合肥工业大学2014级研究生《数值分析》试卷(A)评分标准(可编辑修改word版)

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2014_2015学年第一学期末数值分析考试试题A

中北大学数值分析课程考试试题(课程名称须与教学任务书相同)2014/2015 学年第1 学期试题类别 A 命题期望值70拟题日期2014.12.12 拟题教师课程编号教师编号1120048基层教学组织负责人课程结束时间2014.11.28 印刷份数使用班级2014级研究生备注：（1）试题要求用B5纸由计算机打印，并将其电子稿于课程结束后上传至考务管理系统内。

（2）试题类别指A卷或B卷。

2014/2015 学年第 1 学期末考试试题（A 卷）课程名称数值分析1使用班级： 2014级研究生一、填空题(每空2分，共30分)1. 用1457ˆe536=作为常数e (自然对数的底)的近似值具有位有效数字，用355ˆπ113=作为圆周率π的近似值的绝对误差限可取为；用ˆπˆe u= 作为πe u =的近似值具有位有效数字；2. 已知求解某线性方程组的Jacobi 迭代公式为(k+1)(k)(k)123(k+1)(k)(k)213(k+1)(k)(k)3120.10.27.20.10.28.3,1,2,0.20.28.4x x x x x x k x x x ⎧=++⎪=++=⎨⎪=++⎩ 记其迭代矩阵为J G ，则J ∞=G ，又设该线性方程组的解为*x ，取初始解向量为()T(0)0,0,0=x，则(1)=x ，(20)*∞-≤x x ；3. 方程e 0xx +=的根*x ≈ (要求至少具有7位有效数字)；4. 用割线法求解方程ln 20x x --=的迭代公式为；若取初始值03x =，14x =，则由该公式产生的迭代序列的收敛速度的阶至少是。

5. 取权函数()x ρ=[－1,1]上计算函数()1f x =与()221g x x =-的内积(),f g =；6. 设()()10.5,01,(1)2f f f -===，二阶差商[]1,0,1f -= ；7. 设()f x 在区间[,]a b 上具有连续的二阶导数，取等距节点(),0,1,,k x a kh k n =+= ，b ah n-=，则近似计算积分()d b a I f x x =⎰的复化梯形公式的截断误差T R = ；该公式具有次代数精度；8.求解常微分方程初值问题()()00,,y f t y t t T y t y'=≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩的Euler折线法的计算公式为；它是一个阶方法。

合肥工业大学2014-2015第一学期(南区)课表

中特（5、9、19、32）西二102 茆诗珍中特（16、30、31、34）西二508 李才华
晚
9 10 11
注：1、上课前请登录学生注册中心主页查询课表；（网址为：/）； 2、上课周次：硕士英语（1—15周，每周两次课，每次连2节）；口语（1—15周，每周一次，每次连2节）；矩阵理论（1—10周，每周两次，每次连2节）；数理统计（1—8周，每周两次，每次连2节）中特（1—12周，每周一次，每次连3节） 3、本学期未开口语课的班级下学期开课； 4、一外为小语种的研究生报到后请与研究生培养办联系，联系电话：62901225，办公地点：南区2号行政楼211室。
ห้องสมุดไป่ตู้
3
4
口语012班主楼215 外教1
数值分析（29-35）西二508 褚标口语010班主楼215 外教1
矩阵理论（7-9）西二210 殷明数理统计（12-14）西二202 凌能祥中特（4、17、23、39）西二408 李勇口语011班主楼215 外教1
5 6
口语013班主楼215 外教1
星期六
矩阵理论（10-14）西二202 李平矩阵理论（15-18）主楼428 开晓山数理统计（22、34、38-40）西二201 焦贤发数值分析（1-3,39、40）西二408 江平数值分析（29-35）西二508 褚标英语005班主楼423 王海珍英语008班主楼216 黄昀英语036班主楼217 邹立新英语037班主楼406 李为山口语007班主楼317 外教1
星期五矩阵理论（29-33）西二202 李平矩阵理论（19-22）主楼428 开晓山数理统计（1-11）西二408 焦贤发数值分析（12-14）西二408 朱晓临数值分析（4-6）西二508 褚标英语017班主楼217 邹立新英语038班主楼423 王海珍英语039班主楼216 黄昀口语023班主楼317 外教1

考研2014共创数二3套卷完整版

Tel： 0551-62905018
即 x0 ( a, b) 使得 f ( x0 ) max{ f ( x )} ，此时必有 f ( x0 ) 0
1 1 k ，当 k 0 时方程显然有根 x 1 ； k 0 时 f ( ) 0 ， x k 1 1 1 lim f ( x) , lim f ( x) 当， f ( x ) 在 (0, ] 上单增，在 [ , ) 上单减，当 f ( ) ln k 1 0 x x 0 k k k 1 即 k 时原方程无实根，答案Ａ． e （5）【解】答案Ａ为正确． f ( x, y ) （6）【解】由 lim 2 1 得， lim f ( x, y ) 0 f (0, 0) ，知 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续 x 0 x y 2 x 0 y 0 y 0 (4) 【解】：令 f ( x) ln x kx, f ( x)
I sin x sin y max{x, y} d ，
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2014 数学模拟试卷
共创（合肥工业大学）考研辅导中心
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（18）（本小题满分 10 分）已知函数 y f ( x) 在 [0, ) 上单增，曲线 y f ( x) 过点 (0, ) ，且对
（20）（本小题满分 11 分）设 xn 满足条件 x1 2, xn 1 求它的值．（21）（本小题满分 11 分）
2 xn ( xn 3) (n 1, 2,) ，证明 lim xn 存在并 2 n 3xn 1
证明：当 x 0 时，有 ( x 1) ln x ( x 1) ．
是齐次方程组 Bx 0 的 3 个解向量，且方程组 Ax = 3 有解．（Ⅰ）求常数 a, b 的值；（Ⅱ）求 Bx 0 通解（ 23 ）（本小题满分 11 分）已知三元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x Ax 经过正交变换 x Py 化为标准形

合工大硕士研究生最优化方法期末考试题

st.
g1( X ) g2(X )
= =
− x12 − x1
− −
x22 x2
+9≥ 0 +1≥ 0
【解】略
命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”、“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
其中
G
=
3 −1
−1 1
正定,
b
=
−2 0
,
c
=
0
,
X (0) = (−2, 4)T , gk = ∇f ( X k ) = GX k + b , ∇2 f ( X k ) = G , g0 = ∇f ( X 0 ) = GX 0 + b = (−12, 6)T ≠ 0 ,
故取 p0 = −g0 = (12, −6)T ,从 X 0 出发,沿 p0 作一维搜索，即求
f ( X ) − f (Z ) ≥ ∇f (Z )T ( X − Z ) , f (Y ) − f (Z ) ≥ ∇f (Z )T (Y − Z ) ,
用α ,1−α 分别乘上述两式再相加得α f (X ) + (1 −α ) f (Y ) − f (Z ) ≥ 0 ,
即 f [α X + (1−α )Y ] ≤ α f ( X ) + (1−α ) f (Y ) ,故 f ( X ) 是 D 上为凸函数.
s.t.
−
x1
+
x2
x3
≥1 ≤3
x1, x2 ≥ 0
三．(10 分)试述 0.618 法计算迭代歩骤
七．(12 分)用外点法求解：

合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰．６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰．四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。

合工大2017级研究生《数值分析》试卷_A_解答

合肥工业大学研究生考试试卷课程名称数值分析考试日期学院全校2017级研究生姓名年级班级学号得分一、计算题 (每小题5分，满分共30分) 1. 已知近似值*120.10mn x a a a =×"有5位有效数字，试求其相对误差限。

P22练习6.(1)(2) 设*120.10mn x a a a =±×"，*1**110.5100.5101100.102m l m l l m x x a a x x−−−+−××≤≤=×× 4411100.5102a −−=×≤×，其中5l =. 2. 设3142A −=−⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求Cond()A ∞. 6A∞=,1112232A −−−⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠,172A −∞=; 1Cond()76212A A A∞−==×=3. 设22(35)()x f x −+=，求函数()f x 的差商0123[2,2,2,2,]f π.0123[2,2,2,2,]9f π=4. 设4()f x x=.用Lagrange 余项公式求()f x 关于节点1,0,1,2−的3次Lagrange 插值多项式3()p x .p143,用Lagrange 余项公式，例如求4()f x x=关于节点21,0,1−−的3次Lagrange 插值多项式3()p x .法1:(4)333()()()()()(1)(1)(2)4!f r x f x p x x x x x x ξω=−==+−− 433()()()(1)(1)(2)p x f x r x x x x x x =−=−+−− 443232(22)22x x x x x x x x =−−−+=+−法2:41,0,1,16;0,1,2,3i i y x i ===;01()(1)(2)6l x x x x =−−−11()(1)(1)(2)2l x x x x =+−−,21()(1)(2)2l x x x x =−+−,31()(1)(1)6l x x x x =+−,343332400()()()22()()i i i i i i i p x x y l x x x x x x x x ωω=====+−′−∑∑,5. 设函数0.9 1.4706 1.0 2.3257 1.10.1653(),(),()f f f −===,用三点数值微分公式计算(1.0)f ′′的近似值。

2010-数值分析期末试卷A及评分细则

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学二零零九至二零一零学年第二学期期末考试《数值分析》课程考试题 A 卷（ 120 分钟）考试形式：开卷考试日期 2010年月日课程成绩构成：平时 20 分，期中 0 分，实验 0 分，期末 80 分一、填空题：（30分，每空3分）1. 真值x*=23.496，近似值x=23.494，x 的有效位数为 4 。

2. 等比数列11,1n n p p λλ-=>，设01p =，若0p 有误差，按照通项公式生成的数列误差随着n 的增大而_____减小3. 对于定义于[a,b]区间上可积函数()f x ，在[a,b]上取10个求积节点，则插值型数值积分公式9()()bi i ai f x dx A f x =≈∑⎰的最高代数精度能达到 19 。

4. 解线性方程组x b =A 的SOR 迭代法的迭代矩阵为S ，松弛因子为ω，如果SOR 法收敛，其充要条件为 ()1ρ<S 。

5. 矩阵1023⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则()cond ∞A = ___5____。

6.01(),(),()n l x l x l x 是以0,1,...,n 为插值节点的Lagrange 插值基函数，则()0ni i il x ==∑ x 。

7. 对于初值问题()',,()y f x y a x b y a A⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩，设步长为h ，使用右矩形数值求积公式建立Euler 法公式为： ()111,k k k k y y h f x y +++=+ 。

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……8. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 的Jacobi 迭代格式的迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______。

9. 设区间[a , b ]上的可积函数()f x , 使用抛物线对三点a ，2a b+，b 进行插值，则对应的数值积分公式______()()4()()62bab a a b f x dx f a f f b -+⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰（simpson 公式）。

(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)

线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分）用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(，试证明：用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分）又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。

2014级硕士研究生数值分析期末考试试卷A卷

时间t 浓度y
35
40
45
50
55
4.37
4.51
4.58
4.62
4.64
1.474763 1.506297 1.521698 1.530394 1.534714
用最小二乘法求。
三、证明题（共8分）
1．设在区间上二阶导数连续，证明：，其中。
值范围
。
6．设，，则，= ， = 。
7．设,的Gauss-Seidel迭代的矩阵形式，其迭代矩阵为
，
该迭代格式收敛的充要条件__________________。
8．求解一阶常微分方程初值问题，取步长的Euler法公式为
，其截断误差的首项为
。
二、计算题（第4题12分，其余各题10分，共62 分）
1. 求次数小于等于3的多项式P(x), 使其满足条件: ，，，。
2. 解线性方程组, 其中,。 (a) 作Doolittle分解。 (b) 通过求解解线性方程组，其中。
3. 写出雅可比迭代法求解线性方程组的分量迭代格式和矩阵迭代格式，并判断该迭代格式是否收敛？
4. 设区间为[-1,1], 权函数。 (a) 求由作施密特正交化得到的多项式。 (b) 设，函数是在区间[-1,1]上的二次最佳平方逼近，求。 (c) 确定求积公式。
位有效数字，近似值的相
对误差为
。
2．函数过点(0,1), (1,3)和(2,9)，对应的基函数分别为，过这三个节点的
二次拉格朗日插值多项式为
，余项为
。
3. 已知，二阶均差=
。
4．方程在附近有个根，构造不动点迭代收敛的格式
为
,若用牛顿法迭代求根，其收敛阶是

数值分析课程考试试卷(A)及答案

《数值分析》课程考试试卷（A ）考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带计算器入场考生姓名：学号：专业：班级：一、填空（每个空3分，共30分）1，设 *3.1415, 3.141x x ==，则*x 有__________位有效数字。

2，*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________. 3，已知=⎪⎭⎫⎝⎛-=1,4032A A 则_______， =∞A _______.4，设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰=badx x f I )(的值的大小关系为___________.（大于或者小于）5, 已知,3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则均差],,,[3210x x x x f _______________.6, 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2021012a a ，为使A 可分解为TLL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角形矩阵，则a 的取值范围为_______________，如果a =1，则L =______________.7，若b a ,满足的正规方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i n i ni i i i i n i ni i i y x b x a x y b x na 1112111 则x y 与之间的关系式为______________________8，若1λ是1-A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________二、设(1)0,(0)2,(1)4f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小。

060708研究生数值分析试卷(A).doc

武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取值范围，使迭代格式收敛。

三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。

四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。

六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。

，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。

七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。

对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。

八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。

武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

2014年合肥工业大学概率论与数理统计试卷A

完整版试卷分享2014年合肥工业大学概率论与数理统计试卷A一. 填空题（每小题3分，共15分）1. 设()0.7,P(A-B)=0.3,P A =则______()______.P AB = 2. 已知随机变量X 的分布律为()(23),1,2,,kP X k a k ===则______.a =3. 设随机变量X 与Y 相互独立,(0,2),XU Y 的分布律为011323⎛⎫⎪⎝⎭, 则(34)___.D X Y -+=4. 设1234,,,X X X X 为取自总体(0,4)XN 的样本，已知212(2)Y a X X =-+234(34)b X X -服从2χ分布，则2_____,_____,a b χ==的自由度为_____.5. 设总体22(,),,XN μσμσ均未知，12,,,n X X X 为其样本，μ的置信度为0.95的置信区间为(X X -+，其中2,X S 为样本均值和方差，则________.a =二. 选择题（每小题3分，共15分）1. 设,A B 是两个随机事件，且0()1,()0,()(),P A P B P B A P B A <<>=则必有（）()()();()()();A P A B P A B B P A B P A B =≠()()()();()()()().C P AB P A P B D P AB P A P B =≠2. 设随机变量X 的密度函数为()f x ，则下列函数必为概率密度函数的是（）()()(A f a x a -为常数) (B f ()()(C af ax a 为常数）；2()2().D xf x3. 设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件{}0X =与{}1X Y +=相互独立，则（）()a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1()a=0.3,b=0.2()a=0.1,b=0.4.A C D ；；；. 4. 设随机变量,X Y 不相关，则下述选项不正确．．．的是（） ()();()();A E X Y EX EY B D X Y DX DY +=++=+()();()().C E XY EX EY D D XY DX DY =⋅=⋅5. 设12,,,(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2211()1ni i S X X n ==--∑为样本方差，则（） 22()(0,1);()();A nXN B nS n χ2122(1)(1)()(1);()(1,).nii n X n X C t n D F n SX=---∑三.（本题满分12分）设10件产品中有2件次品，8件正品，现从中任取两件，每次一件，取后不放回，试求下列事件的概率：(1) 两次均取得正品；(2) 第二次取得次品；(3) 两次中恰有一次取得正品.四. (本题满分12分）设随机变量X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他令2,(,)Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数，求：（1）Y 的概率密度()Y f y ；（2）1(,4)2F ；（3）(,)Cov X Y .五.（本题满分14分）设随机变量(,)X Y 的概率密度为,01,0(,)0,cx x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其他求：（1）常数c ；（2）,X Y 边缘密度函数(),()X Y f x f y ；（3）(1)P X Y +≤;(4) Z X Y =-的概率密度函数.六.（本题满分12分）设随机变量X 的概率密度为,0()0,x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,定义随机变量12,Y Y 为2,,3,,k X k Y X k ≤⎧=⎨>⎩(1,2)k =，求：（1）12,Y Y 的联合分布律，（2）判断12,Y Y 的相关性.七.（本题满分12分）设随机变量X 的分布函数为21,(;)0,x F x x x αααα⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≤⎩，其中参数0,α>设12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，求未知参数α的矩估计量和极大似然估计量.八.（本题满分8分）设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分标准差为15分，在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.0.0250.050.025( 1.96, 1.645,(35) 2.0301,u u t ===0.0250.05(36) 2.0281,(35) 1.6896)t t ==.。

2011级硕士研究生《数值分析》试卷(A)

合肥工业大学2011级硕士研究生《数值分析》试卷(A)班级姓名学号成绩一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2分，共10分) 1. 设函数f 具有5阶导数，则(5)[0,1,2,3,4,5]()f f ξ=，其中ξ介于0,1,2,3,4,5之间,[0,1,2,3,4,5]f 是()f x 关于节点0,1,2,3,4,5的5阶差商。

( )2. 若方阵A 是严格对角占优的，则可用Gauss 消去法直接求解方程组=Ax b ，无须选主元素。

( )3. 若()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(,)a b 内至少有一个根。

( )4. 若函数()f x 是多项式，则它的Lagrange 插值多项式()()p x f x ≡. ( )5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是5()O h ，其中h 是步长。

( )二、填空题 (每空2分，共10分)1. 近似数*3.200x =关于准确值 3.200678x =有位有效数字。

2. 设2435A =⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1Cond()A = . 3. 设函数(2.6)13.4673,(2.7)14.8797,(2.8)16.4446f f f ===, 用三点数值微分公式计算(2.7)f '= 14.8865 .4. 设函数sin 2()x f x =, 2()p x 是()f x 的以1,2,3为节点的二次Lagrange 插值多项式，则余项2()()f x p x -= .5. 二元函数(,)f x y 在区域D 上关于y 满足Lipschitz 条件是：.三 (本题满分12分) 对下列方程组1231231235212,4220,23103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 建立Jacobi 迭代格式(4分)和Gauss –Seidel 迭代格式(4分)，写出Jacobi 迭代格式的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断所建立的Jacobi 迭代格式是否收敛(4分)。

合肥工业大学研究生2014-2015年数理统计试卷

合肥工业大学2014-2015学年第一学期公共研究生《数理统计》试卷 2014.12姓名_________ 学号__________ 学院________ 专业_______ 成绩________一、填空（20分）：1. 总体X 服从参数λ的指数分布，即~(,),0.xX f x ex λλλ-=≥，1,,n X X 是X 的简单随机样本，样本均值与样本方差分别是11ni i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑。

则 ()D X = ，2()E S = 。

2. 设总体 ~(12,4)X N ，今抽取一个容量是5的样本：125,,...X X X ，则有：(13)_______________________P X ->=。

3. 对出厂的一批产品进行抽检,若100件产品中有3件次品，则次品率p 的0.95的置信区间为4 . 设曲线回归函数为100,(0),x by ae b -=+>其中,a b 是未知参数，将之化为一元线性回归的变换是：___________________________________________。

5. 设12,,....n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，参数2,μσ未知，记22111,()n n i i i i X X Q X X n --====-∑∑，则检验假设0:0H μ=的统计量__________________T =。

二（15分）设总体X 服从正态分布2(0,)N σ，2σ是未知参数，12,,....n X X X 为样本。

（1）求2σ的最大似然估计^21σ；（2）问^21σ是否为无偏估计？是否为有效估计？说明理由。

(3) 如果用^22211()1n i i X X n σ-==--∑作为2σ的估计，证明: ^22σ不是2σ的有效估计。

三（10分）设12,,....n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，样本均值和样本方差分别记为221111,()1n n i i i i X S X X n n X--====--∑∑。

2014研究生试题答案数值分析

+
h2 12
[
f
'
( xi
)
−
f ' (xi+1)] ）
∑ =
n−1 i=0
h[ 2
f
(xi )+f
(
xi+1
))]
+
h2 [
12
f
'(a) −
f
' (b)]
----------------4
分
第 4页共 6 页
五、（本题满分 13 分）应用数值积分的有关理论建立常微分方程初值问题： dy = f (x, y) dx y(x0 ) = y0
x n+1 xn
x − xn−1 dx + f xn − xn−1
xn−1, y xn−1
x n+1 xn
=
y ( xn
)
+
h 2
3
f
( xn ,
yn
)
−
f
( xn−1,
) yn−1
x − xn dx xn−1 − xn
-------------------------------------6 分
第 6页共 6 页
解：（1）确定V = ϕ(i) 的形式。将表中给出的数据点描绘在坐标纸上，可以看出
这些点位于一条直线的附近，故可选择线性函数来拟合这组实验数据，即取 V = a + bi
（2）建立法方程组。
1 1
1
2

1 4
A = ，---------------------------2
将 y ( xn ) 用 yn 代替，将 ≈ 换成=，则命题得证。

数值分析试题(A)参考答案2012.6

湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目：数值分析（A 卷）参考答案专业年级： 11级各专业考试形式：闭卷（可用计算器）考试时间：120分钟……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一、简答题(20分)1、避免误差危害的主要原则有哪些？答：（1）两个同号相近的数相减（或异号相近的数相减），会丧失有效数字，扩大相对误差，应该尽量避免。

（2分）（2）很小的数做分母（或乘法中的大因子）会严重扩大误差，应该尽量避免。

（3分）（3）几个数相加减时，为了减少误差，应该按照绝对值由大到小的顺序进行。

（4分）（4）采用稳定的算法。

（5分）2．求解线性方程组的高斯消元法为什么要选主元？哪些特殊的线性方程组不用选主元？答：（1）若出现小主元，将会严重扩大误差，使计算失真，所以高斯消元法选主元。

（3分）（2）当系数矩阵是对称正定矩阵时，高斯消元法不用选主元。

（4分）（3）当系数矩阵是严格对角占优或不可约对角占优时，高斯消元法不用选主元。

（5分）3．求解非线性方程的Newton 迭代法的收敛性如何？答：（1） Newton 迭代法是局部收敛的，即当初值充分靠近根时，迭代是收敛的。

（2分）（2）用Newton 迭代法求方程0)(=x f 的单根时，其收敛至少是平方收敛，若求重根，则只有线性收敛。

（5分）4．Newton-Cotes 积分公式的稳定性怎么样？答：（1）Newton-Cotes 积分公式当7≤n 时，Cotes 系数都为小于1的正数，因此是稳定的。

（3分）（2）当8>n 时，出现了绝对值大于1的Cotes 系数，因此是不稳定。

（5分）二、(10分) 证明函数)(x f 关于点k x x x ,...,,10的k 阶差商],...,,[10k x x x f 可以写成对应函数值k y y y ,...,,10的线性组合，即∑==k j jjk x w y x x x f 010)('],...,,[ 其中节点))...()(()(10k x x x x x x x w ---=。

(完整版)合肥工业大学2014级研究生《数值分析》试卷(A)评分标准

合肥工业大学研究生考试试卷(A)课程名称数值分析考试日期学院2014级研究生姓名年级班级学号得分一、填空题(每空2分，满分20分)1. 设20142012()657f x xx，则差商[1,2,,2015]f L 6 .2.设函数(0.9) 1.2178,(1)1,(1.1)0.6018f f f , 用三点数值微分公式计算(1)f 的近似值为3.08, (1)f 的近似值为18.04.3.设T(2,5,7,3)x ，2345A，则2x87，1Cond()A 36 .4. 函数()f x 以0,1,2为节点的二次Lagrange 插值多项式2()p x (1)(2)(0)(2)(0)(1)(0)(1)(2)(01)(02)(10)(12)(20)(21)x x x x xx f f f .5.设S 是函数f在区间[0,2]上的三次样条：32312,01,()2111,12,x x x S x b xx x xc 则b -1，c-3.6.四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是4()O h ，其整体截断误差是5()O h .二、(本题满分8分)要使397的近似值*x的相对误差的绝对值不超过0.01%，求*x至少应具有几位有效数字？解设*x至少应具有l位有效数字. 因为34597, 所以397的第一个非零数字是4，即*x的第一位有效数字14a ，L L L2分根据题意及定理1.2.1知，3**1114971122410100.01%10l l xa x,L L L6分解得5lg850.903 4.097l . 故取5l ，即*x至少应具有5位有效数字。

L L L8分三、(本题满分12分)已知线性方程组1231231231041,21072,3210 3.xx x x x x xxx(1) 写出求解上述方程组的Gauss –Seidel 迭代格式。

(2) 写出求解上述方程组的Jacobi 迭代格式的迭代矩阵J B .(3) 计算范数JB ，判断上述Jacobi 迭代格式是否收敛？若收敛，试估计要达到精度410，Jacobi 迭代法所需的迭代步数；取初值T(0,0,0)x .解(1) 求解上述方程组的Gauss –Seidel 迭代格式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)31211011011041,272,323.k k k k k k k k k x x x xxx x x x L L L4分(2) 因为原方程组的系数矩阵1041000100004121072000100007321032010ALD U，--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------装订线所以求解上述方程组的Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为1125110()15071031015J B D LU I D A.L L L8分(3) 因为9101JB ，所以解原方程组的Jacobi 迭代格式收敛。

(完整版)合肥工业大学2014级研究生《数值分析》试卷(A)评分标准

合肥工业大学研究生考试试卷(A)课程名称数值分析考试日期学院 2014级研究生姓名年级班级学号得分一、填空题 (每空2分，满分20分) 1. 设20142012()657f x xx=-+，则差商[1,2,,2015]f =L 6 .2. 设函数(0.9) 1.2178,(1)1,(1.1)0.6018f f f =-=-=-, 用三点数值微分公式计算(1)f '的近似值为 3.08 , (1)f ''的近似值为 18.04 .3. 设T(2,5,7,3)=-x ，2345A -=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2=x 1Cond()A = 36 .4. 函数()f x 以0,1,2为节点的二次Lagrange 插值多项式2()p x =(1)(2)(0)(2)(0)(1)(0)(1)(2)(01)(02)(10)(12)(20)(21)x x x x x x f f f ------++------.5. 设S 是函数f 在区间[0,2]上的三次样条：()()()32312,01,()2111,12,x x x S x b x x x x c +-≤≤=--+-≤≤++⎧⎨⎩则b= -1 ，c = -3 .6. 四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是4()O h ，其整体截断误差是5()O h .二、(本题满分8分) *x 的相对误差的绝对值不超过0.01%，求*x 至少应具有几位有效数字？解设*x 至少应具有l 位有效数字. 因为45, 的第一个非零数字是4，即*x 的第一位有效数字14a =， L L L2分根据题意及定理1.2.1知，11141122410100.01%10l l a -+-+-≤⨯=⨯⨯≤=,L L L6分解得5lg850.903 4.097l ≥-≈-=. 故取5l =，即*x 至少应具有5位有效数字。

L L L8分三、(本题满分12分) 已知线性方程组1231231231041,21072,3210 3.x x xx x xx x x --+=-+-=++=⎧⎪⎨⎪⎩(1) 写出求解上述方程组的Gauss –Seidel 迭代格式。

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3973 97 397 * * 1x合肥工业大学研究生考试试卷(A)课程名称数值分析考试日期学院 2014 级研究生姓名年级班级学号得分一、填空题 (每空 2 分，满分 20 分) 1. 设 f ( x ) = 6 x2014- 5x2012+ 7 ，则差商 f [1, 2, , 2015] = 6.≤12a 1⨯10-l +1 =12 ⨯ 4⨯10-l +1 ≤ 0.01% = 10-4 ,6 分2. 设函数 f (0.9) = -1.2178, f (1) = -1, f (1.1) = -0.6018 , 用三点数值微分公式计算f '(1) 的近似值为 3.08, f ' (1) 的近似值为 18.04 .解得l ≥ 5 - lg8 ≈ 5 - 0.903 = 4.097 . 故取l = 5 ，即 x *至少应具有 5 位有效 T⎡-23 ⎤3. 设 x = (2, 5, - 7, 3) ， A =⎢ ⎥ ，则 2 ， Cond( A )1 = 36 .数字。

8 分⎣ 4-5⎦⎧-10 x - 4 x + x = -1, ⎪1234. 函数 f ( x ) 以 0, 1, 2 为节点的二次 Lagrange 插值多项式 p ( x ) =三、(本题满分 12 分) 已知线性方程组⎨2 x 1+ 10 x 2- 7 x 3= 2,(x -1)(x - 2) (x - 0)(x - 2) (x - 0)(x -1) .⎪⎩3x + 2 x + 10 x = 3.f (0) +f (1) +f (2)1 2 3(0 - 1)(0 - 2)(1 - 0)(1 - 2)(2 - 0)(2 - 1)5. 设 S 是函数 f 在区间[0, 2] 上的三次样条：(1) 写出求解上述方程组的 Gauss –Seidel 迭代格式。

(2) 写出求解上述方程组的 Jacobi 迭代格式的迭代矩阵 B J .⎧1 + 2 x - x 3,0 ≤ x ≤ 1,S ( x ) = ⎨(3) 计算范数 B J ∞ ，判断上述 Jacobi 迭代格式是否收敛？若收敛，试估计要达到⎩2 + b ( x - 1) + c ( x - 1)2+ ( x - 1)3,1 ≤ x ≤ 2,精度= 10 ，Jacobi 迭代法所需的迭代步数；取初值 x 0 = (0, 0, 0)T .则 b = -1 ， c = -3 .6. 四阶 Runge-Kutta 方法的局部截断误差是 O (h4) ，其整体截断误差是 O (h 5 ) .解 (1) 求解上述方程组的 Gauss –Seidel 迭代格式为⎧x (k +1) = 1 (-4x (k ) + x (k ) - 1), ⎪ 1 10 2 3 ⎪x (k +1) = 1 -2x (k +1) + 7x (k ) + 2 , 4 分二、(本题满分 8 分) 要使的近似值 x 的相对误差的绝对值不超过 0.01% ，求 x 至⎨ 2 10 ( 1 3 ) ⎪⎪x (k +1) = 1 (-3x (k +1) - 2x (k +1) + 3).少应具有几位有效数字？解设 x *至少应具有 l 位有效数字. 因为 4 < < 5 , 所以的第一个⎩ 3 101 2 (2) 因为原方程组的系数矩阵非零数字是 4，即 x *的第一位有效数字a = 4 ， 2 分⎡-10 -4 1 ⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎡-10 0 0 ⎤ ⎡0 -4 1 ⎤ 根据题意及定理 1.2.1 知，A = ⎢ 2 10 -7⎥ = ⎢2 0 0⎥ + ⎢ 0 10 0 ⎥ + ⎢0 0 -7⎥ = L + D + U ，⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 3 2 10 ⎥⎦ ⎢⎣3 2 0⎥⎦ ⎣⎢ 0 0 10⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦- 4 287 397 - x x**装订线=10-4(1 - 9 10)0.3 1 31 31 2 31 2 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1⎢ ⎥0 1 21 2⎰J ⎪h所以求解上述方程组的 Jacobi 迭代格式的迭代矩阵为p (x ) = f [x ] + f [x , x ](x - x ) + f [x , x , x ](x - x )2+ f [x , x , x , x ](x - x )2 (x - x ) + f [x , x , x , x , x ](x - x )2 (x - x )2 ⎡ 0-2 5 1 10 ⎤ .8 分8 分B = -D -1(L + U ) = I - D -1A = ⎢ -1 5 0 7 10⎥ ⎢⎣-3 10 -1 5 0 ⎥⎦= 2 + x + 0 + 0.25x 2 (x - 1) + 0.25x 2 (x - 1)2= 2 + x - 0.25x 3 + 0.25x 4.10 分(3) 因为 B J ∞ = 9 10 < 1 ，所以解原方程组的 Jacobi 迭代格式收敛。

9 分用 Jacobi 迭代法迭代一次得： x (1) = (0.1, 0.2, 0.3)T ，五、(本题满分 12 分) (1) 确定 A , A , A ，使下面的求积公式具有尽可能高的代数精度。

x (1) - x (0)= max { 0.1 - 0 , 0.2 - 0 , 0.3 - 0 } = 0.3 10 分⎰- hf ( x ) d x ≈ A 0 f (- h 2) + A f (0) + A f (h 2) . ∞(1 - q )912 分(2) 用两点古典 Gauss 公式计算 I = 1x 2 sin 3 x d x 的近似值。

0 k > ln x (1) - x(0)ln q = ln ln ≈ 97.8410解 (1) 设上述求积公式对 f (x ) = 1, x , x 2 准确成立，即故需要迭代 98 次。

⎧2h = A + A + A ,122 分四、(本题满分 10 分) 用下列表中的数据求次数不超过 4 次的插值多项式 p ( x ) ，使之满足⎨0 =A 0 (- h 2) + A 2 (h 2), ⎪2h 3 3 = A (h 2 4) + A (h 2 4). p ( x ) = f ( x ) ， i = 0,1, 2 ，和 p '( x ) = f '( x ), p '( x ) = f '( x ) .（要求写出差商⎩⎪0 2 ii11表）解上述方程组，得 A 0 = 4h 3,A 1 = - 2h 3, A 2 = 4h 3, 3 分于是上述求积公式化为 h f (x ) d x ≈4h⎡ f (- h 2) - 1 f (0) + A f (h 2)⎤ .(*)⎰- h3 ⎢⎣2 2 ⎥⎦解根据表中的数据建立差商表经验证，求积公式(*)对 f (x ) = x 3 准确成立，但当 f (x ) = x 4 时，(*)左边等于 x 0 = 0 f (x 0 ) = 22h 45 ，而其右边等于h 56 ；即求积公式(*)对 f (x ) = x 4 不准确成立；于是求 x = 0 f (x ) = 2 f [x , x ] = 1积公式(*)具有 3 次代数精度。

5 分0 0x = 1 f (x ) = 3 f [x , x ] = 1 f [x , x , x ] = 01 分 (2) a = 0, b = 1, t = - , t = , A = A = 1, f (x ) = x2 sin3 x ，110 10 0 11212x 1 = 1 f (x 1 ) = 3 f [x 1, x 1] = 2 f [x 0, x 1, x 1] = 0.5 f [x 0 , x 0 , x 1, x 1 ] = 0.253 分x = 2 f (x ) = 7 f [x , x ] = 4 f [x , x , x ] = 2f [x , x , x , x ] = 0.75 f [x , x , x , x , x ] = 0.25x = b - a t + a + b = 1- 0 ⨯⎛ - 1 ⎫ + 0 +1 = 1 - ,221 21 1 20 1 1 20 0 1 1 212 1 2 23 ⎪ 2 2 6 分 5 分⎝ ⎭ 则所求插值多项式为x = b - a t + a + b = 1- 0 ⨯⎛ 1 ⎫ + 0 +1 = 1 + ,22 2 2 23 ⎪ 2 2 ⎝ ⎭x i0 1 2 f ( x i )23 7f '( x ) i 12⎰4 4 4 15 55 c ⎣ ⎦ 0 1k k -1 k -2 444故用上述两点 Gauss 公式k = 2, 3, .9 分取初值 x = 0.5, x = 0.4 ，代入上式计算得： x = 0.761506, x = 0.810598 .计算12310 分七、(本题满分 10 分) 求拟合下列表中数据的 1 次最小二乘多项式 p ( x ) ，取权= 1 ，I = 1x 2 sin 3 x d x 的近似值：1ii = 0,1, 2, 3, 4 ，并计算总误差 Q . 解根据题意，得I ≈ b - a [ A f (x ) + A f (x )]8 分m = 4, n = 1, (x ) = 1,(x ) = x , ≡ 1 (i = 0,1, 2,3, 4)2 1 12 21i= 1- 0 ⎡ ⨯ f ⎛ 1 - 1 ⎫ +1⨯ f ⎛ 1 + 1 ⎫⎤ ≈ 0.111245.10 分x 0 = 1, y 0 = 1.3, x 1 = 2, y 1 = 2.5, x 2 = 3, y 2 = 3.9, x 3 = 4, y 3 = 5.1, x 4 = 5,y 4 = 6.4,2 ⎢1 2 23 ⎪ 2 2 3 ⎪⎥ ⎣ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎦(0 ,0 ) = ∑1⨯1 = 5, (0 ,1) = ∑1⨯ x i= 15, (0 , f ) = ∑1⨯ y i = 19.2, 432i =0i =0 i =0六、(本题满分 10 分). (1) 用改进的 Newton 迭代法求方程 x x = 2 ，求 x , x .（要求先验证重根的重数。

）- 3x + 3x - x = 0 的重根，取初值(1,0 ) = ∑ x i ⨯1 = 15, (1,1) = ∑ x i ⨯ x i = 55, (1, f ) = ∑ x i ⨯ y i = 70.4.1 2i =0i =0i =0(2) 用弦截法求上述方程的单根，取初值 x = 0.5, x = 0.4 ，求 x , x .0 1 2 3解 (1) 记 f ( x ) = x 4- 3x 3+ 3x 2- x ，因为5 分f (1) = 14 - 3 ⨯ 13 + 3 ⨯ 12 - 1 = 0 ， f '(1) = 4 ⨯ 13 - 9 ⨯ 12+ 6 ⨯ 1 - 1 = 0 ， f ' (1) = 12 ⨯ 12- 18 ⨯ 1 + 6 = 0 ， f ''(1) = 24 ⨯ 1 - 18 = 6 ≠ 0 ，得法方程组⎡ 5 15⎤ ⎡c 0 ⎤ = ⎡19.2⎤ .6 分所以 x * = 1 是方程 x 4 - 3x 3 + 3x 2- x = 0 的 3 重根。