数学分析课后习题答案4.1

2
f ( x ) − f ( x0 ) ≤ f ( x ) − f ( x0 ) < ε
故当 x − x 0 < δ 时，有
2
f ( x) − f ( x0 ) < ε ，因此 f 在 x0 点连续。
（ii） f 在 x0 点连续。事实上，由于 f 在 x0 点连续，从而由局部有界性知：存在 M > 0 及
f 2 ( x ) − f 2 ( x0 ) = f ( x ) − f ( x0 ) ⋅ f ( x ) + f ( x0 )
≤ f ( x) − f ( x0 ) ( f ( x) + f ( x0 ) ) < ε
故
f 2 在 x0 点连续。
（2）逆命题不成立。例如设
− 1, x为有理数 2 ，则 f ， f 均为常数，故是连续函数， f ( x) = 1, x为无理数
x →0
sin x = −1 −x
故 x = 0 是 f ( x) 的跳跃间断点。 由于
（3） f ( x) 在 x = nπ 间断， (n = 0, ± 1 ,±2,)
x → nπ +
lim f ( x) = lim+ [ cos x ] = 0 ， lim− f ( x) = lim−[ cos x ] = 0
有 故
f ( x ) − f ( x0 ) = x − x0 ≤ x − x0 < ε
f ( x) 在 x 0 连续，由 x 0 的任意性知， f ( x) 在 (−∞,+∞) 连续。
2．指出函数的间断点及类型： （1） f ( x) = x +
1 sin x ； （2） f ( x) = ； （3） f ( x) = [ cos x ] ； x x
x = 1 间断，且 lim+ f ( x) = −7 ， lim− f ( x) 不存在，故 x = −7 是
x → −7 x → −7
x →1 x →1
f ( x) 的第二类间断点。又因 lim f ( x) = lim ( x − 1) sin + +
故 x = 1 是 f ( x) 的跳跃间断点。 3．延拓下列函数，使在 (−∞,+∞) 上连续： （1） f ( x) =
x → nπ x → nπ x → nπ
故
x = nπ 是 f ( x) 的可去间断点 (n = 0, ± 1 ,±2,) 。
x →0 x →0
（4） f ( x) 在 x = 0 间断，由于 lim f ( x) = lim sgn x = 1 ， + +
x →0 −
lim f ( x) = lim sgn x = 1 ，故 x = 0 是 f ( x) 的可去间断点。 −
有
f ( x) − f ( x 0 ) =
1 1 − <ε x x0
可见
f ( x) 在 x 0 连续，由 x 0 的任意性知： f ( x) 在其定义域内连续。
(2) f ( x) = x 的定义域为 (−∞,+∞), 对任何的 x0 ∈ (−∞,+∞) ，由于
x − x0 ≤ x − x0 ，从而对任给正数 ε ，取 δ = ε ，当 x − x0 < δ 时，
1 1 1 , 和 三点连续的函数； 2 3 4 1 1 1 （2）只在 , 和 三点连续的函数； 2 3 4 1 （3）只在 (n = 1,2,) 上间断的函数； n （4）仅在 x = 0 右连续，其它点均不连续的函数。 1 1 1 ； 解： （1 ） f ( x ) = + + 2 x − 1 3x − 1 4 x − 1
函数
1 − cos x , x≠0 x2 是 f ( x) 的延拓，且在 (−∞,+∞) 上连续。 F ( x) = 1 , x=0 2
x →0 x →0
（3）当 x = 0 时， f ( x) 没有定义，而 lim f ( x) = lim x cos
1 = 0 ，于是 x
0
g ( x0 ) −
0
ε
2
≤ g ( x) = lim+ f ( y ) ≤ g ( x0 ) +
y→ x
ε
2
因此当 x ∈ U + ( x0 , δ ) 时，有 g ( x) − g ( x0 ) < ε ，故 g ( x) 在 x0 处右连续。 9．举出定义在 [0,1] 上符合下列要求的函数：
π+
f ( x) = 1
故 x = 2kπ ±
π
2
(k = 0, ± 1 ,±2,) 是 f ( x) 的跳跃间断点。
x → x0
（6） f ( x) 在 x ≠ 0 的点间断且若 x0 ≠ 0 ，则 lim f ( x) 不存在，故 x ≠ 0 是 f ( x) 的第二 类间断点。 （7） f ( x) 在 x = −7 及
（5） f ( x) = sgn(cos x) ；
（4） f ( x) = sgn x ；
1 x + 7 , − ∞ < x < −7 x, x为有理数 ； （7） f ( x) = x, （6） f ( x) = − 7 ≤ x ≤1 − x , x 为无理数 1 ( x − 1) sin , 1 < x < +∞ x −1
x3 − 8 , x≠2 于是函数 F ( x) = x − 2 是 f ( x) 的延拓，且在 (−∞,+∞) 上连续。 12 , x=2
（2）当 x = 0 时， f ( x) 没有定义，而 lim f ( x) = lim
x →0 x →0
1 − cos x 1 = ，于是 2 x2
故当 x − x 0 < x 0 时，有
由三角不等式可得： x ≥ x 0 − x − x 0
，
1 1 − ≤ x x0 x0
x − x0
2
− x − x0 x0
ε x0 2 对任意给的正数 ε ，取 δ = > 0, 则 δ < x 0 ，当 x ∈ D 且 x − x 0 < δ 时， 1 + ε x0
y→ x
ε
2
因此当 x ∈ U ( x0 , δ ) 时，有 g ( x) − g ( x0 ) < ε ，故 g ( x) 在 x0 处连续。 8．设 f 为 R 上的单调函数，定义 g ( x) = f ( x + 0) ，证明函数 g 在 R 上每点都连续。 证：由于 f 为 (−∞,+∞) 上的单调函数，故 f 只有第一类间断点，故右极限处处存在。于 是 g ( x) 处处有定义，任取 x0 ∈ (−∞,+∞) ，下证 g 在 x0 右连续。由于 （ − ∞ < x < +∞ ）从而对任给正数 g ( x0 ) = f ( x0 + 0) = lim+ f ( y ) 且 g ( x) = lim+ f ( y ) ，
1 = 0 ， lim f ( x) = 1 ， x →1− x −1
x3 − 8 3 − cos x ； （2） f ( x) = ； x−2 x2
（3） f ( x) = x cos
1 。 x
解： （1）当 x = −2 时， f ( x) 没有定义，
而 lim
x→2源自文库
x3 − 8 2 = lim ( x + 2 x + 4) =12 x → 2 x−2
解： （1） f ( x) 在 x = 0 间断，由于 lim( x + ) 不存在，故 x = 0 是 f ( x) 的第二类间断点。
x →∞
1 x
（2） f ( x) 在 x = 0 间断，由于 lim f ( x) = lim + +
x →0 x →0 x →0
sin x = 1， x
f ( x) = lim lim − −
δ 1 > 0 使当 x − x0 < δ 1 时，
有
f ( x) <
M ， 2
（1）
有连续性定义知：对任给正数 ε ，存在正数 δ 2 ，当 x − x0 < δ 2 有
f ( x ) − f ( x0 ) <
ε
M
（2）
先取 δ = min{δ 1 , δ 2 } ，则当 x − x 0 < δ ，上（1）与（2）式同时成立，因此
x →0 x →0
又因 x ≠ 0 时， f ( x) ≡ g ( x) ，于是 lim f ( x) = lim g ( x) ，
x →0 x →0
从而
f (0) = g (0)
这与 f (0) ≠ g (0) 相矛盾。
故 f 与 g 这两个函数中至多有一个在 x = 0 连续。 6．证明：设 f 为区间 I 上的单调函数，且 x0 ∈ I 为 f 的间断点，则 x0 必是 f 的第一类间 断点。 证： 不妨设 f 为区间 I 上的递增函数，于是当 x ∈ I ，且 x < x0 时， f ( x) < f ( x0 ) ， 从而由函数极限的单调有界定理可知：
f ( x0 − 0) 存在 ，且 f ( x0 − 0) = lim− f ( x) ≤ f ( x0 )
x → x0
同理可证 f ( x0 + 0) 存在，且 f ( x0 + 0) = lim+ f ( x) ≥ f ( x0 )
x → x0
因此 ， x0 是 f 的第一类间断点。 7．设函数 f 只有可去间断点，定义 g ( x) = lim f ( y ) ，证明 g 为连续函数。
y→ x
证：设 f 的定义域为区间 I ，则 g ( x) 在 I 上处处有定义（因 f 只有可去间断点，从而极 限处处存在） ，任取 x0 ∈ I ，下证 g ( x) 在 x0 连续。由于 g ( x0 ) = lim f ( y )
y → x0
且 g ( x) = lim f ( y ) （ x ∈ I ） ，从而对任给正数 ε ，存在正数 δ ，当 0 < y − x0 < δ 时有
但 f ( x) 在 (−∞,+∞) 任一点都不连续。 5．设当 x ≠ 0 时， f ( x) ≡ g ( x) ，而 f (0) ≠ g (0) ，试证 f 与 g 这两个函数中至多有一个在
x = 0 连续。
证明： （反证）假设 f ( x) 与 g ( x) 均在 x = 0 连续，则 lim f ( x) = f (0) ， lim g ( x) = g (0) ，
x →0
（5） f ( x) 在 x = 2kπ ±
π
2
(k = 0, ± 1 ,±2,) 间断，由于
lim 4 k −1
2
x→
lim 4 k +1
2
π+
f ( x) = −1 ，
x→
lim 4 1
k+ − π 2
f ( x) = 1 ，
x→
π+
f ( x) = −1 ，
x→
lim 4 k −1
2
y→ x
g ( x0 ) −
ε
2
< f ( y ) < g ( x0 ) +
ε
2
，
任取 x ∈ U ( x0 , δ ) ，则必存在 U ( x,η ) ⊂ U ( x0 , δ ) 。于是当
0 0
y ∈U ( x,η ) 时，由不等式性
质知
g ( x0 ) −
0
ε
2
≤ g ( x) = lim f ( y ) ≤ g ( x0 ) +
y → x0 y→ x
ε ，存在正数 δ ，当 0 < y − x0 < δ 时，有 g ( x0 ) −
0 0 0
ε
2
< f ( y ) < g ( x0 ) +
ε
2
，
任取 x ∈ U + ( x0 , δ ) ，则必存在 U + ( x,η ) ⊂ U + ( x0 , δ ) 。 于是当 y ∈ U + ( x,η ) 时，上不等式成立。由极限不等式性质知
第四章 第一节
函数的连续性
连续性概念
1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：
1 ； （2） f ( x) = x 。 x 1 证： （1） f ( x) = 的定义域为 D = (−∞,0) (0,+∞) ，当 x, x 0 ∈ D 时，有 x
（1）
f ( x) =
x − x0 1 1 − = x x0 x x0
函数
1 x cos , x ≠ 0 是 f ( x) 的延拓，且在 (−∞,+∞) 上连续。 F ( x) = x x=0 0 ,
， f 是否也在 x 0 连续？又若 f 或 f 在 I 上连续，那么 f 在
2 2
4．若 f 在 x0 点连续，则 f
I 上是否连续？
解： （1）若 f 在 x0 点连续，则 f 与 f 在 x 0 连续。 （i） f 在 x0 点连续。事实上，由于 f 在 x0 点连续，从而对任给正数 ε ，存在正数 δ ， 当 x − x 0 < δ 时，有 f ( x) − f ( x0 ) < ε ，而