高考数学一模试题杨浦2016届高三一模数学卷(文、附答案)
2016年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2016年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).1.(4分)设x∈R,则不等式|x－3|＜1的解集为.2.(4分)设z＝,其中i为虚数单位,则z的虚部等于.3.(4分)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0,l2：2x＋y＋1＝0,则l1,l2的距离.4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是(米).5.(4分)若函数f(x)＝4sinx＋acosx的最大值为5,则常数a＝.6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,则f(x)的反函数f－1(x)＝.7.(4分)若x,y满足,则x－2y的最大值为.8.(4分)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为.9.(4分)在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于.10.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.12.(4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,－1),P是曲线y＝上一个动点,则•的取值范围是.13.(4分)设a＞0,b＞0.若关于x,y的方程组无解,则a＋b的取值范围是.14.(4分)无穷数列{an }由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).15.(5分)设a∈R,则“a＞1”是“a2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.(5分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C117.(5分)设a∈R,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )A.1B.2C.3D.418.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题：①若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题三、简答题：本大题共5题,满分74分19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.21.(14分)双曲线x 2－＝1(b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点. (1)若l 的倾斜角为,△F 1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝,若l 的斜率存在,且|AB|＝4,求l 的斜率.22.(16分)对于无穷数列{a n }与{b n },记A ＝{x|x ＝a n ,n ∈N *},B ＝{x|x ＝b n ,n ∈N *},若同时满足条件：①{a n },{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. (1)若a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数量{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16＝36,求{a n }与{b n }的通项公式. 23.(18分)已知a ∈R,函数f(x)＝log 2(＋a). (1)当a ＝1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.2016年上海市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14题,每小题4分,共56分).1.(4分)设x ∈R,则不等式|x －3|＜1的解集为 (2,4) .【分析】由含绝对值的性质得－1＜x －3＜1,由此能求出不等式|x －3|＜1的解集. 【解答】解：∵x ∈R,不等式|x －3|＜1, ∴－1＜x －3＜1, 解得2＜x ＜4.∴不等式|x －3|＜1的解集为(2,4). 故答案为：(2,4). 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法,是基础题,解题时要认真审题,注意含绝对值不等式的性质的合理运用.2.(4分)设z ＝,其中i 为虚数单位,则z 的虚部等于 －3 . 【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：z ＝＝＝－3i ＋2,则z 的虚部为－3. 故答案为：－3.【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.(4分)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0,l 2：2x ＋y ＋1＝0,则l 1,l 2的距离 .【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可.【解答】解：平行直线l 1：2x ＋y －1＝0,l 2：2x ＋y ＋1＝0,则l 1,l 2的距离：＝.故答案为：.【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用,考查计算能力.4.(4分)某次体检,5位同学的身高(单位：米)分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76.则这组数据的中位数是 1.76 (米).【分析】将数据从小到大进行重新排列,根据中位数的定义进行求解即可.【解答】解：将5位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69,1.72,1.76,1.78,1.80. 则位于中间的数为1.76,即中位数为1.76, 故答案为：1.76【点评】本题主要考查中位数的求解,根据中位数的定义,将数据从小到大进行排列是解决本题的关键.5.(4分)若函数f(x)＝4sinx ＋acosx 的最大值为5,则常数a ＝ ±3 . 【分析】利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的最大值为5,求得a 的值.【解答】解：由于函数f(x)＝4sinx＋acosx＝sin(x＋θ),其中,cosθ＝,sinθ＝,故f(x)的最大值为＝5,∴a＝±3,故答案为：±3.【点评】本题主要考查辅助角公式,正弦函数的值域,属于基础题.(x－1)(x 6.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,则f(x)的反函数f－1(x)＝log2＞1) .【分析】由于点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,可得9＝1＋a3,解得a＝2.可得f(x)＝1(y－1),(y＞1).把x与y互换即可得出f(x)的反函数f－1(x). ＋2x,由1＋2x＝y,解得x＝log2【解答】解：∵点(3,9)在函数f(x)＝1＋a x的图象上,∴9＝1＋a3,解得a＝2.(y－1),(y＞1).∴f(x)＝1＋2x,由1＋2x＝y,解得x＝log2把x与y互换可得：f(x)的反函数f－1(x)＝log(x－1).2(x－1),(x＞1).故答案为：log2【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.(4分)若x,y满足,则x－2y的最大值为－2 .【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.【解答】解：画出可行域(如图),设z＝x－2y⇒y＝x－z,由图可知,当直线l经过点A(0,1)时,z最大,且最大值为z＝0－2×1＝－2.max故答案为：－2.【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.8.(4分)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为或.【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式,然后求解即可.【解答】解：方程3sinx＝1＋cos2x,可得3sinx＝2－2sin2x,即2sin2x＋3sinx－2＝0.可得sinx＝－2,(舍去)sinx＝,x∈[0,2π]解得x＝或.故答案为：或.【点评】本题考查三角方程的解法,恒等变换的应用,考查计算能力.9.(4分)在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于112 . 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n＝256,求得 n＝8.在展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项.【解答】解：∵在(－)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,∴2n＝256,解得n＝8,＝＝,∴(－)8中,Tr＋1∴当＝0,即r＝2时,常数项为T＝(－2)2＝112.3故答案为：112.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.10.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.【分析】可设△ABC的三边分别为a＝3,b＝5,c＝7,运用余弦定理可得cosC,由同角的平方关系可得sinC,再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为,代入计算即可得到所求值. 【解答】解：可设△ABC的三边分别为a＝3,b＝5,c＝7,由余弦定理可得,cosC＝＝＝－,可得sinC＝＝＝,可得该三角形的外接圆半径为＝＝.故答案为：.【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法,注意运用正弦定理和余弦定理,考查运算能力,属于基础题.11.(4分)某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数,再求出选法相同的选法种数,利用古典概型概率计算公式得答案.【解答】解：甲同学从四种水果中选两种,选法种数为,乙同学的选法种数为,则两同学的选法种数为种.两同学相同的选法种数为.由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.故答案为：.【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用,考查了组合及组合数公式,是基础题. 12.(4分)如图,已知点O(0,0),A(1,0),B(0,－1),P是曲线y＝上一个动点,则•的取值范围是[－1,] .【分析】设出＝(x,y),得到•＝x＋,令x＝cosθ,根据三角函数的性质得到•＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋),从而求出•的范围即可.【解答】解：设＝(x,y),则＝(x,),由A(1,0),B(0,－1),得：＝(1,1),∴•＝x＋,令x＝cosθ,θ∈[0,π],则•＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋),θ∈[0,π],故•的范围是[－,1,],故答案为：[－1,].【点评】本题考查了向量的运算性质,考查三角函数问题,是一道基础题.13.(4分)设a＞0,b＞0.若关于x,y的方程组无解,则a＋b的取值范围是(2,＋∞) .【分析】根据方程组无解可知两直线平行,利用斜率得出a,b的关系,再使用基本不等式得出答案.【解答】解：∵关于x,y的方程组无解,∴直线ax＋y－1＝0与直线x＋by－1＝0平行,∴－a＝－,且.即a＝且b≠1.∵a＞0,b＞0.∴a＋b＝b＋＞2.故答案为：(2,＋∞).【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系,基本不等式的应用,属于基础题.14.(4分)无穷数列{an }由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为 4 .【分析】对任意n∈N*,Sn∈{2,3},列举出n＝1,2,3,4的情况,归纳可得n＞4后都为0或1或－1,则k的最大个数为4.【解答】解：对任意n∈N*,Sn∈{2,3},可得当n＝1时,a1＝S1＝2或3；若n＝2,由S2∈{2,3},可得数列的前两项为2,0；或2,1；或3,0；或3,－1；若n＝3,由S3∈{2,3},可得数列的前三项为2,0,0；或2,0,1；或2,1,0；或2,1,－1；或3,0,0；或3,0,－1；或3,1,0；或3,1,－1；若n＝4,由S3∈{2,3},可得数列的前四项为2,0,0,0；或2,0,0,1；或2,0,1,0；或2,0,1,－1；或2,1,0,0；或2,1,0,－1；或2,1,－1,0；或2,1,－1,1；或3,0,0,0；或3,0,0,－1；或3,0,－1,0；或3,0,－1,1；或3,－1,0,0；或3,－1,0,1；或3,－1,1,0；或3,－1,1,－1；…即有n＞4后一项都为0或1或－1,则k的最大个数为4,不同的四个数均为2,0,1,－1,或3,0,1,－1.故答案为：4.【点评】本题考查数列与集合的关系,考查分类讨论思想方法,注意运用归纳思想,属于中档题.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一脸得零分).15.(5分)设a∈R,则“a＞1”是“a2＞1”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜－1,即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件,故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是( )A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C1【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A,B,C的直线都和直线EF异面,而由图形即可看出直线B1C1和直线相交,从而便可得出正确选项.【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线；B 1C1和EF在同一平面内,且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交,即选项D正确.故选：D.【点评】考查异面直线的概念及判断,平行直线和相交直线的概念及判断,并熟悉正方体的图形形状.17.(5分)设a∈R,b∈[0,2π),若对任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( )A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同.【解答】解：∵对于任意实数x都有sin(3x－)＝sin(ax＋b),则函数的周期相同,若a＝3,此时sin(3x－)＝sin(3x＋b),此时b＝－＋2π＝,若a＝－3,则方程等价为sin(3x－)＝sin(－3x＋b)＝－sin(3x－b)＝sin(3x－b＋π), 则－＝－b＋π,则b＝,综上满足条件的有序实数组(a,b)为(3,),(－3,),共有2组,故选：B.【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的性质,结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键.18.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题：①若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是增函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)＋g(x)、f(x)＋h(x)、g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题【分析】①举反例说明命题不成立；②根据定义得f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T),f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T),h(x)＋g(x)＝h(x＋T)＋g(x＋T),由此得出：g(x)＝g(x＋T),h(x)＝h(x＋T),f(x)＝f(x＋T),即可判断出真假.【解答】解：对于①,举反例说明：f(x)＝2x,g(x)＝－x,h(x)＝3x；f(x)＋g(x)＝x,f(x)＋h(x)＝5x,g(x)＋h(x)＝2x都是定义域R上的增函数,但g(x)＝－x不是增函数,所以①是假命题；对于②,根据周期函数的定义,f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T),f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T),h(x)＋g(x)＝h(x＋T)＋g(x＋T),前两式作差可得：g(x)－h(x)＝g(x＋T)－h(x＋T),结合第三式可得：g(x)＝g(x＋T),h(x)＝h(x＋T),同理可得：f(x)＝f(x＋T),所以②是真命题.故选：D.【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题目.三、简答题：本大题共5题,满分74分19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求圆柱的体积与侧面积；(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.【分析】(1)直接利用圆柱的体积公式,侧面积公式求解即可.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,即可求解所求角的大小.【解答】解：(1)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,圆柱的体积为：π•12•1＝π.侧面积为：2π•1＝2π.(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,OB,则OB∥O1B,∴∠AOB＝,异面直线O1B1与OC所成的角的大小就是∠COB,大小为：－＝.【点评】本题考查几何体的体积侧面积的求法,考查两直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线C的方程；(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.【分析】(1)设分界线上任意一点为(x,y),根据条件建立方程关系进行求解即可.(2)设M(x0,y),则y＝1,分别求出对应矩形面积,五边形FOMGH的面积,进行比较即可.【解答】解：(1)设分界线上任意一点为(x,y),由题意得|x＋1|＝,得y＝2,(0≤x≤1),(2)设M(x0,y),则y＝1,∴x＝＝,∴设所表述的矩形面积为S3,则S3＝2×(＋1)＝2×＝,设五边形EMOGH的面积为S4,则S4＝S3－S△OMP＋S△MGN＝－××1＋＝,S 1－S3＝＝,S4－S1＝－＝＜,∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积.【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题,考查学生的运算能力,综合性较强,难度较大.21.(14分)双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝,若l的斜率存在,且|AB|＝4,求l的斜率.【分析】(1)由题意求出A点纵坐标,由△F1AB是等边三角形,可得tan∠AF1F2＝tan＝,从而求得b值,则双曲线的渐近线方程可求；(2)写出直线l的方程y－0＝k(x－2),即y＝kx－2k,与双曲线方程联立,利用弦长公式列式求得k值.【解答】解：(1)若l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,把x＝c＝代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2,由tan∠AF1F2＝tan＝＝,求得b2＝2,b＝,故双曲线的渐近线方程为y＝±bx＝±x,即双曲线的渐近线方程为y＝±x.(2)设b＝,则双曲线为 x2－＝1,F2(2,0),若l的斜率存在,设l的斜率为k,则l的方程为y－0＝k(x－2),即y＝kx－2k,联立,可得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0,由直线与双曲线有两个交点,则3－k2≠0,即k.△＝36(1＋k2)＞0.x 1＋x2＝,x1•x2＝.∵|AB|＝•|x1－x2|＝•＝•＝4,化简可得,5k4＋42k2－27＝0,解得k2＝, 求得k＝.∴l 的斜率为.【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查了双曲线的简单性质,考查弦长公式的应用,体现了“设而不求”的解题思想方法,是中档题.22.(16分)对于无穷数列{a n }与{b n },记A ＝{x|x ＝a n ,n ∈N *},B ＝{x|x ＝b n ,n ∈N *},若同时满足条件：①{a n },{b n }均单调递增；②A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *,则称{a n }与{b n }是无穷互补数列. (1)若a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,判断{a n }与{b n }是否为无穷互补数列,并说明理由； (2)若a n ＝2n 且{a n }与{b n }是无穷互补数列,求数量{b n }的前16项的和；(3)若{a n }与{b n }是无穷互补数列,{a n }为等差数列且a 16＝36,求{a n }与{b n }的通项公式. 【分析】(1){a n }与{b n }不是无穷互补数列.由4∉A,4∉B,4∉A ∪B ＝N *,即可判断；(2)由a n ＝2n ,可得a 4＝16,a 5＝32,再由新定义可得b 16＝16＋4＝20,运用等差数列的求和公式,计算即可得到所求和；(3)运用等差数列的通项公式,结合首项大于等于1,可得d ＝1或2,讨论d ＝1,2求得通项公式,结合新定义,即可得到所求数列的通项公式. 【解答】解：(1){a n }与{b n }不是无穷互补数列. 理由：由a n ＝2n －1,b n ＝4n －2,可得4∉A,4∉B,即有4∉A ∪B ＝N *,即有{a n }与{b n }不是无穷互补数列； (2)由a n ＝2n ,可得a 4＝16,a 5＝32,由{a n }与{b n }是无穷互补数列,可得b 16＝16＋4＝20, 即有数列{b n }的前16项的和为(1＋2＋3＋…＋20)－(2＋4＋8＋16)＝×20－30＝180；(3)设{a n }为公差为d(d 为正整数)的等差数列且a 16＝36,则a 1＋15d ＝36, 由a 1＝36－15d ≥1,可得d ＝1或2,若d ＝1,则a 1＝21,a n ＝n ＋20,b n ＝n(1≤n ≤20), 与{a n }与{b n }是无穷互补数列矛盾,舍去； 若d ＝2,则a 1＝6,a n ＝2n ＋4,b n ＝.综上可得,a n ＝2n ＋4,b n ＝.【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查运算和推理能力,属于中档题.23.(18分)已知a ∈R,函数f(x)＝log 2(＋a). (1)当a ＝1时,解不等式f(x)＞1；(2)若关于x 的方程f(x)＋log 2(x 2)＝0的解集中恰有一个元素,求a 的值；(3)设a ＞0,若对任意t ∈[,1],函数f(x)在区间[t,t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.【分析】(1)当a ＝1时,不等式f(x)＞1化为：＞1,因此2,解出并且验证即可得出.(2)方程f(x)＋log2(x2)＝0即log2(＋a)＋log2(x2)＝0,(＋a)x2＝1,化为：ax2＋x－1＝0,对a分类讨论解出即可得出.(3)a＞0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t＋1]上单调递减,由题意可得－≤1,因此≤2,化为：a≥＝g(t),t∈[,1],利用导数研究函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)当a＝1时,不等式f(x)＞1化为：＞1,∴2,化为：,解得0＜x＜1,经过验证满足条件,因此不等式的解集为：(0,1).(2)方程f(x)＋log2(x2)＝0即log2(＋a)＋log2(x2)＝0,∴(＋a)x2＝1,化为：ax2＋x－1＝0,若a＝0,化为x－1＝0,解得x＝1,经过验证满足：关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素1.若a≠0,令△＝1＋4a＝0,解得a＝,解得x＝2.经过验证满足：关于x的方程f(x)＋log2(x2)＝0的解集中恰有一个元素1.综上可得：a＝0或－.(3)a＞0,对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t＋1]上单调递减,∴－≤1,∴≤2,化为：a≥＝g(t),t∈[,1],g′(t)＝＝＝≤＜0,∴g(t)在t∈[,1]上单调递减,∴t＝时,g(t)取得最大值,＝.∴.∴a的取值范围是.【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.。
上海高三数学一模汇总(杨浦、青浦)
杨浦区2016学年度第一学期期末高三年级质量调研数学学科试卷考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1、 若“a b >”，则“33a b >”是________命题．（填：真、假）2、 已知(0]A =-∞,，()B a =+∞,，若A B =R ，则a 的取值范围是________．3、 294z z i +=+（i 为虚数单位），则||z =________．4、 若ABC △中，4a b +=，30C ∠=︒，则ABC △面积的最大值是_________．5、 若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-，则a =________． 6、 过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60︒，则该截面的面积是__________．7、 抛掷一枚均匀的骰子（刻有1、2、3、4、5、6）三次，得到的数字依次记作a 、b 、c ，则a bi +（i 为虚数单位）是方程220x x c -+=的根的概率是___________．8、 设常数0a >，9(x展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_______．9、 已知直线l 经过点(0)且方向向量为(21)-,，则原点O 到直线l 的距离为__________．10、 若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为_________．11、 平面直角坐标系中，给出点(1,0)A ，(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是___________．12、 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x 满足120n x x x ≤<<<，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12016n n f x f x -+-=，则n n x +最小值为__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13、若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的()(A) 充分但非必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充要条件(D) 既非充分也非必要条件14、行列式147258369中，元素7的代数余子式的值为()(A) 15-(B) 3-(C) 3(D) 1215、一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两位员工数据不清楚。
上海市杨浦区控江中学2016届高考数学模拟试卷(理科)(5月份) Word版含解析
2016年上海市杨浦区控江中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一.填空题（每小题4分，共56分）.1．集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x2＜1}，则A∪B等于．2．函数y=的定义域是．3．已知函数f（x）=，则f﹣1（1）=．4．若复数+b（b∈R）所对应的点在直线x+y=1上，则b的值为．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．6．已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则=．7．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为．8．对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为．若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD．若PA=a，则直线PB与平面PCD所成的角的大小为．10．在极坐标系中，曲线ρ=4cos（θ﹣）与直线ρcosθ=2的两个交点之间的距离为．11．某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是．12．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为．13．函数f（x）=2x+sin2x﹣1图象的对称中心是．14．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是．二.选择题（每小题5分，共20分）.15．下列函数中，与函数y=x3的值域相同的函数为（）A．y=（）x+1B．y=ln（x+1）C．y=D．y=x+16．一无穷等比数列{a n}各项的和为，第二项为，则该数列的公比为（）A．B．C．D．或17．角α终边上有一点（﹣1，2），则下列各点中在角3α的终边上的点是（）A．（﹣11，2）B．（﹣2，11）C．（11，﹣2）D．（2，﹣11）18．已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中（）A．存在某个位置，使得直线AB和直线CD垂直B．存在某个位置，使得直线AC和直线BD垂直C．存在某个位置，使得直线AD和直线BC垂直D．无论翻折到什么位置，以上三组直线均不垂直三.解答题（五题分别为12，14，14，16，18分，共74分）.19．已知复数﹣1+3i、cosα+isinα（0＜α＜，i是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A、B，点O是坐标原点．（1）若OA⊥OB，求tanα的值；（2）若B点的横坐标为，求S△AOB．20．某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）．21．已知f （x ）=x n +x n ﹣1+…+x ﹣1，x ∈（0，+∞）．n 是不小于2的固定正整数．（1）当n=2时，若不等式f （x ）≤kx 对一切x ∈（0，1]恒成立，求实数k 的取值范围；（2）试判断函数f （x ）在（，1）内零点的个数，并说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C （0，c ）任作一直线，与抛物线y=x 2相交于A ，B 两点，一条垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线l ：y=﹣c 交于点P ，Q ．（1）若•=2，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：直线QA 与该抛物线有且仅有一个公共点．（3）若直线QA 的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P 是否一定为线段AB 的中点？说明理由．23．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n =|a n ﹣1﹣a n ﹣2|，n=3，4，5，…，则称{a n }为“D ﹣数列”．（1）举出一个前六项均不为零的“D ﹣数列”（只要求依次写出该数列的前六项）；（2）若“D ﹣数列”{a n }中，a 2015=3，a 2016=0，数列{b n }满足b n =a n +a n+1+a n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n →∞时，a n 与b n 的极限是否存在？如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；（3）证明：任何“D ﹣数列”中总含有无穷多个为零的项．2016年上海市杨浦区控江中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一.填空题（每小题4分，共56分）.1．集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x2＜1}，则A∪B等于（﹣1，2）．【考点】并集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∪B即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}=（0，2）；B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）；所以A∪B=（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．2．函数y=的定义域是（﹣∞，0]．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解指数不等式得答案．【解答】解：由，得，∴2x≤0，即x≤0．∴函数y=的定义域是：（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．3．已知函数f（x）=，则f﹣1（1）=1．【考点】反函数；二阶矩阵．【分析】本题由矩阵得到f（x）的表达式，再由反函数的知识算出．【解答】解：由f（x）==2x﹣1，由反函数的性质知2x﹣1=1，解得x=1所以f﹣1（1）=1．故答案为：1．4．若复数+b（b∈R）所对应的点在直线x+y=1上，则b的值为0．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数+b=+b=+b=b+i所对应的点（b，1）在直线x+y=1上，∴b+1=1，解得b=0．故答案为：0．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为\frac{1}{3}．【考点】等比数列的性质．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为6．已知平面上四点O、A、B、C，若=+，则=\frac{2}{3}．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】变形已知式子可得，即，问题得以解决．【解答】解：∵=+，∴，∴，∴∴=．故答案为：．7．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到x的取值范围．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．8．对于抛物线C，设直线l过C的焦点F，且l与C的对称轴的夹角为．若l被C所截得的弦长为4，则抛物线C的焦点到顶点的距离为\frac{1}{2}．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），得出直线l的方程，联立方程组得出根与系数的关系，利用弦长公式列方程解出p．则焦点到顶点的距离为．【解答】解：不妨设抛物线方程为y2=2px（p＞0），则抛物线的焦点F（，0），则直线l的方程为y=x﹣．联立方程组，消元得y2﹣2py﹣p2=0．∴y1+y2=2p，y1y2=﹣p2．∴直线l被抛物线解得弦长为=4．∴=4，解得p=1．∴F（，0）．即抛物线C的焦点到顶点的距离为．故答案为：．9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD．若PA=a，则直线PB与平面PCD所成的角的大小为\frac{π}{6}．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出B到平面PCD的距离，即可求出直线PB与平面PCD所成的角大小．【解答】解：设B到平面PCD的距离为h，直线PB与平面PCD所成的角为α，由等体积可得••a•a•h=••a•a•a，∴h=a，∵PB=a，∴sinα=，∴α=．故答案为：．10．在极坐标系中，曲线ρ=4cos（θ﹣）与直线ρcosθ=2的两个交点之间的距离为2\sqrt{3}．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把所给的直线和曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线方程代入曲线方程，求得交点的坐标，可得弦长【解答】解：曲线ρ=4cos（θ﹣）即ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+=4，表示以（1，）为圆心，半径等于2的圆．直线ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2，把x=2代入圆的方程可得y=0，或y=2，故弦长为2，故答案为：．11．某班级有4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，每名学生只能选择一个专业，假设每名学生选择每个专业都是等可能的，则这3个专业都有学生选择的概率是\frac{4}{9}．【考点】等可能事件的概率．【分析】设“这3个专业都有学生选择”为事件A，首先计算4名学生选择3个专业，可能出现的结果数目，注意是分步问题，再由排列、组合计算这3个专业都有学生选择的可能出现的结果数，结合等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：设“这3个专业都有学生选择”为事件A，由题知，4名学生被复旦大学自主招生录取后，大学提供了3个专业由这4名学生选择，可能出现的结果共有34=81种结果，且这些结果出现的可能性相等，3个专业都有学生选择的可能出现的结果数为C42A33=36，则事件A的概率为，故答案为：．12．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为4x±3y=0．【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F2点作F2Q⊥PF1于Q点，得△PF1F2中，PF2=F1F2=2c，高F2Q=2a，PQ=PF1=c+a，利用勾股定理列式，解之得a与c的比值，从而得到的值，得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵PF2=F1F2=2c，∴根据双曲线的定义，得PF1=PF2+2a=2c+2a过F2点作F2Q⊥PF1于Q点，则F2Q=2a，等腰△PF1F2中，PQ=PF1=c+a，∴=PQ2+，即（2c）2=（c+a）2+（2a）2，解之得a=c，可得b== c∴=，得该双曲线的渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故答案为：4x±3y=013．函数f（x）=2x+sin2x﹣1图象的对称中心是（0，﹣1）．【考点】函数的图象．【分析】先研究函数g（x）=2x+sin2x的对称性，在研究函数f（x）与函数g（x）图象间的关系，最后由g（x）的对称中心推出f（x）的对称中心．【解答】解：设g（x）=2x+sin2x，则g（﹣x）=﹣2x+sin（﹣2x）=﹣2x﹣sin2x=﹣（2x+sin2x）=﹣g（x）∴g（x）为奇函数，其对称中心为（0，0）∵f（x）=g（x）﹣1∴函数f（x）的图象是由函数g（x）的图象再向下平移1个单位得到的，故f（x）的对称中心为（0，﹣1）故答案为：（0，﹣1）．14．如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是\frac{2\sqrt{21}}{3}．【考点】两点间的距离公式．【分析】过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．【解答】解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：二.选择题（每小题5分，共20分）.15．下列函数中，与函数y=x3的值域相同的函数为（）A．y=（）x+1B．y=ln（x+1）C．y=D．y=x+【考点】函数的值域．【分析】知道已知函数的值域是R，再观察四个选项的y的取值情况，从而找出正确答案．【解答】解：∵函数y=x3的值域为实数集R，又选项A中y＞0，选项B中y取全体实数，选项C中的y≠1，选项D中y≠0，故选B．16．一无穷等比数列{a n}各项的和为，第二项为，则该数列的公比为（）A．B．C．D．或【考点】等比数列的性质．【分析】设无穷等比数列{a n}的公比为q，由题意可得，联立消去a1解方程可得．【解答】解：设无穷等比数列{a n}的公比为q，则，联立消去a1可得，整理可得9q2﹣9q+2=0，分解因式可得（3q﹣2）（3q﹣1）=0，解得q=或q=故选：D17．角α终边上有一点（﹣1，2），则下列各点中在角3α的终边上的点是（）A．（﹣11，2）B．（﹣2，11）C．（11，﹣2）D．（2，﹣11）【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得sinα和cosα的值，再利用3倍角公式求得tan3α的值，从而得出结论．【解答】解：∵角α终边上有一点（﹣1，2），由三角函数的定义可知：sinα=，cosα=，∴sin3α=3sinα﹣4sin3α=，cos3α=4cos3α﹣3cosα=，∴tan3α==，故点（11，﹣2）在角3α的终边上，故选：C．18．已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中（）A．存在某个位置，使得直线AB和直线CD垂直B．存在某个位置，使得直线AC和直线BD垂直C．存在某个位置，使得直线AD和直线BC垂直D．无论翻折到什么位置，以上三组直线均不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】假设各选项成立，根据线面位置关系推导结论，若得出矛盾式子，则假设错误，得出正确选项．【解答】解：对于A，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，∵CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，过点A作平面BCD的垂线AE，则E在BC上，∴当A在平面BCD上的射影在BC上时，AB⊥CD．故A正确；对于B，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，作AF⊥BD，则BD⊥平面AFC，∴BD⊥EC，显然这是不可能的，故B错误；对于C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，BC⊥AC，∴AB＞BC，即1＞2，显然这是不可能的，故C错误．故选：A．三.解答题（五题分别为12，14，14，16，18分，共74分）.19．已知复数﹣1+3i、cosα+isinα（0＜α＜，i是虚数单位）在复平面上对应的点依次为A、B，点O是坐标原点．（1）若OA⊥OB，求tanα的值；（2）若B点的横坐标为，求S△AOB．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由已知得到A，B的坐标，进一步求得的坐标，由OA⊥OB得，代入坐标后整理可得tanα的值；（2）由已知求出|OA|，|OB|，由两角差的正弦求得sin∠AOB，代入三角形的面积公式得答案．【解答】解：（1）由题可知：A（﹣1，3），B（cosα，sinα），∴，由OA⊥OB，得，∴﹣cosα+3sinα=0，∴；（2）由（1），记∠AOx=β，，∴，，∵|OB|=1，，得，sin∠AOB=sin（β﹣α）=．∴S△AOB==．20．某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）．【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）求出半球与圆柱的面积，得出y关于r的函数；（2）令y≤80，解出r的最大值，从而得出体积V的最大值．【解答】解：（1）半球的表面积，圆柱的表面积S2=2πr•l．于是．定义域为．（2）16πr2+2πr≤80，即，解得．，经计算得V≈22.7（立方米）．故r的最大值为1.2（米），此时储油罐的体积约为22.7立方米．21．已知f（x）=x n+x n﹣1+…+x﹣1，x∈（0，+∞）．n是不小于2的固定正整数．（1）当n=2时，若不等式f（x）≤kx对一切x∈（0，1]恒成立，求实数k的取值范围；（2）试判断函数f（x）在（，1）内零点的个数，并说明理由．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）代入得表达式．只需求出左式的最大值即可；（2）先求出端点值f（）＜0，f（1）＞0，判断存在零点，根据函数在区间内递增，故仅有一个零点．【解答】解：（1）n=2时，f（x）=x2+x﹣1，﹣﹣f（x）≤kx即．﹣在（0，1]上递增，﹣﹣故即要求，即k≥1．﹣（2）．﹣f（1）=n﹣1＞0．﹣故f（x）在上有零点．﹣又f（x）在上增，故零点不会超过一个．﹣所以f（x）在上有且仅有一个零点．﹣（722．如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=﹣c交于点P，Q．（1）若•=2，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点．（3）若直线QA的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P是否一定为线段AB 的中点？说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出直线AB：y=kx+c，代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得c的值；（2）运用中点坐标公式可得Q的坐标，运用两点的斜率公式，可得QA的斜率，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率，即可得证；（3）设A（t，t2），这里x A=t≠0，由（2）知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2．求得Q的横坐标，P的横坐标，求得AC的方程，联立抛物线的方程，求得B的横坐标，运用中点坐标公式，即可判断P为线段AB的中点．【解答】解：（1）设直线AB：y=kx+c，与y=x2联立，得x2﹣kx﹣c=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=﹣c，从而y1y2=x12x22=c2，由•=2，可得c 2﹣c=2得c=2或﹣1（舍去），得c=2；（2）证明：由（1）可得，故直线PQ ：x=，可得．设，k QA ==，由（1）可得x 1x 2=﹣c ，即有x 2=﹣，可得k QA ==2x 1，由y=x 2的导数为y ′=2x ，可得过A 的切线的斜率为2x 1，故直线QA 与该抛物线有且仅有一个公共点；（3）设A （t ，t 2），这里x A =t ≠0，由（2）知过A 的与y=x 2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx ﹣t 2．与y=﹣c 相交，得．故，，所以．与y=x 2联立，得x 2﹣（t ﹣）x ﹣c=0，即，故．这样，即P 是AB 的中点．23．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n =|a n ﹣1﹣a n ﹣2|，n=3，4，5，…，则称{a n }为“D ﹣数列”．（1）举出一个前六项均不为零的“D ﹣数列”（只要求依次写出该数列的前六项）； （2）若“D ﹣数列”{a n }中，a 2015=3，a 2016=0，数列{b n }满足b n =a n +a n+1+a n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n →∞时，a n 与b n 的极限是否存在？如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；（3）证明：任何“D ﹣数列”中总含有无穷多个为零的项．【考点】数列的极限．【分析】（1）由新定义，比如如10，9，1，8，7，1；（2）{a n}的极限不存在，{b n}的极限存在．运用分段形式写出a n与b n的通项公式，即可得到结论；（3）运用反证法证明．假设{a n}中只有有限个零，则存在K，使得当n≥K时，a n＞0．运用推理论证得到{b n}单调，即可证明．【解答】解：（1）如10，9，1，8，7，1等等．（2）{a n}的极限不存在，{b n}的极限存在．事实上，因为|3﹣0|=3，|0﹣3|=3，|3﹣3|=0，当n≥2015时，a n=，k∈Z，因此当n≥2015时，b n=6．所以b n=6．（3）证明：假设{a n}中只有有限个零，则存在K，使得当n≥K时，a n＞0．当n≥K时，记b n=max{a n，a n+1}．于是a n+1≤b n，a n+2=|a n﹣a n+1|＜max{a n，a n+1}＜b n，故b n+1≤b n，而a n+3=|a n+2﹣a n+1|＜max{a n+2，a n+1}≤b n+1≤b n，从而b n+2＜b n．这样b K＞b K+2＞b K+4＞…形成了一列严格递减的无穷正整数数列，这不可能，故假设不成立，{a n}中必有无限个0．2016年7月14日。
上海市松江区2016届高考数学一模试卷(文科) 含解析
2016年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分,否则一律得零分．1．已知全集U={1，2,3,4｝，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}=｛2｝，A∪{1,2，3｝=U，则集合A= ．2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是．3．行列式的值是．4．若幂函数f(x)的图象过点，则f﹣1（2）= ．5．若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5= ．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2= ．7．如图所示的程序框图，输出的结果是．8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）,则所得的图象的函数解析式为．9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．11．若（1﹣3x)7展开式的第4项为280，则= ．12．已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M(1,0)且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k= ．13．已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O 上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6）,若将θ1,θ2，…,θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列,则该等差数列的第3项为．14．已知函数f（x），对任意的x∈［0，+∞），恒有f(x+2）=f（x)成立，且当x∈［0，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间［0，2n）（其中n∈N＊)上所有根的和为．二、选择题（本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分,否则一律得零分。
上海市杨浦高级中学2016届高三下学期3月月考数学试卷(文科) 含解析
2015—2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷(文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．A1．抛物线y2=x的焦点F坐标为．H2．已知全集U=｛﹣2，﹣1，0，1,2｝，集合，则∁U A= ．g3．如果=，那么a的取值范围是．x 4．关于x的方程:4x•|4x﹣2｜=3的解为．U5．不等式的解集为．96．向量，,在正方形网格中的位置如图所示，若(λ，μ∈R），则= ．67．已知数列｛a n｝满足（n∈N＊)，则a2n= ．w8．在（2x+y+z）10的展开式中，x3y2z5的系数为．D9．一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92m2,则h= m．E10．5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的,则这5位好朋友无人落单(即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．m11．已知定义在R上的函数y=f（x）对于任意的x都满足f（x+2）=f（x）．当﹣1≤x＜1时,f(x)=x3．若函数g(x）=f(x）﹣log a｜x｜至少有6个零点，则a的取值范围是．D12．设全集U={（x，y）|x，y∈R}，Q={（x，y）|x2+y2≤r2，r ∈R+},若Q⊆∁U P恒成立，则实数r的最大值是．P13．已知数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=若a6=1,则m所有可能的取值为．Q14．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞"为全体实数排了一个“序”,类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›"．定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i（a1，b1，a2,b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2"当且仅当“a1＞a2”或“a1=a2且b1＞b2"．Q下面命题:2①1›i›0;S②若z1›z2，z2›z3,则z1›z3；V③若z1›z2，则对于任意z∈C,z1+z›z2+z;j④对于复数z›0,若z1›z2，则z•z1›z•z2．t其中真命题是．（写出所有真命题的序号）g二、选择题（本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．=15．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0。
2016杨浦区一模数学试题及答案(Word)
2016杨浦区一模数学试题2016.1 满分150分一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）1、将抛物线向上平移2个单位后所得到的抛物线的表达式为（）A、B、C、D、2、以下图形中一定属于互相放缩关系的是（）A、斜边长分别是10和5的两直角三角形B、腰长分别是10和5的两等腰三角形C、边长分别是10和5的两个菱形D、边长分别是10和5的两个正方形3、如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点，，，那么等于（）A、B、C、D、4、坡比等于的斜坡的坡角等于（）A、30°B、45°C、50°D、60°5、下列各组条件中，一定能推出△ABC与△DEF相似的是（）A、∠A=∠E且∠D=∠FB、∠A=∠B且∠D=∠FC、∠A=∠E且D、∠A=∠E且6、下列图像中，有一个可能是函数的图像，它是（）A、B、C、D、2、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）7、如果，那么（）8、如图，已知点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE和BC平行，EF和AB 平行，那么CF:BF=（）9、已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD=2，DB=1，BC=6，要使DE和AC平行，那么BE=（）10、如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3:4:6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是（）cm11、如果AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，那么=（）12、计算：sin60°-cot30°=（）13、在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=（）14、如果二次函数配方后为，那么c的值为（）15、抛物线的对称轴是直线（）16、如果是二次函数图像上的两个点，那么（填＜或者＞）17、请写出一个二次函数的解析式，满足：图像的开口向下，对称轴是直线x=-1，且与y轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为（）18、如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC 的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是（）3、解答题（共78分）19、（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量.先化简，再求作：.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20（本题满分10分，第（1）小问6分，第（2）小问4分）已知二次函数（a≠0）的图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：求： (1)这个二次函数的解析式；(2)这个二次函数图像的顶点坐标及上表中m的值。
高考数学一模试题浦东2016届高三一模数学卷(附答案)
浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷 （含答案） 2016.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 注：填写其他等价形式则得分1．已知集合{}{}=3,2A x x B x x ≤=<，则R A C B =I []2,32．已知向量()2,1,(1,)a b m =-=r r 平行，则m = 12-3．关于,x y 的一元二次方程组23122x y x y +=⎧⎨-=⎩的系数矩阵 2312⎛⎫⎪-⎝⎭4．计算：1132lim 32n nnn n ++→∞-+ 3 5．若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z6．()1021x +的二项展开式中的第八项为 3960x7．某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向，与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里达到C 处，这时灯塔B 与船相距_____4.2______海里（精确到0.1海里） 8．已知3cos(),,252ππααπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭9．如图，已知正方体1111D C B A ABCD -，21=AA ，E 为棱1CC 的中点，则AE与平面11BCC B 所成的角为552arctan ．（2arcsin 3，）（结果用反三角表示）10．已知函数()f x 的图像与()2xg x =的图像关于直线y x =对称，令()(1)h x f x =-，则关于函数()h x 有下列命题：①()h x 的图像关于原点对称； ②()h x 的图像关于y 轴对称； ③()h x 的最大值为0； ④()h x 在区间(1,1)-上单调递增。
其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。
2016级高三一诊数学(文)答案
在 (０, 在 (１, ʑ 函数 f( x) １) 上单调递增 , ＋ ¥ ) 上单调递减������
易知 , 当bɤ０ 时 , 不合题意������ h( x) ＞０, ʑ b＞０ ������ １ x , ) 又h ᶄ( x) ＝ － b x e h ᶄ( １ ＝１－ b e ������ x ① 当bȡ
������������������８ 分 ������������������１ ０分
x x x ( ) (x－１) a x e －e a x－e ( 解: 由题意 , 知f ２ １． Ⅰ) ᶄ( x) ＝－ － ＋ a＝ ������ ２ x x x２ x 有a ȵ 当 a＜０, x＞０ 时 , x－e ＜０ ������
３ a b c． ３
ʑ２ b c c o s A＝ ȵA ＝
( Ⅱ) ȵ a＝ ３,
π , ʑ a＝２ ３ c o s A ＝ ３． ３
３ a b c． ３
������������������２ 分 ������������������４ 分 ������������������６ 分 ������������������８ 分 ������������������９ 分 ������������������１ ０分 ������������������１ ２分
１ x ( , 由题意, 当a＝ 不等式f( 时恒成立������ Ⅱ) １时, x) ＋( b x－ b＋ ) e－ xȡ ０在xɪ( １ ＋¥ ) x
x ) 整理 , 得l 上恒成立������ n x－ b( x－１ e ɤ０ 在 ( １, ＋ ¥) x ) 令 h( x) ＝ l n x－ b( x－１ e ������
－ － ^ ^＝ a b x＝２ １ ������ ５－０ ������ ２ˑ６ ３＝８ ������ ９ ������ y－ ^＝０ 故所求线性回归方程为 y ������ ２ x＋８ ������ ９ ������
2016年高考文科数学全国卷1(含详细答案)
数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页）数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （ ）A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2. 设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则=a（ ）A. 3-B. 2-C. 2D. 33. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （ ）A.13 B.12 C. 23D. 564. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =，2c =，2cos 3A =，则b =（ ）A.B.C. 2D. 35. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A.13 B.12 C. 23D. 346. 将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A. 2sin(2)4y x π=+ B. 2sin(2)3y x π=+ C. 2sin(2)4y x π=-D. 2sin(2)3y x π=-7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 （ ）A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π 8. 若0a b >>，01c <<，则（ ）A. log log a b c c <B. log log c c a b <C. cca b <D. ab c c>9. 函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）ABC D10. 执行如图的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足 （ ）A. 2y x =B. 3y x =C. 4y x =D. 5y x =11. 平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.1312. 若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. []1,1-B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）第II 卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 设向量a 1(),x x =+，b (1,2)=，且a ⊥b ，则x = .14. 已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= . 15. 设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B 两点，若||AB =则圆C的面积为 .16. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =．顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . （Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2C y px =(0)p >于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求||||OH ON ；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点,C D 在⊙O 上，且,,,A B C D 四点共圆，证明：AB CD ∥.23.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24.（本小题满分10分），选修45-：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. （Ⅰ）画出()y f x =的图象； （Ⅱ）求不等式|()|1f x >的解集.{3,5}A B=a-=，由已知，得213/ 13数学试卷 第10页（共39页）数学试卷 第11页（共39页） 数学试卷 第12页（共39页）平面ABB1D平面1n所成角等于所成角的正弦值为5/ 13数学试卷 第16页（共39页）数学试卷 第17页（共39页） 数学试卷 第18页（共39页）【解析】由题意，0a b x =+，3【提示】根据向量垂直的充要条件便可得出0a b =，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于的值.【考点】向量的数量积，坐标运算7/ 13作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.7z77z数学试卷第22页（共39页）数学试卷第23页（共39页）数学试卷第24页（共39页）18.【答案】（Ⅰ）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB PD⊥.9/ 13数学试卷第29页（共39页）数学试卷第30页（共39页）11 / 13))(1,)+∞时，(,ln(2)),1,+a -,1)(ln(2),)a -+∞时，单调递增，在1,ln((2))a -单调递减)在(,1)-∞ln 2a ，则f数学试卷 第34页（共39页）数学试卷 第35页（共39页） 数学试卷 第36页（共39页）同理可证，'OO CD ⊥，所以//AB CD .13/ 13。
上海市杨浦区高考数学一模试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若，则α=．2．设A={x|1≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是．3．若在等差数列{a n}中，a3=7，a7=3，则通项公式a n= ．4．已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是．5．函数f（x）=x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）= ．6．二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是．7．不等式log2（x2﹣3x）＞2的解集是．8．已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．9．向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．10．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有种．11．已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为．12．已知集合A={z|z=1+i+i2+…+i n，n∈N*}，则集合A的子集个数为．13．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．14．如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A，B和函数y=log2x上的点 C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则实数p的值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7 B．i＜8 C．i＞7 D．i＞816．下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3=2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数17．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1=0 B．C．x2+y2+x﹣2y+1=0 D．18．对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．20．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？21．已知函数是奇函数（a，b，c为常数）（1）求实数c的值；（2）若a，b∈N*，且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）=m有正数解，求实数m的取值范围．22．如图，曲线Γ由曲线和曲线组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点；（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）对于（1）中的曲线Γ，若过点F4作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求三角形ABF1的面积；（3）如图，若直线l（不一定过F4）平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上．23．数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n=a n3，b n的前n项和为T n，且T n=S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015=﹣2014．2015年上海市杨浦区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若，则α=或．【考点】三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】根据sinα的值以及α的范围，利用特殊角的三角函数值，即可求出α的度数．【解答】解：∵sinα=，且α∈（0，π），∴α=或．故答案为：或【点评】此题考查了三角函数的化简求值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．2．设A={x|1≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[，0] ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】根据子集的概念即可得到，解不等式组即得m的取值范围．【解答】解：∵A⊆B；∴；∴；∴m的取值范围是[，0]．故答案为：．【点评】考查描述法表示集合，以及子集的概念．3．若在等差数列{a n}中，a3=7，a7=3，则通项公式a n= ﹣n+10 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据所给的a3=7，a7=3，设出未知数，列出方程，解得首项和公差，写出要求的通项公式．【解答】解：设数列的公差为d∵a3=7，a7=3，∴a1+2d=7，a1+6d=3，∴a1=9，d=﹣1，∴a n=﹣n+10．故答案为：﹣n+10．【点评】在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”首项、公差、公比、通项公式、前n项和是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．4．已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是x+y+1=0 ．【考点】直线的两点式方程．【专题】直线与圆．【分析】直接写出直线的两点式方程，化为一般式得答案．【解答】解：∵A（1，﹣2），B（﹣3，2），∴过A，B两点的直线方程为，整理得：x+y+1=0．故答案为：x+y+1=0．【点评】本题考查了直线的两点式方程，是基础的会考题型．5．函数f（x）=x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）= ﹣（x＞﹣1）．【考点】反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出值域值域为（﹣1，+∞），根据得出x=，转化变量求解反函数即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣1（x＜0），∴值域为（﹣1，+∞），y=x2﹣1，∴反函数f﹣1（x）=﹣（x＞﹣1），故答案为：﹣（x＞﹣1）【点评】本题考查了反函数的概念，属于容易题，关键是求解自变量的范围．6．二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是﹣84x3．【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求得展开式（按x的降幂排列）中的第4项．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x9﹣2r，故按x的降幂排列中的第4项为﹣•x3=﹣84x3，故答案为：﹣84x3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7．不等式log2（x2﹣3x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】运用对数函数的单调性，即可得到x2﹣3x＞4，再由二次不等式的解法，即可得到解集．【解答】解：log2（x2﹣3x）＞2即为log2（x2﹣3x）＞log24，即有x2﹣3x＞4，解得，x＞4或x＜﹣1．则解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的单调性，考查二次不等式的解法，属于基础题．8．已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是[1，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】先由绝对值不等式|x+1|≤2解得﹣3≤x≤1；再由p是q的充分不必要条件，知﹣3≤x≤1⇒x≤a，而反之不可，则可求出a的取值范围．【解答】解：由|x+1|≤2得﹣2≤x+1≤2，即﹣3≤x≤1，又|x+1|≤2是x≤a成立的充分不必要条件，即﹣3≤x≤1是x≤a成立的充分不必要条件，所以a≥1．故答案为[1，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件及必要条件的含义．9．向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知向量的坐标求得m+与﹣2的坐标，再由向量平行的坐标表示列式求得m的值．【解答】解：∵ =（2，3），=（﹣1，2），∴m+=m（2，3）+（﹣1，2）=（2m﹣1，3m+2），﹣2=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）．又m+与﹣2平行，∴（2m﹣1）•（﹣1）﹣4（3m+2）=0，解得：m=﹣．故答案为：．【点评】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．10．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有30 种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】有题意需要分两类，第一类，当爷爷在6排D座时，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后排其他人，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，当爷爷在6排D座时，再排小孙女，最后排其他人，共有=18种，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后再排其他人，共有=12种，根据分类计数原理共有18+12=30种，故答案为：30【点评】本题考查了分类计数原理，关键如何分类，属于基础题11．已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为36π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】通过球的体积求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：因为球的体积为36π，所以，球的半径为：r=3，所以球的表面积为：4π×32=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查球的表面积与体积的求法，考查计算能力．12．已知集合A={z|z=1+i+i2+…+i n，n∈N*}，则集合A的子集个数为16 ．【考点】子集与真子集．【专题】集合．【分析】先判断集合集合A中的元素的个数，再利用子集的个数公式进行进行求解；【解答】解：∵集合A={z|z=1+i+i2+…+i n，n∈N*}，取n=1，2，3，4…，∴A={1+i，i，0，1}，一共有4个元素，∴集合A的子集的个数为：24=16，故答案为：16．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．13．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C= ．【考点】余弦定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：【点评】本题考查了解三角形的知识，对余弦定理及其变式进行重点考查，属于基础题目．14．如图所示，已知函数y=log24x图象上的两点A，B和函数y=log2x上的点 C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则实数p的值为．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出p、q的值，计算出结果．【解答】解：根据题意，设A（x0，2+log2x0），B（p，q），C（x0，log2x0），∵线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴AC=2，2+log2p=q，∴p=2q﹣2，∴4p=2q；又x0﹣p=，∴p=x0﹣，∴x0=p+；又2+log2x0﹣q=1，∴log2x0=q﹣1，x0=2q﹣1；∴p+=2q﹣1；2p+2=2q=4p，∴p=，故答案为：．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7 B．i＜8 C．i＞7 D．i＞8【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得满足题意的循环条件．【解答】解：当S=0，i=1时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=1，i=2，当S=1，i=2时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=5，i=3，当S=5，i=3时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=14，i=4，当S=14，i=4时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=30，i=5，当S=30，i=5时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=55，i=6，当S=55，i=6时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=91，i=7，当S=91，i=7时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=140，i=8，当S=140，i=8时，应不满足继续循环的条件，故循环条件应为：i＜8，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．16．下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3=2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的运算性质和概念，逐一分析四个答案的真假，可得结论．【解答】解：对于A，若x∈C，则方程x3=2有三个根，故错误；对于B，若z1∈C，z2∈C，则z1，z2无法比较大小，故错误；对于C，若z∈R，则成立，故错误；对于D，若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数，故正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，难度不大，属于基础题．17．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1=0 B．C．x2+y2+x﹣2y+1=0 D．【考点】圆的标准方程；抛物线的定义．【专题】直线与圆．【分析】所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道，圆心、半径可得结果．【解答】解：圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心（，1），半径是1，所以圆的方程是x2+y2﹣x﹣2y+=0．故选D．【点评】本题考查圆的方程，抛物线的定义，考查数形结合、转化的数学思想，是中档题．18．对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．【考点】数列的极限．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．【解答】解：由题意，对于A，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以A不正确；对于B，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以B不正确；对于C，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）成立，并且，所以C正确；对于D，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以D不正确；故选：C．【点评】本题考查数列的极限，数列的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由AD∥BC得CBC1=60°，由已知线段BB1的长为线段A1B1到底面ABCD的距离，由此能求出线段A1B1到底面ABCD的距离．（2）由=，利用等积法能求出三棱椎的体积．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠CBC1为异面直线AD与BC1所成角，∴CBC1=60°，…∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥面ABCD，BB1⊥面ABCD，∴线段BB1的长为线段A1B1到底面ABCD的距离，…∵RT△BCC1中，BC=1，∠CB C1=60°，∴，线段A1，B1到底面ABCD的距离为．…（2）=…==…=．…【点评】本题考查线段到平面的距离的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【考点】扇形面积公式．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB=，∴AB=2Rsin，OH=Rcos，OE=DE=AB=Rsin，∴EH=OH﹣OE=R（cos﹣sin），S=AB•EH=2R2（sin cos﹣sin2）=，（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），则AB=2Rsin，OH=Rcos，oe=AB=Rcos，OE=AB=Rsin，∴EH=OH﹣OE=R（cos﹣sin），S=AB•EH=R2（2sin cos﹣2sin2）=R2（sinθ+cosθ﹣1）=R2[sin（θ+）﹣1]，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴θ+=即θ=时，S max=（﹣1）R2，此时A在弧MN的四等分点处．答：当A在弧MN的四等分点处时，S max=（﹣1）R2．【点评】本题考查扇形的面积公式，考查三角函数的性质，比较基础．21．已知函数是奇函数（a，b，c为常数）（1）求实数c的值；（2）若a，b∈N*，且f（1）=2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）=m有正数解，求实数m的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意得+=0恒成立，从而解得；（2）由题意得f（1）==2，f（2）=＜3；从而解得；（3）由题意得=m有正数解，从而解得．【解答】解：（1）∵函数是奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=0，即+=0，解得，c=0；（2）由题意，f（1）==2，f（2）=＜3；又∵若a，b∈N*，解得，a=1，b=1；故f（x）=；（3）由题意， =m有正数解，而≥2，故m≥2．【点评】本题考查了函数的性质应用，同时考查了基本不等式的应用，属于基础题．22．如图，曲线Γ由曲线和曲线组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点；（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）对于（1）中的曲线Γ，若过点F4作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求三角形ABF1的面积；（3）如图，若直线l（不一定过F4）平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得，解得即可．（2）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．与椭圆方程联立（5+4n2）y2+48ny+64=0，△＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），利用根与系数的关系可得|y3﹣y4|=，利用S△CDF1=与基本不等式的性质即可得出．（3）曲线C2的渐近线为y=，如图，设直线l：y=（x﹣m），与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△＞0，由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），利用中点坐标公式与根与系数的关系即可证明即点M在直线y=﹣x上．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为+=1和．（2）解：由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．联立，化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴y3+y4=，．∴|y3﹣y4|==，===，令t=＞0，∴n2=t2+1，∴==，当且仅当t=，即n=时等号成立．∴n=时， =取得最大值．（3）证明：曲线C2的渐近线为y=，如图，设直线l：y=（x﹣m），，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，∴x0==， =．∴即点M在直线y=﹣x上．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．23．数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n=a n3，b n的前n项和为T n，且T n=S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015=﹣2014．【考点】数学归纳法；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）n=1时，T1=S12，；n=2时，T2=，；n=3时，T3=， =（a1+a2+a3）2．由此能求出符合要求的数列．（2）a n=n，即证明13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，用数学归纳法能证明a n=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列．（3）由已知得，从而，进而得到（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0=0，由此能求出结果．【解答】（1）解：n=1时，T1=S12，，解得a1=1或a1=0（舍），n=2时，T2=，，1+=（1+a2）2，解得a2=2或a2=﹣1，或a2=0，舍，n=3时，T3=， =（a1+a2+a3）2，当a2=2时， =（1+2+a3）2，解得a3=3或a3=﹣2，或a3=0（舍），当a2=﹣1时，1﹣1+=（1﹣1+a3）2，解得a3=1或a3=0（舍）．∴符合要求的数列有：1，2，3；1，2，﹣2；1，﹣1，1．（2）证明：∵a n=n，即证明13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，用数学归纳法证明：①n=1时，13=12，成立．②假设n=k时，成立，即13+23+33+…+k3=（1+2+3+…+k）2成立，则n=k+1时，13+23+33+…+k3+（k+1）3=（1+2+3+…+k）2+（k+1）3=====[1+2+3+…+k+（k+1）]2，也成立，由①②，对于n∈N*，都有13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，∴a n=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列．（3）解：∵，①∴，②②﹣①，得，∵a n+1≠0，∴，∴，③n≥2时，，④③﹣④，得，∴，∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0=0，∴a n+1=﹣a n或a n+1=a n+1，n≥2．构造：．【点评】本题考查所有满足要求的数列的求法，考查a n=n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列的证明，考查一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015=﹣2014的数列的求法，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．。
2016届杨浦区高三一模数学卷及答案(理科)
______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合U A =ð_____________.3. 已知函数()34l o g 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________.4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面 用白布包裹，则至少需要白布_________平方米.5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，且1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为________. 8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.______________________________________________________________ 跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家2 11. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2fx x=，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->- C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖，n β‖，αβ⊥，则m n ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥______________________________________________________________跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家3SDCB A18. 下列函数中，既是偶函数，又在π,0 上递增的函数的个数是 （ ）① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。
高考数学一模试题杨浦2016届高三一模数学卷(文、附答案)
杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（文科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A ．2. 已知全集U=R ，集合{}2x 1x A <≤-=，则集合U A =ð___________________. 3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布_________平方米. 5．无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的首项11a =，公比13=q ， 则前n 项和n S 的极限lim n n S →∞=___________.6. 已知虚数满足i 61z z 2+=-，则 =z ___________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为 ． 8．(81-展开式中x 的系数为_________________.9．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人在 同一个食堂就餐的概率是_________.10．若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的标准差为 .11．如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若，则=μ+λ________________.12．已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]2,2x -∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最小值是_____ ．z (,)OB OE OF R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r13．抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若8AB =，则抛物线C 的方程为_________________.14. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有7个不同的公共点，则实数k 的取值范围为_________________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）.A. 若a b >，则22ac bc >B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b >D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b r r 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 （ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17．对于平面α和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A. 若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B. 若m α‖, n α‖, 则m n ‖C. 若,m n 与α所成的角相等, 则m n ‖D. 若m α≠⊂, m n ‖, 且n 在平面α外, 则n α‖18．下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。
杨浦高三数学一模
的答案，选对得 5 13 若 a
b − c 都是非零向 ，则
a ⋅b = a ⋅c
是
a ⊥ (b − c)
(C)充要条件
的
A - 15 B -3 C 3 号 12 A 充 但非必要条件 B 必要但非充
次，得到的数
依次记作 a, b, c ，则 a + bi
i 为虚数单位
是方程 x − 2 x + c = 0 的根的概率是_____________. 8
a 6 设常数 a > 0 ， x + lim ( a + a 2 + ⋯ + a n ) = _____________. 展开式中 x 的系数为 4，则 n →∞ x
19 如图所示，椭圆 C : 1 定值 工 当直线 l1 的斜率 k1
x2 + y 2 = 1 ， 右焦点 别记作 F1 , F2 ，过 F1 , F2 4
直线 BC 的斜率 k 2 都 在时，求证
别作直线 l1 , l2 交椭圆 AB, CD ，且 l1 l2
k1 , k2 为
求四边形 ABCD 面
9
9
已知直线 l
过点 − 5,0 且方向向
(
)
为 ( 2, −1) ，则原点 O 到直线 l 的距离为_____________. 曲线 抛物线 y = x 2 的准线仅 一个公共点，则 曲线的标准方程
10 若
曲线的一条渐近线为 x + 2 y = 0 ，且
为_____________. 11 面直角坐标系中，给出点 A(1， 0)，B(4， 0)， 若直线 x + my − 1 = 0 在点 P ，使得 PA = 2 PB ,则实数 m 的取
上海市青浦区2016届高三第一学期期终学习质量调研测试数学试题 含解析
2016年上海市青浦区高考数学一模试卷一。
填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1．方程组的增广矩阵是．2．已知3i﹣2是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p+q= ．3．设函数f(x）=若f（a）＞a，则实数a的取值范围是．4．已知函数f（x)=sin（2x+φ），0＜φ≤π图象的一条对称轴是直线，则φ=．5．函数f（x）=lg（2x﹣3x）的定义域为．6．已知函数f（x）=|x2﹣2|，若f(a）=f（b),且0＜a ＜b，则ab的取值范围是．7．设集合M={（x，y）｜y=x+b}，N=｛(x，y）|y=3﹣}，当M∩N≠∅时，则实数b的取值范围是．8．执行如图所示的程序框图，输出结果为．9．平面直角坐标系中，方程｜x｜+|y｜=1的曲线围成的封闭图形绕y轴旋转一周所形成的几何体的体积为．10．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m，记第二颗骰子出现的点数是n,向量，向量，则向量的概率是．11．已知平面向量、、满足，且,,则的最大值是．12．如图，将自然数按如下规则“放置"在平面直角坐标系中，使其满足条件：①每个自然数“放置"在一个“整点"(横纵坐标均为整数的点）上;②0在原点，1在（0，1）点，2在（1，1）点，3在（1,0）点，4在(1，﹣1)点,5在（0，﹣1）点，…，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上,则放置数字（2n+1）2，n∈N*的整点坐标是．13．设△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则的取值范围．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时,f（x）=(|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f （x﹣1）≤f(x），则实数a的取值范围为．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15．是“直线（a+1）x+3ay+1=0与直线（a﹣1）x+（a+1）y﹣3=0相互垂直”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．复数(a∈R,i是虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．已知｛a n｝是等比数列，给出以下四个命题：①{2a3n }是等比数列；②｛a n+a n+1｝是等比数列；③｛a n a n+1}﹣1是等比数列；④｛lg|a n|｝是等比数列，下列命题中正确的个数是（)A．1个B．2个 C．3个 D．4个18．已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴,若l为双曲线一、三象限的一条渐近线,则l的倾斜角所在的区间可能是( ) A．B．C．D．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD且2AB=CD,PD=PA，点H为线段AD的中点，若，PB与平面ABCD所成角的大小为45°．（1）证明：PH⊥平面ABCD；（2)求四棱锥P﹣ABCD的体积．20．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线y2=4x 的焦点F是椭圆M的一个焦点，以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆M的方程;（2）已知直线y=x+m与椭圆M交于A、B两点，且椭圆M上存在点P满足，求m的值．21．如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC=2百米,CD=1百米，∠BCD=120°，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上,不计路的宽度），将绿地分为面积之比为1：3的左右两部分，分别种植不同的花卉,设EC=x百米，EF=y 百米．（1）当点F与点D重合时，试确定点E的位置;（2）试求x的值，使路EF的长度y最短．22．设数列｛a n｝的所有项都是不等于1的正数,｛a n｝的前n项和为S n，已知点在直线y=kx+b上（其中常数k≠0，且k≠1）数列，又．（1）求证数列{a n}是等比数列；(2）如果b n=3﹣n,求实数k、b的值；（3)若果存在t，s∈N＊，s≠t使得点（t，b s）和(s，b t）都在直线在y=2x+1上，是否存在自然数M，当n ＞M（n∈N＊）时，a n＞1恒成立？若存在,求出M的最小值；若不存在,请说明理由．23．已知函数f（x)，g（x）满足关系g(x）=f(x）•f（x+α），其中α是常数．(1)设f（x）=cosx+sinx,,求g(x）的解析式；（2)设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；(3）当f（x）=｜sinx|+cosx,时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g(x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2｜的最小值．2016年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一。
高考数学一模试题2016年黄浦高三一模(文)
黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷（文科） 2016年1月考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．不等式|1|1x -<的解集用区间表示为 ． 2．函数22cos sin y x x =-的最小正周期是 ． 3．直线321x y=的一个方向向量可以是 ． 4．若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 ． 5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ． 6．若函数sin y a x =+在区间[,2]ππ上有且只有一个零点，则a = ．7．若函数()f x a 的取值范围为 ．8．若对任意不等于1的正数a ，函数2()x f x a +=的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 ． 9．在()n a b +的二项展开式中，若二项式系数的和为256，则二项式系数的最大值为 （结果用数字作答）．10．在△ABC 中，若cos(2)sin()2A C B B C A +-++-=，且2AB =，则BC = ．11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续5天中随机抽取2天进行紧急疏散演练，那么选择的2天 恰好为连续2天的概率是 （结果用最简分数表示）．12．已知*k ∈N ，若曲线222x y k +=与曲线xy k =无交点，则k = ．13．已知点(,0)M m （0m >）和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF FB =u u u r u u u r，且||||MF MA =u u u u r u u u r ，则m = ．14．若非零向量a r ，b r ，c r 满足230a b c ++=r r r r ，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅r r r r r r ，则b r 与c r的夹角为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 [答] ( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件16．已知x ∈R ，下列不等式中正确的是 [答] ( )．A ．1123x x> B ．221111x x x x >-+++ C ．221112x x >++ D ．2112||1x x >+ 17．已知P 为直线y kx b =+上一动点，若点P 与原点均在直线20x y -+=的同侧，则k 、b 满足的 条件分别为 [答] ( )．A ．1k =，2b <B ．1k =，2b >C ．1k ≠，2b <D ．1k ≠，2b >18．已知1a ，2a ，3a ，4a 是各项均为正数的等差数列，其公差d 大于零．若线段1l ，2l ，3l ，4l 的长 分别为1a ，2a ，3a ，4a ，则 [答] ( )．A ．对任意的d ，均存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形B ．对任意的d ，均不存在以1l ，2l ，3l 为三边的三角形C ．对任意的d ，均存在以2l ，3l ，4l 为三边的三角形D ．对任意的d ，均不存在以2l ，3l ，4l 为三边的三角形三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内 写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知三棱柱ABC A B C '''-的底面为直角三角形，两条直角边AC 和BC 的长分别为4和3， 侧棱AA '的长为10．（1）若侧棱AA '垂直于底面，求该三棱柱的表面积．（2）若侧棱AA '与底面所成的角为60︒，求该三棱柱的体积． ABC A 'B 'C 'H20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，已知点A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以x 轴的正半轴为始边、OA 为终边的角设为α，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ． （1）用α表示A 、B 两点的坐标；（2）M 为x 轴上异于O 的点，若MA MB ⊥，求点M 横坐标的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E 、F 分别在AB 、BC 边上．5OA =米，4OC =米，4EOF π∠=，设CF x =，AE y =． （1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 面积S 的最小值及此时x 的值． O AB CFEAxy OB1已知1a ，2a ，…，n a 是由n （*n ∈N ）个整数1，2，…，n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足1k k b n a =+-（1,2,,k n =L ）．（1）当3n =时，写出数列{}n a 和{}n b ，使得223a b =．（2）证明：当n 为正偶数时，不存在满足k k a b =（1,2,,k n =L ）的数列{}n a ．（3）若1c ，2c ，…，n c 是1，2，…，n 按从大到小的顺序排列而成的数列，写出k c （1,2,,k n =L ），并用含n 的式子表示122n c c nc +++L ． （参考：222112(1)(21)6n n n n +++=++L ．）已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>），过原点的两条直线1l 和2l 分别与Γ交于点A 、B 和C 、D ，得到平行四边形ACBD ．（1）若4a =，3b =，且ACBD 为正方形，求该正方形的面积S ．（2）若直线1l 的方程为0bx ay -=，2l 和1l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ，证明：222212222a b d d a b +=+．（3）当ACBD 为菱形，且圆221x y +=内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式．数学试卷（文科） 2016年1月一、填空题（本大题满分56分）1．(0,2) 2．π 3．(2,1) 4 5．126．1 7． (1,)+∞8．(1,2)- 9．70 10． 11．25 12．1 13．11214．43π 二、选择题（本大题满分20分）15．B 16．C 17．A 18．C 三、解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． [解]（1）因为侧棱AA '⊥底面ABC ，所以三棱柱的高h 等于侧棱AA '的长， 而底面三角形ABC 的面积162S AC BC =⋅=，（2分）周长43512c =++=，（4分） 于是三棱柱的表面积2132ABC S ch S ∆=+=全．（6分）（2）如图，过A '作平面ABC 的垂线，垂足为H ，A H '为三棱柱的高．（8分）因为侧棱AA '与底面所成的角为60︒，所以60A AH '∠=︒，可计算得sin 60A H AA ''=⋅︒=（9分）又底面三角形ABC 的面积6S =，故三棱柱的体积6V S A H '=⋅=⨯（12分） 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． [解]（1）由题设，A 点坐标为(cos ,sin )αα，（2分）其中222k k αππ<<π+（k ∈Z ）．（3分） 因为2AOB π∠=，所以B 点坐标为cos ,sin 22αα⎛⎫ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即(sin ,cos )αα-．（5分）（2）设(,0)M m （0m ≠），于是(cos ,sin )MA m αα=-u u u r ，(sin ,cos )MB m αα=--u u u r，因为MA MB ⊥，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r，即(cos )(sin )sin cos 0m m αααα---+=，（8分）整理得2(cos sin )0m m αα--=，由0m ≠，得cos sin 4m αααπ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，（10分）此时222k k αππ<<π+，且24k απ≠π+，于是22444k k αππ3ππ+<+<π+，且242k αππ+≠π+（k ∈Z ）得cos 242απ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，且cos 04απ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭．因此，点M 横坐标的取值范围为(1,0)(0,1)-U ．（12分） 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． [解]（1）直角三角形AOE 中，tan 5y AOE ∠=，直角三角形COF 中，tan 4xCOF ∠=． 正方形OABC 中，由4EOF π∠=，得4AOE COF π∠+∠=，于是tan()1AOE COF ∠+∠=，代入并整理得5(4)4x y x -=+．（4分） 因为05x ≤≤，04y ≤≤，所以5(4)044x x-+≤≤， 从而449x ≤≤．（6分）因此，5(4)4x y x -=+ （449x ≤≤）． （2）()OABC OAE OCF EBF S S S S S ∆∆∆=-++1154[54(4)(5)](20)22y x y x xy =⨯-++--=-，（8分）将5(4)4x y x-=+代入上式，得25(16)532(4)82(4)24x S x x x +⎡⎤==++-⎢⎥++⎣⎦，（10分）当449x ≤≤时，3244x x +++≥1)x =时，上式等号成立．（12分） 因此，三角形池塘OEF面积的最小值为1)平方米，此时1)x =米．（14分） 综上，a ，b 满足的关系式为22111a b +=． 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． [解]（1）12a =，23a =，31a =；12b =，21b =，33b =．（2分） 11a =，23a =，32a =；13b =，21b =，32b =．（4分） [证明]（2）若k k a b =（1,2,,k n =L ），则有1k k a n a =+-，于是12k n a +=．（6分） 当n 为正偶数时，1n +为大于1的正奇数，故12n +不为正整数． 因为1a ，2a ，…，n a 均为正整数，所以不存在满足k k a b =（1,2,,k n =L ）的数列{}n a ．（10分） [解]（3）(1)k c n k =--（1,2,,k n =L ）．（12分）因为(1)k c n k =+-，于是122(1)12[(1)2][(1)]n c c nc n n n n n +++=+-++-+++-L L （14分）222(12)(1)(12)n n n =++++-+++L L （16分）2111(1)(1)(21)(1)(2)266n n n n n n n n =+-++=++．（18分） 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． [解]（1）因为ACBD 为正方形，所以直线1l 和2l 的方程为y x =和y x =-．（1分）点A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组22,1169y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩的实数解，将y x =代入椭圆方程，解得221214425x x ==．根据对称性，可得正方形ACBD 的面积21745625S x ==．（4分） [证明]（2）由题设，直线2l 的方程为0bx ay +=，（6分）于是1d =，2d =，（8分）22222222221222222222()()2()2bx ay bx ay b x a y a b d d b a b a b a a b -+++=+==++++． （10分）[解]（3）设AC 与圆221x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，于是切线AC 的方程为001x x y y +=．点A 、C 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组22220011x y x x y y ab ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩的实数解．① 当00x =或00y =时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有22111a b +=．（11分） ② 当00x ≠且00y ≠时，将001(1)y x x y =-代入22221x y a b+=，整理得222222222000()2(1)0b y a x x x a x a b y +-+-=，于是222012222200(1)a b y x x b y a x -=+，（13分） 同理可得222012222200(1)b a x y y b y a x -=+．（15分） 因为ACBD 为菱形，所以AO CO ⊥，得0AO CO ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=，（16分）于是22222200222222220000(1)(1)0a b y b a x b y a x b y a x --+=++，整理得22222200()a b a b x y +=+，由22001x y +=， 得2222a b a b +=，即22111a b +=．（18分）综上，a ，b 满足的关系式为22111a b+=．。
【K12教育学习资料】高考数学一模试卷(含解析)
2016年上海市宝山区高考数学一模试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程4x﹣2x﹣6=0的解为．2．已知：（i是虚数单位），则z= ．3．以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是．4．数列所有项的和为．5．已知矩阵A=，B=，AB=，则x+y= ．6．等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为．7．若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= ．8．抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．9．已知ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f（x）的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为．10．两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是．11．向量，满足，，与的夹角为60°，则= ．12．数列，则是该数列的第项．13．已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是．14．如图，已知抛物线y2=x及两点A1（0，y1）和A2（0，y2），其中y1＞y2＞0．过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3（0，y3），此时就称A1，A2确定了A3．依此类推，可由A2，A3确定A4，…．记A n（0，y n），n=1，2，3，…．给出下列三个结论：①数列{y n}是递减数列；②对∀n∈N*，y n＞0；③若y1=4，y2=3，则．其中，所有正确结论的序号是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．1 B．2 C．4 D．1616．P是△ABC所在平面内一点，若，其中λ∈R，则P点一定在（）A．△ABC内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上17．若a，b是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．唯一存在一个平面α与直线a、b等距D．可能存在平面α与直线a、b都垂直18．王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位．）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算．（）A．300秒B．400秒C．500秒D．600秒三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内．19．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．设a、b、c分别是△AB C三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量，且，（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．21．某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22．已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称．（1）若已知，M为椭圆上动点，证明：；（2）求实数m的取值范围；（3）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．23．已知函数f（x）=log k x（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（a n）}是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若b n=a n+f（a n），当时，求数列{b n}的前n项和S n的最小值；（3）若c n=a n lga n，问是否存在实数k，使得{c n}是递增数列？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．2016年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程4x﹣2x﹣6=0的解为log23 ．【考点】指数式与对数式的互化；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，由此能求出方程4x﹣2x﹣6=0的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，解得2x=3，或2x=﹣2（舍去），∴x=log23．故答案为：log23．【点评】本题考查指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化．2．已知：（i是虚数单位），则z= ﹣3﹣4i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得，再求其共轭复数得答案．【解答】解：由，得：，∴z=﹣3﹣4i．故答案为：﹣3﹣4i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础的计算题．3．以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 ．【考点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】先求圆心到直线4x+3y﹣35=0的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方程．【解答】解：以点（1，2）为圆心，与直线4x+3y﹣35=0相切，圆心到直线的距离等于半径，即：所求圆的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切，是基础题．4．数列所有项的和为 2 ．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】先求出数列前n项和，再求出前n项和的极限，从而求出结果．【解答】解：数列前n项和：S n==2[1﹣（）n]，∴数列所有项的和为：S===2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．已知矩阵A=，B=，AB=，则x+y= 8 ．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】利用矩阵乘法法则求解．【解答】解：∵矩阵A=，B=，AB=，∴AB===，∴，解得x=5，y=3，∴x+y=8．故答案为：8．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意矩阵乘法法则的合理运用．6．等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：直角边长为1的等腰直角三角形，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为：，高也为的圆锥的组合体，故该几何体的体积V=2×[×]•=．故答案为：【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，难度不大，属于基础题．7．若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a= 1 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得展开式中x3的系数，列出方程解得．【解答】解：展开式的通项为=（﹣a）r C9r x9﹣2r令9﹣2r=3得r=3∴展开式中x3的系数是C93（﹣a）3=﹣84a3=﹣84，∴a=1．故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法．8．抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】写出抛物线y2=12x的准线与双曲线的两条渐近线方程是解决本题的关键，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积．【解答】解：抛物线y2=12x的准线为x=﹣3，双曲线的两条渐近线方程分别为：y=x，y=﹣x，这三条直线构成边长为2的等边三角形，因此，所求三角形面积等于×2×2×sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查三角形形状的确定和面积的求解，考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考查学生直线方程的书写，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基本题型．9．已知ω，t＞0，函数的最小正周期为2π，将f（x）的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；二阶矩阵．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意得到函数解析式，利用辅助角公式化积后结合周期求得ω，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合平移后的函数为偶函数求出t的取值集合得答案．【解答】解： ==．∵f（x）的最小正周期为2π，∴，得ω=1．将f（x）的图象向左平移t个单位，得f（x+t）=．∵函数f（x+t）为偶函数，∴，则t=．取k=0时，t的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象平移，训练了函数奇偶性的求法，是中档题．10．两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是48 ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．再分奥迪车上没有小孩、奥迪车上有一个小孩、奥迪车上有2个小孩这三种情况，分别求得乘车的方法数，相加即得所求．【解答】解：只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达．若奥迪车上没有小孩，则有=10种方法；若奥迪车上有一个小孩，则有=28种；若奥迪车上有两个小孩，则有=10种．综上，不同的乘车方法种数为10+28+10=48种，故答案为 48．【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11．向量，满足，，与的夹角为60°，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出，对两边平方，解出||．【解答】解： =||×=||．∵，∴（）2=．∴﹣2+=．∴1﹣||+||2=．解得||=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．12．数列，则是该数列的第128 项．【考点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性．【专题】等差数列与等比数列．【分析】该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，…，由此可知：分子、分母之和为16的有15项．而分子、分母之和为17的有16项，排列顺序为：，，，，…，，；即可得出是分子、分母之和为17的第8项．【解答】解：观察数列，该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，为5的有4项，…，∴分子、分母之和为16的有15项．而分子、分母之和为17的有16项，排列顺序为：，，，，…，，；其中是分子、分母之和为17的第8项；．故共有项．故答案为128．【点评】本题考查了通过观察所要解决的提问转化为利用等差数列的前n项和公式解决，属于中档题．13．已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0（其中a为实数）过定点P，点Q在函数的图象上，则PQ连线的斜率的取值范围是[﹣3，+∞）．【考点】恒过定点的直线；直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】直线方程即 x+y﹣4+a（﹣x+y﹣4）=0，由，求得定点P的坐标，设点Q（m，m+），m≠0，则PQ连线的斜率为为=﹣3，再利用二次函数的性质求得它的范围．【解答】解：已知直线（1﹣a）x+（a+1）y﹣4（a+1）=0即 x+y﹣4+a（﹣x+y﹣4）=0，由，解得，故定点P的坐标为（0，4）．设点Q（m，m+），m≠0，则PQ连线的斜率为=1+﹣=﹣3≥﹣3，故PQ连线的斜率的取值范围为[﹣3，+∞），故答案为[﹣3，+∞）．【点评】本题主要考查直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题．14．如图，已知抛物线y2=x及两点A1（0，y1）和A2（0，y2），其中y1＞y2＞0．过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3（0，y3），此时就称A1，A2确定了A3．依此类推，可由A2，A3确定A4，…．记A n（0，y n），n=1，2，3，…．给出下列三个结论：①数列{y n}是递减数列；②对∀n∈N*，y n＞0；③若y1=4，y2=3，则．其中，所有正确结论的序号是①②③．【考点】数列与解析几何的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】先确定直线B n﹣1B n﹣2的方程，求得，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，B n﹣1（），B n﹣2（），则直线B n﹣1B n﹣2的方程为令x=0，则，∴∴∴∵y1＞y2＞0，∴y n＞0，故②正确；，∴y n＜y n﹣1，故①正确；若y1=4，y2=3，则，y4=，，故③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查数列与解析几何的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．如图，该程序运行后输出的结果为（）A．1 B．2 C．4 D．16【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型．【分析】由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；进而程序结束得到答案．【解答】解：由题意可得：①a=1≤3，b=2，a=1+1=2；②a=2≤3，b=4，a=2+1=3；③a=3≤3，b=16，a=3+1=4；因为a=4≤3不成立，所以输出b的数值为16．故选D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法．16．P是△ABC所在平面内一点，若，其中λ∈R，则P点一定在（）A．△ABC内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上【考点】向量在几何中的应用．【专题】平面向量及应用．【分析】根据，代入，根据共线定理可知与共线，从而可确定P点一定在AC边所在直线上．【解答】解：∵，，∴=，则，∴∥，即与共线，∴P点一定在AC边所在直线上，故选B．【点评】本题主要考查向量的共线定理，要证明三点共线时一般转化为证明向量的共线问题．属于中档题．17．若a，b是异面直线，则下列命题中的假命题为（）A．过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b平行B．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直C．唯一存在一个平面α与直线a、b等距D．可能存在平面α与直线a、b都垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面平行于b；在B中，只有a、b 垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直；在C中，由唯一性定理得唯一存在一个平面α与直线a、b等距；在D中：若存在平面α与直线a、b都垂直，则a∥b．【解答】解：由a，b是异面直线，知：在A中：a，b是两异面直线，把直线b平移与直线a相交，确定一个平面，因此经过直线a 只能作出1个平面平行于b，故A正确；在B中：只有a、b垂直时才能作出一个平面α与直线b垂直，否则过直线a不可以作一个平面α与直线b垂直，故B正确；在C中：由唯一性定理得唯一存在一个平面α与直线a、b等距，故C正确；在D中：若存在平面α与直线a、b都垂直，则直线与平面垂直的性质定理得a∥b，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．18．王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位．）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算．（）A．300秒B．400秒C．500秒D．600秒【考点】函数与方程的综合运用；函数的值；分段函数的应用．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据每月的通话时间和甲方式的收费标准，可知所需花费=月租费+本地话费+长途话费，可求所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式；将乙方式所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式求出，将两个式子进行比较，可得出较为省钱的入网方式．【解答】解：每月接打本地电话的时间是接打长途电话的5倍，王先生每月拨打长途电话时间为x（分钟），他所需话费y（元），联通130他所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式为y=12+0.36×5x+3.6x（x＞0）；移动“神州行”他所需话费y（元）与通话时间x（分钟）的函数关系式为：y=0.6×5x+4.2x，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算，可得：12+0.36×5x+3.6x＜0.6×5x+4.2x，解得：x＞（分钟）=400秒．故选：B．【点评】本题主要是应用数学模型来解决实际问题，考查一次函数的应用．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内．19．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】由三棱锥P﹣ABC的体积为20，得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，则∠AQD 为异面直线PB，AQ所成的角，由此能求出异面直线PB，AQ所成的角．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P﹣ABC的体积为20，∴，解得PA=4，取PC的中点为D，连结AD，DQ，则∠AQD为异面直线PB，AQ所成的角，，DA=5，∵QD⊥平面PAC，∴QD⊥AD，∴tan∠AQD=2，∴异面直线PB，AQ所成的角为arctan2．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间能力的培养．20．设a、b、c分别是△ABC三个内角∠A、∠B、∠C的对边，若向量，且，（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．【考点】三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】（1）由，化简得 4cos（A﹣B）=5cos（A+B），由此求得tanA•tanB的值．（2）利用正弦定理和余弦定理化简为，而，利用基本不等式求得它的最小值等于，从而得到tanC有最大值，从而求得所求式子的最大值．【解答】解：（1）由，得．…即，亦即 4cos（A﹣B）=5cos（A+B），…所以．…（2）因，…而，所以，tan（A+B）有最小值，…当且仅当时，取得最小值．又tanC=﹣tan（A+B），则tanC有最大值，故的最大值为．…【点评】本题主要考查两个向量数量积公式，正弦定理和余弦定理，两角和的正切公式，以及基本不等式的应用，属于中档题．21．某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？【考点】数列的应用．【专题】应用题；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）利用从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，可得﹣n2+17n﹣≥200，即可得出结论．【解答】解：（1）…当1≤n≤20且n∈N*，a n=10+（n﹣1）×（﹣0.5）=﹣0.5n+10.5；当n≥21且n∈N*，a n=0．∴a n=…而a4+b4=15.25＞15∴b n=，…（2）当n=4时，S n=a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=53.25．当5≤n≤21时，S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+b3+b4+b5+…+b n）=10n+++6.75（n﹣4）=﹣n2+17n﹣…由S n≥200得﹣n2+17n﹣≥200，即n2﹣68n+843≤0，得34﹣≤n≤21 …∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…【点评】本题考查数列的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线对称．（1）若已知，M为椭圆上动点，证明：；（2）求实数m的取值范围；（3）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设M（x，y），则+y2=1，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．（2）由题意知m≠0，可设直线AB的方程为．与椭圆方程联立得．△＞0，再利用中点坐标公式、根与系数的关系即可得出．（3）利用弦长公式、点到直线的距离公式可得S△AOB，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】（1）证明：设M（x，y），则+y2=1，于是===，∵﹣1≤y≤1，∴当时，．即．（2）解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为．由消去y，得．∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即①将AB中点，代入直线方程解得②由①②得或．（3）解：令，即，则，且O到直线AB的距离为，设△AOB的面积为S（t），∴，当且仅当时，等号成立．故△AOB面积的最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、轴对称问题、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．23．已知函数f（x）=log k x（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（a n）}是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若b n=a n+f（a n），当时，求数列{b n}的前n项和S n的最小值；（3）若c n=a n lga n，问是否存在实数k，使得{c n}是递增数列？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．【考点】数列与函数的综合；对数函数的图像与性质．【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和对数的定义，可得a n=k2n+2，再由等比数列的定义即可得证；（2）求得a n，f（a n），再由等差数列和等比数列的求和公式，运用单调性即可得到最小值；（3）由题意可得（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk对一切n∈N*成立．讨论k＞1，0＜k＜1，运用数列的单调性即可得到所求k的范围．【解答】解：（1）证明：由题意可得f（a n）=4+2（n﹣1）=2n+2，即log k a n=2n+2，∴，∴．∵常数k＞0且k≠1，∴k2为非零常数，∴数列{a n}是以k4为首项，k2为公比的等比数列；（2）当时，，f（a n）=2n+2，所以，因为n≥1，所以，是递增数列，因而最小值为S1=1+3+﹣=．（3）由（1）知，，要使c n＜c n+1对一切n∈N*成立，即（n+1）lgk＜（n+2）•k2•lgk对一切n∈N*成立．当k＞1时，lgk＞0，n+1＜（n+2）k2对一切n∈N*恒成立；当0＜k＜1时，lgk＜0，n+1＞（n+2）k2对一切n∈N*恒成立，只需，∵单调递增，∴当n=1时，．∴，且0＜k＜1，∴．综上所述，存在实数满足条件．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的单调性的判断和运用，以及数列不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。
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杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（文科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A ．2. 已知全集U=R ，集合{}2x 1x A <≤-=，则集合U A =ð___________________. 3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布_________平方米. 5．无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的首项11a =，公比13=q ， 则前n 项和n S 的极限lim n n S →∞=___________.6. 已知虚数满足i 61z z 2+=-，则 =z ___________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为 ． 8．(81-展开式中x 的系数为_________________.9．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人在 同一个食堂就餐的概率是_________.10．若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的标准差为 .11．如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若，则=μ+λ________________.12．已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]2,2x -∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最小值是_____ ．z (,)OB OE OF R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r13．抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若8AB =，则抛物线C 的方程为_________________.14. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有7个不同的公共点，则实数k 的取值范围为_________________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）.A. 若a b >，则22ac bc >B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b >D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b r r 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 （ ）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17．对于平面α和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A. 若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B. 若m α‖, n α‖, 则m n ‖C. 若,m n 与α所成的角相等, 则m n ‖D. 若m α≠⊂, m n ‖, 且n 在平面α外, 则n α‖18．下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。
已知金字塔的每一条棱和边都相等。
（1） 求证：直线A C 垂直于直线SD ；（2） 若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 ．某农场规划将果树种在正方形的场地内。
为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树。
在下图里，你可以看到规划种植果树的列数(n)，果树数量及松树数量的规律：（1）按此规律，n = 5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量n a ，及松树数量n b 关于n 的表达式（2）定义：)n (f )1n (f -+ ()*N n ∈为)n (f 增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题6分．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O ，逆时针15分钟转一圈，从A 处进入摩天轮的座舱，OA 垂直于地面AM ，在距离A 处150米处设置了一个望远镜B .（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母= 果树n=4n=3n=2n=1= 松树SDCB A亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B 中仔细观看。
问望远镜B 的仰角θ应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD ，发现取景的视角α恰为45︒，求绿化带BD 的长度（精确到1米）如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：()222210x y a b a b +=>>和椭圆2T ：()222210y x b c b c+=>>组成，当,,a b c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.（1）若猫眼曲线Γ过点(0,M ，且,,a b c 的公比为22，求猫眼曲线Γ的方程； （2） 对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：ONOMk k 为与k 无关的定值；（3）的直线l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T 上的任意一点（点N 与点,A B不重合），求ABN ∆面积的最大值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知函数()D)(x x f ∈，若存在常数T （T>0），对任意D x ∈都有()() x f T T x f ⋅=+，则称函数() x f 为T 倍周期函数（1）判断()x x h =是否是T 倍周期函数，并说明理由（2）证明()x41 x g ⎪⎭⎫⎝⎛=是T 倍周期函数，且T 的值是唯一的（3）若() )N (n n f *∈是2倍周期函数，()11f =，()42f -=，n S 表示()n f 的前n 项和，1n 2n2n S S C -=，求n n C lim ∞→x文科评分参考一、填空题1． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 04 3 2． ()[),12,-∞-+∞U 3．1 4．16π 5. 32 67.20172016 8．56- 9．14 10．6 11．3212．4 13． x 4y 2= 14．（2，4）二、选择题15．C 16．A 17．D 18．A 三、解答题19．（本题12分，第一小题6分，第二小题6分）解：（1）如图，连接,AC BD 交于点O ，则O 为线段BD 中点， 在正方形ABCD 中，对角线AC BD ⊥ （2分） 在ASC ∆中，SA SC =Q ，SO AC ∴⊥SO BD O =Q I ，AC ∴⊥平面SBD （2分） AC SD ∴⊥ （2分） （2）边长为3米 （2分）棱锥的高2233221SO 22=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （2分） 229223331V 2=⋅⋅=∴立方米 （2分） 答：需要229立方米填充材料.20．（本题14分，第一小题6分，第二小题8分）（1）n = 5时果树25棵，松树40棵 （2分）2n n a = （2分） n 8b n = （2分）SDCBA（2）()1n 2n 1n a a 22n 1n +=-+=-+ （2分）()8n 81n 8b b n 1n =-+=-+ （2分）当3n ≤时，2n+1 < 8 松树增加的速度快 （2分） 当4n ≥时，2n+1 > 8 果树增加的速度快 （2分）21．（本题14分，第1小题8分，第2小题6分，） （1）Q 逆时针15分钟转一圈，∴5分钟转过120︒， （2分） 过点C 作CH AB ⊥于点H ，则()5050sin 1209075CH =+⋅︒-︒=， （2分） ()15050cos 12090150BH =-⋅︒-︒=- （2分）6tan 11CH BH θ∴====，35θ∴=≈︒（2分） 答：望远镜的仰角θ设置为35︒（2）在BCD ∆中，35,45θα=︒=︒，80CDH ∴∠=︒ （2分）75sin80sin80CH CD ∴==︒︒由正弦定理得：sin sin BD CDαθ=（2分） sin 75sin 4594sin sin80sin 35CD BD αθ⋅⋅︒∴==≈︒⋅︒（2分）答：绿化带的长度为94米.22．（本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分） （1）b =，2,1a c ∴==， （2分）221:142x y T ∴+=，222:12+=y T x ； （2分） （2）设斜率为k 的直线交椭圆1T 于点()()1122,,,C x y D x y ，线段CD 中点()00,M x y 121200,22x x y yx y ++∴== 由22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()()()()12121212042x x x x y y y y -+-++= （2分） Θk 存在且0k ≠，12x x ∴≠，且0x 0≠θBMDCOA∴01212012y y y x x x -⋅=-- ，即21k k OM -=⋅（2分）同理，2k k ON -=⋅ 41k k ON OM =∴得证 （2分） （3）设直线l的方程为y m =+22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y m y x bc ，()2222222220∴+++-=b c x x m c b c0∆=Q ，2222∴=+m b c1: =l y （2分）22221⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y mx y ab ， ()2222222220∴+++-=b a x x m a b a 0∆=Q ，2222∴=+m b a2: =l y （1分）两平行线间距离：d = （1分）222∴=+AB b a （1分）ABN ∴∆的面积最大值为22122=⋅=+S AB d b a（1分）注：若用第一小题结论，算得：==ABd ==∆ABN的面积最大值为14255S =⋅=得3分23．（本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解：（1） 设：()() x h T T x h ⋅=+则 x T T x ⋅=+ 对任意x 恒成立 （2分）T Θ 无解 ∴ ()x x h = 不是T 倍周期函数 （2分）（2） 设：()() x g T T x g ⋅=+则 xTx 41T 41⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 对任意x 恒成立 （2分）T 41T=⎪⎭⎫⎝⎛ 21T = （2分） 下证唯一性： 若 21T >， 214141T 21T=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾若 21T <， 214141T 21T=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛= 矛盾∴ 21T = 是唯一的 （2分）（3）()()()2 12f 21f 3f ==+=()()()22 32f 23f 5f ==+= ()()()32 52f 25f 7f ==+=ΛΛ()()()1-n 2 3-2n 2f 23-2n f 1n 2f ==+=- （2分） ()()()()1222211-2n f 5f 3f 1f n 1n 2-=++++=++++-ΛΛ同理： ()()()()()()124222142n f 6f 4f 2f n1n 2--=++++-=++++-ΛΛ（2分）∴ ()()()()123n 2f 2f 1f S n n 2--=+++=Λ同理：()()()321n 2f 2f 1f S n1n 2+-=-+++=-Λ （2分）()32123S S C n n 1n 2n 2n --==- 3C lim n n =∞→ （2分）。