量子力学复习提纲

2008级材料物理专业《量子力学》复习提纲

要点之一

1. 20世纪初，经典理论在解释黑体辐射、光电效应和原子光谱的线状结构等实验结果时遇到了严重的困难。 爱因斯坦在普朗克“ 能量子 ”假设的启发下，提出了“光量子”的概念，认为光是由一颗颗具有一定能量的粒子组成的粒子流。

2. 描述光的粒子性的能量E 和动量P

与描述其波动性的频率（或角频率）

和波矢K

由 Planck- Einstein 方程联系起来，即：ων ==h E ；

K n h P ==λ

。

3. 德布罗意提出，一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子、波动二重性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。

4. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E 和动量P

，

描述其波动性的物理量为频率

（或角频率

）和波长

， 它们间的关系可用

德布罗意关系式表示，即：ων

==h E ； K n h P

==λ

。

5. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述，而是用波函数来描述。描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平

面波，即：)(),(Et r p i p Ae t r -⋅=

ψ。

6. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。

7. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函

数的标准条件。

8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表示为

)(0*

n m dx n m ≠=⎰ψψ。

9. 设G ˆˆ和F

的对易关系为k i G F ˆ]ˆ,ˆ[=，且G G G F F F -=∆-=∆ˆˆ,ˆˆ，则G ˆˆ和F 的测不准关系式为：4

)ˆ()ˆ(2

22k G F

≥∆⋅∆；如果k 不等于零，则的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着F

ˆ和G ˆ不能同时测定。 10. 当体系处于定态时，则体系有：1）能量有确定值；2）粒子在空间几率密度与时间无关；3）几率流密度与时间无关。 11. 粒子在一维无限深势阱中的定态解可表示为：

.......,3,2,1,)(2sin 1)(=+==ψ--n e a x a n a

e

x t E i

t E i

n n n n

π

ψ，当n 为奇数时，

波函数具有偶宇称，当n 为偶数时，波函数具有奇宇称。

12. 在点电荷的库仑场中运动的电子，其处于束缚态的波函数可表示成：

),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =，其中，主量子数n =1，2，3，…，角量子数l =0，

1，2，….，n -1，磁量子数m=0，1，2，….，l 。),,(ϕθψr nlm 是算符H

ˆ、2L ˆ和z L ˆ共同本征函数，当电子处于该波函数描述的状态时，力学量H 、2L 和z

L 可以同时测得， 体系2

24

22 n e Z E s n μ-

=， L 2=2)1( +l l ，L z = m 。

13. 角动量算符2L ˆ和z

L ˆ对易，即0],ˆ[2=z L L ，因此它们有共同的本征函数完

备系)},({ϕθlm Y 。在 ),(ϕθlm Y 描述的状态中，力学量2L 和z L 可以同时测得，

L 2=2)1( +l l ，L z = m ，此时总磁矩（沿z 轴方向）M z =m c

m

e B μμ-=-

2 。 14. 电子在点电荷的库仑场中运动，其处于束缚态的第n 个能级 E n 只与n 有关，

而与l 、m 无关，是 n 2

度简并的；若n = 2 时，对应E 2的波函数有 ),,(200ϕθψr 、

),,(210ϕθψr 、),,(211ϕθψr 和),,(121ϕθψr -。而在非点电荷的库仑场中运动的电

子，如 Li ，Na ，K 等碱金属原子中最外层价电子是在由核和壳层电子所产生的有心力场中运动，这个场不再是点电荷的库仑场，因此价电子的能级由主量子数

n 和角量子数l 决定，仅对m 简并。

15. 两个算符F

ˆ与G ˆ有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。

16. 选定一个特定Q 表象，就相当于在Hilbert 空间中选定一个特定的坐标系，

力学量算符Q

ˆ的正交归一完备函数系{)(x u n }构成Hilbert 空间中的一组正交归一完备基底。任意态矢量),(t x ψ在Q 表象中的表示是一列矩阵，矩阵元)

(t a n 是态矢量),(t x ψ在Q ˆ算符的本征矢上的投影，即：

⎰=dx t x x u t a n n ),()()(*

ψ。

17. 选定力学量Q 表象，Q ˆ算符的正交归一的本征函数完备系记为)}({x u n

，一力学量算符F ˆ在Q 表象中是一个矩阵F =（F mn ），其矩阵元为：

⎰∂∂-=dx x u x

i x F x u F m

n nm )(),(ˆ)(* ；该矩阵为厄米矩阵，对角矩阵元为实数。一力学量算符F

ˆ在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵，对角元就是算符F ˆ的本征值。 18. 在坐标表象中，x x

=ˆ，=x p ˆx

i ∂∂- ；而在动量表象中，=x ˆx p i ∂∂ ，=x p ˆ p x 。

19. 若力学量算符F

ˆ不显含时间t ，且与哈米顿算符H ˆ对易，力学量F ˆ的平均值F 不随时间而变化，则称F

ˆ为运动积分，或在运动中守恒。 20. 动量算符x P

ˆ、y P ˆ、z P ˆ 彼此对易，它们有共同的本征函数完备系：r p i p e

r

⋅-=3)2()(πψ；在该本征函数描述的状态中，x P

ˆ、y P ˆ、z P ˆ同时具有确定