湖南省湘潭县第一中学新高一入学考试数学模拟试卷
湖南省湘潭市湘潭县第一中学2022-2023学年高一上学期末考试数学试题
湘潭县一中2022年下期高一期考数学试卷时量:120分钟分值:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =y ∣y =log 2x ,x >2 ,B ={y ∣y <4},则A ∩B =()A.{y ∣0<y <4}B.{y ∣0<y <1}C.{y ∣1<y <4}D.∅2.已知函数f (x )=ax 2-x +a ,“函数f (x )在(0,2)上有两个不相等的零点”是“14<a <12”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知a =sin3π7,b =cos 4π7,c =tan -3π7,则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.b <a <cC.c <b <aD.c <a <b4.已知函数f (x )=ax 2-x -14,x ≤1log a x -1,x >1是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围是()A.14,12B.0,12C.14,12D.12,15.sin20°cos10°+sin10°sin70°的值是()A.14B.32C.12D.346.对于函数f (x ),若在定义域内存在实数x 0,满足f -x 0 =-f x 0 ,则称f (x )为“局部奇函数”.已知f (x )=-ae x -4在R 上为“局部奇函数”,则a 的取值范围是()A.[-4,+∞)B.[-4,0)C.(-∞,-4]D.(-∞,4]7.已知a >0,且关于x 的不等式x 2-2x +a <0的解集为(m ,n ),则1m +4n的最小值为()A.92 B.4C.72D.28.已知函数f (x )=|ln (-x )|,x <0,x 2-4x +1,x ≥0若x 1,x 2,x 3,x 4是方程f (x )=t 的四个互不相等的解,则x 1+x 2+x 3+x 4的取值范围是()A.[6,+∞)B.(-∞,2]C.4-e -1e ,2D.4-e -1e ,2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数f (x )=13sin 2x -π3,则下列说法中正确的是()A.f (x )的最小正周期为πB.f (x )在π12,7π12上单凅递增C.π6,0 是f (x )的一个对称中心D.当x ∈0,π4 时,f (x )的最大值为1610.不等式ax 2+bx +c ≥0的解集是{x ∣-1≤x ≤2},则下列结论正确的是()A.a +b =0B.a +b +c >0C.c >0D.b <011.设函数f (x )=|log 2x |,x >0-x 2-2x ,x ≤0则下列命题正确的是()A.当m <0时,方程f (f (x ))=m 有1个实数解B.当m =0时,方程f (f (x ))=m 有7个实数解C.当0<m ≤1时,方程f (f (x ))=m 有8个实数解D.当m >1时,方程f (f (x ))=m 有6个实数解12.对于函数f (x )=12(sin x +cos x )-12|sin x -cos x |,下列说法正确的是()A.f (x )的值域为[-1,1]B.函数f (x )的最小正周期是πC.当且仅当x =π4+2k π(k ∈Z )时,函数f (x )取得最大值D.当且仅当x ∈2k π,π2+2k π (k ∈Z )时,f (x )>0三、填空题:本题共4小题, 每小题5分, 多空题, 第一空2分, 第二空3分, 共20分.13.已知f (x +1)=2x 2+1,则f (x )=.14.已知幂函数f (x )=m 2-5m +7 x m 是R 上的增函数,则m 的值为.15.已知sin θ+cos θ=713,θ∈(0,π),则tan θ=.16.设当x =θ时,函数f (x )=3cos x -sin x ,x ∈R 取得最大值,则cos θ=.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.-4+2×6427 -23-8116 0.517.(1)计算2×(π)0÷32(2)计算13log68+3log34+2log63-32log281⋅log272.18.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=-13,sinα=223.(1)求sin2α的值;(2)求sinβ的值.19.对于函数f(x)=a-2(a∈R).2x+1(1)探索函数f(x)的单调性;(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?20.已知函攽f (x )=22cos x sin x +π4-1.(1)求f π4的值及f (x )的单调递增区间;(2)求f (x )在区间0,π2上的最大值和最小值,以及取最值时x 的值.21.第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品、新技术、新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展,通过展会调研,中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x 千台空调，需另投入资金R 万元,且R =10x 2+ax ,0≤x <40901x 2-9450x +10000x,x ≥40.经测算,当生产10千台空调时需另投入的资金R =4000万元.现每台空谓售价为0.9万元时,当年内生产的空调当年能全部销售完.(1)求2022年该企业年利润W (万元)关于年产量x (千台)的函数关系式;(2)2022年产量为多少时,该企业所获年利润最大?最大年利润为多少?注:利润=销售额-成本.22.已知二次函数f (x )对∀x ∈R ,f (x +1)-f (x )=2x +3,且不等式f (x )>2的解集为{x ∣x ≠-1}.(1)求f (x )的解析式;(2)设g (x )=f (x )x ,且关于x 的方程g 1-3-x +2t3-x -1+3t =0有三个不同的实数解,求实数t 的取值范围。
2024年湖南长沙新高一入学分班考数学模拟练习卷含答案
高一入学暨分班检测模拟试卷数学一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.1. 已知 aa 是 √13 的小数部分,则 aa (aa +6) 的值为A.√13B.4C.4−√13D.3√13−62.如果一个多边形的内角和是它外角和的 4 倍, 那么这个多边形的边数为A.6B.8C.9D.103.已知点()3,2P a a −−在第二象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.4.如果外切的两圆1O 和2O 的半径分别为2和4，则半径为6，且与1O 和2O 都相切的圆有（）A.4个B.5个C.6个D.7个5.122022,,x x x …是2022个由1和1−组成的数，122022.202x x x ++…+=，则()()()22212202211.1x x x −+−+…+−=（ ）A.2021 B.4042 C.3640 D.48426.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏"是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏"中液体的高度为（）的A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如果不等式组�4xx −aa ≥03xx −bb <0 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的组合情况(aa ,bb )共有（ ）种．A ．12B ．7C ．9D ．168.定义：平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点(),P x y 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的折线距离，记为M x y =+（其中的“+”是四则运算中的加法）.若拋物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且24M ≤≤，令2242022t b a =−+，则t 的取值范围为（ ）A.20182019t ≤≤B.20192020t ≤≤C.20202021t ≤≤D.20212022t ≤≤二､填空题：本题共44分，共16分.9. 设点 PP (xx ,yy ) 在第二象限内,且 |xx |=3,|yy |=2 ,则点 PP 关于原点的对称点为___.10.若关于 xx 的分式方程 xx xx−2+2mm 2−xx =2mm 无解,则m 的值为___________. 11.正比例函数12y x =−与反比例函数2k y x=的图像相交于A B ､两点，已知点A 的横坐标为1，当12y y >时，x 的取值范围是___________.12.如图，ABC 中，10,8,6AB BC AC ===，点P 在线段AC 上，以P 为圆心，PA 长为半径的圆与边AB 相交于另一点D ，点Q 在直线BC 上，且DQ 是P 的切线，则PQ 的最小值为___________.三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.如图，在同一坐标系中，直线1:1l y x =−+交x 轴于点P ，直线2:3l y ax =−过点P .（1）求a 的值；（2）点M N ､分别在直线12,l l 上，且关于原点对称，说明：点(),A x y 关于原点对称的点A ′的坐标为(),x y −−，求点M N ､的坐标和PMN 的面积.14.如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，圆O 为锐角△BCD 的外接圆，连结CO 并延长交AB 于点E ．（1）若∠DBC ＝α，请用含α的代数式表示∠DCE ；（2）如图2，作BF ⊥AC ，垂足为F ，BF 与CE 交于点G ，已知∠ABD ＝∠CBF ．①求证：EB ＝EG ；②若CE ＝5，AC ＝8，求FG +FB 的值．15.）如图，将两个全等的直角三角形△ABD 、△ACE 拼在一起（图1），△ABD 不动．（1）若将△ACE 绕点A 逆时针旋转，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图2），证明：MB ＝MC ．（2）若将图1中的CE 向上平移，∠CAE 不变，连接DE ，M 是DE 的中点，连接MB 、MC （图3），判断并直接写出MB 、MC 的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB 、MC 的数量关系还成立吗？说明理由．16.在平面直角坐标系中，抛物线2:22(0)l y x mx m m =−−−>与x 轴分别相交于A B ､两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON =.（1）求m 的值；（2）将抛物线l 向上平移3个单位，得到抛物线l ′，设点P Q ､是抛物线l ′上在第一象限内不同的两点，射线PO QO ､分别交直线2y =−于点P Q ′′､，设P Q ′′､的横坐标分别为P Q x x ′′､，且4P Q x x ′′⋅=，求证：直线PQ 经过定点.常考答案一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 【答案】：B2 【答案】D.3. 【答案】C4. 【答案】B5 【答案】C6. 【答案】B7 【答案】A ．8. 【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.9.【答案】(3,-2)10.【答案】m 的值为1或1/211.【答案】{1x x <−或}01x <<12.【答案】4.8三､解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明､证明过程或演算步骤.13.【答案】（1）3（2）1313,,,2222M N −− ，32PMN S = 【解析】 【分析】（1）由直线1l 求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入2l 方程中可求出a 的值；（2）由题意设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−，再将点N 的坐标代入直线2l 中可求出x ，从而可求得,M N 两点的坐标，进而可求出PMN 的面积.【小问1详解】对于直线1:1l y x =−+，当0y =时，1x =，所以()1,0P因为直线2:3l y ax =−过点()1,0P ，所以03a =−，得3a =，【小问2详解】由3a =得，2:33l y x =−设(),1M x x −+ ，则(),1N x x −−.又(),1N x x −−在2:33l y x =−上，所以133x x −=−−，解得12x =−， 则1313,,,2222M N −−所以1313322222PMN S OP OP =⋅+⋅= . 14.【答案】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题；②作EM ⊥BE ，EN ⊥AC ，证明四边形EMFN 为矩形，再根据线段的和差即可解决问题．【解答】（1）解：如图，连结OD ，∵∠DOC ＝2∠DBC ＝2α，又∵OD ＝OC ，∴∠DCE＝90°﹣α；（2）①证明：∵∠ABD＝∠CBF，∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC，设∠DBC＝α，由（1）得：∠DCE＝90°﹣α，∵BF⊥AC，∴∠FGC＝∠BGE＝α，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG；②解：如图，作EM⊥BE，EN⊥AC，由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°﹣α，∵BF⊥AC∴∠A＝90°﹣α，∴AE＝CE＝5，∵EN⊥AC，AC＝8，∴CN＝4，∴EN＝3，∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，∴四边形EMFN为矩形，∴EN＝MF＝3，∵EB＝EG，EM⊥BG，∴BM＝GM，∴FG+FB＝FM﹣MG+FM+BM＝2FM＝6．15.【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD＝AE，AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD＝∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD＝BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC＝∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM ＝∠BAD ，然后求出∠MBC ＝∠BCM ，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM 交CE 于F ，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ，然后利用“角角边”证明△MDB 和△MEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得MB ＝MF ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：（1）如图2，连接AM ，由已知得△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，∵MD ＝ME ，∴∠MAD ＝∠MAE ，∴∠MAD ﹣∠BAD ＝∠MAE ﹣∠CAE ，即∠BAM ＝∠CAM ，在△ABM 和△ACM 中，�AAAA =AAAA ∠AAAABB =∠AAAABB AABB =AABB ，∴△ABM ≌△ACM （SAS ），∴MB ＝MC ；（2）MB ＝MC ．理由如下：如图3，延长DB 、AE 相交于E ′，延长EC 交AD 于F ，∴BD ＝BE ′，CE ＝CF ，∵M 是ED 的中点，B 是DE ′的中点，∴MB ∥AE ′，∴∠MBC ＝∠CAE ，同理：MC ∥AD ，∴∠BCM ＝∠BAD ，∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠MBC ＝∠BCM ，∴MB ＝MC ；解法二：如图3中，延长CM 交BD 于点T ．∵EC ∥DT ，∴∠CEM ＝∠TDM ，在△ECM 和△DTM 中，�∠AACCBB =∠TTTTBB CCBB =TTBB ∠CCBBAA =∠TTBBTT ， ∴△ECM ≌△DTM （ASA ），∴CM ＝MT ，∵∠CBT ＝90°，∴BM ＝CM ＝MT ．（3）MB ＝MC 还成立．如图4，延长BM 交CE 于F ，∵CE ∥BD ，∴∠MDB ＝∠MEF ，∠MBD ＝∠MFE ， 又∵M 是DE 的中点，∴MD ＝ME ，在△MDB 和△MEF 中，�∠BBTTAA =∠BBCCMM ∠BBAATT =∠BBMMCC BBTT =BBCC，∴△MDB ≌△MEF （AAS ）， ∴MB ＝MF ，∵∠ACE ＝90°，∴∠BCF ＝90°，∴MB ＝MC ．16.【答案】（1）1m =；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由0x =处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）设点,P Q ，结合原点可得直线PO QO ､的解析式，再由2y =−可得点Q P ′′､横坐标，由4P Q x x ′′⋅=可得()1212230x x x x −++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立之后可得122x x m +=+，12x x n =−，代入()1212230x x x x −++=求得21n m =−−，继而求出答案【小问1详解】解：依题意得：22()2y x m m m =−−−−， ∴抛物线的对称轴为直线x m =，ON m m ∴==，在222y x mx m =−−−中，令0x =，则2y m =−−， ()0,2C m ∴−−，22OC m m ∴=−−=+， 3OC ON = ，23m m ∴+=，解得1m =；【小问2详解】将1m =代入抛物线l 得223y x x =−−， 如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到拋物线2:2l y x x ′=−， 点P Q ､是拋物线l ′上在第一象限内不同的两点，∴设点()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−， 由()()22111222,2,,2P x x x Q x x x −−分别可求得：()()122,2OP OQ y x x y x x =−=− 点P Q ′′､在直线2y =−上，∴点1222,2,,222P Q x x −−−−′′ −−， 4p Q x x ′′⋅=1222422x x −−∴⋅=−−，即()()12221x x −−=， 整理得()1212230x x x x −++=，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l ′联立得： 222,2,y x x x x mx n y mx n=−−=+ =+ ， 整理得()220x m x n −+−=， 由根与系数的关系可得：12122,x x m x x n +=+=−， ()1212230x x x x −++= ，()2230n m ∴−−++=， 21n m ∴=−−，11∴直线PQ 的解析式为()21,21y mx m y m x =−−=−−， ∴当2x =时，1y =−，∴直线PQ 经过定点()2,1−。
高一新生入学考试数学试题及答案
高一新生入学考试数学试题及答案
一、选择题
1.若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且经过点(-1, 4)，则a,
b, c的符号关系是：
A. a > 0, b < 0, c > 0
B. a > 0, b < 0, c < 0
C. a > 0, b > 0, c > 0
D. a > 0, b > 0, c < 0
解答：由题意可知，二次函数的图像开口向上，所以a > 0。
又因为经过点(-1, 4)，代入得4 = a(-1)^2 + b(-1) + c，化简得a - b + c = 4。
由于a > 0，所以a的系数为正，所以b的系数b为负。
而c则有可能是正数或负数，所以选项A和B均可以排除。
综上所述，答案为选项D。
二、填空题
1.解方程2x + 5 = 3 - x的解为x = ______。
解答：将方程化简得3x + 5 = 3，然后移项得3x = -2，最后除以3得x = -2/3。
所以方程的解为x = -2/3。
三、解答题
1.已知函数y = x^2 - 2x + 1。
求函数在x = 1处的切线方程。
解答：首先求得函数的导数为y' = 2x - 2。
然后代入x = 1得y' = 2(1) - 2 = 0。
所以函数在x = 1处的切线斜率为0。
由于切线经过点(1, 0)，所以切线方程为y - 0 = 0(x - 1)，即y = 0。
所以函数在x = 1处的切线方程为y = 0。
高一新生入学分班考试数学模拟试卷(附答案)
高一新生入学分班考试数学模拟试卷(附答案)高一新生入学分班考试数学模拟试题（试题满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.下列计算：① (-2006) = 1；② 2m-5 ÷ 4m = -4；③ x^4+x^3=x^7；④ (ab^2)^3=a^3b^6；42m-35 ÷ (-35)^2 = 35。
正确的选项为（）A。
①B。
①②③C。
①③④D。
①④⑤2.一次函数 y=kx+b 满足 kb>0，且 y 随 x 的增大而减小，则此函数的图像不经过（）A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限3.一个底面半径为5cm，母线长为16cm的圆锥，它的侧面展开图的面积是（）A。
80πcm^2B。
40πcm^2C。
80cm^2D。
40cm^24.以下五个图形中，既是轴对称又是中心对称的图形共有（）A。
1个B。
2个C。
3个D。
4个5.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=1/3，则 BC 等于（）A。
45B。
5C。
11D。
45/46.如图，已知 PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC 的大小是（）A。
70°B。
40°C。
50°D。
20°7.若不等式组的解集为空集，则 a 的取值范围是（）x。
a4(x-2)+2>x-5答案：A。
a>38.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，掷得正面朝上的点数为奇数的概率为（）答案：B。
1/29.已知两圆的半径分别为 6cm 和 8cm，圆心距为 2cm，那么这两圆的公切线有（）答案：C。
3条10.设 a。
b。
c。
d 都是非零实数，则四个数：-ab。
ac。
bd。
cd（）A。
都是正数B。
湘潭县一中自主招生模拟试题(定)
自主招生模拟试题一、选择题：123二、填空题456789A、B、C、D、10A、B、C、D、二、填空题：11121314151617181、在平面直角坐标系xOy 中，拋物线y = -41-m x 2+45mx +m 2-3m +2与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条拋物线上。
(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。
延长PE 到点D 。
使得ED =PE 。
以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此拋物线上时，求 OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。
过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。
延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q点运动时，M 点，N 点也随之运动)。
若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。
2、某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a 元）(1)请写出每平方米售价y （元/米2）与楼层x （2≤x ≤23，x 是正整数）之间的函数解析式． (2)小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？(3)有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．3、阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y=x 2-2mx+m 2+2m-1...（1） 得：y=（x-m ）2+2m-1 (2)∴抛物线的顶点坐标为（m ，2m-1），设顶点为P （x 0，y 0），则：x 0=m ...(3) y 0=2m-1 (4)当m 的值变化时，顶点横、纵坐标x 0，y 0的值也随之变化，将（3）代入（4） 得：y 0=2x 0-1． (5)可见，不论m 取任何实数时，抛物线的顶点坐标都满足y=2x-1． 解答问题：①在上述过程中，由（1）到（2）所用的数学方法是配方法 ，其中运用的公式是完全平方公式 ．由（3）、（4）得到（5）所用的数学方法是消元法 ．②根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2-2mx+2m 2-4m+3的顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的函数关系式．③是否存在实数m ，使抛物线y=x 2-2mx+2m 2-4m+3与x 轴两交点A （x 1，0）、B （x 2，0）之间的距离为AB=4，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由（提示：|x 1-x 2|2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2）．4、求使关于x 的方程（a+1）x 2-(a 2+1)x+2a 3-6=0的根为整数的所有整数a.5、⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，动点P 在⊙O 2上，且在⊙O 1外，直线PA 、PB 分别 交⊙O 1于点C 、D ．问：⊙O 1的弦CD 的长是否随点P 的运动而发生变化？如果发生 变化，请你确定CD 最长或最短时点P 的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．C B A··P D O O 21。
湖南省双峰县第一中学、湘潭县一中2022-2023学年高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析
16．若函数
f
x
log 1 2
x, x
0
，则
f
f
2
______
2x , x 0
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．素有“天府之国”美称的四川省成都市，属于亚热带季风性湿润气候.据成都市气象局多年的统计资料显示，成都市
从 1 月份到 12 月份的平均温 (℃)与月份数 (月)近似满足函数
19． (1)试证明差角的余弦公式 C( ) ： cos( ) cos cos sin sin ；
(2)利用公式 C( ) 推导：
①和角的余弦公式 C( ) ，正弦公式 S( ) ，正切公式 T( ) ；
②倍角公式 S(2 ) ， C(2 ) ， T(2 ) .
20．在①两个相邻对称中心的距离为 π ，②两条相邻对称轴的距离为 ，③两个相邻最高点的距离为 ，这三个条件
考点：平面向量的几何运算
5、B
【解析】因为函数
f
x
sin
x 2
6
的最小正周期是
T
2 1 2
4
，故先排除选项 D；又对于选项 C：
f
3
sin
2
3
6
1，对于选项
A：
f
3
sin
2
3
3
1 ，故
A、C
均被排除，应选
B.
6、C
【解析】判断 a, b, c 与 0,1 大小关系，即可得到答案.
【解析】 详解】 f f 10 f lg10 f 1 lg1 0
故选 B 10、B 【解析】根据集合交集定义求解. 【详解】 P Q (1, 4) (2,3) (2,3) 故选：B 【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
湖南省湘潭县第一中学新高一入学考试数学模拟试卷
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2020-2021学年湖南省湘潭县第一中学新高一入学考试
数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．（3分）|﹣2|＝（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．12
D ．−12 【解答】解：根据绝对值的性质可知：|﹣2|＝2．
故选：A ．
2．（3分）（﹣4x ）2＝（ ）
A ．﹣8x 2
B ．8x 2
C ．﹣16x 2
D ．16x 2
【解答】解：原式＝16x 2，
故选：D ．
3．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D ．
4．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A ．平行四边形的对角线相等
B ．矩形的对角线互相垂直
C ．菱形的对角线互相垂直且平分
D ．对角线相等的四边形是矩形
【解答】解：A 、平行四边形的对角线互相平分，所以A 选项错误；
B 、矩形的对角线互相平分且相等，所以B 选项错误；。
2020年湖南省湘潭市湘乡第一中学高一数学理月考试卷含解析
2020年湖南省湘潭市湘乡第一中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 异面D. 以上均有可能参考答案：D2. 高为的四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为()A． B．C． D．参考答案：A3. 已知函数，定义域为, 值域是,则下列正确命题的序号是（）A．无最小值，且最大值是；B．无最大值，且最小值是；C．最小值是，且最大值是；D．最小值是；且最大值是．参考答案：C略4. 当1＜＜3时，化简的结果是（）A.4-2xB.2C.2x-4D.4参考答案：B5. 函数的定义域是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】利用复合函数求定义域的方法求出函数的定义域．【详解】令x+（k∈Z），解得：x（k∈Z），故函数的定义域为{x|x，k∈Z}故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6. 下列各组函数是同一函数的是（）①与②与③与④与.①②.①③.③④.①④参考答案：C略7. 下列命题中真命题的个数为①方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}②集合{y|y＝x2－1，x∈R}与{y|y＝x－1，x∈R}的公共元素所组成的集合是{0，1}③集合{x|x－1＜0}与集合{x|x＞a，a∈R}没有公共元素[ ]A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A 解析：①中方程＋|y＋2|＝0的解集应为{x＝2，y＝－2}；②中两个集合公共元素所组成的集合为{y|y≥－1}，此题重点要注意点集与数集的区别；③中若a＜1，则有公共元素．8. 若指数函数在上是减函数，那么（）A. B. C． D.参考答案：A9. 向量化简后等于（）A． B． C． D．参考答案：B略10. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（?U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意，集合?U A={0，4}，从而求得（?U A）∪B={0，2，4}．【解答】解：∵?U A={0，4}，∴（?U A）∪B={0，2，4}；故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若二次函数在区间上单调递减，则的取值范围为；参考答案：略12. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为。
湘潭县一中自主招生能力测试数学试卷
湘潭县一中初升高能力测试数学试卷满分：100分时量：60分钟一、选择题（每题5分，共30分）1.若不等式组⎩⎨⎧->+<+1472,03x x a x 的解集为0<x ，则a 的取值范围为()A ．a ＞0B ．a ＝0C ．a ＞4D ．a ＝42.设a=6－2，b=3－1，c=231+，则a 、b 、c 之间的大小关系是（）A ．c>b>a B ．a>c>bC ．b>a>cD ．a>b>c 3.设a=7-1，则表达式3a 4＋6a 3＋36a-100的值为（）A.8B .10 C.12D.164.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A'B'C，M 是BC 的中点，P 是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM 的最大值是（）A．1.5B．2C．3D．45.如图，在△ABC 中，已知点M 为AB 的中点，点N 在BC 上，且CN=3BN，联接AN 交MC 于点O，若四边形BNOM 的面积为5，则△ABC 的面积为（）A.26B .28 C.30D.326．如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（）A ．2B ．πC ．4π-D ．π1-AB C QRMD二、填空题（每题5分，共30分）7．若m ，n 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根，则=-+n m m 22．8．已知一次函数y ＝kx ＋2b ＋4的图象经过点（－1，－3），k 满足等式｜k -3｜－4＝0，且y 随x 的增大而减小，则这个一次函数解析式为．9．点P 坐标为（2-a ，3a +6），且点P 到两坐标轴距离相等，则点P 坐标是．10．正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为．11．如图所示,某人到岛上去探宝，从A 处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再转向北走到4.5km 处往东一拐，仅走0.5km 就找到宝藏.问登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是km。
2024届湖南省双峰县第一中学、湘潭县一中高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析
2024届湖南省双峰县第一中学、湘潭县一中高一数学第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知()cos y f x x π=+是奇函数，且(2019)1f =.若()()2g x f x =+，则(2019)g -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．在等比数列{}n a 中，11a =，2q ，16n a =，则n 等于()A ．3B ．4C ．5D ．63．在等差数列{}n a 中，若2=5a ，4=3a ，则6=a （ ） A ．1- B ．0C ．1D ．64．若110a b<<，则下列不等式中不正确的是（ ） A ．a b ab +< B ．2b aa b+> C ．2ab b >D ．22a b <5．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（ ）A ．93B ．123C ．137D ．1676．设集合(){}(){}22,1,,10M x y xy N x y x y =+==++=，则M N ⋂元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c =A ．6B ．5C ．4D ．38．从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(其中红球和绿球都多于2个)，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个红球，至少有一个绿球B ．恰有一个红球，恰有两个绿球C ．至少有一个红球，都是红球D ．至少有一个红球，都是绿球9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积为1V ，E 为棱1CC 上的点,且113CE CC =，三棱锥E －BCD 的体积为2V ，则21V V =（ ）A ．13B ．16C ．19D ．11810．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)1x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[2,22]B ．[2,4]C ．[1,2]D ．[1,3]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
湖南省湘潭市第一中学2022-2023学年数学高一上期末复习检测模拟试题含解析
【解析】根据幂函数的定义，求出m的值，代入判断即可
【详解】 函数 是幂函数，
，解得： 或 ，
时， ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，
时， ，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，
故 ，
故选A
【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查常见函数的性质，是一道常规题
12、A
【解析】解不等式 ，利用赋值法可得出结论.
（1）求 ， ；
（2）若 ， ，求实数m的取值范围.
20．已知cos（α-β）cosβ-sin（α-β）sinβ= ， ＜α＜2π
（1）求sin（2α+ ）的值；
（2）求tan（α- ）的值
21．已知函数 （常数 ）.
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）当 时，求 最小值.
22．已知
（1）求 的值
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知幂函数 在区间 上单调递减，则 ___________.
14．已知函数 的图像恒过定点 ，则 的坐标为_____________.
15．计算 ____________
16．已知函数 ，若 在 上是增函数，且直线 与 的图象在 上恰有一个交点，则 的取值范围是________.
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
湖南省湘潭市高一下学期开学数学试卷
湖南省湘潭市高一下学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·右玉期中) 已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A . {0，1，2}B . {﹣1，0，1，2}C . {﹣1，0，2，3}D . {0，1，2，3}2. （2分） (2016高一上·重庆期中) 设a=0.30.2 ， b=0.20.3 ， c=0.30.3 ，则a，b，c的大小关系为（）A . c＞a＞bB . c＞b＞aC . a＞b＞cD . a＞c＞b3. （2分）点P（tan 2015°，cos 2015°）位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限4. （2分）(2018·河北模拟) 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的图像在点处的切线方程是（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·江西模拟) 函数的导函数为，集合，中有且仅有1个元素，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）当a＞l时，函数f （x）=logax和g（x）=（1﹣a）x的图象的交点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分） (2019高一上·邵东月考) 已知，则下列与表示同一个函数的是（）A . ，B . ，C . ，D . ，8. （2分）把函数y=sinx的图象上所有点向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变),所得解析式为y=sin(x+j),则（）A . =2,j=B . =2,j=-C . =,j=D . =,j=-9. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 设a=log3π，b=log2 ，c=log3 ，则（）A . a＞b＞cB . a＞c＞bC . b＞a＞cD . b＞c＞a10. （2分）(2019·广州模拟) 已知函数的最大值为2，且满足，则A .B .C . 或D . 或11. （2分）已知函数（其中）的部分图像如下图所示，则的值为（）A .B .C .D . 112. （2分）(2017·汕头模拟) 已知函数f（x）=（x2﹣3）ex ，设关于x的方程有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为（）A . 3B . 1或3C . 4或6D . 3或4或6二、二.填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·天门月考) 已知，用表示，则 ________．14. （1分）函数y=|tan（x﹣2011）|的最小正周期为________15. （1分） (2018高一上·苏州期中) 已知函数，则函数的值为________ 。
湖南省湘潭市一中2025届高考适应性考试数学试卷含解析
湖南省湘潭市一中2025届高考适应性考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数D ．不存在满足条件的实数a ，b2．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内D ．上述三种情况都有可能3．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设12,x x 为()()cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2π C ．3π D ．4π 5．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．0,⎡⎣C ．[]22-,D ．-⎡⎣7．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-9．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-11．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45B ．105C ．150D ．21012．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省湘潭县第一中学高一下学期第一次模块考试数学试
湘潭县第一中学2016-2017下学年高一模块性检测考试注意事项： 数学1.本试卷分第 I 卷（阅读题）和第 II 卷（表达题）两部分。
2.考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
3.作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
本试卷满分为120分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4 分，在每小题给同的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2,1=A ,{}3,2=B ,=B A A ．{}2 B ．{}4 C ．{}3,2,1 D ．{}4,3,1 2．函数14)(--=x xx f 的定义域为 A ．]4,(-∞ B ．]4,1()1,( -∞ C ．]2,2[- D ．]2,1(-3．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且1)2(=f ，则)0()2()2(f f f +--的值是 A ．0 B ．1 C ．-1 D ．24．当1>a 时，在同一坐标系中，函数xy a =与log a y x =的图象是A B C D5．设4520.6,log 3,0.6a b c ===，则,,a b c 大小关系正确的是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >> 6．幂函数()y f x =的图象经过点)8,2(，则满足()27f x =的x 的值为A. 3B.13 C. 27 D. 1277．函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间A ．11(,)84 B ．11(,)42 C ．1(,1)2D ．()1,28．设()833-+=x x f x，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定 9．函数)9(log )(231-=x x f 的单调递减区间为A ．()0,+∞B ．(),0-∞C ．()3,+∞D ．(),3-∞- 10．设函数)(x f 表示自然数x 的数字和（如：123=x ，则6321)(=++=x f ，即6)123(=f ），则方程2013)]([)(=++x f f x f x 的解集为A.{}1999,1991,1985,1979 B.{}2003,1987,1985,1979 C.{}2013,1991,1985,1979 D.{}2003,1991,1985,1979二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分.11．集合{}1,0共有 个子集．12．若函数()2231f x x =+，则()4f = ．13．函数121+=x y 的值域为 . 14．已知定义域为R 的偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，且1()02f =，则不等式4(log )0f x >的解集是 ．15．函数()22l o g ,082099,8x x f x x xx ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d 互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是 ．三、解答题(本大题共6小题，共60分)16.（本题满分8分）已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．17.（本题满分8分）设222{40},{2(1)10}=+==+++-=,其中x RA x x xB x x a x a∈,如果=，求实A B B数a的取值范围18.（本题满分10分）已知)f是定义在区间[]1,1-上的增函数，且)(xf-<x-，求x的取值)21((xf范围.19．（本题10分）如图所示，直线l⊥x轴，从原点开始向右平行移动到8x=处停止，它截△AOB所得左侧图形的面积为S，它与x轴的交点为(,0)x．（I）求函数()=的解析式；S f x（II）解不等式()14f x<．20、（本小题满分12 分）已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.(1)试判定该函数的奇偶性并证明；(2)试判断该函数在R上的单调性并证明；(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．21．（本题12分）已知函数，为常数．（1）当时，求函数在上的最小值和最大值；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．高一年级数学试题答案一．选择题:二、填空题11. 4 12. 13 13. )1,0( 14. ),2()2,0(+∞ 15. )99,96(三．解答题： 16.(8分) ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时， m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ………3分 (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1m ＋1≤42m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得，m 的取值范围为{m |m ≥－1}．………8分17.(8分）解：由AB B B A =⊆得而{}4,0A =-，224(1)4(1)88a a a ∆=+--=+ 当880a ∆=+<，即1a <-时，B φ=，符合B A ⊆； ………3分 当880a ∆=+=，即1a =-时，{}0B =，符合B A ⊆； ………5分 当880a ∆=+>，即1a >-时，B 中有两个元素，而B A ⊆{}4,0=-； ∴{}4,0B =-得1a = ∴11a a =≤-或 ……… 8分18.(10分) 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭19.(10分)解：（1）221,042()1816,482x x f x x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤≤⎪⎩………4分（2）①当04x ≤<时，显然21142x <；②当48x ≤≤时，22181614166002x x x x -+-<⇒-+>6x ⇒<或10x > 46x ∴≤< 综上，不等式的解集为[0,6) ………10分20、(12分) 解 (1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＝f (0)＋f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． …………4分(2)任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， 即f (x 2) <f (x 1)∴f (x )在R 上是减函数． …………8分(3)∵f (x )在[－12,12]上是减函数， ∴f (12)最小，f (－12)最大． 又f (12)＝f (6＋6)＝f (6)＋f (6)＝2f (6) ＝2[f (3)＋f (3)]＝4f (3)＝－8， ∴f (－12)＝－f (12)＝8.∴f (x )在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8. …………12分。
2022-2023学年湖南省湘潭市高三(上)入学数学试卷
2022-2023学年湖南省湘潭市高三（上）入学数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x∈R|x2﹣x＝0}，B＝{x∈R|x2+x≠0}，则A∩B＝（）A．{1}B．{﹣1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）复数（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i3．（5分）若函数f（x）＝sin2x的图象由函数g（x）＝cos2x的图象经过以下变换得到的，则该变换为（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面边长均为1，M，N分别是棱BC，A1B1上的点，且CM＝2B1N＝λ，当MN∥平面AA1C1C时，λ的值为（）A．B．C．D．5．（5分）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为（）A．B．C．D．6．（5分）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法．若定义x k（k∈N）是函数零点近似解的初始值，过点P k（x k，f（x k））的切线为y＝f'（x k）（x﹣x k）+f（x k），切线与x轴交点的横坐标为x k+1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解．设函数f（x）＝x2﹣5，满足x0＝1．应用上述方法，则x3＝（）A．3B．C．D．7．（5分）在四边形ABCD中，G为△BCD的重心，AG＝2，点O在线段AG上，则的最小值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．08．（5分）已知，，，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝sinπx+cosπx（x∈R），则下列说法正确的是（）A．函数f（x）是周期函数B．函数f（x）的最大值是2C．函数f（x）的图象关于点，对称D．函数f（x）的图象关于直线对称（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝lnx，a＞0，则下列结论中正确的是（）A．函数y＝f（a+x）﹣f（x）是其定义域上的减函数B．函数y＝f（a﹣x）+f（﹣x）是其定义域上的减函数C．函数y＝f（a﹣x）+f（a+x）是其定义域上的增函数D．函数y＝f（a+x）﹣f（a﹣x）是其定义域上的增函数（多选）11．（5分）已知直线l：y＝k（x﹣1）（k≠0）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点O为坐标原点，若线段AB的中点是M（m，1），则（）A．k＝2B．m＝3C．|AB|＝5D．OA⊥OB（多选）12．（5分）如图，已知圆锥顶点为P，其轴截面△P AB是边长为6的为正三角形，O1为底面的圆心，EF为圆O1的一条直径，球O内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点Q是球O与圆锥侧面的交线上一动点，则（）A．圆锥的表面积是45πB．球O的体积是C．四棱锥Q﹣AEBF体积的最大值为D．|QE|+|QF|的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集{x|1＜x＜2}，则实数a+b＝．14．（5分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n（n∈N*，n≥4），若a4≥a i，i∈{0，1，2，⋯，n}，则n的所有可能取值的个数是．15．（5分）某灯泡厂对编号为1，2，⋯，15的十五个灯泡进行使用寿命试验，得到奇数号灯泡的平均使用寿命（单位：小时）为1580，方差为15000，偶数号灯泡的平均使用寿命为1580，方差为12000，则这十五个灯泡的使用寿命的方差为．16．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，点O为坐标原点，且，则双曲线C的离心率为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）设数列{a n}（n∈N*）的前n项和为S n，S n＝2a n﹣1，数列{b n}（n∈N*）是等差数列，其前n项和是T n，且b1＝a3，b5＝a5．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求使得T m是数列{b n}中的项的m的取值集合．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为钝角，且tan B．（1）探究A与B的关系并证明你的结论；（2）求cos A+cos B+cos C的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝BC＝2CD＝2，△PBC是正三角形．（1）求证：BC⊥P A；（2）当四棱锥P﹣ABCD体积最大时，求：①点A到平面PBC的距离；②平面P AB与平面P AD夹角的余弦值．20．（12分）湘潭是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日俱增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答“满意”的“工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“非工薪族”人数是10人．（1）请根据以上数据填写下面2×2列联表，并依据α＝0.01的独立性检验，分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联？（2）用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过n（n∈N*），若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到n时，抽样结束．记此时抽样次数为X n．①若n＝5，求X5的分布列和数学期望；②请写出X n的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明X n的数学期望的实际意义．附：参考公式：χ2，其中n＝a+b+c+d．21．（12分）如图，已知A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线AP，BP的交点为P，且它们的斜率之积为．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）设点C为x轴上（不同于A，B）一定点，若过点P的动直线与E的交点为Q，直线PQ与直线x＝﹣2和直线x＝2分别交于M，N两点，求证：∠ACM＝∠ACN的充要条件为∠ACP＝∠ACQ．22．（12分）已知f（x）＝e1﹣x+（a+1）lnx．（1）若f（x）在定义域上单调递增，求a的取值范围；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣ax，其中a，若g（x）存在两个不同的零点x1，x2．①求a的取值范围；②证明：x1+x2＞2．2022-2023学年湖南省湘潭市高三（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x∈R|x2﹣x＝0}，B＝{x∈R|x2+x≠0}，则A∩B＝（）A．{1}B．{﹣1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【解答】解：由题意可得，x2﹣x＝0，即x＝1或x＝0，故A＝{0，1}，又x2+x≠0，即x≠﹣1或x≠0，则B＝{x∈R|x≠﹣1或x≠0}，则A∩B＝{1}，故选：A．2．（5分）复数（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【解答】解：∵，∴（﹣i）5＝（﹣i）4•（﹣i）＝﹣i．故选：C．3．（5分）若函数f（x）＝sin2x的图象由函数g（x）＝cos2x的图象经过以下变换得到的，则该变换为（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：f（x）＝sin2x＝cos（2x），即函数f（x）＝sin2x的图象由函数g（x）＝cos2x的图象向右平移个单位长度得到，故选：D．4．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面边长均为1，M，N分别是棱BC，A1B1上的点，且CM＝2B1N＝λ，当MN∥平面AA1C1C时，λ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：过N作NP∥B1C1交A1C1于P，连接CP，因为MC∥B1C1，∴NP∥MC，故N，P，M，C共面，因为MN∥平面AA1C1C，平面MNPC∩平面AA1C1C＝CP，MN⊂平面MNPC，所以MN∥CP，又NP∥MC，∴四边形MNPC为平行四边形，又CM＝2B1N＝λ，∴NP＝1 λ＝CM，∴，故选：B．5．（5分）设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为（）A．B．C．D．【解答】解：设甲条生产线生产芯片的次品率为p，则甲生产12块芯片可能出现的次品为12p，乙生产8块可能出现的次品为8，所以生产20块芯片的次品率为0.08，解得p，所以甲厂生产该芯片的次品率为．故选：B．6．（5分）牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法．若定义x k（k∈N）是函数零点近似解的初始值，过点P k（x k，f（x k））的切线为y＝f'（x k）（x﹣x k）+f（x k），切线与x轴交点的横坐标为x k+1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解．设函数f（x）＝x2﹣5，满足x0＝1．应用上述方法，则x3＝（）A．3B．C．D．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣5，所以f′（x）＝2x，又x0＝1，f′（x0）＝2，所以在点P0（1，﹣4）的切线方程为y+4＝2（x﹣1），令y＝0，解得x1＝3，得P1（3，4），所以在点P1的切线方程为y﹣4＝6（x﹣3），令y＝0，得，，所以，所以在点P2的切线方程为，令y＝0，得，故选：C．7．（5分）在四边形ABCD中，G为△BCD的重心，AG＝2，点O在线段AG上，则的最小值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：如图所示：因为，，，所以，于是有，又，当且仅当时取等号，所以．故选：A．8．（5分）已知，，，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：易知a，b，c∈（0，+∞），又30a＝5sin，30b＝6sin，30c＝2cos，设f（x），x∈（0，），∵x∈（0，）时，x＜tan x，∴′＜，∴f（x）在（0，）上单调递减，∴f（）＜f（），即30a＜30b，∴a＜b，∵x∈（0，）时，sin x＜x，∴30b＝6sin＜61，而30c＝2cos＞2cos1，∴30c＞30b，∴c＞b，综合可得a＜b＜c．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝sinπx+cosπx（x∈R），则下列说法正确的是（）A．函数f（x）是周期函数B．函数f（x）的最大值是2C．函数f（x）的图象关于点，对称D．函数f（x）的图象关于直线对称【解答】解：函数f（x）＝sinπx+cosπx，对于选项A，函数f（x）的周期，即函数f（x）是周期函数，即选项A正确；对于选项B，当，即，k∈Z时，函数f（x）取最大值，即选项B错误；对于选项C，由，k∈Z，可得：，k∈Z，即函数f（x）的图象关于点，，k∈Z对称，即选项C正确；对于选项D，由，k∈Z，可得：，k∈Z，即函数f（x）的图象关于直线，k∈Z对称，令，k无整数解，即选项D错误，故选：AC．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝lnx，a＞0，则下列结论中正确的是（）A．函数y＝f（a+x）﹣f（x）是其定义域上的减函数B．函数y＝f（a﹣x）+f（﹣x）是其定义域上的减函数C．函数y＝f（a﹣x）+f（a+x）是其定义域上的增函数D．函数y＝f（a+x）﹣f（a﹣x）是其定义域上的增函数【解答】解：∵函数f（x）＝lnx，a＞0，∴函数y＝f（a+x）﹣f（x）＝ln（a+x）﹣lnx＝ln ln（1）在其定义域上是减函数，故A正确；函数y＝f（a﹣x）+f（﹣x）＝ln（a﹣x）﹣ln（﹣x）＝ln ln（1）在其定义域上是增函数，故B错误；函数y＝f（a﹣x）+f（a+x）＝ln（a﹣x）+ln（a+x）＝ln（a﹣x）（a+x）＝ln（a2﹣x2）在其定义域（﹣a，a）上不单调，故C错误；函数y＝f（a+x）﹣f（a﹣x）＝ln（a+x）﹣ln（a﹣x）＝ln ln（1）在其定义域上是增函数，故D正确，故选：AD．（多选）11．（5分）已知直线l：y＝k（x﹣1）（k≠0）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点O为坐标原点，若线段AB的中点是M（m，1），则（）A．k＝2B．m＝3C．|AB|＝5D．OA⊥OB【解答】解：联立，消去x可得1＝0，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），可得y1+y2，y1y2＝﹣4，由线段AB的中点是M（m，1），可得y1+y2＝2，即有2，即k＝2，故A正确；x1+x2[（y1+y2）2﹣2y1y2]（4+8）＝3，即有2m＝3，解得m，故B错误；|AB|•5，故C正确；由k OA•k OB••4≠﹣1，所以OA不垂直于OB，故D错误．故选：AC．（多选）12．（5分）如图，已知圆锥顶点为P，其轴截面△P AB是边长为6的为正三角形，O1为底面的圆心，EF为圆O1的一条直径，球O内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切），点Q是球O与圆锥侧面的交线上一动点，则（）A．圆锥的表面积是45πB．球O的体积是C．四棱锥Q﹣AEBF体积的最大值为D．|QE|+|QF|的最大值为【解答】解：依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为O2，连接PO1，如图，正△P AB内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心O2都在线段PO1上，连OQ，O2Q，，则球O的半径，显然OQ⊥PQ，O2Q⊥PO，∠POQ＝60°，，，，对于A，圆锥的表面积是，A错误；对于B，球O的体积是，B正确；对于C，因Q到平面AEBF的距离与截面圆圆心O2到平面的距离相等，均为，则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥Q﹣AEBF的体积最大，，当且仅当∠AO1E＝90°，即EF⊥AB时取“＝”，则四棱锥Q﹣AEBF体积的最大值为，C正确；对于D，因，则有QO1＝EO1＝FO1＝3，即QE⊥QF，因此QE2+QF2＝EF2＝36，由均值不等式得：，即，当且仅当QE＝QF时取“＝”，D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集{x|1＜x＜2}，则实数a+b＝5．【解答】解：不等式x2﹣ax+b＜0的解集{x|1＜x＜2}，即x2﹣ax+b＝0的解为x1＝1，x2＝2，由韦达定理可得：x1+x2＝a，即a＝3x1•x2＝b，即b＝2．那么：a+b＝5．故答案为514．（5分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n（n∈N*，n≥4），若a4≥a i，i∈{0，1，2，⋯，n}，则n的所有可能取值的个数是3．【解答】解：根据二项式定理展开式，当展开式的项数为奇数项时，正中间项的二项式系数最大，当展开项为偶数项时，展开式的中间两项的二项式系数最大，所以n的取值可以是7，8或9．故答案为：3．15．（5分）某灯泡厂对编号为1，2，⋯，15的十五个灯泡进行使用寿命试验，得到奇数号灯泡的平均使用寿命（单位：小时）为1580，方差为15000，偶数号灯泡的平均使用寿命为1580，方差为12000，则这十五个灯泡的使用寿命的方差为13600．【解答】解：根据题意，奇数号灯泡共8个，偶数号灯泡共7个，又由奇数号灯泡的平均使用寿命（单位：小时）为1580，偶数号灯泡的平均使用寿命为1580，则15个灯泡平均使用寿命为1580，这十五个灯泡的使用寿命的方差S21500012000＝13600；故答案为：13600．16．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若以点A为圆心，以b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，点O为坐标原点，且，则双曲线C的离心率为．【解答】解：过点A作AP⊥MN于点P，则点P为线段MN的中点，因为点A为（a，0），渐近线方程为y＝±x，所以点A到渐近线y x的距离为|AP|，在Rt△OAP中，|OP|，在Rt△NP A中，|NP|，因为，所以|OP|＝|ON|+|NP|＝|NP||NP||NP|，所以，即2a2＝3b2，所以离心率e．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）设数列{a n}（n∈N*）的前n项和为S n，S n＝2a n﹣1，数列{b n}（n∈N*）是等差数列，其前n项和是T n，且b1＝a3，b5＝a5．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求使得T m是数列{b n}中的项的m的取值集合．【解答】解：（1）由S n＝2a n﹣1知，a1＝1，当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣1，所以a n＝2a n﹣1，所以数列{a n}是等比数列，故数列{a n}的通项公式为，又因为b1＝4，b5＝16，所以数列{b n}的公差为d＝3，故数列{b n}的通项公式为b n＝4+（n﹣1）×3＝3n+1；（2）由（1）知，，而∈，，所以当且仅当m＝3k+1（k∈N）时，T m是数列{b n}中的项，即所求的m的取值集合为{m|m＝3k+1，k∈N}．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为钝角，且tan B．（1）探究A与B的关系并证明你的结论；（2）求cos A+cos B+cos C的取值范围．【解答】解：（1）A B，证明如下：因为A为钝角，且tan B，所以由正弦定理可得，因为sin B≠0，所以可得sin A＝cos B＝sin（B），因为A为钝角，B为锐角，可得A B＝π，所以A B．（2）由A+B+C＝π，且A B，可得C2B＞0，所以0＜B＜，可得cos A+cos B+cos C＝cos（B）+cos B+cos（2B）＝﹣sin B+cos B+2sin B cos B，令t＝cos B﹣sin B，则t cos（B）∈（0，1），且sin2B＝1﹣t2，所以cos A+cos B+cos C＝﹣t2+t+1＝﹣（t）2，当t时，取得最大值，最大值为，当t＝1或0时，函数值为1，所以cos A+cos B+cos C的取值范围是（1，]．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝BC＝2CD＝2，△PBC是正三角形．（1）求证：BC⊥P A；（2）当四棱锥P﹣ABCD体积最大时，求：①点A到平面PBC的距离；②平面P AB与平面P AD夹角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取AB的中点E，连接CE，AC，∵AB＝2CD，AB∥CD，∴CD与AE平行且相等，∴四边形AECD是平行四边形，又AD⊥AB，∴四边形AECD是矩形，∴CE⊥AB，∴AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，连接PO，∵PB＝PC，∴PO⊥BC，∵PO⋂AO＝O，POAO⊂平面P AO，∴BC⊥平面P AO，∵P A⊂平面P AO，∴BC⊥P A．（2）①由（1）知，△ABC是等边三角形，∴，∴梯形ABCD的面积为定值，故当平面PBC⊥平面ABCD时，四棱锥P﹣ABCD体积最大，∵PO⊥BC，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥OA，∵OA⊥BC，BC∩PO＝O，BC、PO⊂平面PBC，∴AO⊥平面PBC，故此时点A到平面PBC的距离等于；②∵OP，OA，OB两两互相垂直，∴以O为坐标原点，OA，OB，OP分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，，由，可得，，，∴，，，，，，，，，，，，设平面P AD的一个法向量为，，，由得，可取，，则，，，设平面P AB的法向量为，，，则，即，取x1＝z1＝1，则，则，，，设平面P AB与平面P AD的夹角为θ，则，故所求的平面P AB与平面P AD的夹角的余弦值为．20．（12分）湘潭是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日俱增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽取了120位市民进行调查，其结果如下：回答“满意”的“工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“工薪族”人数是30人，回答“满意”的“非工薪族”人数是40人，回答“不满意”的“非工薪族”人数是10人．（1）请根据以上数据填写下面2×2列联表，并依据α＝0.01的独立性检验，分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联？（2）用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过n（n∈N*），若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到n时，抽样结束．记此时抽样次数为X n．①若n＝5，求X5的分布列和数学期望；②请写出X n的数学期望的表达式（不需证明），根据你的理解说明X n的数学期望的实际意义．附：参考公式：χ2，其中n＝a+b+c+d．【解答】解：（1）由题意可得，2×2列联表为：K2 6.857＞6.635，根据α＝0.01的独立性检验，认为市民对幸福感的满意度与是否为工薪族有关，此推断犯错误的概率不大于0.01；（2）①当n＝5时，X5的取值为1，2，3，4，5．由（1）可知市民的满意度和不满意度分别为和，所以P（X5＝1），P（X5＝2），P（X5＝3）＝（）2，P（X5＝4）＝（）3，P（X5＝5）＝（）4，所以X5的分布列为：所以E（X5）＝123×（）24×（）35×（）4；②由①得E（X n）＝12...+（n﹣1）（）n﹣2n×（）n﹣1[1×（）0+2×（）1+3×（）2+...+（n﹣1）（）n﹣2]+n×（）n﹣1，令S n＝1×（）0+2×（）1+3×（）2+...+（n﹣1）（）n﹣2，（n＞2）①，∴S n＝1×（）1+2×（）2+3×（）3+...+（n﹣1）（）n﹣1，（n＞2）②，①﹣②得，S n＝（）0+（）1+（）2+...+（）n﹣2﹣（n﹣1）（）n﹣1＝3﹣（n+2）×（）n﹣1，∴E（X n）＝3﹣2×（）n﹣1，当n趋向于正无穷大时E（X n）趋向于3，可以理解为平均每抽取3个人，就会有一个不满意的市民．21．（12分）如图，已知A，B两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），直线AP，BP的交点为P，且它们的斜率之积为．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）设点C为x轴上（不同于A，B）一定点，若过点P的动直线与E的交点为Q，直线PQ与直线x＝﹣2和直线x＝2分别交于M，N两点，求证：∠ACM＝∠ACN的充要条件为∠ACP＝∠ACQ．【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y），由题设，得，故所求的点P的轨迹E的方程为．（2）证明：设C（t，0），由题设知，直线MN的斜率k存在，不妨设直线MN的方程为y＝kx+m，且P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y并整理，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，则Δ＞0且，，由∠ACP＝∠ACQ，可得k CP+k CQ＝0，所以，整理得y1（x2﹣t）+y2（x1﹣t）＝0，可得（kx1+m）（x2﹣t）+（kx2+m）（x1﹣t）＝0，整理得2kx1x2+（m﹣kt）（x1+x2）﹣2mt＝0所以，可得8k（m2﹣1）﹣8（m﹣kt）km﹣2mt（4k2+1）＝0，即4k+mt＝0，将x＝﹣2代入y＝kx+m，可得y M＝m﹣2k，则M（﹣2，m﹣2k），同理N（2，m+2k）．由∠ACM＝∠ACN，可得k CM+k CN＝0，所以，即4k+mt＝0，所以∠ACM＝∠ACN的充要条件为∠ACP＝∠ACQ．22．（12分）已知f（x）＝e1﹣x+（a+1）lnx．（1）若f（x）在定义域上单调递增，求a的取值范围；（2）设函数g（x）＝f（x）﹣ax，其中a，若g（x）存在两个不同的零点x1，x2．①求a的取值范围；②证明：x1+x2＞2．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）在定义域上单调递增，故′恒成立，依题意可知，∀x∈（0，+∞），a+1≥xe1﹣x恒成立．设F（x）＝xe1﹣x，则F′（x）＝（1﹣x）e1﹣x，当0＜x＜1时，F′（x）＞0，当x＞1时，F′（x）＜0，则F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，因此F（x）≤F（1）＝1，故a+1≥1，即a≥0；（2）①解：因为，，所以′，，当0＜x＜1时，′，由（1）可知a≥0时，恒成立，即有恒成立，故g′（x）＞0．当x＞1时，′，则h（x）＝1﹣xe1﹣x+a（1﹣x），则h′（x）＝（x﹣1）e1﹣x﹣a，令m（x）＝（x﹣1）e1﹣x﹣a，m′（x）＝（2﹣x）e1﹣x，当1＜x＜2时，m′（x）＞0，当x＞2时，m′（x）＜0，则h′（x）在（1，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，从而ℎ′．当时，h′（x）≤0恒成立，此时h（x）单调递减，所以h（x）＜h（1）＝0，即g′（x）≤0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减．综上知，当x∈（0，1）时，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g（x）单调递减，由g（x）存在两个零点，得g（1）＞0，即a＜1，从而＜．设，′，可知当x∈（0，1）时，u（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，u（x）单调递减，故u（x）≤u（1）＝﹣1＜0，即lnx＜x，由＜＜＜，因此，取，则＞，且，所以＜＜，因此，g（x）在（1，+∞）上存在一个零点．又取，则（a+1）lnt＝﹣e，从g（t）＝e1﹣t+（a+1）lnt﹣at＜e+（a+1）lnt＝0，因此，g（x）在（0，1）上也存在一个零点．综上可知，a的取值范围为，；②证明：设G（x）＝g（1﹣x）﹣g（1+x）（0＜x＜1），其中＜．则′′′＜，由（1）可知，从而，，因此，所以对任意a＞0，恒有G（x）＜0，所以G（x）在（0，1）上单调递减，从而G（x）＜G（0）＝0，即g（1﹣x）＜g（1+x）．令x1＝1﹣x，则g（2﹣x1）＞g（x1）＝g（x2），又2﹣x1＞1，x2＞1，且g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以2﹣x1＜x2，故x1+x2＞2。
湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中2022-2023学年高一上数学期末复习检测模拟试题含
故选C
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合B，熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2、C
【解析】根据指数和幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为 在 上单调递增， 在 上单调递减
所以 ，故 .
故选：C
【详解】若函数 与 的图象相同则 与 表示同一个函数，则 与 的定义域和解析式相同.
A： 的定义域为R， 的定义域为 ，故排除A；
B： ，与 的定义域、解析式相同，故B正确；
C： 的定义域为R， 的定义域为 ，故排除C；
D： 与 的解析式不相同，故排除D.
故选：B
8、A
【解析】将直线 转化成斜截式方程，即得得出斜率.
13、
【解析】由已知结合分段函数的性质及一次函数的性质，列出关于a的不等式，解不等式组即可得解.
【详解】因为函数 是R上的减函数
所以需满足 ，解得 ，即
所以实数a的取值范围为
故答案为：
14、
【解析】根据三角函数的定义求出r即可．
【详解】 角 的终边过点 ，
，
则 ，
故答案为
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义是解决本题的关键．三角函数的定义将角的终边上的点的坐标和角的三角函数值联系到一起， .知道终边上的点的坐标即可求出角的三角函数值，反之也能求点的坐标.
任取 ，且 ，ຫໍສະໝຸດ 则 ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴
∴函数 在 上为增函数.
【小问3详解】
因为 ，所以 ，
由（2）知函数 在 上为增函数，
所以 ， ，
∴ 的取值范围是 .
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2020-2021学年湖南省湘潭县第一中学新高一入学考试
数学模拟试卷解析版
一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．（3分）|﹣2|＝（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．12
D ．−12 【解答】解：根据绝对值的性质可知：|﹣2|＝2．
故选：A ．
2．（3分）（﹣4x ）2＝（ ）
A ．﹣8x 2
B ．8x 2
C ．﹣16x 2
D ．16x 2
【解答】解：原式＝16x 2，
故选：D ．
3．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D ．
4．（3分）下列命题中，正确的是（ ）
A ．平行四边形的对角线相等
B ．矩形的对角线互相垂直
C ．菱形的对角线互相垂直且平分
D ．对角线相等的四边形是矩形
【解答】解：A 、平行四边形的对角线互相平分，所以A 选项错误；
B 、矩形的对角线互相平分且相等，所以B 选项错误；。