条件，选择适当形式的解析式是求解二次函数解析式的关键.1 -1根据下列条件，分别求出函数的解析式.(D已知二次函数的图像经过点AW, -D> B(I, 0). C(-h 2)t(2)已知抛物线的顶点为(1, -3人且与，轴交于点(0, l)i⑶ 已知抛物线经过A(—3* 0). B(5, 0人C(0.^3)三点.解(1)设二次菌数解析式为y = ai2 +bx + “由图像过点A(0・—1)*得疋=…1»又由于其图橡过点(1, 0). (一1, 2片可得a + A = 114 I冶…A = 3 r因此，所求二次函数的解析式是y K 2#-工一1.(2)因为拋物线的顶点为(1，一3),所以可设函数的解析式为> -a (z - 1)?- 3. 又由于抛物线与，轴交于点(0, 可以得到1’(0-厅-3,得口-饥因此，所求二次雷数的解析式是y = 4 Q - l)z十3,即y j 4^-8x + L(3)圉为抛物线与工轴交于点A(-3, 0). B($»0),所以设二次歯数的解析式为y = a(x 4-3) <JC—5)*又由于抛物线与y轴交于点(0* —3),町以得到一3 = a(C + 3)(0 —5),解得皿=]・o[ 1 7因此，所求二次函数的解析式捷y = —(jr + 3)(x —5),即y =三* —-'X — 3・5 b □1 -2求分别满足以下条件的二次歯数的解析式・(1) 苗数图像的对称轴是直线x = 一 2,与/轴的一个交点坐标是(一5, °),与y 轴的交 点坐标是(山|)；(2) 函数图像经过(一 1」)、＜0, I)两点，且歯数图像最高点的纵坐标为扌・解(1) V (-5, 0＞关于对称轴乂=7 的对称点是(h 0), .r.设解折式为 y = a(jr + s )(x —1)*将(0,寺)代人•得一5。
二次函数解析式确定
小结：
y=- 1 x 2。 25
当知道抛物线的顶点坐标为原点， 且对称轴是 y 轴时， 要求二次函数的解析式，
思路如下：
通常的解题
2
①设二次函数的解析式为： y=ax （ a≠0）
②把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于 ③解方程，求得 a 值；
a 的一元一次方程；
④把 a 的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
（2）请求出球飞行的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路
线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
解：
（1） y 1 (x 5
1 x2
8 x
55
4)2 16 5
所以，抛物线 y
1 x2 8 x 的开口向下，顶点为 55
4，16 ，对称轴为直线 x 4 。 5
2
4.2 二次函数关系式设为： y=ax +bx（ a≠ 0）
例 2、（ 2008 年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物
线y
1 x2 8 x ，其中 y （ m）是球的飞行高度， x （m）是球飞出的水平距离，结果球 55
离球洞的水平距离还有 2m，如图 2 所示。
（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．
。
小结： 当知道抛物线的顶点坐标： M（ h， 0）和抛物线上的一个点 要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
2
①设二次函数的解析式为： y=a（ x-h ） a≠ 0）
பைடு நூலகம்
A（ x1， y1）时，
②把点 A 的坐标代入所设的解析式中，转化成关于
a 的一元一次方程；
初中数学精品试题：二次函数的解析式
专题01 二次函数的解析式【知识梳理】知识梳理一、二次函数的解析式有三种常见形式(1) 一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；对称轴：_______________ 顶点：_______________ (2) 顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；对称轴：_______________ 顶点：_______________(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 对称轴：_______________ 顶点：_______________（交点式教材中已删去，这里进行补充）知识梳理二、二次函数解析式的常见题型．（1） 列方程直接求解析式（2） 待定系数法求解析式（3） 由图表求解析式（4） 由函数图像求解析式（5） 由实际问题直接列解析式（如：几何图形的面积，利润的表达式等）（本章重点讲解待定系数法求解析式）知识梳理三、用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．①已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【例题精讲】例1．顶点为（﹣6，0），开口向下，形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线的表达式是．例2．若二次函数y＝ax2+4a x+c的最大值为4，且图象过点（﹣3，0），则二次函数解析式为：．例3．若函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝2x2﹣2x+3相同，则此函数关系式．例4．设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式．例5．已知抛物线y＝5x2+mx+n与x轴的交点为（，0）和（﹣2，0），则因式分解5x2+mx+n 的结果是．例6．当k取任意实数时，抛物线y＝3（x﹣k﹣1）2+k2+2的顶点所在的函数图象的解析式是（）A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2x+1C．y＝x2﹣2x+3D．y＝x2+2x﹣3例7．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．例8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（1，2）．（1）当c＝4时，若点B（2，4）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式；（2）已知点M（t﹣2，3），N（t+2，3）在该二次函数的图象上，求t的取值范围；例9．我们规定：若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．例如抛物线y ＝x2和y＝（x﹣1）2都是“数轴函数”．（1）抛物线y＝x2﹣4x+4和抛物线y＝x2﹣6x是“数轴函数”吗？请说明理由；（2）若抛物线y＝2x2+4mx+m2+16是“数轴函数”，求该抛物线的表达式．例10．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝（x﹣a）2+b经过B，C两点，顶点D在正方形内部．若点D有一条特征线是y＝x+2，则此抛物线的表达式是．【专项训练】1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝3x2B．y＝4x2C．y＝8x2D．y＝9x22．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（）A．y＝（x﹣2）2+5B．y＝（x+2）2﹣5C．y＝（x﹣4）2﹣1D．y＝（x+4）2﹣5 3．函数y＝3x2+9x﹣8化为顶点式是．4．把二次函数y＝﹣x2+3x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为．5．用配方法将y＝x2﹣3x+2化为y＝a（x﹣h）2+k的形式是．6．用配方法将抛物线y＝x2+2x+1化成y＝（x+h）2+k的形式是．7．已知二次的数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x﹣134y1010202那么（4a﹣2b+c）（a﹣b+c）的值为．8．已知P（m+1，m2﹣4）是平面直角坐标系中的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是．9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，2），B（5，5），若二次函数y ＝ax2+bx+c的图象过A，B两点，且该函数图象的顶点为M（x，y），其中x，y是整数，且0＜x＜7，0＜y＜7，则a的值为．10．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y＝3，y ＝x+2，y＝﹣x+4．如图所示，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝（x﹣a）2+b经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）写出点M（2，3）任意两条特征线为；（2）若点D有一条特征线是y＝x+1，则此抛物线的解析式为．11．将抛物线y＝﹣﹣3x+1写成y＝a（x+h）2+k的形式应为．12．已知抛物线的顶点为（1，﹣1），且过点（2，1），求这个函数的表达式为．13．对称轴与y轴平行且经过原点O的抛物线也经过A（2，m），B（4，m），若△AOB的面积为4，则抛物线的解析式为．14．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象满足下列条件：（1）开口向下；（2）当x＜2时，y随x 的增大而增大；（3）当x≥2时，y随x的增大而减小．请写一个这样的二次函数解析式是．15．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）、（3，0）和（0，2），则此二次函数的解析式为．16．抛物线与y轴交于点E，与直线l：交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，则抛物线的解析式为．17．抛物线y＝x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…01234…y…30﹣103…则抛物线的解析式是．18．不论m取任何实数，抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣1（x为自变量）的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是．19．平面直角坐标系下，一组有规律的点A1（0，1）、A2（1，0）、A3（2，1）、A4（3，0）、A5（4，1）A6（5，0）…（注：当n为奇数时，A n（n﹣1，1），n为偶数时，A n（n﹣1，0）），抛物线C1经过点A1、A2、A3三点，…抛物线∁n经过∁n，C n+1，C n+2三点，请写出抛物线C2n的解析式．20．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（k+3，﹣k2+1），（﹣k﹣1，﹣k2+1），则该抛物线的解析式．21．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，y有最小值﹣1，且抛物线与x轴两交点间的距离为2，则此二次函数的解析式为．22．求下列函数图象的顶点坐标：（1）y＝x2﹣4x+1（配方法）；（2）y＝3x2+4x+6（公式法）．23．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三点．（1）求该函数解析式；（2）用配方法将该函数解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式．24．已知二次函数y＝﹣x2+x+．（1）用配方法求出函数的顶点坐标和对称轴方程，并求出其图象与x轴交点的坐标．（2）已知当x＝1时，二次函数有最大值5，且图象过点（0，﹣3），求此函数关系式．25．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．26．将下列各二次函数解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标．（1）y＝x2﹣6x﹣1（2）y＝﹣2x2﹣4x﹣6（3）y＝x2+3x+10．27．先阅读下列解法，再解答有关问题．由抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣1①配方，得y＝（x﹣m）2+2m﹣1②∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣1）．即x＝m③y＝2m﹣1④当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y的值也随x的值的变化而变化．将③代入④，得y＝2x﹣1⑤可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y＝2x﹣1．即抛物线的顶点在直线y＝2x﹣1上．解答问题：（1）写出一个二次函数的解析式，使它的对称轴为直线x＝1，且顶点恰好在直线y＝x+2上，则这个二次函数的解析式可以写为．（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3m+1的顶点所在直线的解析式．中顶点所在的直线上．28．学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．（1）P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）；（2）P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）．29．如图，▱ABCD与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于点A，B，D，点C在抛物线的对称轴上，已知点B（﹣1，0），BC＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）求BD的函数表达式．30．将两个全等的矩形AOCD和矩形ABEF放置在如图所示的平面直角坐标系中，已知A（0，5），边BE交边CD于M，且ME＝2，CM＝4．（1）求AD的长；（2）求经过A、B、D三点的抛物线解析式．。
中考数学复习二次函数的解析式2[人教版]
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7）抛物线经过（4，-3），且当x=3时， y最大值=4； 8)已知抛物线的对称轴为直线=2，且 经过（1，4），（5，0）.
9）当x=-1时，y最大值=4；抛物线与x轴交 点的横坐标为x1，x2,且x12+x22=10. 10)已知抛物线在x轴上截得的线段长为6， 且经过（1，4），（5，0）.
2、已知抛物线
y mx 2 3m 4 x 4 3
与x轴交于两点A、B，与y轴交 于点C. 若⊿ABC是等知二次函数y=ax2+bx+c的图
象与x轴交于A、B两点（A在原点左侧，
B在原点右侧），与y轴交于C点，若
AB=4，OB＞OA，且OA、OB是方程
1、求下列满足条件的二次函数的解析 式：
1）抛物线经过（-1，-3），（1，3）， （2，12）三点； 2）抛物线经过（1，0），（0，-2）， （2，3）三点； 3）抛物线的顶点坐标为（1，3），且 通过（-1，4）；
4）抛物线的顶点坐标为（6，-12）， 且与x轴的一个交点的横坐标为8；
5）抛物线与x轴的交点的横坐标分别为 1和2，且经过（4，3）；
二次函数的解析式
一、教学目标：
1、了解二次函数的几种表达式： 2、能根据一点、两点、三点的坐标求 出二次函数的表达式；
3、根据二次函数的表达式解决有关问 题. 4、提高学生的阅读理解能力，收集处 理信息能力，运用知识能力，解决实际 问题能力，探索、发现问题能力.
二、知识回顾：
1、举例说明二次函数有几种表达式： 2、请举例说明如何根据一点、两点、 三点的坐标求出二次函数的表达式；
x2+kx+3=0的两根. 1）求A、B两点的
初中数学-二次函数的解析式
解法一 （1）设二次函数的解析式为
yax2 bx3 2
a
b 2a
b
1,
3 2
0.
解得：
a
1 2
,
b 1 .
得解析式 y1为 x2： x3
（2）由于
a
1
2
0
2
2
当x2ba211 1时
2
y最小值
4acb2 4a
4 1 ( 3) (1)2
＝2 2
＝－2
41
所以这个二次函数有最小值，
2
当x
b 2a
|a| 2
A O
B x
1.若抛物线 yax2bxc
经过A（1，－4）、B（－1，0）、C（－2，5）三点 1)求抛物线的解析式并画出这条抛物线； 2)结合图形分别求出函数当y>0;y<0时的x的取值范围.
2. 已知抛物线
y1x2(n1)x2n 2
（n<0）经过点A（x1, 0）,B(x2, 0), D(0, y1),其中x1<x2, △ABD的面积等于12.
由已知得：
ab12 4a2b17
解得：ba
1 2
二次函数的解析 y为 x2：2x1
注：此题运用了二次函数的一般式
3.已知抛物线与x轴交于A(-1, 0),B(3, 0),且过 点C(1, 2) ，求抛物线的函数解析式.
解：由已知设函数的解析式为
ya(x＋ 1)x(3) 注：此题运用了
∵抛物线过点C（1，2） 二次函数的双根式
1 2 1
1时函数有最小值
2
y最小值
1 2
12
1
3 2
2
解法二 设解析式为y=a(x-1)2+k，则由已知得
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0)又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
九年级数学下册知识讲义-2.3二次函数的解析式(附练习及答案)-北师大版
初中数学二次函数的解析式一、考点突破1. 掌握求二次函数解析式的方法。
2. 能够根据题目要求选择合适的求解析式的方法解决问题。
二、重难点提示重点：求二次函数解析式。
难点：根据问题选择合适的方法，求二次函数解析式。
考点精讲1.二次函数的解析式的四种形式一般式：（）。
顶点式：（）。
其中（，）为顶点，对称轴为。
交点式：（）。
其中，为抛物线与轴交点的横坐标。
对称点式：（）。
其中（，），（，）为图象上两个对称的点。
2.确定二次函数解析式的几种基本思路根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。
用待定系数法求二次函数的解析式，必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。
一般来说，有如下几种情况：①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；②已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；③已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用对称点式。
典例精讲例题1（宝安区一模）如图，已知抛物线l1：y=（x－2）2－2与x轴分别交于O、A 两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数解析式为（）A. y=（x－2）2+4B. y=（x－2）2+3C. y=（x－2）2+2D. y=（x－2）2+1思路分析：根据题意可推知由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；然后再根据抛物线l1的解析式，求得O、A两点的坐标，从而解得OA的长度；最后再由矩形的面积公式，求得AB的长度，即l2是由抛物线l1向上平移多少个单位得到的。
答案：解：连接BC，∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；∵抛物线l1的解析式是y=（x－2）2－2，∴抛物线l1与x轴分别交于O（0，0）、A（4，0）两点，∴OA=4；∴OA•AB=16，∴AB=4；∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，∴l2的解析式为：y=（x－2）2－2+4，即y=（x－2）2+2，选C。
初中数学二次函数最全知识点总结
初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学的重点内容之一，掌握二次函数的知识对于解决实际问题和提高数学能力都具有重要意义。
以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1.函数：函数是一种特殊的关系，它可以用来描述自变量和因变量之间的对应关系。
2. 二次函数：二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二、图像和性质1.基本图像：二次函数的基本图像是抛物线，开口方向由常数a的正负决定。
2. 零点：二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解，可以用求根公式或配方法求出。
3.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。
4.最值：二次函数的最值可以通过对称轴得到，最值为抛物线的顶点。
5.单调性：当抛物线开口向上时，二次函数是增函数；开口向下时，二次函数是减函数。
6.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小来获得新图像。
三、二次函数的解析式1. 标准形式：当a = 1时，二次函数的标准形式是y = x² + px + q。
2.顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点的坐标。
3. 一般形式：二次函数的一般形式是y = ax² + bx + c，实际问题中常用。
四、二次函数的变形1. 增长量：二次函数y = ax² + bx + c中，增长量即为b。
2.曲线方向：二次函数的曲线方向由a的正负决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
3.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小进行变形。
4.翻折：二次函数的图像可以进行关于x轴或y轴的翻折，得到新的图像。
五、二次函数的性质1.零点性质：二次函数的零点个数最多为2个。
2.对称性质：二次函数关于对称轴具有对称性。
3.成立范围：二次函数在全体实数范围内都成立。
二次函数图像与性质(二)
2
b − 4ac = ， 是_________，顶点在y轴上的条件是________。 _________0 顶点在y轴上的条件是________。 ________ b=0
3、已知抛物线 y = −(x − 2) 2 + 1 (1)该抛物线关于x (1)该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式 该抛物线关于 是__________ 2 −1 y = −(x − 2) (2)该抛物线关于y (2)该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式 该抛物线关于 y = −(x + 2) 是__________2 +1 4、阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱， 阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱， 2 y = − x + 4 x，则水柱的最大 +2 其解析式为 高度是（ ） C 高度是（ Ａ. ２ Ｂ. ４ Ｃ. ６ Ｄ. ２+ 6
b −4 4 ac − b 2 4 × 2 × 5 − (−4)2 = − = 1, ∴− = =3 2a 2×2 4a 4×2
对称轴是直线x=1. ∴顶点坐标是(1,3),对称轴是直线 顶点坐标是 对称轴是直线 点评:配方法是解二次函数问题中常用的思想方法, 点评:配方法是解二次函数问题中常用的思想方法,利 用配方法可将二次函数的一般式化为顶点式, 用配方法可将二次函数的一般式化为顶点式,进而可 求出抛物线的顶点坐标对称轴等, 求出抛物线的顶点坐标对称轴等,从而为进一步利用 二次函数的性质解题奠定基础. 二次函数的性质解题奠定基础.
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初中数学《二次函数解析式》讲义及练习 (2)
板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求二次函数能根据实际情境了解二次函数的意义；会利用描点法画出二次函数的图像能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；能从函数图像上认识函数的性质；会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题一、二次函数的图像与系数关系1. a 决定抛物线的开口方向：当0a >时⇔抛物线开口向上；当0a <时⇔抛物线开口向下a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小； a 越小，抛物线开口越大.注：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数，则形状相同、开口相反.2. b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：2bx a=-）当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当,a b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当,a b 异号时，对称轴在y 轴的右侧.3. c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置.（抛物线与y 轴的交点为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴； 当0c <时，交点在y 轴的负半轴.二、二次函数的三种表达方式（1）一般式：()20y ax bx c a =++≠ （2）顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠（3）双根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠2.如何设点：⑴ 一次函数y ax b =+（0a ≠）图像上的任意点可设为()11x ax b +，.其中10x =时，该点为直线与y 轴交知识点睛中考要求第二讲二次函数的解析式点.⑵ 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图像上的任意一点可设为()2111x ax bx c ++，.10x =时，该点为抛物线与y 轴交点，当12bx a=-时，该点为抛物线顶点． ⑶ 点()11x y ，关于()00x x ，的对称点为()010122x x y y --，． 4.如何设解析式：① 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；② 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；③ 已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.④ 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.一、二次函数图象分布与系数的关系【例1】 ⑴（07济南）已知2y ax bx =+的图象如下左图所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限⑵（07常州）若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如下中图，则a 的值为（ ）A. 2-B. 2-C. 1D. 2⑶（07南宁）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下右图所示，则点()P a bc ，在第 象限. OyxyxAO yxO重、难点1. 灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。
自学初中数学资料 二次函数的解析式、图象与性质
自学资料年份题量分值考点题型2015317二次函数图象与变换；二次函数的图象性质选择、解答、解答2016222二次函数性质（解析式、顶点、函数比较大小、最值）综合题解答2017216二次函数图象上点的坐标特征；函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系选择、解答2018215二次函数图象与系数的关系、函数比较大小选择、解答2019215二次函数解析式、对称轴、最值问题以及比较大小选择、解答一、用待定系数法求正比例、反比例、一次、二次函数的解析式【知识探索】1．以求正比例函数的解析式为例：先设解析式为（），其中系数待定；再利用已知条件确定的值，这样的方法称为“待定系数法”．【错题精练】第1页共21页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例1．如图，二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0）且与y轴交卡点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴直线x=2对称，一次函数y=kx+b的图象经过点A及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出不等式kx+b≤x2+bx+c的解集．【答案】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），∴1+b+c=0，∵二次函数图象的对称轴直线x=2，∴-b2=2，∴b=-4，c=3，∴二次函数的解析式为y=x2-4x+3；∴C（0，3），∵点B和点C关于该二次函数图象的对称轴直线x=2对称，∴B（4，3），设一次函数代解析式为y=kx+b，∴{k+b=04k+b=3，∴{k=1b=−1，∴一次函数的解析式为y=x-1；（2）由图象可得，不等式kx+b≤x2+bx+c的解集x≤1或x≥4．例2．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A （-1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．第2页共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第3页 共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m 经过点A （-1，0），∴0=1+m ， ∴m=-1，∴抛物线解析式为y=（x+2）2-1=x 2+4x+3， ∴点C 坐标（0，3），∵对称轴x=-2，B 、C 关于对称轴对称， ∴点B 坐标（-4，3）， ∵y=kx+b 经过点A 、B ， ∴{−4k +b =3−k +b =0，解得{k =−1b =−1，∴一次函数解析式为y=-x-1，（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b 的x 的取值范围为x≤-4或x≥-1．例3．如果抛物线经过点A （2，0）和B （-1，0），且与y 轴交于点C ，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（ ）A. y=x 2-x-2B. y=-x 2-x-2或y=x 2+x+2C. y=-x 2+x+2D. y=x 2-x-2或y=-x 2+x+2【解答】解：设抛物线解析式为y=a （x-2）（x+1）， ∵OC=2，∴C 点坐标为（0，2）或（0，-2）， 把C （0，2）代入y=a （x-2）（x+1）得a•（-2）•1=2，解得a=-1，此时抛物线解析式为y=-（x-2）（x+1），即y=-x 2+x+2； 把C （0，-2）代入y=a （x-2）（x+1）得a•（-2）•1=-2，解得a=1，此时抛物线解析式为y=（x-2）（x+1），即y=x 2-x-2．即抛物线解析式为y=-x 2+x+2或y=x 2-x-2． 故选：D ．【答案】D例4．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x … -2 -1 0 2 … y…-3-4-35…（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；（2）求出该函数图象与x轴的交点坐标．【答案】解：（1）由题意，得c=-3．将点（2，5），（-1，-4）代入，得{4a+2b−3=5 a−b−3=−4.解得{a=1b=2.∴y=x2+2x-3．顶点坐标为（-1，-4）．（2）当y=0时，x2+2x-3，解得：x=-3或x=1，∴函数图象与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0）．【举一反三】1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1经过A（1，3），B（2，1）两点．（1）求抛物线及直线AB的解析式；（2）点C在抛物线上，且点C的横坐标为3．将抛物线在点A，C之间的部分（包含点A，C）记为图象G，如果图象G沿y轴向上平移t（t＞0）个单位后与直线AB只有一个公共点，求t的取值范围．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+1经过A（1，3），B（2，1）两点．第4页共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第5页 共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴{a +b +1=04a +2b +1=1，解得，{a =−2b =4．∴抛物线的表达式是y=-2x 2+4x+1． 设直线AB 的表达式是y=mx+n ， ∴{m +n =32m +n =1， 解得，{m =−2n =5，∴直线AB 的表达式是y=-2x+5；（2）∵点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3． ∴C （3，-5）．点C 平移后的对应点为点C′（3，t-5），代入直线表达式y=-2x+5， 解得t=4．结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是0＜t≤4．2．已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式．（1）抛物线经过两点A （1，0），B （0，-3），且对称轴是直线x=2； （2）抛物线的顶点是（-2，3），且过点（-1，5）；（3）抛物线与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且该抛物线的定点为（1，-92）．【答案】解：（1）∵对称轴是直线x=2， ∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为（3，0）， 设抛物线解析式为y=a （x-1）（x-3），把B （0，-3）代入得a•（-1）•（-3）=-3，解得a=-1， ∴抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3）=-x 2+4x-3； （2）设抛物线的解析式为y=a （x+2）2+3， 把（-1，5）代入得a （-1+2）2+3=5，解得a=2， 所以抛物线解析式为y=2（x+2）2+3；第6页 共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好 非学科培训（3）设抛物线解析式为y=a （x+2）（x-4）， 把（1，-92）代入得a （1+2）•（1-4）=-92，解得a=12， 所以抛物线解析式为y=12（x+2）（x-4）=12x 2-x-4．3．已知一次函数y=kx+b 与二次函数y=ax 2的图象如图所示，其中一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A （2，0），B （0，2），直线与抛物线的交点分别为P ，Q ．且它们的纵坐标的比为1：4，求这两个函数的解析式．【答案】解：∵一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A （2，0），B （0，2）， ∴{2k +b =0b =2，解得k=-1，b=2．∴一次函数的解析式为y=-x+2， 设P （m ，-m+2），∵直线与抛物线的交点P ，Q 的纵坐标的比为1：4， ∴Q 点的纵坐标为-4m+8， 代入y=-x+2求得x=4m-6， ∴Q （4m-6，-4m+8），代入y=ax 2得，{−m +2=am 2−4m +8=a （4m −6）2，解得a=-15m−6， 代入-m+2=am 2，整理得，m 2-4m+3=0，解得m 1=1，m=3（舍去）， ∴P （1，1），代入y=ax 2得，a=1，∴二次函数的解析式为y=x 2．4．如图所示，已知抛物线y=-2x 2-4x 的图象E ，将其向右平移两个单位后得到图象F ．（1）求图象F所表示的抛物线的解析式：（2）设抛物线F和x轴相交于点O、点B（点B位于点O的右侧），顶点为点C，点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式．【答案】解：（1）∵抛物线y=-2x2-4x=-2（x+1）2+2的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F，∴图象F所表示的抛物线的解析式为y=-2（x+1-2）2+2，即y=-2（x-1）2+2；（2）∵y=-2（x-1）2+2，∴顶点C的坐标为（1，2）．当y=0时，-2（x-1）2+2=0，解得x1=0（不合题意舍去），x2=2，∴点B的坐标为（2，0）．设A点坐标为（0，y），则y＜0．∵点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，∴-y=2×2，解得y=-4，∴A点坐标为（0，-4）．设AB所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），由题意，得{b=−42k+b=0，解得{k=2b=−4，∴AB所在直线的解析式为y=2x-4．二、正比例、反比例、一次、二次函数图像上的点及图像与坐标轴的交点【错题精练】例1．若函数y=（a+1）x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为______．第7页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】解：当a+1=0，即a=-1时，原函数为一次函数y=-2x+1，与x轴交于点（【解答】12，0），∴a=-1符合题意；当a+1≠0，即a≠-1时，∵二次函数y=（a+1）x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，∴△=（-2）2-4×1×（a+1）=0，解得：a=0．综上所述：a的值为-1或0．故答案为：-1或0．【答案】-1或0例2．设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y1＞y2＞y3B. y1＞y3＞y2C. y3＞y2＞y1D. y3＞y1＞y2【解答】解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+3，如右图，∴对称轴是x=-1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．【答案】A例3．已知函数y=k2x2+（2k-1）x+1与x轴有两个不同的交点，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，便得这两个交点关于直线x=-0.5对称？若存在，求出k；如不存在，请说明理由．第8页共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训例4．已知函数y=（k-1）x2-4x+4与x轴只有一个交点，则k的取值范围是（）A. k≤2且k≠1B. k＜2且k≠1C. k=2D. k=2或1【解答】解：当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点；当k-1≠0，即k≠1时，令y=0可得（k-1）x2-4x+4=0，由函数与x轴只有一个交点可知该方程有两个相等的实数根，∴△=0，即（-4）2-4（k-1）×4=0，解得k=2，综上可知k的值为1或2，故选：D．【答案】D例5．如图，一次函数y=-x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 以上结论都正确【解答】解：∵一次函数y=-x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=-x有两个不相等的实数根，ax2+bx+c=-x变形为ax2+（b+1）x+c=0，∴ax2+（b+1）x+c=0有两个不相等的实数根，故选：A．【答案】A【举一反三】1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（-6，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A. y1＜y2B. y1=y2C. y1＞y2D. 不能确定第9页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】解：由图可知，二次函数的对称轴为直线x=-3，∴x=-6和x=0时的函数值相同，∵x＞-3时，y随x的增大而减小，∴x=0时的函数值大于x=1时的函数值，∴y1＜y2．故选：A．【答案】A2．若二次函数y=x2-6x+c的图象过A（-1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系是______．【解答】解：根据二次函数图象的对称性可知，C（5，y3）中，|5-3|＞|3-2|=1，A（-1，y1），B（2，y2）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，因为-1＜1＜2，于是y1＞y3＞y2．故答案为：y1＞y3＞y2．【答案】y1＞y3＞y23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线y=ax2-4ax+4a-1（a＞0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围．第10页共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】解：（1）把x=3代入y=x+1，y=3+1=4，∴点B的坐标为B（3，4）；（2）由题意：线段ABy=x+1（0≤x≤3），∵y=ax2-4ax+4a-1=a（x-2）2-1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），∵点A（0，1），点B（3，4），∵当抛物线y=ax2-4ax+4a-1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时，∴{4a−1≥132a−4×3a+4a−1＜4①或{4a−1＜132a−4×3a+4a−1≥4②解①得12≤a＜5，②无解，综上所述，当12≤a＜5时，抛物线与线段AB有一个公共点．4．小飞研究二次函数y=-（x-m）2-m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【解答】解：二次函数y=-（x-m）2-m+1（m为常数）①∵顶点坐标为（m，-m+1）且当x=m时，y=-m+1∴这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形令y=0，得-（x-m）2-m+1=0，其中m≤1解得：x1=m-√−m+1，x2=m+√−m+1∵顶点坐标为（m，-m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形∴|-m+1|=|m-（m-√−m+1）|解得：m=0或1，当m=1时，二次函数y=-（x-12，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在m=0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；③∵x 1+x 2＞2m∴x 1+x 22＞m ∵二次函数y=-（x-m ）2-m+1（m 为常数）的对称轴为直线x=m∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离∵x 1＜x 2，且-1＜0∴y 1＞y 2故结论③错误；④当-1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，且-1＜0∴m 的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C ．【答案】C5．如图，二次函数的图象与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）若直线与y 轴的交点为E ，连结AD 、AE ，求△ADE 的面积．【答案】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 常数），根据题意得 {9a −3b +c =0a +b +c =0c =3，解得：{a =−1b =−2c =3，所以二次函数的解析式为：y=-x 2-2x+3；（2）如图，一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是：x ＜-2或x ＞1．（3）∵对称轴：x=-1．∴D （-2，3）；设直线BD ：y=mx+n 代入B （1，0），D （-2，3）：{m +n =0−2m +n =3， 解得：{m =−1n =1， 故直线BD 的解析式为：y=-x+1，把x=0代入求得E （0，1）∴OE=1，又∵AB=4∴S △ADE=12×4×3-12×4×1=4．三、二次函数图像的开口方向、顶点坐标及对称轴【知识探索】1．二次函数（、、为常数，）： （1）当时，抛物线开口向上，有最低点；当时，抛物线开口向下，有最高点；（2）函数图像的对称轴为直线，顶点坐标为（，）．【错题精练】例1．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ＞0）的图象的对称轴为直线x =1，且（x 1，y1），（x 2，y2）为其图象上的两点，（ ）A. 若x 1＞x 2＞1，则(y 1−y 2)+2a (x 1−x 2)＜0；B. 若1＞x 1＞x 2，则(y 1−y 2)+2a (x 1−x 2)＜0；C. 若x 1＞x 2＞1，则(y 1−y 2)+a (x 1−x 2)＞0；D. 若1＞x 1＞x 2，则(y 1−y 2)+a (x 1−x 2)＞0．【答案】D在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y= 2．一次函数y=ax+b和反比例函数y=cxax2+bx+c的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C3．如图，点A、B的坐标分别为（1，1）和（5，4），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），当抛物线的顶点为A时，点C的横坐标为O，则点D 的横坐标最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解：∵抛物线的顶点为A时，点C的横坐标为O，∴设此时抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，代入（0，0）得，a+1=0，∴a=﹣1，∴此时抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，∵抛物线的顶点在线段AB上运动，∴当顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大，∴抛物线从A移动到B后的解析式为y=﹣（x﹣5）2+4，令y=0，则0=﹣（x ﹣5）2+4，解得x=7或3，∴点D 的横坐标最大值为7．【答案】C1．若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于正半轴C 点，且AC=20，BC=15，∠ACB=90°，则此抛物线的解析式为______．【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，AC=20，BC=15，∴AB=√152+202=25，∵12OC•AB=12AC•BC ，∴OC=15×2025=12， ∴OA=√152−122=9，∴OB=25-9=16，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-9，0）、（16，0）或（-16，0）、（9，0），当抛物线过点（-9，0）、（16，0）时，设抛物线解析式为y=a （x+9）（x-16），把C （0，12）代入得a•9•（-16）=12，解得a=-112，此时抛物线解析式为y=-112（x+9）（x-16），即y=-112x 2+712x+12；当抛物线过点（-16，0）、（9，0）时，设抛物线解析式为y=a （x+16）（x-9），把C （0，12）代入得a•16•（-9）=12，解得a=-112，此时抛物线解析式为y=-112（x+16）（x-9）， 即y=-112x 2-712x+12综上所述，抛物线解析式为y=-112x 2+712x+12或y=-112x 2-712x+12．D. 顶点坐标是（1，-3）【答案】D6．如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）、B （3，0）两点，抛物线交y 轴于点C （0，3），点D 为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M 、N 两点，过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）问点P 在何处时，线段PQ 最长，最长为多少；（3）设E 为线段OC 上的三等分点，连接EP ，EQ ，若EP=EQ ，求点P 的坐标．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）、B （3，0）两点，交y 轴于点C （0，3），由题意，得{0=a −b +c0=9a +3b +c 3=c，解得：{a =−1b =2c =3∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3，∴y=-（x-1）2+4，∴D （1，4）；（2）∵PQ ⊥x 轴，∴P 、Q 的横坐标相同，∵P 点在直线y=x-1上，设P （a ，a-1），则Q （a ，-a 2+2a+3），∴PQ=-a 2+2a+3-a+1=-a 2+a+4，∴PQ=-（a-12）2+174，∴当a=12时，线段PQ 最长为174，则P 点坐标为（12，-12）；（3）∵E 为线段OC 上的三等分点，且OC=3， ∴E （0，1）或E （0，2），设P （p ，p-1）（在y=x-1上），则Q （p ，-p 2+2p+3）． 当E （0，1）时，∵EP=EQ ，∴（p-0）2+（p-1-1）2=（p-0）2+（-p 2+2p+3-1）2， ∴p 2+（p-2）2=p 2+（p 2-2p-2）2，（p-2）2=（p 2-2p-2）2，①当 p 2-2p-2=p-2时，∴p （p-3）=0，∴p=0或3，当p=0，P （0，-1），Q （0，3），当p=3，P （3，2），Q （3，0），过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ． ∵直线y=x-1交抛物线于点M 、N 两点，∴x-1=-x 2+2x+3，解得：x 1=1−√172，x 2=1+√172， M 的横坐标为1−√172，N 点的横坐标为1+√172， ∴P 点横坐标：大于等于1−√172小于等于1+√172， ∴P （3，2），Q （3，0）不符合要求舍去；②p 2-2p-2=-p+2，整理得：p 2-p-4=0，解得：P 1=1−√172，p 2=1+√172， ∵直线y=x-1交抛物线于点M 、N 两点，∴x-1=-x 2+2x+3，解得：x 1=1−√172，x 2=1+√172， M 的横坐标为1−√172，N 点的横坐标为1+√172， ∵过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ． ∴P 点横坐标：大于等于1−√172小于等于1+√172， 当E （0，2）时，∵EP=EQ ，∴（p-0）2+（p-1-2）2=（p-0）2+（-p 2+2p+3-2）2， p 2+（p-3）2=p 2+（p 2-2p-1）2，∴（p-3）2=（p 2-2p-1）2．③当 p 2-2p-1=p-3时，∴（p-1）（p-2）=0∴p=1或2． 当p=1时，P （1，0），Q （1，4）当p=2时，P （2，1），Q （2，3）④p 2-2p-1=-p+3p 2-p-4=0，解得：P 1=1−√172＜-1，p 2=1+√172＞2， P （1−√172，−√17−12）或（1+√172,√17−12）． 综上所述，P 点的坐标为：P （0，-1），P （1，0），P （2，1），P （1−√172，−√17−12）或（1+√172,√17−12）． ∵点P 在线段MN 上，∴P 点的坐标为：P （0，-1），P （1，0），P （2，1）．非学科培训。
九年级数学二次函数解析式的确定(新编201912)
分析： 先求出A、B两点的坐标：A（1，2）、B（2，5）
①若A（1，2）为顶点： ②若B（2，5）为顶点：
设解析式为y=a(x-1)2+2 ∵5=a+2 ∴a=3 又∵函数有最大值, ∴a=3不合,舍去.
20.3二次函数解析式 的求法
回味知识点：
二次函数解析式常见的三种表示形式： (1)一般式 (2)顶点式 (3)交点式
讲例：
1、已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 y 3 x 3 与 x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线2的解析
式；
分析：
∵直线 y 3 x 3 与x轴、y轴的交点为 （2，0），（20，3）则：4a 2b c 0
（3）设与L平行的直线的解析式为y=2x+n
则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一 个解。即△=0
2讲、例已：知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直
线 y=3x-1交于A（m，2）、B（n，5），且其中一 个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数的解 析式；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大。
c 3 a b c 1
试一试：
1、已知：一次函数的图象交y轴于点（0，-1）， 交抛物线y=x2+bx+c于顶点和另一点（2，5），试 求这个一次函数的解析式和b、c的值。
点拔：设一次函数的解析式为y=kx+n
则:
n 1 2k n
5
∴y=3x-1
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(
b
,
4c
b
2
)
24
4c b 2
初中二次函数知识点汇总
初中二次函数知识点汇总二次函数是初中数学中的重要内容之一，涉及到二次函数的定义、图像、最值、零点等多个方面的知识点。
下面是二次函数知识点的汇总：1.二次函数的定义：二次函数的标准形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
a代表抛物线的开口方向和大小，b代表抛物线的位置，c代表抛物线与y轴的位置关系。
2.二次函数的图像：抛物线的开口方向由a的正负决定，若a>0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为:(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x) = ax^2 + bx + c。
抛物线对称轴的方程为：x=-b/2a。
3.二次函数的最值：当抛物线开口向上时，抛物线的最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口向下时，抛物线的最大值为顶点的纵坐标。
4.二次函数的零点：二次函数的零点即方程ax^2 + bx + c = 0的解。
判断方程是否有实根的判别式为：Δ = b^2 - 4ac。
若Δ>0，则方程有两个不相等的实根；若Δ=0，则方程有两个相等的实根；若Δ<0，则方程无实根。
5.二次函数的解析式与图像的关系：根据二次函数的解析式可以确定抛物线的开口方向、位置、顶点坐标等信息；根据抛物线的图像可以确定二次函数的解析式，通过抛物线的开口方向、位置、顶点坐标等信息确定解析式中的参数。
6.二次函数的平移：设二次函数的解析式为f(x)，则f(x-h)表示沿x轴方向平移h个单位；f(x)+k表示沿y轴方向平移k个单位。
7.二次函数的应用：二次函数在解决抛物线运动问题、建模问题等方面有广泛的应用。
8.二次函数图像的特点：如果a>0，则抛物线在顶点左右对称；如果a<0，则抛物线在顶点左右不对称。
9.二次函数的最值问题：当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
10.二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是指通过顶点的直线，其方程为x=-b/2a。
二次函数知识点总结初中数学
二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c (a ≠0)的图象与性质要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b =0，则y=ax 2+c ； 若c =0，则y=ax 2+bx ； 若b=c =0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=ax 2（a ≠0）；②y=ax 2+k （a ≠0）；③y=a(x-h)2（a ≠0）；④y=a(x-h)2+k （a ≠0），其中abh 2-=,a b ac k 442-=；⑤y=ax 2+bx+c （a ≠0）. 要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a =0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）；2. 顶点式：y=a(x-h)2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）；3. 两根式：))((21x x x x a y --=（a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.x 240b ac -≥要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。
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∴a(2-1)2-2=3，得：a=5,
∴解析式为y=5(x- 1)2-2
注：此题运用了二次函数的顶点式
2.已知抛物线过三点：A（－1，2），B（0，1）， C（2，－7），求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为： y ax bx 1
2
a b 1 2 由已知得： 4a 2b 1 7
∵抛物线过点C（1，2）
注：此题运用了
二次函数的双根式
解析式为: 1 y ( x 1)(x 3) 2
∴ a (1 1)(1 3) 2
4a 2 1 a 2
3 3.已知抛物线和y轴的交点（0，－ 2 ）
和x 轴的一个交点（-1，0），对称轴是x =1. （1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式； （2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值， 并求出这个最大值或最小值
2 2
y
A O
B
x
公式：AB | x2 x1 | |a|
b 2 4ac |a| |a|
y ax2 bx c, (a 0)
6.抛物线y=-2x2+4x+1 在 x轴上截得的线段长度
为
6
.
y
16 8 6 解: AB |a| 2
A O B
当x
b 1 1时 1 2a 2 2
y最小值
4ac b 2 4a
1 3 4 ( ) (1) 2 2 ＝ 2 ＝－2 1 4 2
b 1 当x 1时函数有最小值 1 2a 2 2 1 2 3 y最小值 1 1 2 2 2
x1, x2 为方程： a(x－x1)(x－x2)=0的两个 根，即抛物线与x的两个交点的横坐标，
当已知抛物线与x轴两交点时，求解析式要 设双根式.
y
x1 o
x2
x
无论哪一种形式，要确定抛物线的解析式 都需要三个条件。
上一次例题补讲
2 11.若一抛物线 y ax 与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2
解法二 设解析式为y=a(x-1)2+k，则由已知得
3 2 a(0 1) k , 2 a(1 1) 2 k 0. 3 ak , 得： 2 4a k 0.
3 （ 点（-1，0）， 0， ） 在图象上，所以 2
解这个二元一次方程组，得
a 1 解得： b 2
二次函数的解析为： x 2 2x 1 y
注：此题运用了二次函数的一般式
3.已知抛物线与x轴交于A(-1, 0),B(3, 0),且过 点C(1, 2) ，求抛物线的函数解析式. 解：由已知设函数的解析式为
y a( x＋ )(x 3) 1
所求函数的解析式为 3 3 y ( x 1)(x 5)或y ( x 1)(x 5) 5 5
求抛物线在x轴上截得的线段的长
设抛物线y ax2 bx c与x轴交于 两点A（x1 ,0), B( x2 ,0) 由ax2 bx c 0得
b b 2 4ac x1, 2 2a AB | x1 x2 | | b b 4ac b b 4ac | 2a 2a
2
2 x1 x2 26
m 4 10 26 m 4 16, m 2 4
图象过A(1,0), B(5,0) 设函数解析式为： a( x 1)(x 5) y
当C为(0,3)时 a ( 5) 3, 得a 3 5
注：此题用了双根式.
3 得：y ( x 1)(x 5) 5 当C为（0， 3）时 3 a 5 3 得：y ( x 1)(x 5) 5
.
5.在平面直角座标系的x轴上有两点A（x1,0),B(x2,0) 在y轴上有一点C，已知x1，x2是方程x2-m2x-5=0的 两根，且x12+x22=26, △ABC的面积是9. (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求图象过A，B，C三点的二次函数的解析式.
解:(1) 由已知得:
x1 x2 m 2 x1 x2 5 2 2 x1 x2 26
x
y ax2 bx c 1.若抛物线
经过A（1，－4）、B（－1，0）、C（－2，5）三点 1)求抛物线的解析式并画出这条抛物线； 2)结合图形分别求出函数当y>0;y<0时的x的取值范围.
2. 已知抛物线
1 2 y x (n 1) x 2n 2
（n<0）经过点A（x1, 0）,B(x2, 0), D(0, y1),其中x1<x2, △ABD的面积等于12. 1)求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标； 2)如果点C（2, y2）在这条抛物线上，点P在y轴的 3)正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求直线PB的 4)解析式.
x2 4x 5 0 ( x 5)(x 1) 0 x1 1, x2 5, A(1,0), B(5,0)
S ABC c 3 A(1,0), B(5,0), C (0,3)或C（0， 3） 1 | c | AB 3 | c | 9 2
x1 x2
围成的正方形有公共点，求a的取值范围. 解:如图,四条直线围成的正 方形为ABCD
x=1
y
x=2
则:A(1, 2),C(2, 1)
当抛物线过C点时 4a=1得 a1
1 4
A
D y=2
C y=1
3
当抛物线过A点时 a2=2 o
1
B
1 a2 4
1.已知抛物线的顶点为（1，－2），且过点（2，3） 求抛物线的二次函数解析式. 解：设二次函数解析式为：y=a(x- 1)2-2 ∵图象过点（2， 3）
初中数学
二次函数有三种表达形式： 1.一般式：y=ax2+bx+c （a≠0） 当已知抛物线过三点时，求解析式要设一般式. 2.顶点式：y=a(x－h)2+k （a≠0） M（h, k）为抛物线的顶点，
当已知抛物线的顶点坐标时，求解析式要设顶点 式.
3.双根式：y=a(x－x1)(x－x2) （a≠0）
1 a , 1 得解析式为： ( x 1) 2 2 y 2 2 k 2.
.
解法三 ∵对称轴为x=1，一个交点（-1，0）， ∴另一个交点为（3，0）. 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).
3 点（0，－ ）在图象上 2 注：此题的三种解法 3 3a 分别运用了二次函数 2 的一般式、顶点式、 1 双根式. a 2 1 解析式为： y ( x 1)( x 3) 2
3 解法一 （1）设二次函数的解析式为 y ax bx 2
2
பைடு நூலகம்
（2）由于 a
1 a , 解得： 2 b 1. 1 2 3 得解析式为： y x x 2 1 2
2 所以这个二次函数有最小值， 0
b 2a 1, a b 3 0. 2