同济版高等数学教案第五章定积分

第五章定积分

教学目的：

1、理解定积分的概念。

2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

教学重点：

1、定积分的性质及定积分中值定理

2、定积分的换元积分法与分部积分法。

3、牛顿—莱布尼茨公式。

教学难点：

1、定积分的概念

2、积分中值定理

3、定积分的换元积分法分部积分法。

4、变上限函数的导数。

§5 1 定积分概念与性质

一、定积分问题举例

1曲边梯形的面积

曲边梯形设函数y f(x)在区间[a b]上非负、连续由直线x a、x b、y0及曲线y f (x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边

求曲边梯形的面积的近似值

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b ]中任意插入若干个分点

a x 0 x 1 x 2

x n

1

x n b

把[a b ]分成n 个小区间

[x 0

x 1] [x 1 x 2]

[x 2

x 3] [x n

1

x n ]

它们的长度依次为x 1 x 1x 0 x 2 x 2x 1 x n x n x n 1

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形 在每个小区间 [x i

1

x i ]上任取一点

i

以[x i

1

x i ]为底、f (

i

)为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲

边梯形(i 1 2 n ) 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 即

A f (

1)x 1 f (

2

)

x 2 f (

n

)

x n ∑=∆=n

i i

i x f 1

)(ξ

求曲边梯形的面积的精确值 显然

分点越多、每个小曲边梯形越窄

所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边

梯形面积A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记

max{x 1

x 2

x n }

于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度

趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为

∑=→∆=n

i i

i x f A 1

0)(lim ξλ

2 变速直线运动的路程

设物体作直线运动 已知速度v v (t )是时间间隔[T 1 T 2]上t 的连续函数 且v (t )0

计算在这段时间内物体所经过的路程S 求近似路程

我们把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小的时间间隔t i 在每个小的时间间隔t i 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔t i 内某点

i

的速度v (

i

) 物体

在时间间隔t i 内 运动的距离近似为S i v (i

)t i 把物体在每一小的时间间隔t i

内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 T 2]内所经过的路程S 的近似值 具体做法是

在时间间隔[T 1 T 2]内任意插入若干个分点

T 1t 0 t 1 t 2

t n

1

t n T 2

把[T 1 T 2]分成n 个小段

[t 0

t 1] [t 1 t 2] [t n

1

t n ]

各小段时间的长依次为

t 1t 1t 0 t 2t 2t 1

t n t n t n

1

相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为

S 1 S 2

S n

在时间间隔[t i 1

t i ]上任取一个时刻

i

(t i 1

i

t i )

以

i

时刻的速度v (

i

)

来代替[t i

1

t i ]上各个时刻的速度 得到部分路程S i 的近似值 即

S i v (

i

)t i (i 1 2 n )

于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即

∑=∆≈n

i i

i t v S 1)(τ

求精确值

记 max{t 1 t 2 t n } 当0时 取上述和式的极限 即得

变速直线运动的路程

∑=→∆=n

i i

i t v S 1

0)(lim τλ

设函数y f (x )在区间[a b ]上非负、连续 求直线x a 、x b 、y 0

及曲线y f (x )所围成的曲边梯形的面积 (1)用分点a

x 0x 1x 2 x n

1

x n b 把区间[a b ]分成n 个小区间

[x 0 x 1] [x 1 x 2] [x 2

x 3] [x n 1

x n ] 记x i x i x i 1 (i 1 2

n )

(2)任取i

[x i

1

x i ] 以[x i

1

x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为

i i x f ∆)(ξ (i 1 2 n ) 所求曲边梯形面积A 的近似值为

∑=∆≈

n

i i

i

x

f A 1

)(ξ

(3)记max{x 1 x 2

x n } 所以曲边梯形面积的精确值为

∑=→∆=n

i i

i

x

f A 1

)(lim

ξλ

设物体作直线运动 已知速度v v (t )是时间间隔[T 1 T 2]上t 的连续函数

且v (t )0 计算在这段时间内物体所经过的路程S (1)用分点T 1t 0t 1t 2 t n

1

t n T 2把时间间隔[T 1 T 2]分成n 个小时间

段 [t 0 t 1] [t 1 t 2]

[t n

1

t n ] 记

t i t i t i 1 (i 1 2

n )

(2)任取i

[t i

1

t i ] 在时间段[t i

1

t i ]内物体所经过的路程可近似为v (

i

)t i

(i

1 2 n ) 所求路程S 的近似值为