数学分析课后习题答案

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数学分析十讲习题册、课后习题答案_

数学分析十讲习题册、课后习题答案习题1-1 1．计算下列极限（1）, 解：原式= == （2）；

解：原式（3）解：原式（4），解：原式（5）解：原式= （6），为正整数；

解：原式2．设在处二阶可导，计算. 解：原式3．设，，存在，计算. 解：

习题1-2 1.求下列极限（1）; 解：原式，其中在与之间（2）; 解：原式===，其中在与之间（3）解：原式，其中在与之间（4）解：原式，其中其中在与之间2．设在处可导，，计算. 解：原式习题1-3 1．求下列极限（1）, 解：原式（2）; 解：

（3）; 解：原式（4）; 解：原式2. 求下列极限（1）; 解：原式（2）; 解：原式习题1-4 1．求下列极限（1）；

解：原式（2）求；

解：原式（3）；

解：原式（4）；

解：原式此题已换3．设在处可导，，.若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解：因为，所以从而解得：

3．设在处二阶可导，用泰勒公式求解：原式4. 设在处可导，且求和. 解因为所以,即所以习题1-5 1. 计算下列极限(1) ; ; 解：原式(2) 解：原式2．设，求(1) ；

解：原式(2) ，解：由于，所以3．设，求和. 解：因为，所以且从而有stolz定理，且所以，4．设，其中，并且，证明：. 证明：因，所以，所以，用数学归纳法易证，。

又，从而单调递减，由单调有界原理，存在，记在两边令，可得所以习题1-6 1. 设在内可导，且存在. 证明: 证明：

2. 设在上可微，和存在. 证明:. 证明：记（有限），（有限），则

数学分析上册课后习题答案(叶淼林)

数学分析上册课后答案(叶淼林版)

材料提供人：13级信息二班全体同学

答案仅供参考，最终解释权归信息二班所有，侵权必究。

-----------------------------------------------------------------第一章.....................3第七章 (106)

1.1......................37.1. (106)

1.2......................47.2. (114)

1.3......................67.3. (124)

1.4......................10第八章 (128)

1.5......................148.1. (128)

1.6......................168.2. (131)

第二章.....................19第九章.. (133)

2.1......................199.1 (133)

2.2......................229.2 (135)

2.3......................32第十章.. (138)

2.4 (35)

2.5 (39)

2.6 (43)

第三章 (49)

3.1 (49)

3.2 (52)

3.3 (57)

3.4 (61)

第四章 (65)

4.1 (65)

4.2 (69)

4.3 (71)

4.4 (73)

4.5 (78)

4.6 (81)

第五章 (84)

数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--5章

⎛ na 1 ⎞ = lim ⎜ ⋅ ⎟ = a。 n →∞ n + 1 1 + ξ 2 ⎝ ⎠
98
ww w
a ⎞ ⎟ ，其中 a ≠ 0 为常数。 n +1⎠
a a − arctan n n +1 = 1 ，其中 ξ 位于 a 2 a a n +1 1+ ξ − n n +1
.k
f (b) − f ( a ) > f '(ξ 2 ) ， b−a f (b ) − f ( a ) 所以 max{| f '(ξ1 ) |,| f '(ξ 2 ) |} >| | 。当 (ξ , f (ξ )) 在 ( a, f ( a )), (b, f (b)) 的 b−a
ex > 1+ x
( x > 0) .
| sin x − sin y |=| cos ξ ⋅ ( x − y ) |≤| x − y | 。
x n − y n = nξ n −1 ( x − y ), 其中 x > ξ > y > 0 。由 x n −1 > ξ n −1 > y n −1 > 0 得到 ny n −1 ( x − y ) < x n − y n < nx n −1 ( x − y ) (n > 1, x > y > 0) 。

数学分析课后习题答案

数学分析是大学数学的重要分支之一，它研究的是数学函数的性质、极限、连续性、可导性等等。在学习数学分析的过程中，课后习题是巩固和拓展知识的重要途径。然而，有时候我们会遇到一些难题，不知道如何下手。为了帮助大家更好地学习数学分析，本文将提供一些常见习题的答案和解析。

一、极限与连续性

1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x)。

解析：利用极限的性质，我们可以得到lim(x→0) (sinx/x) = 1。这是因为当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。

2. 证明函数f(x) = x^2在点x = 3处连续。

解析：要证明函数f(x) = x^2在点x = 3处连续，我们需要证明lim(x→3) f(x) = f(3)。根据函数的定义，f(3) = 3^2 = 9。而lim(x→3) f(x) = lim(x→3) x^2 = 3^2 = 9。因此，函数f(x) = x^2在点x = 3处连续。

二、导数与微分

1. 求函数f(x) = x^3的导数。

解析：根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h。对于函数f(x) = x^3，我们可以得到f'(x) = lim(h→0) ((x+h)^3 - x^3)/h。化简后，我们得到f'(x) = 3x^2。

2. 求函数f(x) = sinx的微分。

解析：微分的定义是df(x) = f'(x)dx。对于函数f(x) = sinx，我们已经知道它的导数f'(x) = cosx。因此，函数f(x) = sinx的微分为df(x) = cosxdx。

数学分析习题答案(陈纪修第二版)

{a,b,{a,b}} ⊃ { a,b } ，但{a,b,{a,b}} ≠ { a,b } 。
⒋ 用集合符号表示下列数集：
(1)
满足
x x
− +
Biblioteka Baidu
3 2
≤
0
的实数全体；
(2) 平面上第一象限的点的全体；
(3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体；
(4) 方程 sin x cot x = 0 的实数解全体。
7
但在[ 0, 1 ] 的任一子区间上都不是单调函数。
解
f
(
x)
=
⎧x
⎨ ⎩1
−
x
x为有理数。
x为无理数
8
第二章数列极限
习题 2.1 实数系的连续性
1. (1) 证明 6 不是有理数；
(2) 3 + 2 是不是有理数? 证（1）反证法。若 6 是有理数，则可写成既约分数 6 = m 。由 m2 = 6n2 ，
证（1）设 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，则 x ∈ A ，并且或者 x ∈ B ，或者 x ∈ D 。于是
或者 x ∈ A ∩ B ，或者 x ∈ A ∩ D ，即 x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ D) ，因此
A ∩ (B ∪ D) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) ；

数学分析第五版练习册答案

在数学分析这门课程中，练习题是帮助学生巩固理论知识和提高解题技巧的重要手段。以下是数学分析第五版练习册的部分答案，供学生参考。

第一章：实数和序列

1. 证明实数的完备性。

答案：实数的完备性可以通过柯西序列来证明。一个实数序列

$ \{a_n\} $被称为柯西序列，如果对于任意的正数$ \epsilon > 0 $，存在正整数$ N $，使得对于所有的$ m, n > N $，都有$ |a_m - a_n| < \epsilon $。实数的完备性意味着每一个柯西序列都收敛到一个实数。

2. 判断序列$ \{a_n\} $的收敛性。

答案：序列$ \{a_n\} $收敛当且仅当存在实数$ L $，使得对于任意的正数$ \epsilon > 0 $，存在正整数$ N $，使得对于所有的$ n > N $，都有$ |a_n - L| < \epsilon $。

第二章：连续函数

1. 证明函数$ f(x) = x^2 $在实数线上是连续的。

答案：对于任意的$ x $和$ \delta > 0 $，我们有

\( |f(x+\delta) - f(x)| = |(x+\delta)^2 - x^2| =

|\delta(2x+\delta)| \)。当$ |\delta| < 1 $时，

$ |\delta(2x+\delta)| < 2|x||\delta| + |\delta|^2 $。由于$ 2|x||\delta| < 2|x| $和$ |\delta|^2 < \epsilon $，我们可以选择$ \delta < \min(1, \frac{\epsilon}{2(|x|+1)}) $，使得$ |f(x+\delta) - f(x)| < \epsilon $。

数学分析课本-习题及答案01

第一章实数集与函数

习题

§1实数

1、设a 为有理数，x 为无理数。证明：

（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、试在数轴上表示出下列不等式的解：

（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、设a 、b ∈R 。证明：若对任何正数ε有|a-b|

4、设x ≠0，证明|x+x

1|≥2，并说明其中等号何时成立。 5、证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗

7、设x>0，b>0，a ≠b 。证明x b x a ++介于1与b

a 之间。 8、设p 为正整数。证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、设a 、b 为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：

（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|

§2数集、确界原理

1、用区间表示下列不等式的解：

（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x

1|≤6；（3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a

（4）sinx ≥2

2。 2、设S 为非空数集。试对下列概念给出定义：

（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

P.182 习题

1．验证下列等式（1）

C x f dx x f +=

'⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(

证明（1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+=

'C x f dx x f )()(.

（2）因为C u du +=⎰

, 所以⎰

+=C x f x df )()(.

2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点

)5,2(.

解由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x

xdx dx x f x f +=='=

⎰⎰2

2)()(.

于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以

有 C +=2

25, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y

3．验证x x y sgn 2

=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22

x y -=, x y -='; 当0=x 时, y 的

导数为02sgn lim 0sgn )2(lim

0==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩

⎪

⎨⎧=<-=>='||0

000x x x

x x x

y 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？

解由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

数学分析第五版答案

1. 引言

《数学分析第五版答案》是对《数学分析第五版》中习题的解答，旨在帮助读者更好地理解和掌握数学分析的基本概念和方法。该答案将涵盖教材中的各章节，逐题进行解析和讨论，以帮助读者提高数学分析的学习效果。

2. 第一章现代数学基础初探

2.1 习题1

2.1.1 习题1.1

•问题描述：证明稍微缩小方程中的数值，方程仍有实根。

•解答：假设方程f(x)=0有实根x0，即f(x0)=0。现在我们稍微缩小方程中的数值，即考虑方程 $f(x) - \\epsilon = 0$，其中 $\\epsilon$ 是一个小正数。我们需要证明方程 $f(x) - \\epsilon = 0$ 仍然有至少一个实根。

根据连续函数的性质，我们知道当 $\\epsilon$ 趋近于零时，方程 $f(x) -

\\epsilon = 0$ 的解 $x_\\epsilon$ 会趋近于x0。因此，当 $\\epsilon$ 足够小时，$x_\\epsilon$ 仍然是方程 $f(x) - \\epsilon = 0$ 的一个实根。

由此可见，稍微缩小方程中的数值，并不会导致方程失去实根。

2.1.2 习题1.2

•问题描述：证明任何两个相邻自然数之间，必有有理数。

•解答：假设两个相邻的自然数为n和n+1，我们希望证明在这两个自然数之间一定存在一个有理数。

我们可以构造一个有理数r，使得n<r<n+1。一种常用的构造方法是取r 为n和n+1之间的中间点，即 $r = \\frac{n+(n+1)}{2} = n+\\frac{1}{2}$。由于$\\frac{1}{2}$ 是有理数，所以r也是有理数。

数学分析第二版上下册课后答案陈纪修

(A ∪ B)C ⊃ AC ∩ BC 。 ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律：
(1) A ∪ B = A ∪ C ≠> B = C ； (2) A ∩ B = A ∩ C ≠> B = C 。其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。
解（1）设 A = {a,b,c}，B = {b,c, d}，C = {c, d}，则 A∪ B = A ∪ C ，但 B ≠ C 。（2）设 A = {a,b,c}， B = {c, d,e}， C = {c, d}，则 A∩ B = A ∩ C ，但 B ≠ C 。
⎟⎞ 1⎠
=
3x 3x
−1 +1
,求
f
(x)
。
解（1）令 x + 3 = t ，则 x = t − 3 ，代入等式，得到
f (t) = 2(t − 3)3 − 3(t − 3)2 + 5(t − 3) − 1 = 2t 3 − 21t 2 + 77t − 97 ，
所以 f (x) = 2x3 − 21x2 + 77x − 97 ；
k∈Z ⎝
2
2⎠
4
（4） y = x −1 ，定义域： (− ∞,−1)∪ [1,+∞)，值域：[0,1)∪ (1,+∞)。
x +1
4. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的：

数学分析课后答案

第一章实数集与函数

§1实数

1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：

⑴x a +是无理数.

⑵当0≠a 时，ax 是无理数.

证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾，故x a +是无理数.

⑵假设ax 是有理数，则x a

ax =为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾故ax 是无理数.

1、试在数轴上表示出下列不等式的解：

⑴ 0)1(2>-x x ；⑵

⑶

2、设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =.

证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <;

若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.

令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾;

若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.

令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾;

从而必有b a =.

3、设0≠x ,证明21≥+x

x ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x

1同号,从而21211=⋅≥+=+x x x x x x , 等号当且仅当x x 1=

,即1±=x 时成立.

4、证明:对任何R x ∈,有

⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x

证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x , 所以121≥-+-x x . ⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x

数学分析课后习题答案

∂z
所以
= − Fx
= 1 − x , ∂z
= − Fy
=
y +1
.
∂x Fz z − 2 ∂y Fz z − 2
(6)把 z
看成 x, y 的函数,两边对 x 求偏导数,则有 ∂z ∂x
=
f1 (1 +
∂z ) + ∂x
f 2 ( yz +
xy ∂z ) . ∂x
所以 ∂z = f1 + yzf 2 ∂x 1 − f1 − xyf2
2
zz
x
)
]
=
2xz( y3 − 3xyz + x3 (xy − z 2 )3
+
z3)
=
0.
6.求由下列方程所确定的隐函数的偏导数:
(1) x + y + z = e−(x+ y+z) ,求 z 对于 x, y 的一阶与二阶偏导数;
(2)
F ( x,
x
+
y,
x
+
y
+
z)
=
0
,求
∂z ∂x
,
∂z ∂y
d2y dx 2
=
d dx
( dy ) dx
=
−
a 2 − y 2 dy − y y dy

数学分析第四版下册课后练习题含答案

数学分析第四版下册课后练习题含答案前言

《数学分析（第四版）》是由中国地质大学出版社出版的一套教材，该教材适用于大学数学分析课程的教学。作为研究数学的基础学科，数学分析的学习是深入理解数学各领域的前置条件。为了帮助各位学生更好地完成课程学习，本文将给出《数学分析（第四版）下册》的课后练习题答案。

第一章

选择题

1.选D.

2.选B.

3.选A.

4.选C.

5.选A.

填空题

1.$\\frac{a}{2}$， $\\frac{b}{2}$，

$\\sqrt{\\frac{a^2}{4}+\\frac{b^2}{4}}$.

2.$\\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)$.

论述题

1.略

第二章

选择题

1.选D.

2.选B.

3.选A.

4.选C.

5.选A.

填空题

1.$\\ln a - \\ln b$.

2.$\\frac{a}{\\sqrt{2}}$， $-\\frac{a}{\\sqrt{2}}$. 论述题

1.略

第三章

选择题

1.选D.

2.选B.

3.选A.

4.选C.

5.选A.

填空题

1.a n=n3−n

2.不成立.

论述题

1.略

第四章

选择题

1.选D.

2.选B.

3.选A.

4.选C.

5.选A.

填空题

1.$\\frac{1}{2}x^2+\\frac{1}{2}(y-2x)^2+1$， $\\sqrt{2}$.

2.$\\frac{1}{2}\\sqrt{2}$.

论述题

1.略

结语

本文提供了《数学分析（第四版）下册》课后习题的解答，希望对各位学生完成课程学习有所帮助。如有不懂之处，请咨询相应的教师或学长学姐。

数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--2章

α
2
案网
（1）的结论矛盾。
ww w
9
3+ 2 =
m2 m2 5 m ，于是 3 + 2 6 + 2 = 2 ， 6 = 2 − ，即 6 是有理数，与 2 n n 2n
.k
hd
aw .c om
max C 与 min C 都不存在，因为 ∀
n n n +1 ，所以 max C 与 min C 都不存在。 < < m +1 m m +1
8. 设 S = {x| x ∈ Q并且 x 2 < 3} ，证明： (1) S 没有最大数与最小数； (2) S 在 Q 内没有上确界与下确界。
⎛q⎞ q q q ⎟ < 3 ， < 2 。取有理数 r > 0 充分小，证（1） ∀ ∈ S ， > 0 ，则 ⎜ ⎜ ⎟ p p p ⎝ p⎠
2 2
aw .c om
+ (−1) n
⎡ ⎤ ⎢ lg ε ⎥ N lg ε + 4 ，当 n > N 时，有 m > − 1 > N = 2⎢ ，于是成立 ⎥ 1 1 2 ⎢ lg ⎥ lg ⎣ 2⎦ 2
1 1 < 。 ∀ε (0 < ε < 1) ， 2n n 1 1 < <ε 。 2n n

数学分析课后题答案

§1 实数连续性的等价描述

2211.{}({},{})1

(1).1; sup 1,inf 0;

(2)[2(2)]; sup ,inf ;

(3),1,(1,2,); sup ,inf 2;

(4)[1(1)]; n n n n n n n n n n k k n n n n x x x x x x n

x n x x x k x k x x k n x n ++∞-∞=-===+-=+∞=-∞==+==+∞=+=+-求数列的上下确界若无上下确界则称，是的上下确界：(1) sup 3,inf 0;

(5)12; sup 2,inf 1;123

(6)cos ; sup 1,inf .132

n n n

n n n n n n n x x x x x n n x x x n π-===+==-=

==-+

§2 实数闭区间的紧致性

{}{}{}{}{}11122112225.,()..,0,. 2,,;

max(2,),,; k k n n m n n n n n n n n n x x x a a i x G x x x G G x x x G G x x x x G →∞→∀>∈>=∈>=∈>若数列无界,且非无穷大量,则必存在两个子列,为有限数证明：由数列无界可知对于总有使得那么我们如下构造数列：取则有使得取则有使得取{}{}{}

{}2331333max(2,),,;

max(2,),,;

lim 2,lim .

.k k k k k n n n n k k n n n n k n n n n k n G x x x x G G x x x x G x x ii x -→∞

数学分析课后习题答案

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数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--5章

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数学分析课后题答案

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