鲁教版-数学-初一上-《展开与折叠》例题讲解与变式

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(整理)数学七年级上册第一章第二节《展开与折叠》教案

七年级第一章第二节展开与折叠（1）课型：新授课教学目标：1.进一步认识立体图形和平面图形的相互关系.2.掌握正方体的展开图，能根据展开图判断立体模型.（重点）3.经历展开与折叠的教学活动,发展空间观念, 培养学生的动手能力和语言表达能力.（难点）4.在数学学习过程中,建立自信心,体验成功的乐趣,养成独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯,形成严谨求实的学习态度.教法及学法指导：本节应用“启迪诱导-自主探究”教学模式,引导学生对设计的问题进行仔细观察、主动思考、小组讨论、主动探究,最后自己得出结论,学会解决问题的方法.让学生在实践中思考，在思考中实践，帮助学生突破重难点。

“正方体的展开”是本节课的重点知识,因此处理采取动手操作的方式,激活学生思维去主动分析、讨论得到的平面图形分类规律的问题.这既体现了主动进行知识建构的过程,同时培养了学生合作探究、分析问题及解决问题的能力.课前准备：制作课件,学生课前进行相关调查及预习工作.教学过程：一．创设情境，导入新课师：同学们好!请同学们互相观察一下你们制作的正方体,然后告诉大家正方体与其他棱柱有什么不同的特征?生:学生独立思考并尝试回答教师的问题.师:谁能简单说说你的正方体是怎么制作的呢?生:回答.师:如何制作一个包装盒,让我们通过一段录像了解一下.(教师出示录像)生:观看录像.师:通过录像同学们认为制作一个立方图形需要了解什么?(给学生时间思考,可以交流) 生:了解制作立体图形的那个平面图形的性质和大小.师:我们这节课就先来了解正方体展开后的平面图形.(教师板书课题)二．新知探究(一)探究1:你能得到哪些形状的平面图形?师:请同学们将一个正方体的表面沿某些棱剪开,展开一个平面图形,它的展开图是什么样呢?让我们试着做一做好吗?师生：学生以小组为单位开展活动,教师关注学生的参与情况及动手操作情况并适时给予指导.师:看一看你们得到多少种正方体的平面展开图?生:把得到的展开图贴在黑板上,小组之间不断地加以补充.（二）探究2:你能得到指定的平面图形吗?师:(多媒体出示问题)把一个正方体的表面沿某些棱剪开,展成一个平面图形,你能得到下面的平面图形吗?同学们先想一想,再动手操作,若是剪错了可以粘上,再试着重做.生：先独立思考，然后小组内成员交流自己的看法.生:剪法正确的小组派成员介绍自己的剪法.师:(多媒体出示问题)判断下面平面图形能否围成一个正方形? (请学生独立思考,并留给学生充足的时间进行尝试)生:根据观察、思考和动手验证等数学活动获取结论,在班级内进行汇报总结.师:能否将正方体的平面图形分类?你是按什么规律来分类的?生:学生讨论得出11种展开图分为4类:第一类,中间四个正方形相连,上下两侧各一个,共6种.第二类,中间三个正方形相连,上下两侧各有一、二个,共3种.第三类,中间二个正方形相连,上下两侧各有两个,有1种.第四类,两排各三个正方形相连,有1种.师:把能折叠成正方体的平面图形的各面做上标记,请说明哪两个面能成为折叠后正方体的一组对面.师:对于不能折叠成正方形的平面图形,请同学们说明如何变化正方形的位置,使得移动后的平面图形是正方形的展开图,有多少种做法?生:独立思考后表达自己的见解.师:(多媒体出示问题)下图可以折成一个正方体的盒子,折好后,与1相邻的数是几?相对的数是几?先想一想,再具体折一折,看看你的想法是否正确?三．知识的应用(一)学以致用师:多媒体出示“问题解决”1 2 345 61.在图中增加1个小正方形使所得图形经过折叠能围成一个正方体.先想一想,再试一试.2.下列哪些是正方体的展开图?生1:回答四种做法.生2:回答最后一个可以.(二)例题精讲师生:总结规律:正方体的表面展开图用“口诀”：一线不过四，田凹应弃之;相间、“Z ”端是对面，间二、拐角邻面知。

七年级数学展开与折叠

机械制造
在机械制造中，经常需要将零件展开成平面图形进行加工和制造。这样可以提高加工精度和效率，也可以减少材料浪费和降低成本。同时，在机械装配过程中，也需要将零件按照一定规律进行折叠和组装。
02
平面图形展开与折叠
正方形和长方形展开
正方形展开
正方形可以沿着对角线或者中垂线展开成一个直线段或者两个相等的直角三角形。
物理理论的数学化
许多物理理论最终需要转化为数学模型以便进行更深入的分析和研究，如量子力学和广义相对论等。
数学在化学中的应用
化学计量学
数学在化学计量学中有着广泛应用，如化学方程式的配平、摩尔
质量的计算等。
化学反应动力学
数学方法可以帮助研究化学反应的速率和机理，如反应速率常数
的确定、反应机理的推导等。
圆形和扇形展开后，其各边长度和角度关系可能会发生变化。同时，圆形和扇形的面积和周长也会发生变化。
扇形展开
扇形是圆的一部分，可以沿着半径或者圆弧展开，得到一个平面图形。根据展开方式的不同，可以得到不同的形状，如三角形、梯形等。
03
立体图形展开与折叠
正方体和长方体展开
正方体展开
正方体有6个面，12条棱，8个顶点，可以展开成6个相连的正方形。展开后，相对的面不相邻。
实现变废为宝
利用废旧纸张、布料等材料进行展开与折叠的手工制作，可以实现资源的再利用，具有环保意义。
05
拓展内容：数学在其他领域的应用
数学在物理中的应用
描述物理现象
数学语言可以精确描述物理现象，例如牛顿第二定律 F=ma 就用数学表达式阐明了力和加速度之间
的关系。
解决物理问题
数学方法如微积分、常微分方程等被广泛应用于解决物理问题，如求解运动方程、分析电磁场等。

鲁教版-数学-七年级上册-1.2 展开与折叠(2)课件

关系？ 6条侧棱
相等
2.小组讨论小结棱柱的特征
1.棱柱有上下两个底面，它们的形状大小相同，有5边. 2.侧面的形状都是长方形. 3.侧面的个数和底面图形的边数相等. 4. 所有侧棱长都相等.
D1 A1
D A
当堂检测
1.如图：
C1 B1
C
⑴ 长方体有___8___个顶点，______条棱1，2_______个面，这6 些面的形状是_________。长方形
2）这六棱柱一共有多少条棱？它们的总长度是多少厘米？
18条棱
总长度是84厘米
作业
⒈ 习题知识技能2、3
第一章丰富的图形世界
B
D1 A1
D A
当堂检测 1.如图：
C1 ⑵ 哪些面的形状与大小一定完全相同？
B1
面AA1B1B=面DD1C1C
C
面A1B1C1D1=面ABCD
B
面AA1D1D=面BB1C1 哪些棱的长度一定相等？
B1
AA1=BB1=CC1=DD1
AB=A1B1=CD=C1D1
C
AD=A1D1=BC=B1C1
B
2.如图所示六棱柱，底面边长都是5厘米，侧棱长4厘米。观察并回答问题：
1）这六棱柱共多少个面？它们分别是什么形状？哪些面的形状和面积完全相同？
8个面六边形、长方形
6个侧面的面积相等；
上下两个面的面积相等
2.如图所示六棱柱，底面边长都是5厘米，侧棱长4厘米。观察并回答问题：
n棱柱：底面图形的形状为n边形的棱柱
叫做n棱柱。
做一做：如图
（1）这个棱柱的上下底面一样吗？它们各有几条边？一样 6条边
（2）这个棱柱有几个侧面？侧面的形状是什么图形？

初中数学_1.2展开与折叠(1)教学设计学情分析教材分析课后反思

§1.2 展开与折叠（1）【教学目标：】1、通过动手操作展开与折叠，了解正方体展开图2、通过观察操作活动，积累处理图形的经验，发展空间观念【教学重点：】动手操作展开与折叠过程，并将展开图进行分类【教学难点：】寻找平面展开图的对立面【教学过程：】在学习本章之前，学生已经在小学阶段以及第一课《生活中的立体图形》接触学习过许多图形的性质，积累了一定的空间与图形的学习经验。

六年级上册第一章《丰富的图形世界》这部分内容，学生掌握的难度不是很大，好多问题均可以通过动手实践得到解决。

初一的学生在数学活动中，还不能够进行抽象的归纳、猜想和验证，只能在教学过程中设计教学活动，培养学生的动手操作能力，并注重由感性认知上升到理性认知，提高学生的数学归纳能力。

情境导入环节，本环节以数学来源于生活为契机，采用问题驱动式教学法，将三个问题抛给学生，引出本课内容。

学生反应很好，尤其是最后一个问题：“同学们感兴趣吗”，调动了学生学习的积极性和热情。

探究新知环节，本环节先以两个简单问题出发，肯定鼓舞学生的回答，导出新知部分第一个活动：“赛一赛”，让学生动手展开正方体磁力片，并让部分学生代表将自己的成果进行展示，后学生进行分组讨论，如何将得到11种展开图进行分类。

该活动的设计，主动体现了学生的主体地位，学生课堂参与度高，通过小组协作，保证每个学生都能找全并会分类，达标度也高。

跟踪练习的设计，是为了提高学生的数学严谨精神，很多同学题目的完成，只是依靠归纳的特点，并没有依靠磁力片学具进行验证，引导学生进行验证，并强调质疑精神，学生的接受度高。

巩固提升环节，让学生通过动手操作找出对立面，积累感性经验，后引导启发学生归纳出向对面的特点，再引导学生采用其他类型进行验证。

符合学生的认知发展规律，学生的参与度高，课堂达标度也高。

达标检测环节，本节课设计了两道2016年的中考题，以举手的方式测试了达标度，95%的学生在规定时间做完并做对。

七年级数学上册《正方形的展开与折叠》教案、教学设计

-通过具体案例，引导学生将正方形的周长和面积计算应用于实际问题的解决，培养学以致用的能力。
2.针对教学难点，我计划采取以下策略：
-对于折叠技巧的掌握，设计小组合作活动，让学生在互相交流、讨论中共同解决问题，提高折叠的准确性和速度。
-对于计算应用的难点，设计多样化的练习题，包括直接计算和实际问题应用，帮助学生巩固计算方法，并能在复杂情境中灵活运用。
3.课后作业：布置与本节课相关的课后作业，让学生在课后进一步巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，培养学生的独立思考和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.基础作业：
-完成课本第56页的练习题1、2、3，要求学生在练习中熟练掌握正方形的周长和面积计算方法。
-利用一张正方形纸片，尝试至少三种不同的折叠方法，并将折叠后的图形画在作业本上，注明每种折叠方法的名称。
2.提高作业：
-在课后自主探索正方形折叠成不同立体图形的方法，选择一种最感兴趣的立体图形，并详细记录折叠步骤。
-尝试解决以下实际问题：如果要用正方形纸片制作一个无盖纸盒，如何剪裁和折叠才能使纸盒的容积最大？请将解题过程和最终答案写在作业本上。
3.创新作业：
-设计一个以正方形为基础的创意图案，要求运用至少两种不同的折叠方法，并说明创作灵感。
3.反馈与评价：学生在练习后相互评价，教师给予总结性评价，鼓励学生优点，指出不足之处。
（五）总结归纳
1.学生总结：请学生谈谈对本节课正方形展开与折叠的认识，以及他们在小组讨论和课堂练习中的收获。
2.教师归纳：针对学生的总结，教师进行补充和归纳，强调本节课的重点，梳理知识结构，为学生后续学习打下基础。
-正方形的周长和面积计算在哪些实际问题中有应用？

鲁教版-数学-初一上册-《展开与折叠》习题1

《展开与折叠》习题
1、如果有一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的( ).
2、如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图有( )种.
3、如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小的是( ).
A.4
B.6
C.7
D.8
4、如图是一个正方体纸盒的展开图，请在图中的6个正方形中分别填入1、2、3、-1、-2、-3时，展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两个数互为相反数.
1
4
2
5
3
6
5、如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的平面展开图，在此正方体上与“水”字相对的面上的汉字是( ).
A．“秀”B．“丽”C．“江”D．“城”
第5题图。

鲁教版(五四制)初中数学六年级上册_《展开与折叠》学习指导

《展开与折叠》学习指导学习目标1、经历图形的展开与折叠的活动，发展空间观念，积累数学活动经验。

2、在操作活动中，进一步丰富对棱柱、圆柱、圆锥的认识。

3、了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图；能根据展开图判断和制作简单的立体模型。

学习重点理解正方体、棱柱、圆柱、圆锥与其展开图之间的相互转化。

学习难点能根据展开图判断和制作简单的立体模型。

学习指导知识点1：正方体的展开与折叠正方体的平面展开的11种情况：“一四一”型“二三一”型：“三三”型：“二二二”型：①数：小正方形的个数（6个）②看：小正方形的排列方式（一四一式二三一式三三式二二二式） ③想一想：在心里折一折，发展学生的空间观念。

1、把一个正方体沿某些棱剪开，展成一个平面图形。

你能得到哪些形状的平面图形？并把它们画出来。

2、想一想：下面图形经过折叠能否围成一个正方体？3、议一议：下图可以折成一个正方形的盒子，折好后，与1 相邻的数是什么？相对的数是什么？先想一想，再折一折，看看怎么样。

知识点2：一般棱柱、圆柱、圆锥的展开与折叠展开有些立体图形平面图形折叠有些平面图形立体图形圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形。

1、将下图中的棱柱沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，你能得到哪些形状的平面图形？2、想一想下图中，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？先想一想，再折一折。

3、如图，把圆柱、圆锥的侧面展开，会得到什么图形？先想一想，再试一试。

4、如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是。

七年级上册展开和折叠

七年级上册展开和折叠 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第五课时一、课题§展开和折叠二、教学目标1、体会从古至今数学始终伴随着人类的进步与发展，增进学习数学的兴趣。

2、通过具体实例体会数学的存在及数学的美，发展应用意识。

三、教学重点和难点四、教学手段现代课堂教学手段教学准备教师准备录音机、投影仪、剪刀、长方形纸片。

学生准备预习、剪刀、长方形纸片五、教学方法启发式教学六、教学过程设计一、导入二、导学1．自然界中的数学——数学的存在2．人们身边的数学——数学的应用3．群芳斗妍曲径幽——数学的美（本节属增加内容，可根据时间自行调节）课堂基础练习1、计算：1–2+3–4+5–6+…–100+101= .答案：–502、计算：1+2+3+…+2003+2004+2003+…+3+2+1= ．答案：40160163、如图1-1-7：这块拼花由哪些图组成答案：正三角形、正方形、正六边形课后延伸练习1、今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案．（只需画简图）① ②答案：2、下面有一张某地区的公路分布图，请你找出从A 至D 的一条最短路线（图中所标最短路线为里程）答案：A →B 1→C 2→D能力提高训练1．已知等式（1）a ＋a ＋b=23，（2）b ＋a ＋b=25。

如果a 和b 分别代表一个数，那么a ＋b 是（）（A ）2 （B ）16 （C ）18 （D ）142、用如图所示，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形请你画出拼成的图形．答案：如图：A B 1 B 2 B 3 3 10 10 12 2 D3 C 2 C 3 6 8 1145 7 9 C 1 3 1九、教学后记。

七年级数学上册54图形的展开与折叠教案(1).docx

5・3展开与折叠（1）背景：这是七年级数学上学期第五章《走进图形世界》中的第三节内容，第一节内容中我们已经对周I 韦I的几何体进行了初步的认识，木节课针对生活屮常见的几种几何体给予解剖，要求学生不仅要知其然，而且要知其所以然，以便于将來更好的为社会现代化建设服务。

《展开为折叠》这一节内容很能体现平面图形和立体图形Z间的互化，这节课的教学过程屮，学生需要自己动手操作、动脑思考，然后集体得出结论，这样既培养了他们自主探究问题的精神、合作精神，乂培养了空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，极人的促进了学牛思维的发展。

教学理念：教学准备：学牛•准备:正方形纸盒、长方形纸盒、圆柱形纸盒、棱柱形包装盒；圆锥、棱锥等形状的物体各i个，剪刀- •把。

教师准备：居室家具摆设、大城市建筑物、北京天坛、金字塔等含有儿何体图形的图片。

教学过程：一、通过投影事先准备的图片，创设问题情景。

教师投影一些事先准备的图片，让学生指出口己所熟悉的几何形状的物体。

（通过让学生观看图片，激发他们热爱社会、热爱自然、热爱生活的情趣，以激起他们的探究兴趣。

）W：在实际住活中，常常需要了解立体图形的展开形状，例如，水桶匠用铁皮做水桶吋就必须了解它的展开图，否则就无法完成制作。

问题：如何用一张硬纸板的做出一个漂亮的粉笔盒？引入课题：展开与折叠二、学生现观察事先准备好的几何体，感知每个几何体平面展开图的形状，然后通过下面自己的操作，进一步加深对图形的认识和感受。

1、做一做：把实现准备好的止方形纸盒用剪刀沿着棱展开成平面图形。

教师提问：大家剪开所形成的平面图形形状是否完全相同？这一提问引起了学生极人的关注。

他们左顾右盼，希望得到确切的答案，当有同学提出不一定相同时，教师趁着此时学生正怀着强烈的探究欲望，教师可要求学生总结展开图可能出现的形状。

（个人的智慧和集体的力虽柔和在一起，培养学生独立探讨，合作交流的学习精神, 让学生感受到集体的力最是无穷的。

七年级数学上册专题第1讲图形的展开与折叠重点、考点知识总结及练习

第1讲图形的展开与折叠⎧⎪⎨⎪⎩几何体的展开图展开与折叠展开图折叠成几何体相对的面知识点1：几何体的展开图常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。

特殊：球没有展开图圆柱的表面展开图是两个圆（作底面）和一个长方形（作侧面）。

圆锥的表面展开图是一个圆（作底面）和一个扇形（作侧面）棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（作底面）和几个长方形（作侧面）正方体的表面展开图一共有11种可能。

【典例】1.如图所示的正方体的展开图是（）A. B. C. D.【方法总结】1.判断特定正方体的展开图首先判断是否是正确的展开图模型，其次通过相邻面的位置、方向来确定正确的展开图．2.解决几何体的展开图的相关问题只需要记清楚不同立体图形的展开图的模型。

【随堂练习】1．（2018•武汉模拟）如图所示的正方体的展开图是（）A． B． C． D．2．（2018•平谷区二模）如图所示是一个三棱柱纸盒．在下面四个图中，只有一个展开图是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（）A．B．C．D．3．（2017秋•诸城市期末）如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，想一想，这个平面图形是（）A．B．C．D．4．（2017秋•阜宁县期末）如果有一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（）A． B． C．D．知识点2 展开图折叠成几何体【典例】1.将下面的纸片沿虚线折叠，不能折成长方体盒子的是（）A. B. C. D.【方法总结】展开图折叠成几何体是将几何体展开的对应的操作，解决这类型题首先能够找到正确的几何体展开图，其次找出相邻、相对的面。

【随堂练习】1．（2018•河北二模）如图1，观察一个正方体骰子，其中点数1与6相对，点数2与5相对，点数3与4相对，现在图2中①、②、③、④中的某一处画○，然后去掉其余3处后，能围成正方体骰子的是（）A．①B．②C．③D．④2．（2017秋•西城区期末）某礼品包装商店提供了多种款式的包装纸片，将它们沿实线折叠（图案在包装纸片的外部，内部无图案），再用透明胶条粘合，就折成了正方体包装盒，小明用购买的纸片制作的包装盒如右图所示，在下列四种款式的纸片中，小明所选的款式的是（）A．B．C．D．3．（2017秋•彭泽县期中）将如图所示的平面图形折成立方体后可能是（）A．B．C．D．知识点3：正方体的相对两个面正方体展开图找相对面的方法：（1）中间隔“一”是对面：中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面；（2）“Z”字两端是对面：呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面；（3）间二、拐角邻面知：中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面，呈拐角形状的三个小正方形，只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。

七年级上册-第二课(展开与折叠)

第二讲展开与折叠一、正方体的展开与折叠下面图形中，都能围成一个正方体？a b c有些立体图形————→平面图形有些平面图形————→立体图形1.展开是将某些立体图形展成一个平面图形，同时这个平面图形可以折叠成相应的立体图形．展开和折叠是过程．2.正方体是一个特殊的四棱柱，它的所有棱长都相等，所有面都是正方形且大小相等，将正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，其展开图共有11种形式．一四一型二三一型二二二型三三型要点精析：(1)图形的展开与折叠是立体图形与平面图形之间的转化过程；(2)判断一个平面图形能否折叠成立体图形的方法：一看面数够不够；二看各面的位置是否合适，尤其是底面的位置；三看对边的长度是否相等．(3)为了更好地记忆展开图和展开图中相对的面，请同学们熟记口诀“一线不过四，凹、田应弃之，相间、‘Z’的两端是对面”．例1图中能折叠成正方体的是()练1.将一个无底无盖的正方体沿一条棱剪开得到的平面图形为()A．长方形B．正方形C．三角形D．五边形练2.如图，将4×3的网格图剪去5个小正方形后，图中还剩下7个小正方形，为了使余下的部分(小正方形之间至少要有一个边相连)恰好能折成一个正方体，需要再剪去1个小正方形，则应剪去的小正方形的编号是()A．7 B．6 C．5 D．4练 3.如图，它需再添一个小正方形，折叠后才能围成一个正方体，图中的灰色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是( )二、正方体与其表面展开图间的对应关系图中的图形可以折成一个正方体形的盒子.折好以后，与1相邻的数是什么？相对的数是什么？先想一想，再具体折一折，看看你的想法是否正确.例2把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形(如图(1))，请根据各面上的图案判断这个正方体是图(2)中的()图1图2例3如图，一个立体图形的展开图中，用每个面内的大写字母表示该面，用小正方形边上所标注的小写字母表示该边．(1)说出这个立体图形的名称；(2)写出所有相对的面；练1.如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是()练2.明明用纸(如图)折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其他空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中()练3.图①是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上一面的字是()A．梦B．水C．城D．美三、柱体的展开与折叠想一想(1)如图,哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？先想一想，再折一折.(2)将图中不能围成棱柱的图形作适当修改使所得图形能围成一个棱柱.1. 棱柱的表面展开图是由两个相同的和一些组成的．2. 棱柱的表面展开图不止一种，沿其不同的棱剪开，可得到不同的表面展开图．3. 圆柱的表面展开图是由两个大小相同的和组成的，其中侧面展开图的一边长是圆柱的，另一边长是底面圆的．例4如图所示的平面图形经过折叠可以围成棱柱的有()A．(1)(2)(4)B．(1)(2)(4)(5)C．(4)(5)D．(2)(4)例5 如图，圆柱的表面展开后得到的平面图形是图中的()练1如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是( )四、锥体的展开与折叠圆锥的表面展开图是由一个和一个组成的，其中扇形的半径长是圆锥母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线)长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长．例3如图所示的平面图形不可能围成圆锥的是()练1将图①的正四棱锥ABCDE沿着其中的四个边剪开后，形成的展开图为图②，判断下列哪一个选项中的四个边可为此四个边?()A．AC，AD，BC，DE B．AB，BE，DE，CDC．AC，BC，AE，DE D．AC，AD，AE，BC小结：正方体、棱锥、棱柱展开图的基本条件：一般地，如果某立体图形的表面展开图由6个正方形组合而成，那么立体图形是正方体；如果是由3个及3个以上的三角形与1个多边形组成的,那么立体图形为棱锥；如果是由3个及3个以上的长方形与两个形状、大小都相同的多边形组合而成的，那么立体图形为棱柱．五、当堂检测1．下列图形中，可以是正方体表面展开图的是()2．将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是()3．如图，可以折叠成一个无盖正方体盒子的是()A．①B．①②C．②③D．①③4．图(1)和图(2)中所有的正方形大小都一样，将图(1)的正方形放在图(2)中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是()A．①B．②C．③ D．④5．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是() A．中B．考C．顺D．利6。

立体几何中的折叠与展开问题

立体几何中的折叠与展开问题知识点梳理：1.解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用．解决此类问题的步骤：考向导航2.展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，是将空间问题转化为平面问题来处理．一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试．目录类型一折叠问题 (1)类型二展开问题 (3)类型一折叠问题【例1】如图甲，在四边形ABCD中，23AD=2∆是边长为4的正三角形，CD=，ABC把ABC∆的位置，使得平面PAC⊥平面ACD；如图乙所示，点O、M、∆沿AC折起到PACN分别为棱AC、PA、AD的中点．（1）求证：平面PAD⊥平面PON；（2）求三棱锥M ANO-的体积．【例2】如图，在平面图形PABCD 中，ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，2PA PD ==，M 为CD 的中点，将PAD ∆沿直线AD 向上折起，使BD PM ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若直线PM 与平面ABCD 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．【变式1-1】如图甲的平面五边形PABCD 中，PD PA =，5AC CD BD ===，1AB =，2AD =，PD PA ⊥，现将图甲中的三角形PAD 沿AD 边折起，使平面PAD ⊥平面ABCD 得图乙的四棱锥P ABCD -．在图乙中（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PB C --的大小；（3）在棱PA 上是否存在点M 使得BM 与平面PCB 所成的角的正弦值为13？并说明理由．类型二展开问题【例1】如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2cm ，高为5cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为()A ．5cm B ．12cm C ．13cm D ．25cm【例2】如图，正三棱锥S ABC -中，40BSC ∠=︒，2SB =，一质点自点B 出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B 的最短路线的长为()A ．2B ．3C ．3D ．33【变式2-1】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点．（1）求此直三棱柱111ABC A B C -的表面积；（2）当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积．巩固训练1．把如图的平面图形分别沿AB 、BC 、AC 翻折，已知1D 、2D 、3D 三点始终可以重合于点D 得到三棱锥D ABC -，那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为．2、如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==，（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若2BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．3．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①()0BA PA PD ⋅+= ；②7PC =；③点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上．如图，平面五边形PABCD 中，PAD ∆是边长为2的等边三角形，//AD BC ，22AB BC ==，AB BC ⊥，将PAD ∆沿AD 翻折成四棱锥P ABCD -，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且____．（1）求证：//FM 平面PAD ；（2）当EF 与平面PAD 所成角最大时，求平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值．4．如图，在矩形ABCD 中，2,23AB AD ==，ABPCDFEE ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把CDF ∆折起，点C 到达点P 的位置，使1PE =．（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求二面角P DF E --的正弦值．参考答案类型一折叠问题【例1】【分析】（1）证明PO ⊥平面ACD 可得PO AD ⊥，根据中位线定理和勾股定理可证AD ON ⊥，故而AD ⊥平面PON ，于是平面PAD ⊥平面PON ；（2）分别计算AON ∆的面积和M 到平面ACD 的距离，代入体积公式计算．【解答】（1）证明：PA PC = ，O 是AC 的中点，PO AC ∴⊥，又平面PAC ⊥平面ACD ，平面PAC ⋂平面ACD AC =，PO ∴⊥平面ACD ，又AD ⊂平面ACD ，PO AD ∴⊥，23AD = ，2CD =，4AC =，222AD CD AC ∴+=，AD CD ∴⊥，ON 是ACD ∆的中位线，//ON CD ∴，AD ON ∴⊥，又ON PO O = ，AD ∴⊥平面PON ，又AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PON ．（2）PAC ∆ 是边长为4的等边三角形，3PO ∴=M ∴到平面ACD 的距离132d PO ==，ON 是ACD ∆的中位线，1113324422AON ACD S S ∆∆∴==⨯=，11131332322M ANO AON V S PO -∆∴==⨯⨯ ．【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．【例2】【分析】（1）取AD 中点E ，连接PE ，EM ，AC ，可得PE AD ⊥，然后证明BD PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ，进一步得到平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知，PE ⊥平面ABCD ，连接EM ，可得30PME ∠=︒，求解三角形可得1PE =，再求出四边形ABCD 的面积，代入棱锥体积公式求解．【解答】（1）证明：取AD 中点E ，连接PE ，EM ，AC ，PA PD = ，得PE AD ⊥，由底面ABCD 为菱形，得BD AC ⊥，E ，M 分别为AD ，CD 的中点，//EM AC ∴，则BD EM ⊥，又BD PM ⊥，BD ∴⊥平面PEM ，则BD PE ⊥，PE ∴⊥平面ABCD ，而PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）解：由（1）知，PE ⊥平面ABCD ，连接EM ，可得30PME ∠=︒，设AB a =，则224a PE =-，322AC EM ==，故tan tan 30PE PME EM ∠=︒=，即2234332a a -=，解得2a =．故1PE =，3ABCD S =四边形．故23133P ABCD ABCD V S PE -=⋅⋅=四边形．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．【变式1-1】【分析】（1）推导出AB AD ⊥，AB ⊥平面PAD ，AB PD ⊥，PD PA ⊥，由此能证明PD ⊥平面PAB ．（2）取AD 的中点O ，连结OP ，OC ，由AC CD =知OC OA ⊥，以O 为坐标原点，OC 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A PB C --的大小．（3）假设点M 存在，其坐标为(x ，y ，)z ，BM 与平面PBC 所成的角为α，则存在(0,1)λ∈，有AM AP λ= ，利用向量法能求出在棱PA 上满足题意的点M 存在．【解答】证明：（1）1AB = ，2AD =，5BD =222AB AD BD ∴+=，AB AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，AB ∴⊥平面PAD ，又PD ⊂ 平面PAD ，AB PD ∴⊥，又PD PA ⊥ ，PA AB A= PD ∴⊥平面PAB ．解：（2）取AD 的中点O ，连结OP ，OC ，由平面PAD ⊥平面ABCD 知PO ⊥平面ABCD ，由AC CD =知OC OA ⊥，以O 为坐标原点，OC 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系如图示，则(2C ，0，0)，(0P ，0，1)，(0D ，1-，0)，(0A ，1，0)，(1B ，1，0)∴(1,1,1)PB =- ，(2,0,1)PC =- ，(0,1,1)PD =-- ，设平面PBC 的法向量为(,,)m a b c = ，由00m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得020a b c a c +-=⎧⎨-=⎩，令1a =得1b =，2c =，∴(1,1,2)m = ，PD ⊥ 平面PAB ，∴(0DP = ，1，1)是平面PAB 的法向量，设二面角A PB C --大小为θ，则123cos 2||||62m DP m DP θ⋅==⋅⋅ ，0θπ ，∴二面角A PB C --的大小6πθ=．（3）假设点M 存在，其坐标为(x ，y ，)z ，BM 与平面PBC 所成的角为α，则存在(0,1)λ∈，有AM AP λ= ，即(x ，1y -，)(0z λ=，1-，1)，(0M ，1λ-，)λ，则(1,,)BM λλ=-- ，从而211sin ||3||||612m BM m BM αλ⋅==⋅⋅+ ，[0λ∈ ，1]，103λ∴=-，∴在棱PA 上满足题意的点M 存在．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查满足线面角的正弦值点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．类型二展开问题【例1】【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6212⨯=，宽等于5，由勾股定理2212513d =+=．故选：C ．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题．【例2】【分析】画出解答几何体的部分侧面展开图，利用三角形的边的关系容易解得边长的值，从而得出其中的最小值．【解答】解：将三棱锥S ABC -沿侧棱SB 展开，其侧面展开图如图所示，由图中红色路线可得结论．根据余弦定理得，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B 的最短路线的长为：14422232++⨯⨯⨯=故选：C ．【点评】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，空间想象能力，几何体的展开与折叠，是基础题．【变式2-1】【分析】（1）直三棱柱111ABC A B C -的表面积：1111112ABC ABB A BCC B ACC A S S S S S ∆=+++矩形矩形矩形．（2）将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ，如图，连结1AC ，交1BB 于D ，此时1AD DC +最小，当1AD DC +最小时，1BD =，此时三棱锥1D ABC -的体积：11D ABC C ABD V V --=，由此能求出结果．【解答】解：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，∴此直三棱柱111ABC A B C -的表面积：1111112ABC ABB A BCC B ACC A S S S S S ∆=+++矩形矩形矩形121213231432=⨯⨯⨯+⨯+⨯++1135=+（2）将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ，如图，连结1AC ，交1BB 于D ，此时1AD DC +最小，1AB = ，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，∴当1AD DC +最小时，1BD =，此时三棱锥1D ABC -的体积：11D ABC C ABDV V --=1113ABD S B C ∆=⨯111132AB BD B C =⨯⨯⨯⨯1111232=⨯⨯⨯⨯13=．∴当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为13．【点评】本题考查几何体的表面积、体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．巩固练习1．【分析】在三棱锥D ABC -中，当且仅当DA ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积达到最大，然后根据三棱锥的性质求出外接球的半径，进而可以求解．【解答】解：在三棱锥D ABC -中，当且仅当DA ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积达到最大，此时，设外接球的半径为R ，球心为O ，球心O 到平面ABC 的投影点为F ，则有2222R OA OF AF ==+，又1522OF AD ==，1522AF AC ==，所以2225525()()222R =+=，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=，故答案为：50π．【点评】本题考查了三棱锥的外接球的表面积问题，考查了学生的空间想象能力以及运算能力，属于中档题．2、【分析】（Ⅰ）由题意可证AC DO ⊥，又PO AC ⊥，即可证明AC ⊥平面PDO ．（Ⅱ）当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大且最大值为1，又2AB =，即可求ABC ∆面积的最大值，又三棱锥P ABC -的高1PO =，即可求得三棱锥P ABC -体积的最大值．（Ⅲ）可求22112PB PC +==，即有PB PC BC ==，由OP OB =，C P C B '='，可证E 为PB 中点，从而可求2626OC OE EC +'=+'=，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）在AOC ∆中，因为OA OC =，D 为AC 的中点，所以AC DO ⊥，又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO AC ⊥，因为DO PO O = ，所以AC ⊥平面PDO ．（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1，又2AB =，所以ABC ∆面积的最大值为12112⨯⨯=，又因为三棱锥P ABC -的高1PO =，故三棱锥P ABC -体积的最大值为：111133⨯⨯=．（Ⅲ）在POB ∆中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以22112PB =+=同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值，又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而2626222OC OE EC '=+'=+=．亦即CE OE +的最小值为：262．【点评】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．3．【分析】（1）取CD 中点为G ，连接MG ，FG ，//GM PD ，//FG AD ，进而可证平面//MFG 平面PAD ，可证//FM 平面PAD ；（2）根据条件选择①：由已知可证BA ⊥平面PAD ，PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值．同理选择②，③可求平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取CD 中点为G ，连接MG ，FG ，则MG ，FG 分别为三角形CDE ，梯形ABCD 的中位线，//GM PD ∴，//FG AD ，MG FG G = ，∴平面//MFG 平面PAD ，FM ⊂ 平面MGF ，//FM ∴平面PAD ，（2）解：取AD 为O ，连接PO ，FG ，EG ．选择①：因为()0BA PA PD ⋅+= ，2PA PD PO += ，所以0BA PO ⋅= ，即BA PO ⊥．又BA AD ⊥，AD PO O = ，所以BA ⊥平面PAD ．连接AE ，EF ，所以AEF ∠即为EF 与平面PAD 所成的角．因为1tan AF AEF AE AE∠==，所以当AE 最小时，AEF ∠最大，所以当AE PD ⊥，即E 为PD 的中点，AE 最小．下面求二面角余弦值法一：BA ⊂ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，PO AD ⊥ ，PO ∴⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，1-，0)，1(0,2E ，(2C ，0，0)．所以3(0,2AE = ，(2,1,0)AC = ．设平面CAE 的法向量为111(,,)m x y z =，则111130,220y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1z =，得1(,2m =- ．由题意可知：平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ，所以cos ,||||17m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ，所以平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值为25117．法二：在平面PAD 内，作ER AD ⊥，垂足为R ，则ER ⊥平面ABCD ，过R 作RK AC ⊥，连接EK ，由三垂线定理及逆定理知EKR ∠为平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角，在EKR RT ∆中，易得2ER =，RK =，则EK =所以251cos 17RK EKR EK ∠==，所以平面ACE 与平面PAD．选择②：连接OC ，则2OC AB ==，OP =，因为PC =，222PC OP OC =+，所以BA PO ⊥．又BA AD ⊥，AD PO O = ，所以BA ⊥平面PAD ．连接AE ，EF ，所以AEF ∠即为EF 与平面PAD 所成的角．因为1tan AF AEF AE AE∠==，所以当AE 最小时，AEF ∠最大，所以当AE PD ⊥，即E 为PD 的中点，AE 最小．下面求二面角余弦值，法一：BA ⊂ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，PO AD ⊥ ，PO ∴⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是(0A ，1-，0)，1(0,2E ，(2C ，0，0)．所以3(0,2AE = ，(2,1,0)AC = ．设平面CAE 的法向量为111(,,)m x y z = ，则111130,220y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1z =，得1(,2m =- ．由题意可知：平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ，所以cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ，所以平面ACE 与平面PAD．法二：在平面PAD 内，作ER AD ⊥，垂足为R ，则ER ⊥平面ABCD ，过R 作RK AC ⊥，连接EK ，由三垂线定理及逆定理知EKR ∠为平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角，在EKR RT ∆中，易得ER =RK =，则EK =所以cos 17RK EKR EK ∠==，选择③：因为点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．因为平面PAD ⋂平面ABCD CD =，OP ⊂平面PAD ，AD PO ⊥，所以OP ⊥平面ABCD ，所以BA PO ⊥．又BA AD ⊥，AD PO O = ，所以BA ⊥平面PAD ．连接AE ，EF ，所以AEF ∠即为EF 与平面PAD 所成的角．因为1tan AF AEF AE AE∠==，所以当AE 最小时，AEF ∠最大，所以当AE PD ⊥，即E 为PD 中点，AE 最小．下面求二面角余弦值，法一：BA ⊂ 平面ABCD ⊥，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，PO AD ⊥ ，PO ∴⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是(0A ，1-，0)，1(0,2E ，(2C ，0，0)．所以3(0,2AE = ，(2,1,0)AC = ．设平面CAE 的法向量为111(,,)m x y z = ，则1111330,2220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1z =，得1(,2m =- ．由题意可知：平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ，所以cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ，所以平面ACE 与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为17．法二：在平面PAD 内，作ER AD ⊥，垂足为R ，则ER ⊥平面ABCD ，过R 作RK AC ⊥，连接EK ，由三垂线定理及逆定理知EKR ∠为平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角，在EKR RT ∆中，易得ER =RK =，则EK =所以cos 17RK EKR EK ∠==，【点评】本题考查线面平行的证明，以及面面角的求法，属中档题．4．【分析】（1）推导出//EF AB 且3DE =，AD EF ⊥，DE PE ⊥，AD PE ⊥，由此能证明AD ⊥平面PEF ，从而平面PEF ⊥平面ABFD ．（2）过点P 作PH EF ⊥交EF 于H ，由平面垂直性质定理得PH ⊥平面ABFD ，过点P 作PO DF ⊥交DF 于O ，连结OH ，则OH DF ⊥，从而POH ∠为二面角P DF E --的平面角，由此能求出二面角P DF E --的正弦值．【解答】证明：（1）E 、F 分别为AD ，BC 的中点，//EF AB ∴且3DE =，在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，AD EF ∴⊥，由翻折的不变性，2,3PD PF CF DE ===，7DF =又1PE =，有222PD PE DE =+，DE PE ∴⊥，即AD PE ⊥，又PE EF E = ，PE ，EF ⊂平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，AD ⊂ 平面ABFD ，∴平面PEF ⊥平面ABFD ．解：（2）过点P 作PH EF ⊥交EF 于H ，由平面垂直性质定理得PH ⊥平面ABFD ，过点P 作PO DF ⊥交DF 于O ，连结OH ，则OH DF ⊥，POH ∴∠为二面角P DF E --的平面角．222PE PF EF += ，90EPF ∴∠=︒，由等面积法求得322127PH PO ==．在直角POH ∆中，7sin 4PH POH PO ∠==，即二面角P DF E --的正弦值为74．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，是中档题．。

七年级数学上册教学课件《展开与折叠(第1课时)》

无盖
M
A.
M
M C.
M B. M
D.
4.“坚”在下，“就”在后，胜利在哪里？
1.2 展开与折叠
坚持就是
胜利
“胜”在上 “利”在前
课堂检测
能力提升题
1.2 展开与折叠
小名准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，你能在图中的拼接图形上再接一个正方形画出阴影，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子吗？请在下面的图①和图②中画出两种不同的补充方法．
-2 3 -4 1
3x-2=-4 x=-2/3
A 3x- 2
连接中考
1.2 展开与折叠
（2019·山西省中考真题）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮” 字所在面相对面上的汉字是（ D ）
A．青 B．春 C．梦 D．想
课堂检测
1.2 展开与折叠
基础巩固题
（1）、（2）可以围成一个正方体，（3）不能
想一想你有办法验证你的猜想吗？可以通过折叠来验证.
素养目标
1.2 展开与折叠
3.学会判断正方体表面展开图的相对面.
2.能掌握正方体展开图的常见形式和不会出现的形式.
1.能将正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，也能将平面图形折叠成正方体.
探究新知
4 5 1 23 6
与1相邻的数字是：2、4、5、6. 与1相对的数字是：3.
探究新知
1.2 展开与折叠
注意：正方体的表面展开图中不能出现的类型
×
一线不过四：
×
田凹应弃之：

初中数学知识点精讲精析展开与折叠

1.2 展开与折叠学习目标1.体会从古至今数学始终伴随着人类的进步与发展，增进学习数学的兴趣。

2.通过具体实例体会数学的存在及数学的美，发展应用意识。

知识详解1．棱柱的表面展开图棱柱是由两个完全相同的多边形底面和一些长方形侧面围成的，沿棱柱表面不同的棱剪开就可以得到不同的表面展开图，如图是棱柱的一种展开图。

棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形（底面）和几个长方形（侧面）。

2．圆柱、圆锥的表面展开图（1）圆柱的表面展开图沿着圆柱的一条高把圆柱剪开，就得到圆柱的表面展开图.圆柱的表面展开图是两个圆(底面)和一个长方形（侧面），如图所示。

如果两个底面圆在长方形的同一侧（如图所示），折叠后上端没有底，下端有两个底，则它不能折叠成圆柱。

（2）圆锥的表面展开图如图所示，圆锥的表面展开图是一个圆（底面）和一个扇形（侧面）。

3．平面图形的折叠平面图形沿某些直线折叠可以围成一定形状的立体图形，与立体图形展开成平面图形是一个互逆过程。

我们已经见过很多平面图形了，但并不是所有的平面图形都能折成几何体。

根据平面展开图判断立体图形的方法：（1）能够折叠成棱柱的特征：①棱柱的底面边数＝侧面的个数。

②棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的两侧。

（2）圆柱的表面展开图一定是两个相同的圆形和一个长方形。

（3）圆锥的表面展开图一定是一个圆形和一个扇形。

（4）能够折叠成正方体的特征：①6个面都是完全相同的正方形。

②正方体展开图连在一起的（指在同一条直线上的）正方形最多只能为4个。

③以其中1个为底面，前、后、左、右、上面都有，且不重叠。

4．正方体展开图上的数字问题正方体是立体图形的展开与折叠的代表图形，与正方体的展开图有关的数字问题主要是相对面的找法，确定了三组相对面，数字问题便可迎刃而解。

正方体的平面展开图共有11种，可分为四类：（1）1－4－1型相对面的确定：①第一行与第三行的正方形是相对面；②中间一行的4个正方形中，相隔一个是相对面。

鲁教版初一数学展开与折叠1.2-2课件(12张)

1、如图，第一行的几何体表面展开后得到的第二行的某个平面图形，请用线连一连。
1
2
3
4
5
A
B
C
D
E
2.思考：棱柱的侧面都是长方形。圆柱的侧面都是长方形。圆锥的侧面都是扇形。棱锥的侧面都是三角形。棱锥的展开图中至少有四三角形。棱柱的展开图中至多有两三角形。
3、如图，哪一个是棱锥侧面展开图？
1.2展开与折叠(2)
鲁教版数学六年级上册
第一章丰富的图形世界
第二节展开与折叠（第2课时）
想一想、折一折
以下哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱?
⑴
⑵
⑶
⑷
拓展：你能将图形（1）、（3）修改后使其能折叠成棱柱吗?
观察圆柱形纸筒展开的侧面是一个什么图形
观察圆锥形圣诞帽的侧面是什么图形？
发挥我们的想象能力！面几个图形是一些常见几何体的展开图，你能正确说出这些几何体的名字么？
思考题
A与B两点沿着侧面的最短路线是什么？
B
B
A
A
4、下面哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？
（1）
（2）
（３）
（４）
（５）
（６）
情境创设：
图中棱柱的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，你能得到哪些形状的平面图形？

第18讲 (学生)展开与折叠1

第18讲展开与折叠学习目标：1、经历图形的展开与折叠的活动，发展空间观念，积累数学活动经验,了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图；能认识棱柱的某些特性. 了解立体图形可由平面图形围成，立体图形可展开为平面图形2、熟练掌握正方体的几种侧面展开图，正确找出对面重、难点：会认和画正方体的表面展开图,通过展开与折叠活动，了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图；学习过程1.展开与折叠知识精讲1填一填（1）在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做▁▁▁▁▁。

棱柱的所有▁▁▁▁▁都相等。

棱柱的▁▁▁▁▁相同。

▁▁▁▁▁的形状都是长方形。

（2）一底面是正方形的棱柱高为4cm，正方形的边长都为2cm，则此棱柱共有▁▁▁▁▁条棱，所有棱长之和为▁▁▁▁▁cm。

互动1、把一个正方体沿某些棱剪开，展成一个平面图形。

你能得到哪些形状的平面图形？并把它们画出来。

2.将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形,至少需要剪几条棱？注意是至少要过程，请详细解答。

达标训练1、下列图形中不可以折叠成正方体的是（）A B C D2、如下图所示，图形能围成一个正方体的是（）A B C拓展延伸1.如图，折好以后，与1相邻的数字是什么？相对的数字是什么？2.如图所示，这个图案折起来后能组成一个正方体，与数字3所在的平面相对的平面上的数字是（）A．1 B．2 C．3 D．4知识精讲2填一填1、五棱柱有个面围成的，他们都是平的吗？2、五棱柱有个顶点，通过每一个顶点有条棱。

3、在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做，相邻两个侧面的交线叫做。

棱柱的所有侧棱长都，棱柱的上下底面的形状，侧面形状都是3.如图所示，画一个长和宽分别为6cm、4cm的长方形，并将其按一定的方式进行旋转．（1）你能得到几种不同的圆柱体？（2）把一个平面图形旋转成几何体，必须明确哪两个条件？互动将图中的几何体，展成一个平面图形，你能得到哪些形状的平面图形？。

七年级数学上册与直角有关的折叠、旋转讲义 (新版)鲁教版

E与直角有关的折叠、旋转（讲义）课前预习1.如图，在长方形 ABCD 中，BC =4，CD =3，将该长方形沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在点 F 处，BF 交 AD 于点 E ，则EF = ．FADBC2.如图，O 是等边三角形 ABC 内一点，且∠AOB =110°， ∠BOC =145°．将△BOC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到△ADC ，连接 OD ，则∠AOD 的度数为．ADOBC知识点睛1. 折叠与旋转都是，变换前后、都相等，从而实现条件的转移．旋转过程中，对应点到旋转中心的距离相等，旋转出现；同样的，如果基本图形能够提供（如等边三角形、等腰直角三角形等），可以考虑利用旋转思想解决问题．长方形中的折叠常出现等腰三角形．EGB E CD'A' EF精讲精练1.把一张长方形纸片ABCD 按如图所示方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕是EF．若BF=4，CF=2，则∠D EF= ．A1 A F DA D(B)B F CC'第1 题图第2 题图2.如图，已知在长方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE=2CE，将长方形沿着过点E 的直线翻折后，点C，D 分别落在边BC 下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B 在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F 与BE 交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为．（用含t 的代数式表示）3.如图，长方形ABC D中，AB=15cm，点E 在AD上，且AE=9cm，连接EC，将长方形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C= cm．A E D D CGB C A B第3 题图第4 题图4.如图，在长方形ABCD 中，E 是CD 边的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE，且点F 在长方形ABCD 内部．将AF延长，交边BC 于点G．若CG 1，则AD．（用GB k AB含k 的代数式表示）FC'25. 如图，正方形 ABCD 中，AB =3，点 E 在边 CD 上，DE = 1CD ，3将△ADE 沿 AE 翻折至△AFE ，延长 EF 交边 BC 于点 G ，则BG = ．CGAD B'EBBGCAC第 5 题图第 6 题图6. 如图，把 Rt △ABC 绕点 A 逆时针旋转 40°，得到 Rt △AB ′C ′，点 C′恰好落在边 AB 上，连接 BB ′，则∠BB ′C ′= ． 7. 把一副三角板如图1 放置，其中∠ACB =∠DE C =90°，∠A =45°，∠D =30°，斜边 AB =6，DC =7，把三角板 DCE 绕点 C 顺时针旋转 15°得到△D 1CE 1（如图 2），此时 AB 与 CD 1 交于点 O ，与 D 1E 1 交于点 F ，连接 AD 1，则线段 AD 1 的长为（）A ． 3B ．5C ．4D ． 31 DAAD 1OFCE BCB E 1图1图28. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =50°，点 D 在边 BC 上，BD =2CD ．把△ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m （0<m <180）度后，如果点 B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么 m = ．CDB9.探究：如图 1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD 于点E．若AE=10，则四边形ABCD 的面积为．应用：如图 2，在四边形ABCD 中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC 于点E．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD 的面积为．ADA EDB C B E C图1 图210.如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，则∠APB 的度数为．APB C1.如图，P 是正方形ABCD 内一点，且PA=1，PB=2，PC=3．求∠APB 的度数．A DPB C【参考答案】课前预习71.82. 45°知识点睛1. 全等变换，对应边、对应角，等腰三角形，等线段共端点精讲精练1. 60°2. 2 3t3. 84.25. 16. 20°7. B8. 80 或1209. 100，15210. 150°11. 135°百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

七年级数学展开与折叠参考资料鲁教版

展开与折叠蜘蛛寻路FS 处的蜘蛛发觉了.蜘蛛打算袭击苍蝇，把它消灭掉. 起初，蜘蛛准备沿着墙缝偷偷地爬向苍蝇处.后来，蜘蛛觉得这样偷袭虽隐蔽，但路程太远.于是，它准备经过地板的对角线再向上爬；或者经过墙壁的对角线，再沿墙壁与天花板的夹缝爬行.有没有更短的路线呢？蜘蛛经过一番思索，最后，终于想出了一条最短路线.现在，请你想一想、算一算：(1)蜘蛛沿着墙缝爬到苍蝇处(不走迂回路线)一共有几条路线？需要爬多少路？(2)蜘蛛经过地板的对角线，再向上爬；或者先经过墙壁的对角线，再沿着天花板与墙的夹缝爬，共有三条路线，哪一条最短？(3)你能找到蜘蛛袭击苍蝇的最短路线吗？最短路线的路程是多少？(由于蜘蛛不会飞行，这条路线必须在墙、地板或天花板上)解：根据题意，得(1)蜘蛛沿着墙缝由S 到F 共有六条路线可走，即S →P →E →F ，S →P →Q →F ，S →H →E →F ，S →H →G →F ，S →R →G →F ，S →R →Q →F ，它们全长都是18米.(2)如图甲(用计算器计算)S →Q →F 的长度=2286++4=14(米)；S →E →F 的长度=2284++6=14.94(米)；S →G →F 的长度=2264++8=15.21(米).其中最短一条是S →Q →F .(3)蜘蛛只能沿地板、墙缝、天花板的某条折线爬行.如果把这条折线放在一条直线上，这条路线最短(图乙).这样的路有6条，除上面画了三条，另外三条自己找.它们的长度分别为SF 1=224)86(++=14.56(米)；SF 2=226)84(++=13.42(米)；SF 3=228)64(++=12.81(米).SF 3.攻其不备壁虎在一座油罐的下底边沿A ——油罐的B 处有一只害虫.壁虎决定捕捉这只害虫.为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺线路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少路程才能捕到害虫？根据物理学中螺旋和斜面的关系，你可以这样想像：把油罐沿着母线剪开来，再摊平，就成为一个矩形，而壁虎爬行的路程就是这个矩形的对角线AB 的长，应用求圆周长的公式及勾股定理，可很方便地计算出壁虎爬行的路程为16.48米，它是壁虎绕着油罐到达害虫那里的最短路线.(如图所示)。