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数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字；*57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****2442*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =-9897Y Y =……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析课后习题答案
0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0
1 2
0 0 0 1 1 0
1 2
1 2
1 2
1
0 0 0 1 0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2
2 11
22
1
5 2
1
3 21来自，所以 A12
1
2 1 1
5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7
r1r2
消元
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
《数值分析》第一章答案
习题11． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
（1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01； （2）*2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18； （3）*3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4；（4）*4x ＝31，4x ＝0.333 3；（5）*5x ＝23.496， 5x ＝23.494； （6）*6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510； （7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-； （8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。
解：(1) =*1x 451.023 =1x 451.01=-1*1x x 0.01311021-⨯≤，1x 具有4位有效数字。
→1x 451.0(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18=-<⨯-2*241021x x 0.045 18045113.0-=0.000 06731021-⨯<2x 具有2位有效数字，045.02-→x(3)=*3x 23.4213 =3x 23.4604=-3*3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.23110210391.0-⨯≤3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5)(4) =*4x 31，=4x 0.3333=-4*4x x 41021000033.0-⨯< ,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333 (5) =*5x 23.496，=5x 23.494=-5*5x x =-494.23496.2321021002.0-⨯<5x 具有4位有效数字， →5x 23.50 (不能写为23.49)(6) =*6x 51096⨯71096.0⨯= =6x 5101.96⨯710961.0⨯==-6*6x x 710001.0-⨯72101021--⨯⨯≤6x 具有2位有效数字，57610961096.0⨯=⨯=x(7) =*7x 0.00096 371096.0-⨯=x 3*71096.0-⨯=x =-7*7x x 0 7x 精确 (8) 8700*8-=x 8x 3.8700-=8*8x x -010213.0⨯≤= 8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确 2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747⨯6.83;(2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
数值分析第六章课后习题答案
第六章课后习题解答(1)()()123(1)()213(1)()()312(01.21125551154213351010(1,1,1),17( 4.0000186,2.99999k k k k k k k k k Tx x x x x x x x x x x+++ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-(17)解：(a )因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。
（b )雅可比法的迭代格式为取迭代到次达到精度要求(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(0)(8)15,2.0000012)21125551154213351010(1,1,1),8( 4.0000186,2.9999915,2.0000012)Tk k k k k k k k k TTx x x x x x x x x x++++++-ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-高斯塞德尔法的迭代格式为x 取迭代到次达到精度要求1212:00.40.4.0.400.80.40.80||(0.8)(0.80.32)()1.09282031,00.40.4()00.160.6400.0320.672DL U I BD L U l l l l--骣--÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--÷ç桫-=-+-=>-æ--çççç=-=-ççççèlJJJS解(a )雅可比法的迭代矩阵B（）BB故雅可比迭代法不收敛高斯塞德尔法迭代矩阵131()||||0.81022101220||022023002SJBDL U I BD L Ul l¥--ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç÷ø?<骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç÷桫-=骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=-=-ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç桫llSJJ SB故高斯-塞德尔迭代法收敛。
数值分析部分答案
计算， 解
Q f(x) ln(x Jx21),f(30)In(30 s/899)设u ^y899, y f (30)则u*
yu
u
1*
g u
0.0167
3
若改用等价公式
ln(x•.厂1)In (x1)
贝卩f(30)In(30x899)
此时
* *
yr u
u
1*
u
59.9833
7
第二章插值法
2
X
0.4
0.5
(y2*)10 (y「)
2
(y2*)10 (y°*)
S*)1010(yo*)
101011022
(x1)7
6* *
7y x
(x 1)
* *
y x
*2*
(32x)g x
6* *
*y g x
3 2x
* *
y x
(3 2.2)3计算y值，则
1
(3 2x )4
1*
7y x
(3 2x )7'
* *
y x
(3 2 <2)
(3)(x2/x4)
0.031 385.6
1.1021 385.6
x；
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(X4)
X4(X2)
* 2
X4
131
1056.43010
2 2
56.430 56.430
5
解：球体体积为V 4R
3
则何种函数的条件数为
2
Rgl R
1 V丨
43
-R3
3
3
r(V*) Cpgr(R*)3r(R*)
Cp
又Qr(V*)1
《数值分析》第一章答案
《数值分析》第⼀章答案习题11．以下各表⽰的近似数，问具有⼏位有效数字？并将它舍⼊成有效数。
（1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01；（2）*2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18；（3）*3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4；（4）*4x ＝31， 4x ＝0.333 3；（5）*5x ＝23.496， 5x ＝23.494；（6）*6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510；（7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-；（8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。
解：(1) =*1x 451.023 =1x 451.01=-1*1x x 0.01311021-?≤，1x 具有4位有效数字。
→1x 451.0(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18=-241021x x 0.045 18045113.0-=0.000 06731021-?<2x 具有2位有效数字，045.02-→x(3)=*3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.231 10210391.0-?≤3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5) (4) =*4x 31 ，=4x 0.3333=-4*4x x 41021000033.0-?<,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333(5) =*5x 23.496，=5x 23.494=-5*5x x =-494.23496.2321021002.0-?<5x具有4位有效数字，→5x 23.50 (不能写为23.49)(6) =*6x 51096?710961.0?==-6*6x x 710001.0-?72101021--??≤6x 具有2位有效数字，57610961096.0?=?=x(7) =*7x 0.00096 371096.0-?=x3*71096.0-?=x =-7*7x x 0 7x 精确(8) 8700*8-=x 8x 3.8700-=8*8x x -010213.0?≤=8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83; (2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
数值分析第二版(丁丽娟)答案
7 10922.5000 23483.0000 23483.5000
8 43690.5000 80827.0000 80827.5000
21.000000000000000 17.000000000000000 16.238095238095237 16.058823529411764 16.014662756598241 16.003663003663004 16.000915583226515
3、 用规范化幂法求
按模最大的特征值和对应的特征向量，取初值
。当特征值有3位小数稳定时停止。
4、 用反幂法求矩阵
练习五
，迭代7次。
的最接近于6 的特征值和对应的特征向量，取初值
例1 令
求
的一次插值多项式，并估计插值误差。
例2 已知函数
的如下函数值表，
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f (x)
1.00
16.007498295841852 16.002385008517887
16.002177786576915 16.00069286350589
则开根号得 4.000114446266071 4.000272214059553 4.000086607000640
，对应的特征向量为
，
第五章答案
2. 解： 正则方程组为
38.000
19.5000
18.199999999999999 16.636363636363637
16.578947368421051 16.179487179487179
16.120879120879120 16.038251366120218
数值分析课后习题答案
x2 6.6667x2 8.205
再解
1
15 56
x31.785,7得 x35.769
1 25069x4 0.47847x4 1.4872
1 x5 5.3718 x5 5.3718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
b.用Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=0.
102 x Байду номын сангаасy 1
100y 100
再用列主元Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=1.
x y
y 1
2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0
3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.
2 1 0 0 x1 1
1
0 0
2 1 0
1 2 1
0 12
x2 x3 x4
0 00
解 直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位 有效数字?
解 因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效 数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
1 2
0
12 1,
1 2
1 2
0
12
数值分析课后部分习题答案
证明 由差商的定义 (a) 如果 F ( x ) = cf ( x ) ，则
F [ x0 , x1 ,⋯ , xn ] =
=
F [ x1 , x2 ,⋯ , xn ]-F [ x0 , x1 ,⋯ , xn− 1 ] x n − x0
cf [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-cf [ x0 , x1 ,⋯ , xn −1 ] x n − x0 f [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-f [ x0 , x1 ,⋯ , xn−1 ] = cf [ x0 , x1 , ⋯ , xn ] . x n − x0
1 1 1 1 |e( x*)| ≤ × 10m − n = × 10−2 ， |e( y*)| ≤ × 10m − n = × 10 −2 ， 2 2 2 2 1 1 |e( z*)| ≤ × 10 m − n = × 10 −2 ， 2 2 | e( y * z*) |≈| z * e ( y*) + y * e ( z *) |≤ z * | e ( y *) | + y * | e (z *) |
m − n = −3 ，所以， n = 4 ； z * = 0.00052 = 0.52 × 10−3 ，即 m = −3
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
由有效数字与绝对误差的关系得 即
m − n = −3 ，所以， n = 0 .
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
1 1 ≤ 2.35 × × 10−2 + 1.84 × × 10−2 = 2.095 × 10−2 ， 2 2 1 | e( x * + y * z*) |≈| e( x*) + e( y * z*) |≤ × 10 −2 + 2.095 × 10−2 2 1 = 0.2595 × 10−1 ≤ × 10−1 ， 2
(完整版)数值分析课后习题答案
第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析详细答案(全)
第二章 插值法习题参考答案2.)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)(2+-+-⋅+------⋅-+-+-+⋅=x x x x x x x L3723652-+=x x . 3. 线性插值：取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ，则620219.0)54.0()54.0(54.0ln 0010101-=-⋅--+=≈x x x y y y L ；二次插值：取510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ，则)54.0(54.0ln 2L ≈))(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----⋅+----⋅+----⋅=＝－0.616707 .6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，则有)()(x R x P x n n k +=)())(()!1(1)(0)1(0n n ni k j j x x x x f n x x l --++=+=∑ ξ由于0)()1(=+ξn f，故有kni k j jxx x l≡∑=0)(.ii) 构造函数,)()(kt x x g -=在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，有∑=-=ni j k j n x l t x x L 0)()()(.插值余项为 ∏=+-+=--nj j n n kx x n g x L t x 0)1()()!1()()()(ξ， 由于).,,2,1(,0)()1(n k g n ==+ξ故有 .)()()()(0∑=-==-ni j k j n kx l t x x L t x令,x t =即得 ∑==-ni j k jx l t x)()(.8. 截断误差].4,4[),)()((61)(2102-∈---=ξξx x x x x x e x R其中 ,,1210h x x h x x +=-= 则hx x 331+=时取得最大值321044392|))()((|max h x x x x x x x ⋅=---≤≤- .由题意， ,10)392(61|)(|6342-=⋅⋅≤h e x R所以，.006.0≤h16. ;1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f .0!7)(]2,,2,2[)8(810==ξf f19. 采用牛顿插值，作均差表：i x)(i x f一阶均差 二阶均差0 1 20 1 11 0-1/2],,[))((],[)()()(210101000x x x f x x x x x x f x x x p x p --+-+=))()()((210x x x x x x Bx A ---++)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得,41,43=-=B A 所以 .)3(4)(22-=x x x p第三章 函数逼近与计算习题参考答案4.设所求为()g x c =，(,)max(,),max (),min ()a x ba x bf g M c m c M f x m f x ≤≤≤≤∆=--==，由47页定理4可知()g x 在[],a b 上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为()f x 的最大值和最小值处，故由1(),()2M c m c c M m -=--=+可以解得1()()2g x M m =+即为所求。
数值分析参考答案
1、确定参数p 、q 、r ，使得迭代2 丽p+d 耳=73 39爲 2 2qa 5ra p 03 ” 3 276qa 30ra 2 _ ° 9 27,3 题外话：解这样比较复杂的方程组，不太适合手算，最好自己利用 MATLAB 编写一 个小程序：附带自编小程序：syms p q r a;s1= 'sqrt(3)*p+(q*a)/3+(r*a A 2)/(9*sqrt(3))=sqrt(3)' ;s2= 'p-(2*q*a)/(3*sqrt(3))-(5*r*aA2)/27=0' ;s3= '(6*q*a)/9+(30*r*aA2)/(27*sqrt(3))=0' ;[p,q,r]=solve(s1,s2,s3,p,q,r)2、用MATLAE 编程 求著名的Van Der Pol 方程x (x 2-1)x x = 0的数值解并绘制其 时间响应曲线和状态轨迹图(给出源程序)(14分)解：先建立一个函数文件fname.m :fun cti on xdot=f name(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(1)=(1-x(2)A2)*x(1)-x(2);xdot(2)=x(1); 解:2迭代方程 (x) px - 2 - 5 , k =1,2,=： (x)x 2qa 5ra 2，收敛到..3，并使收敛的阶尽可能高。
(16 分)2 力，6qa 30ra (x) 4 7 - x x利用局部收敛性与收敛阶定理4 知要使收敛的阶尽可能高，需满足I * I I * ®(x )= 0® x [今 0 * 又知 (x ) 二X 则可得到以下式子: 由以上三式可解得:q¥ 3a 收敛的阶数为3。
2调用函数文件fname.m 求Van Der Pol 方程的数值解并绘制时间响应曲线和状态轨迹图: ts=[O 30]; %设置仿真时间3O 秒x0=[1;0]; %设置仿真初值[t,x]=ode45( 'fname' ,ts,xO);subplot(1,2,1),plot(t,x)subplot(1,2,2),plot(x(:,1),x(:,2))13、试确定常数A , B , C,使得数值求积公式[f(x)dx 拓Af(O)+Bf(xJ + Cf (1)具有尽可能 高的代数精度。
数值分析第五版习题答案清华大学出版社
1．设 x 0 , x 的相对误差为 ，求 ln x 的误差。
解：近似值
*
x 的相对误差为
* e* x * x
= er
x*
x*
而 ln x 的误差为 e ln x *
ln x * ln x
1 e*
x*
进而有 (ln x*)
2．设 x 的相对误差为 2%，求 xn 的相对误差。
解：设 f ( x )
cos x 的近似
值时，采用的线性插值法插值余项不为 0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综
合以上两方面的因素。
当 0 x 90 时，
令 f ( x ) cos x
1 取 x0 0, h ( )
60
1 60 180
令 xi x 0 ih , i 0,1,..., 5400
10800
则 x5400
3
2．给出 f ( x ) ln x 的数值表
X
0.4
lnx
-0.916291
用线性插值及二次插值计算
解：由表格知，
0.5
0.6
-0.693147
-0.510826
ln 0.54 的近似值。
x0 0.4, x1 0.5, x 2 0.6, x3 0.7, x4 0.8; f ( x 0 ) 0.916291, f ( x1 ) 0.693147 f ( x 2 ) 0.510826, f ( x3 ) 0.356675 f ( x 4 ) 0.223144
2 1.41
( y 0 *)
1
2
10
2
又 y n 10 yn 1 1
y1 10 y0 1
( y1*) 10 ( y 0 *) 又 y 2 10 y1 1
数值分析第五版答案pdf2篇
数值分析第五版答案pdf2篇作为数值分析科目的学生，对于答案及其解析的掌握显然十分必要。
因此，本文将提供数值分析第五版的答案及其解析，方便学生们在学习过程中进行参考与对照。
1. 第一题(a) 首先，我们对于给定的步长进行求解。
$h = \frac{b-a}{n} = \frac{0.6-0.1}{3} = 0.1667$(b) 然后，我们将所给的函数替换为数值，如下所示：$f(0.1) = 3\cdot(0.1)^2 - 2\cdot(0.1) + 1 = 1.21$ $f(0.2667) = 3\cdot(0.2667)^2 - 2\cdot(0.2667) + 1 = 1.3344$$f(0.4333) = 3\cdot(0.4333)^2 - 2\cdot(0.4333) + 1 = 1.495511$$f(0.6) = 3\cdot(0.6)^2 - 2\cdot(0.6) + 1 = 1.68$(c) 接下来，我们将以上所得数值代入 Simpson's 1/3 Rule 公式中，求得积分值。
$I = \frac{h}{3}\cdot(f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) + 4f(a+3h)+f(b))$$I = \frac{0.1667}{3}\cdot(1.21 + 4\cdot1.3344 + 2\cdot1.495511+4\cdot1.68+1.68)$$I = 0.19565$因此，我们得出的积分值为 $0.19565$。
2. 第二题(a) 首先，我们对于给定的区间进行求解。
$h = \frac{b-a}{n} = \frac{\pi}{6} - 0 =\frac{\pi}{6}$(b) 然后，我们将所给的函数替换为数值，如下所示：$f(0) = \frac{1}{2}\cdot(0) + 1 = 1$$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{6} + \cos(\frac{\pi}{6}) =\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}$$f(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3} + \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}$ (f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} + \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4}+0)$(c) 接下来，我们将以上所得数值代入 Simpson's 1/3 Rule 公式中，求得积分值。
数值分析课后习题答案4
第一章题12给定节点01x =−，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：（1）（1）3()432f x x x =−+（2）（2）43()2f x x x =−解（1）(4)()0f x =，由拉格朗日插值余项得(4)0123()()()()()()()04!f f x p x x x x x x x x x ξ−=−−−−=；（2）(4)()4!f x =由拉格朗日插值余项得01234!()()()()()()4!f x p x x x x x x x x x −=−−−−(1)(1)(3)(4)x x x x =+−−−.题15证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差01210()()()max ()8x x x x x f x p x f x ≤≤−′′−≤.证由拉格朗日插值余项得01()()()()()2!f f x p x x x x x ξ′′−=−−，其中01x x ξ≤≤，010101max ()()()()()()()()2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤′′′′−=−−≤−−01210()max ()8x x x x x f x ≤≤−′′≤.题22采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ：（1）（1）用待定系数法；（2）（2）利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x .解（1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2123()23p x a a x a x ′=++，代入得方程组001231123010231a a a a a a a a a =⎧⎪+++=⎪⎨=⎪⎪++=⎩解之，得01230021a a a a =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=−⎩23()2p x x x ∴=−；（2）先求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x ，由0为二重零点，可设2()p x ax =，代入(1)1p =，得1a =，2()p x x ∴=；再求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ，可设22()(1)p x x bx x =+−，2()22(1)p x x bx x bx ′=+−+∵，代入(1)1p ′=，得1b =−，2223()(1)2p x x x x x x ∴=−−=−.题33设分段多项式323201()2112x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++−≤≤⎩是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数,b c 的值.解由(1)2S =得212b c ++−=，1b c ∴+=；223201()6212x x x S x x bx c x ⎧+<<′=⎨++<<⎩，由(1)5S ′=得625b c ++=，21b c ∴+=−；联立两方程，得2,3b c =−=，且此时6201()12212x x S x x b x +<<⎧′′=⎨+<<⎩，(1)8(1)S S −+′′′′==，()S x 是以0,1,2为节点的三次样条函数.题35用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627x y x y x y x y +=⎧⎪−=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩.解记残差的平方和为2222(,)(2411)(353)(26)(27)f x y x y x y x y x y =+−+−−++−++−令00f x f y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得3661020692960x y x y −−=⎧⎨−+−=⎩，解之得83027311391x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.题37用最小二乘法求形如2y a bx =+的多项式，使与下列数据相拟合：x1925313844y19.032.349.073.397.8解拟合曲线中的基函数为0()1x ϕ=，20()x x ϕ=，其法方程组为0001010001(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠，其中00(,)5ϕϕ=，0110(,)(,)5327ϕϕϕϕ==，11(,)7277699ϕϕ=，0(,)271.4f ϕ=，1(,)369321.5f ϕ=，解之得5320.97265472850.055696a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，20.97260.05y x ∴=+.第二章题3确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：（2）10120113()(()()424f x dx A f A f A f ≈++∫（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，11000013()(224()11133()()4244x x A l x dx dx −−===−−∫∫，11110013()()144()11133()()2424x x A l x dx dx −−===−−−∫∫，11220011()242()31313()4442x x A l x dx dx −−===−−∫∫，10211123()()()(343234f x dx f f f ∴≈−+∫，当3()f x x =时，有左边＝113001()d d 4f x x x x ==∫∫，右边＝3332111232111231()()()()()()3432343432344f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边＝右边，当4()f x x =时，有左边＝114001()d d 5f x x x x ==∫∫，右边＝44421112321112337()()()()()()343234343234192f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.题8已知数据表x 1.11.3 1.5xe3.00423.66934.4817试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分 1.51.1x e dx∫.解辛甫生法1.51.1xe dx ∫()1.5 1.13.00424 3.66934.4817 1.477546−≈+×+=；复化梯形法1.51.1xe dx ∫()0.23.00422 3.66934.4817 1.482452≈+×+=.题17用三点高斯公式求下列积分值12041dxx π=+∫.解先做变量代换，设)(1+21=t x ，则1204d 1x x +∫＝112112418d d 124(1)1(1)4t t t t −−⋅=++++∫∫()2225888589994014141≈×+×+×++⎛⎞⎞++⎜⎟⎟⎝⎠⎠3.141068=.第三章用欧拉方法求解初值问题y ax b ′=+，(0)0y =：（1）试导出近似解n y的显式表达式；解（1）其显示的Euler 格式为：11111(,)()n n n n n n y y hf x y y h ax b −−−−−=+=+⋅+故122()n n n y y h ax b −−−=+⋅+⋯⋯100()y y h ax b =+⋅+将上组式子左右累加，得0021()n n n y y ah x x x nhb−−=+++++⋯(02(2)(1))ah h h n h n h nhb =+++−+−+⋯2(1)/2ah n n nhb=−+题10选取参数p 、q ，使下列差分格式具有二阶精度：1111(,)n n n n y y hK K f x ph y qhK +=+⎧⎨=++⎩.解将1K 在点(,)n n x y 处作一次泰勒展开，得11(,)n n K f x ph y qhK =++21(,)(,)(,)()n n x n n y n n f x y phf x y qhK f x y O h =+++()221(,)(,)(,)(,)(,)()(,)()n n x n n n n x n n y n n y n n f x y phf x y qh f x y phf x y qhK f x y O h f x y O h =++++++2(,)(,)(,)(,)()n n x n n n n y n n f x y phf x y qhf x y f x y O h =+++代入，得()21(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y h f x y phf x y qhf x y f x y O h +=++++2231(,)(,)(,)(,)()n n n n x n n n n y n n y y hf x y ph f x y qh f x y f x y O h +=++++而231()()()()()()2n n n n n h y x y x h y x hy x y x O h +′′′=+=+++23()(,())(,())(,())(,())()2n n n x n n n n y n n h y x hf x y x f x y x f x y x f x y x O h ⎡⎤=++++⎣⎦考虑其局部截断误差，设()n n y y x =，比较上两式，当12p =，12q =时，311()()n n y x y O h ++−=.第四章题2证明方程1cos 2x x=有且仅有一实根；试确定这样的区间[,]a b ，使迭代过程11cos 2k kx x +=对一切0[,]x a b ∈均收敛.解设1()cos 2f x x x=−，则()f x 在区间(,)−∞+∞上连续，且11(0)cos 0022f =−=−<，1(cos 022222f ππππ=−=>，所以()f x 在[0,]2π上至少有一根；又1()1sin 02f x x ′=+>，所以()f x 单调递增，故()f x 在[0,]2π上仅有一根.迭代过程11cos 2k k x x +=，其迭代函数为1()cos 2g x x=，[0,]2x π∀∈，110()cos 222g x x π≤=≤≤，()[0,]2g x π∴∈；1()sin 2g x x ′=−，1()12g x ′≤<，由压缩映像原理知0[0,2x π∀∈，11cos 2k kx x +=均收敛.注这里取[,]a b 为区间[0,]2π，也可取[,]a b 为区间(,)−∞+∞等.题5考察求解方程1232cos 0x x −+=的迭代法124cos 3k kx x +=+（１）（１）证明它对于任意初值0x 均收敛；（２）证明它具有线性收敛性；证（1）迭代函数为2()4cos 3g x x=+，(,)x ∀∈−∞+∞，()(,)g x ∈−∞+∞；又22()sin 133g x x ′=−≤<，由压缩映像原理知0x ∀，124cos 3k k x x +=+均收敛；（2）***1*2lim ()sin 03k k k x x g x x x x +→∞−′==−≠−（否则，若*sin 0x =，则*,x m m Z π=∈，不满足方程），所以迭代124cos 3k kx x +=+具有线性收敛速度；题7求方程3210x x −−=在0 1.5x =附近的一个根，证明下列两种迭代过程在区间[1.3,1.6]上均收敛：（１）（１）改写方程为211x x =+，相应的迭代公式为1211k k x x +=+；（２）（２）改写方程为321x x =+，相应的迭代公式为1k x +=解（1）3232211011x x x x x x −−=⇔=+⇔=+，迭代公式为1211k k x x +=+，其迭代函数为21()1g x x =+[1.3,1.6]x ∀∈，2221111.3 1.3906111 1.5917 1.61.6 1.3x ≤≈+≤+≤+≈<，()[1.3,1.6]g x ∴∈；又32()g x x ′=−，333222-0.9103==-0.48831.3 1.6x −−−≤≤，()0.91031g x ′≤<，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈，1211k k x x +=+均收敛；（2）3232101x x x x x −−=⇔=+⇔=1k x +=其迭代函数为()g x =[1.3,1.6]x ∀∈，1.3 1.3908 1.5269 1.6≤≈≤≤≈<，()[1.3,1.6]g x ∴∈；又()g x ′=，00.4912≤≤≤=，()0.49121g x ′≤<，由大范围收敛定理知0[1.3,1.6]x ∀∈，1k x +=均收敛.题5分别用雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代求解下列方程组：1231231235325242511x x x x x x x x x +−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=−⎩（2）其雅可比迭代格式为(1)()()123(1)()()213(1)()()312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，迭代发散；其高斯-塞德尔迭代格式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312253512221121555k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧⎪=−+⎪⎪=−++⎨⎪⎪=++⎪⎩，取初始向量(0)000x ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，迭代发散.第六章题2用主元消去法解下列方程组）12312312323553476335x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解（2）对其增广矩阵进行列主元消元得23553476347634763476235501/31/3105/32/331335133505/32/3301/31/31⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟→→→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠347605/32/33001/52/5⎛⎞⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎝⎠回代求解上三角方程组1232333476523331255x x x x x x ⎧⎪++=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩得321214x x x =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，所以412x −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠.。
数值分析课后习题部分参考答案.
数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1（P10）5. 求2的近似值*x ，使其相对误差不超过%1.0。
解： 4.12=。
设*x 有n 位有效数字，则n x e -⨯⨯≤10105.0|)(|*。
从而，1105.0|)(|1*nr x e -⨯≤。
故，若%1.0105.01≤⨯-n，则满足要求。
解之得，4≥n 。
414.1*=x 。
（P10）7. 正方形的边长约cm 100，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过12cm 。
解：设边长为a ，则cm a 100≈。
设测量边长时的绝对误差为e ，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:e ⨯⨯≈1002。
按测量要求，1|1002|≤⨯⨯e 解得，2105.0||-⨯≤e 。
Chapter 2（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011012111A 。
解：设()γβα=-1A。
分别求如下线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001αA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010βA ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100γA 。
先求A 的LU 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3)0(2)1(1)1(2)0(1)1(2)2(1)1(1)1(1)1(。
即，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121012001L ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=300210111U 。
经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ly 和y U =α，得，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100α；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ly 和y U =β，得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323131β；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ly 和y U =γ，得，；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=313231γ。
所以，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3132132310313101A。
（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----816211515311401505231214321x x x x 解:平方根法：先求系数矩阵A 的Cholesky 分解（利用分解的紧凑格式），⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1)15(2)1(1)5(3)3(3)14(2)0(1)1(1)5(2)2(1)1(，即，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121332100120001L ，其中，TL L A ⨯=。
数值分析参考答案
数值分析参考答案1.4 习题解答或提示1、解：（1）>> a=[1 2 3 ;4 5 6 ]'a =1 42 53 6（2）>> b=[9;7;5;3;1]b =97531（3）>> c=b(2:4)c =753（4）>> d=b(4:-1:1)d =3579（5）>> e=sort(b)e =13579（6）>> f=[3:b']f =3 4 5 6 7 8 92、解：>> x=[7 4 3 ];y=[-1 -2 -3];（1）>> u=[y,x]u =-1 -2 -3 7 4 3 （2）>> u=[x,y]u =7 4 3 -1 -2 -33、解：sum=0;a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]; for i=1 : length(a)if a(i)>0, sum=sum+a(i); endendsumsum =214、解：m=input('input an array:')input an array:[1 2 5;3 1 2;4 1 3]m =1 2 53 1 24 1 35、解：sum(m)ans =8 4 10>> max(m)ans =4 2 5>> min(m)ans =1 1 26、解：function y=fun_es(x)y=0.5.*exp(x./3)-x.^2.*sin(x);>> fun_es(3)ans =0.0891>> fun_es([1 2 3])ans =-0.1437 -2.6633 0.08917、提示：本题主要考查的是随机数生成函数rand的使用方法，以及选取种子数的方法之一：使用clock命令。
可以参照课本的例1.5来编写函数。
8、解：function y=fun_xa()x=input('input the value of x：');n=input('input the value of n：');y=1;for i=1:1:ny=y+x^i/factorial(i); end>> fun_xa()input the value of x ：1 input the value of n ：4ans =2.70832.4 习题解答1 解：E(lnx)=(ln ’E(x)=)(1x E x =xδ=Er(x) 2. 解 Er(x 2)＝)(22x Er x xx ⨯=4% 3. 解：123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0x x x x x *****=====⨯分别有5 位，2位，4位，5位，2位有效数字4 解 4*1105.0)(-⨯=x E3*2105.0)(-⨯=x E1*3105.0)(-⨯=x E3*4105.0)(-⨯=x E=++)(*4*2*1x x x E +)(*1x E +)(*2x E )(*4x E =0.00105))()((*4*2x E x E E =)()()(*42*4*2*4*2x E x x x x E -5. 解 V=334r π Er(v)=)(//x Er V x dx dV ⨯⨯=3Er(x)%1)(3≤x Er%33.0)(≤x Er6. 解 7830100-=Y Y)783()(100E Y E =＝0.00057．解 x 1，2＝24561122-±＝56783±21,2105.0)x (-⨯=E 2105.0)783(-⨯=E98.27783≈x 1，2＝83.98 或 28.02 8．略。
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e( A1 ) 10 −2 =1 er ( A1 ) = ≤ 0.01 A1
不能肯定所得结果具有一位有效数字。
2 ) A* = 0.01 ( 2.01 + 2.00 ) ，
A2 = 0.01 (1.42 + 1.41) = 0.01 2.83 = 0.00353356 Λ
e( A2 ) = e(0.01
e( x1 + x2 ) ≈ e( x1 ) + e( x2 ) ≤ e( x1 ) + e( x2 ) ≤ =0.00055
* * ∈ [1.0532 − 0.00055 ，1.0532+0.00055]=[1.05265，1.05375] x1 + x2
(2) x1 =23.46， x2 = − 12.753 e( x1 ) ≤
er ( S ) ≈ er ( R ) ≤
答 计算体积的相对误差限为 0.005，计算侧面积的相对误差限为 0.0025
1 er ( R) ≤ × 10 − 2 3
7.有一圆柱，高为 25.00 cm，半径为 20.00 ± 0.05 cm。试求按所给数据计
算这个圆柱的体积和圆柱的侧面积所产生的相对误差限。 解：1) V ( R ) = πR 2 h
er (V ) ≈ V ′( R ) ⋅ R R er ( R ) = 2πhR ⋅ 2 er ( R ) = 2er ( R ) V πR h
*
x3 = 23.4604
1 2
* x3 − x3 = 23.4213 − 23.4604 = 23.4604 − 23.4213 = 0.0391 ≤ × 10 −1
x3 具有 3 位有效数字， x3 → 23.4 (不能写为 23.5)
(4) x4 =
*
1 ， x4 = 0.3333 3
* x4 − x4 = 0.000033Λ < × 10 − 4 , x4 具有 4 位有效数字，x4 = 0.3333
得 A 的近似值的绝对误差限和相对误差限，问两种结果各至少具有几位 有效数字？
* * 解：1) 记 x1 = 2.00 ， x2 = 1.41 = 2.01 ， x1 = 1.42 ， x2
则 e( x1 ) ≤
1 1 × 10 − 2 ， e( x2 ) ≤ × 10 − 2 2 2
A* = 2.01 − 2.00 ≈ 1.42 − 1.41 = 0.01
( x1 + x2 ) 1
) = −0.01 ×
1 ( x1 + x2 ) 2
e( x1 + x2 )
e( A2 ) ≤ 0.01 ×
1 1 −2 × ( × 10 + × 10 − 2 ) 2 2 2 (1.42 + 1.41)
1 = 0.12486Λ × 10 − 4 < × 10 − 4 2
∴ 具有 2 位有效数字。
1 1 1 1 1 ⋅ e( x1 ) ≤ × × × 10 − 3 2 1 − x1 2 1 − 0.937 2
er ( f ( x1 )) ≈
= 0.00397 = 3.97 × 10 −3 5. 取
2.01 ≈ 1.42 ，
2.00 ≈ 1.41 试 按 A = 2.01 − 2.00 和
A = 0.01 ( 2.01 + 2.00 ) 两种算法求 A 的值，并分别求出两种算法所
e( A2 ) 0.12486 × 10 −4 = 0.3533547 × 10 − 2 er ( A2 ) = ≤ 0.00353356 A2
3) A* − A1 = A2 − A1 + A* − A2 A* − A1 ≥ A2 − A1 − A* − A2
1 1 = 0.00353356 − 0.01 − × 10 − 4 = 0.006Λ > × 10 − 2 2 2
解： x 2 − 40 x + 1 = 0
x 2 − 40 x + 400 = 399
* x1 = 20 + 399 , * x2 = 20 − 399 =
1 20 + 399
记 x * = 399 , x = 19.975
e( x ) ≤
1 × 10 − 3 2 1 × 10 − 3 2
x1 = 20 + x =20+19.975=39.975
* x1 * x2
∈ [23.015625 − 0.187622 , 23.015625+0.187622]
=[22.828003 , 23.203247] 3.对一元 2 次方程 x 2 − 40 x + 1 = 0 ，如果 399 ≈ 19.975 具有 5 位有效数字，
求其具有 5 位有效数字的根。
(3) x1 = 2.747 e( x1 ) ≤
x2 = 6.83
x1 x2 = 18.76201,
1 1 × 10 − 3 , e( x2 ) ≤ × 10 − 2 2 2
e( x1 x2 ) ≈ x2 e( x1 ) + x1e( x2 ) ≤ x2 e( x1 ) + x1 e( x2 )
1 1 1 ≤ 6.83 × × 10 − 3 + 2.747 × × 10 − 2 = × 10 − 2 × (0.683+2.747)=0.01715 2 2 2
x1 − x2 = 10.707
1 1 × 10 − 2 ， e( x2 ) ≤ × 10 − 3 2 2
e( x1 − x2 ) ≈ e( x1 ) − e( x 2 ) ≤ e( x1 ) + e( x2 )
1 1 ≤ × 10 − 2 + × 10 − 3 =0.0055 2 2
* * x1 − x2 ∈ [10.707 − 0 . 0055 , 10.707+0.0055]=[10.7015,10.7125]
f ( x) = 1 − x ，求 f ( x1 ) 的绝对误差限和相对误差限。
解： x1 = 0.937
e( x1 ) ≤
1 × 10 − 3 2
1 × 10 − 3 e( x1 ) 2 = 0.534 × 10 − 3 er ( x1 ) = ≤ 0.937 x1
f ( x ) = 1 − x , f ′( x) = e( f ) ≈ f ′( x )e( x ) = −
*
* * * * *
* *
x1 ＝451.01； x 2 ＝－0.045 18；
x3 ＝23.460 4；
*
1 3
x 4 ＝0.333 3；
x5 ＝23.494； x6 ＝96.1×105 ； x7 ＝0.96×10 −3 ； x8 ＝－8 700.3。
x1 = 451.01
1 * x1 − x1 = 0.013 ≤ × 10 −1 ， x1 具有 4 位有效数字。 x1 → 451.0 2
−1 2 1− x
1 1 e( x ) , ⋅ 2 1− x
e( f ( x1 )) ≈
1 1 1 1 1 ⋅ e( x1 ) ≤ × × × 10 − 3 = 0.996 × 10 − 3 2 2 1 − x1 1 − 0.937 2
er ( f ) =
e( f ) 1 1 ≈− ⋅ e( x ) ， 2 1− x f
(2) x2 = − 0.045 113
*
x2 = − 0.045 18
1 1 * × 10 − 4 < x2 − x2 = 0.045 18 − 0.045113 =0.000 067 < × 10 − 3 2 2
x2 具有 2 位有效数字， x2 → −0.045
(3) x3 = 23.4213
x7 = 0.96 × 10 −3
= −8700.3 x8 具有 4 位有效数字， x8 = −8700 精确
1 * x8 − x8 = 0.3 ≤ × 100 2
2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747 × 6.83;
习题 1
1． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
（1） x1 ＝451.023， （2） x 2 ＝－0.045 113， （3） x3 ＝23.421 3， （4） x 4 ＝ ， （5） x5 ＝23.496， （6） x6 ＝96×10 5 ， （7） x7 ＝0.000 96， （8） x8 ＝－8 700， 解：(1) x1 = 451.023
er (V ) ≈ 2 er ( R) ≤ 2 × 2) S ( R) = 2π Rh er ( S ) ≈ S ′( R) ⋅
0.05 1 = = 0.005 20 200
R R er ( R ) = e r ( R ) er ( R ) = 2πh ⋅ 2πRh S 0.05 = 0.0025 20
e( x1 ) = e( x2 ) ≤
∴
x1 具有 5 位有效数字。 x2 =
1 1 1 = = = 0.0250156347Λ 20 + x 20 + 19.975 39.975
e( x )
(20 + x) 2
e( x 2 ) ≈ −
，
1 × 10 − 3 e( x ) 1 = 0.313 × 10 − 6 < × 10 − 6 e( x 2 ) ≈ ≤2 2 2 2 39.975 (20 + x)
A1 = 1.42 − 1.41 = 0.01 e( A1 ) = e( x1 − x2 ) ≈ e( x1 ) − e( x2 )
1 1 e( A1 ) ≈ e( x1 ) − e( x2 ) ≤ e( x1 ) + e( x2 ) = × 10 − 2 + × 10 − 2 = 10 − 2 2 2