数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值分析

（p11页）

4 试证：对任给初值x 0, (0)

a a >的牛顿

迭代公式

112(),0,1

,2,......k a

k k x x x k +=+=

恒成立下列关系式：

21

12(1)(,0,1,2,....

(2),1,2,......

k

k k x k x a x a k x a k +-=

-=≥=

证明： （1）

(

2

2

112222k k k k k k k k

x a a x ax a

x a x a x x x +-⎫⎛-+-=+-==

⎪ ⎝⎭

（2） 取初值0

>x

，显然有0

>k

x

，对任意0≥k ，

a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2

12121

6 证明：

若k

x 有n 位有效数字，则n k

x

-⨯≤

-1102

1

8，

而

(

)k k k k

k x x x x x 28882182

1-=-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=-+

n

n

k k x x 21221102

1

5.221041

85

.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥

1

k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解：

此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数*

x 可表示为m

n a a a x

10......021*

⨯±=，如果*

x

具有l 位有效数字，则其相对误差限为

()11

*

*1021

--⨯≤

-l a x

x x ，其中1

a 为*

x 中第一个非零数）

则7

.21

=x

，有两位有效数字，相对误差限为

025.0102

21

111=⨯⨯≤--x x e

71

.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为

025.0102

21

122=⨯⨯≤--x x e

3 2.718

x =，有两位有效数字，其相对误差限为：

00025.0102

21

333=⨯⨯≤--x e x

②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7

.21

=x

，0183.01

<-e x

∴

其相对误差限为00678.07

.20183.01

1≈<-x e x 同理对于71

.22

=x

，有 003063.071

.20083

.022≈<-x e x

∣1

x -

*

1x ∣/∣

1

x ∣＜

2

1

⨯210-/2.72＜

0.00184

② ∣2

x -*

2

x ∣≤21⨯l -110=2

1

⨯5

10- ∣2

x -*2

x ∣/∣2

x ∣＜2

1

⨯5

10-/2.71828＜

0.00000184

③ ∣3

x -*

3

x ∣＜21⨯l -110=2

1

⨯4

10- ∣3

x -*3

x ∣/∣3

x ∣＜2

1

⨯4

10-/0.0718＜

0.000697 12.解：

⑴

x

211+－

x

x +-11=

)

1)(21(22

x x x ++

⑵ 1-cosx=x

x cos 1sin 2+=22sin 2

x

⑶ 1

-x

e ≈1+x+!

22x +…+!

n x n

-1=x+!

22x +…+!

n x n

13.解：⑴ x

x 1+-

x

x 1-

=

x

x x 1x 1x /2-

++

⑵ dt t x x

⎰

++1

2

11

=)1arctan(+x -x arctan

设)1arctan(+x =a ，x arctan =b,则

)tan(b a - =b a b

a tan tan 1tan tan ⋅+-=)

1(11++x x ∴)1arctan(+x -x arctan =)1(11arctan ++x x ⑶

)

1ln(2--x x =1

1ln

2

-+x x =)

1ln(1ln 2-+

-x x =-)

1ln(2-+

x x

习题一（54页） 5.证明：

利用余项表达式（11）（19页），当)(x f 为次数≤n 的多项式时，由于)

(1

x f

n +=0，于是有

)

(x R n =)(x f －)(x P n

=0,即)(x P n

=)(x f ，表明其n 次

插值多项式)(x P n

就是它自身。 9.证明：

由第5题知，对于次数≤n 的多项式，其n 次插值多项式就是其自身。 于是对于)(x f =1，有)(2

x P =)(x f

即，)

(0x l )

(0x f +)

(1x l )

(1x f +)(2

x l )(2

x f =)(x f

则，)(0

x l +)(1

x l +)(2

x l =1 11.分析：

由于拉格朗日插值的误差估计式为)(x f －