四年级奥林匹克数学基础资料库 第6讲 数的整除性(二)
第6讲 数的整除性(二)
第6讲数的整除性（二）我们先看一个特殊的数——1001。
因为1001=7×11×13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。
例1 abcabc能否被7，11和13整除？分析与解：因为abcabc=abc×1001,1001是7,11和13的倍数，所以abcabc能被7，11和13整除的数的特征：如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。
否则，数A就不能被7或11或13整除。
例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？解：因为371-306=65，65是13的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不能被7整除。
例3已知10□8971能被13整除，求□中的数。
解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。
上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。
例4 说明12位数baabbaabbaab一定是3,7,12的倍数。
分析与解：要判别baabbaabbaab能否被3,7,12整除，可以先把这个12位数进行改写。
根据十进制数的意义，有baabbaabbaab=abba×100010001。
因为100010001各数位上数字之和是3，能够被3整除，所以这个12位数能被3整除。
根据能被7（或13）整除的数的特征，100010001与（100010-1=）100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。
同理， 100009与（ 100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。
因为91=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知这个12位数能被7和13整除。
例5 如果41位数 个20555□个20999能被7整除，那么中间放歌内的数字是几？分析与解：根据能被7整除的数的特征，555555与999999都能被7整除，所以 个18555与个18999也能被7整除。
小学奥数 数的整除性 知识点+例题+练习 (分类全面)
拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。
由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。
账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。
应是__________元。
（注：微波炉单价为整数元）。
36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。
42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。
39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。
48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。
数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。
”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。
小学数学四年级奥数讲与练第6讲《能被11整除的数的特征》(习题含答案)
第6讲：能被11整除的数的特征（含答案）这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7，所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
奥数数的整除讲义、练习含答案(推荐文档)
数的整除（1）性质、特征、奇偶性知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a—b）也能被c整除。
2）如果数a 能被自然数b 整除，自然数b 能被自然数c 整除，则数a 必能被数c 整除。
3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。
2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。
3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3或9）整除。
4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，则这个数能被11 整除。
5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。
奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数±偶奇数X 奇数二奇数（5）偶数X 偶数二偶数（6）奇数X 偶典型例题】 例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2: 1〜200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个?奇偶性：（1） 数 =奇数（ 4）数=偶数（ 7） 奇数一奇数二奇数（8）…例3 ：任意取出1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？例4：有“ 1”，“ 2 ”，“ 3 ”4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？例5如杲41位数5亍-5口99…9能被7整除，那么中间方格内的数字是几? 【精英班】PT'【竞赛班】例6：某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是: 答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数?【课后分层练习】A组：入门级1、判断306371 能否被7整除？能否被13整除?2、abcabc能否被7、11和13整除？3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
四年级下册奥数试题数的整除全国通用
第06讲数的整除知识点、重点、难点两个整除b a ,，0 b ，若a 除以b 所得商为c ，余数为0，我们就称a 能被b 整除.能被2整除的数的特征是：一个数的个位数字是偶数，则这个数能被2整除；能被5整除的数的特征是：一个数的个位数字是0或5，则这个数能被5整除；能被3或9整除的数的特征是：一个数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除；能被4或25整除的数的特征是：一个数的末两位数能被4或25整除，则这个数能被4或25整除；能被8或125整除的数的特征是：一个数的末三位数能被8或125整除，则这个数能被8或125整除.例题精讲例1判断238、345、582、1650、4396这五个数，哪些能被2整除，哪些能被5整除.练习1判断144、295、376、1980、5466、8855、34180、42952、8950、775这十个数，哪些能被2整除，哪些能被5整除，哪些能同时被2、5整除.例2在四位数67□4中，□中分别填什么数字，才能分别被9、8、4整除？练习2在四位数58□2中，□中分别填什么数字，才能分别被3、8、4整除？例3用4、7、6三张数字卡片能组成多少个能被2整除的三位数？写出这些数.练习3用2、4、6、8这四个数字写成的没有重复数字的三位数中，有哪些数能被3整除.例4同时能被2、3、5整除的最大四位数是____________.A B能被2、3、5整除，求数字A与B.例5要使六位数3587例6个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？精选习题1.判断132、158、710、195、496、9760、765、3335、10100、424这十个数，哪些能被2整除，哪些能被3整除，哪些能被5整除.2.在下面的空格里填上合适的数:(1)87□□能被9、25整除；(2)63□□能被2、3、4、5、9整除.3.用3、0、4、5这四个数字组成的没有重复数字的四位数中，能同时被2、3、5整除的数有哪些？A A能同时被4、9整除，求这个五位数.4.五位数743。
小学奥数教程之数的整除
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
数的整除学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。
另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。
知识梳理1.常见数字的整除判定方法（1）. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；（2）. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；（3）. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.（4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）注：在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有2系列，5系列，3系列和7,11,13系列，便于记忆。
对于11的单独判定特性需要重点讲解。
2.整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．注：在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524．可以引入下面的问题2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出：性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am （m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；3．重点难点解析（1）.常见数字的整除判定性质（2）．将不具有整除判定性质的数字进行分解判定其整除性（3）．代数式之间整除性的判断，代数思想的应用（4）．试除法的理解和应用4.竞赛考点挖掘（1）.与数字谜或算式迷结合的整除判断特性题目（2）.代数式之间的整除性问题例题精讲【试题来源】【题目】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【解析】本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。
小学奥数关于数的整除规律
数的整除规律1、一个数的个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
2、一个数的数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
3、这一个数的末两位如果能被4或者25整除，这个数就能被4或者25整除。
4、个位上是0或5的数都能被5整除。
5.这个数的末位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除，则原数能被7,11或13整除。
6.这个数的末三位如果能被8或者125整除，这个数就一定能被8或者125整除。
7.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。
小学奥数 数论问题 第二讲 数的整除特性
第二讲数的整除特性讲义（一）整除的定义：所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整数”就是说“商a/b是一个整数”；或者换句话说：存在这第三个自然数c，使得a=b×c，这时候我们就说“b整除a”或者“a能被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记做“b︱a”（二）整除的性质：（传递性）若c︱b，b︱a，则c︱a（可加性）若c︱a，c︱b，则c︱（a+b）（可乘性）若c︱a，d︱b，则cd︱ab（三）常见的整除特征：尾数系：一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；数字和系：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；分段做差系：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.课后习题基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。
【闯关2】如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？提高篇：【闯关3】如果四位数x=6□□8能被236整除，那x除以236所得的商为________。
【闯关4】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？巅峰篇：【闯关5】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)第二讲数的整除特性课后习题：基础篇：【闯关1】493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。
解析：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；4+9+3=16，所以至少增加2就是3的倍数。
小学奥数关于数的整除规律
数的整除规律1、一个数的个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
2、一个数的数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
3、这一个数的末两位如果能被4或者25整除，这个数就能被4或者25整除。
4、个位上是0或5的数都能被5整除。
5.这个数的末位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除，则原数能被7,11或13整除。
6.这个数的末三位如果能被8或者125整除，这个数就一定能被8或者125整除。
7.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。
奥数题解析“数的整除”解题方法
奥数题解析“数的整除”解题方法本文将要教各位同学小学奥数题目中“数的整除”这一问题的解析思路和技巧，提供给各位同学学习。
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.11与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.2若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
3若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
4若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
5若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
6若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
7若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的.过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3×2=7，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。
8若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
奥数整除知识点总结
奥数整除知识点总结整除是关于数学中的一种基本概念，是指一个数能够被另一个数整除，也就是能够被另一个数整数倍的数。
在奥数学习中，整除是一个非常重要的知识点，对于学生来说，掌握整除的相关知识是非常重要的。
本文将对奥数整除知识点进行详细的总结，希望能帮助学生更好地掌握整除的相关知识。
一、整数的概念在奥数学习中，整数是一个非常基本的概念。
整数包括正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，零是不大于也不小于零的整数。
在奥数整除的相关题目中，通常涉及到正整数的整除，因此在奥数学习中，学生需要了解和掌握正整数的相关概念。
二、整除的概念整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是能够被另一个数整数倍的数。
在奥数学习中，整除是一个非常基础的概念，掌握整除的相关知识对学生来说是非常重要的。
当一个数a能够被另一个数b整除时，我们通常用"a能被b整除"表示，也可以用数学符号"a|b"表示。
对于两个整数a和b，如果存在另一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能被b整除。
三、整数的性质在奥数整除的相关题目中，通常会涉及到整数的一些基本性质，学生需要了解和掌握整数的一些基本性质。
下面我们将介绍整数的一些基本性质：1. 整数的加法性质：对于任意两个整数a和b，它们的和a+b也是一个整数。
2. 整数的减法性质：对于任意两个整数a和b，它们的差a-b也是一个整数。
3. 整数的乘法性质：对于任意两个整数a和b，它们的积ab也是一个整数。
4. 整数的除法性质：对于任意两个整数a和b，当a能够被b整除时，它们的商a/b也是一个整数。
四、整除的性质在奥数整除的相关题目中，通常会涉及到整除的一些基本性质，学生需要了解和掌握整除的一些基本性质。
下面我们将介绍整除的一些基本性质：1. 整除的传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
2. 整除的继承性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
奥数题解析“数的整除”解题方法
奥数题解析“数的整除”解题方法奥数题解析“数的整除”解题方法本文将要教各位同学小学奥数题目中“数的整除”这一问题的解析思路和技巧，提供给各位同学学习。
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.11与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.2若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
3若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
4若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
5若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
6若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
7若一个整数的个位数字截去，再从余下的.数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3×2=7，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。
数的整除奥数题知识点总结
数的整除奥数题知识点总结把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数(包括0)，那么，原来这个数就一定能被11整除.例如：判断491678能不能被11整除。
奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此，491678能被11整除。
这种方法叫奇偶位差法。
除上述方法外，还可以用割减法进行判断.即：从一个数里减去11的10倍，20倍，30倍到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除.又如：判断583能不能被11整除。
用583减去11的50倍(583-1150=33)余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a0，a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－32＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－92＝595，59－52＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
奥数数的整除讲义,理解练习含答案解析
数的整除（1）性质、特征、奇偶性【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b ）或差（a - b）也能被c整除。
（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a 必能被数c整除。
（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4 （或25 ）整除，则这个数能被4 （或25）整除。
（2）若一个数的末三位数能被8 （或125 ）整除，则这个数能被8 （或125 ）整除。
（3）若一个数的各位数字之和能被3 （或9）整除，则这个数能被3 （或9）整除。
（4 ）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。
（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7 （或13）整除，则这个数能被7 （或13）整除。
奇偶性：（1 ）奇数土奇数=偶数（2）偶数土偶数=偶数（3 ）奇数土偶数=奇数（4）奇数X奇数=奇数（5）偶数X偶数=偶数（6）奇数X偶数=偶数（7）奇数一奇数=奇数（8）•••【典型例题】例1 :」个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几?例2 : 1〜200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个?例3 :任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数?例4 :有“ 1”，“2”，“3”，“4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个?例5如果41位数芳…299…9能被7整除，那么中间方格内的数字杲几？【精英班】屏20“【竞赛班】例6 :某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是：答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999 人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？【课后分层练习】1、判断306371A组：入门级能否被7整除？能否被13整除?2、abcabc能否被7、11和13整除？3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
四年级奥数-数的整除特征(二)
【例4】(★★★) ⑴如果六位数 ⑴ 果 1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多 ，那 最 多 少? ⑵有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11 和13整除。三大基本整除系 试除法 余数系
2
11：单位分组求和差 和 位分 求和差 7和13：三位分组求和差
1001 310100
【例1】(★★) 一个6位数，它的前3位组成的数加后3位组成的数的和是220，且 它能被7整除，求满足条件的所有 整除 求满足条件的所有6位数。 位数
【例2】(★★) ⑴六位数20□□08能被99整除，□□是 _____。 ⑵ 知九位数2007 ⑵已知九位数 200 □12□2既是 是9的倍数，又是 的倍数 是11的倍数，那么这 的倍数 么这 个九位数是多少？ ⑶1234567891011…9899 1234567891011 9899除以99的余数是多少？
例3补充如果把一个四位数abcd的前面插入一个2中间插入00末尾添上7变成2ab00cd7并且这个新的8位数是11的倍数那么就称这样的四位数为2007的11数
数的整除特征(二)
知识点讲解
2和5：末一位 整除系 末尾系 4和25：末两位 8和125：末三位 12,35 124,425 1108,750 整除系 组合系 系 差系 整除系 和系 3，9，99 114,459
1
【例3】(★★★) 请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数， 使它是99的倍数。这个五位数最大是多少？ 的倍数 这个五位数最大是多少？
【例3补充】(★★★) 如果把一个四位数abcd的前面插入一个2，中间插入00，末尾添 上7，变成2ab00cd7，并且这个新的8位数是11的倍数，那么就称 这样的四位数为“2007的11数”。那么“2007的11数”有多少个？
小学数学知识点数的整除
小学数学知识点数的整除小学数学知识点汇总数的整除在我们上学期间，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是店铺帮大家整理的小学数学知识点数的整除，希望能够帮助到大家。
小学数学知识点数的整除篇1整除的意义整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）除尽的意义甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。
因数和倍数1、如果整数a乘整数b整除等于整数C，a和 b就是C的因数，C就是a和b的倍数。
（a.b.c都为非0整数）2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。
奇数和偶数1、能被2整除的数叫偶数。
例如：0、2、4、6、8、10……注：0也是偶数2、不能被2整除的数叫奇数。
例如：1、3、5、7、9……整除的特征1、能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。
2、能被5整除的数的特征：个位上是0或5。
3、能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3 整除。
质数和合数1、一个数只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（素数）。
2、一个数除了1和它本身外，还有别的约数，这个数叫做合数。
3、1和0既不是质数，也不是合数。
4、自然数按约数的个数可分为：质数、合数0和15、自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数分解质因数1、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。
例如：18=3×3×2，3和2叫做18的质因数。
2、把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法来分解质因数。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结一。
数的分类数可以根据不同的属性进行分类。
第一种分类方法是使用树状图或韦恩图，将整数分为自然数、正整数、负整数、零、正奇数和正偶数等。
第二种分类方法是将整数分为奇数和偶数。
第三种分类方法是将整数分为正整数、素数和合数。
需要注意的是，0是最小的自然数，-1是最大的负整数，1是最小的正整数。
同时，没有最大的整数、没有最小的负整数、没有最大的正整数，正整数、负整数和整数的个数都是无限的。
二。
整除整除是指一个整数a被另一个整数b整除，商是整数而余数为零的情况。
因此，b可以整除a，也可以说a能被b整除。
需要注意的是，要区分整除和除尽。
整除是特殊的除尽，即a能被b整除，则a一定能被b除尽，反之则不一定。
例如，4÷2=2，4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8，4能被5除尽，但不能说4能被5整除。
三。
因数与倍数因数是指一个整数a能被另一个整数b整除，b就是a的因数。
而倍数是指一个整数a能够整除另一个整数b，a就是b的倍数。
因数和倍数是相互依存的，不能简单地说某个数是因数或倍数。
一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，可以一一列举出来，而倍数的个数是无限的。
求一个数的因数可以利用积与因数的关系，一对一对找出哪两个数的乘积等于这个数，然后按照一定的顺序列举出所有的因数。
求一个数的倍数可以将这个数本身分别乘以1、2、3、4、5等正整数，得到的积就是这个数的倍数。
四。
能被2、5、3整除的数的特点一个数能被2整除，当且仅当这个数的个位数是0、2、4、6、8.一个数能被5整除，当且仅当这个数的个位数是0或5.一个数能被3整除，当且仅当这个数的各位数字之和能够被3整除。
因此，一个数能被2、5、3整除的特点可以通过它的各位数字来判断。
1.能被2整除的数的个位数字是2、4、6、8，反之，个位数字是2、4、6、8的数也能被2整除。
四年级奥林匹克数学基础资料库 第6讲 数的整除性(二)
第6讲数的整除性（二）这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数9中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）5。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7，所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，所以5除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，11-7=4，所求余数是4。
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第6讲数的整除性（二）
这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：
能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：
（1）41873；（2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11
=7÷11＝0……7，
所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，
所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11
=799÷11=72……7，
11-7=4，所求余数是4。
例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，
奇数位上的数字和与偶数位上的数
字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。
所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。
例4用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？
解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可。
有3377，3773，7337，7733。
例5用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。
分析与解：最大的没有重复数字的九位数是987654321，由
（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
知，987654321不能被11整除。
为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11，这个数就能被11整除。
调整“4321”，只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可达到目的。
此时，4，3在奇数位，2，1在偶数位，后四位最大是2413。
所求数为987652413。
例6 六位数能被99整除，求A和B。
分析与解：由99=9×11，且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除。
因为六位数能被9整除，所以
A+2+8+7+5+B
＝22+A+B
应能被9整除，由此推知A＋B＝5或14。
又因为六位数能被11整除，所以
（A＋8＋5）－（2＋7＋B）
＝A-B＋4
应能被11整除，即
A-B+4=0或A-B+4=11。
化简得B-A＝4或A-B＝7。
因为A+B与A-B同奇同偶，所以有
在（1）中，A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解。
在（2）中，上、下两式相加，得
（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，
2B＝18，
B=9。
将B=9代入A＋B=14，得A＝5。
所以，A=5，B＝9。
练习6
1．为使五位数6□295能被11整除，□内应当填几？
2．用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。
4．求下列各数除以11的余数：
（1）2485；（2）63582；（3）987654321。
5．求除以11的余数。
6．六位数5A634B能被33整除，求A+B。
7．七位数3A8629B是88的倍数，求A和B。