统计学参数估计
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
参数估计的三种方法
参数估计的三种方法参数估计是统计学中的一项重要任务，其目的是通过已知的样本数据来推断未知的总体参数。
常用的参数估计方法包括点估计、区间估计和最大似然估计。
点估计是一种常见的参数估计方法，其目标是通过样本数据估计出总体参数的一个“最佳”的值。
其中最简单的点估计方法是样本均值估计。
假设我们有一个总体，其均值为μ，我们从总体中随机抽取一个样本，并计算出样本的平均值x。
根据大数定律，当样本容量足够大时，样本均值会无偏地估计总体均值，即E(x) = μ。
因此，我们可以用样本的平均值作为总体均值的点估计。
另一个常用的点估计方法是极大似然估计。
极大似然估计的思想是寻找参数值，使得给定观测数据出现的概率最大。
具体来说，我们定义一个参数θ的似然函数L(θ|x)，其中θ是参数，x是观测数据。
极大似然估计即求解使得似然函数取得最大值的θ值。
举个例子，假设我们有一个二项分布的总体，其中参数p表示成功的概率，我们从总体中抽取一个样本，得到x个成功的观测值。
那么，样本观测出现的概率可以表示为二项分布的概率质量函数，即L(p|x) = C(nx, x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中C(nx, x)是组合数。
我们通过求解使得似然函数取得最大值的p值，来估计总体成功的概率。
与点估计相比，区间估计提供了一个更加全面的参数估计结果。
区间估计指的是通过样本数据推断总体参数的一个区间范围。
常用的区间估计方法包括置信区间和预测区间。
置信区间是指通过已知样本数据得到的一个参数估计区间，使得这个估计区间能以一个预先定义的置信水平包含总体参数的真值。
置信水平通常由置信系数（1-α）来表示，其中α为显著性水平。
置信区间的计算方法根据不同的总体分布和参数类型而异。
举个例子，当总体为正态分布且总体方差已知时，可以利用正态分布的性质计算得到一个置信区间。
预测区间是指通过对总体参数的一个估计，再结合对新样本观测的不确定性，得到一个对新样本值的一个区间估计。
统计学之参数估计
统计学之参数估计
参数估计是统计学的一个重要分支，它主要是用来估计未知参数的值。
参数估计关注模型的参数值，而不是模型本身。
参数估计的主要目的是确
定模型背后的重要参数，包括均值、方差、协方差、系数、正则参数等等。
参数估计的主要方法包括极大似然估计（MLE）、贝叶斯估计、解析
估计。
MLE是最常用的参数估计方法，它的目的是寻找一些未知参数
$\theta$，使得根据已知的样本数据，其概率最大。
MLE是一种极大似然
估计，极大似然估计依赖于模型选择，模型选择是极大似然估计的基础。
MLE的关键点是估计参数，并使参数能够使似然函数是极大值。
贝叶斯估计需要对模型参数和概率分布进行假设，以求出参数的期望值。
与极大似然估计不同，贝叶斯估计注重的是参数的后验概率，它不仅
考虑参数的以前的信息，受到先验假设的影响，而且考虑参数的可能性。
解析估计是为了解决极大似然估计和贝叶斯估计的缺点而发展出来的。
解析估计不仅考虑参数的估计，还考虑参数的分布。
解析估计是一种独特
的参数估计方法，它并不依赖于概率模型，也不需要假定概率分布，只需
要估计参数的值即可。
总之，参数估计是统计学的一个重要分支。
统计学参数估计PPT课件
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
统计学原理：第7章 参数估计
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
7 - 26
符号表示 样本统计量
x
p
2
s2
7.2.1 总体均值的区间估计
1、正态总体、２已知，
非正态总体、大样本
2、正态总体、２未知，小样本
7 - 27
总体均值的区间估计
(1、Z分布)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可 靠性的度量，一个点估计量的可靠性是由它的 抽样标准误差来衡量的。
7 -9
抽样分布回顾
Xi ~
, 2
..X
~
,
2
n
p Z Z Z 1
2
2
p Z 2
X
X
Z 2
1
p
Z 7 - 10
2
X
X
Z
2
X
1
抽样分布回顾
p
Z
2
X
X
7 - 12
实际情况是，样本均值已知，而总体均值未知 。
x
样本均值与总体均值的距离是对称的，
若某个样本均值落在总体均值的两个标准差范围以内， 则总体均值就会被包括在以样本均值为中心左右两个标 准差的范围之内。
7 - 13
区间估计
(interval estimate)
1. 总体参数估计的一个区间： 样本统计量 加减 估计误差
统计学参数估计公式
统计学参数估计公式统计学参数估计公式指的是通过统计学方法估计参数的一组数学公式。
不同的统计学参数估计公式各有特点、应用场景和优劣，它们通常用来估计描述性统计或者回归系统的参数。
本文将讨论统计学参数估计公式，并详细说明下面常见参数估计公式：极大似然估计、贝叶斯估计、最小二乘估计、局部加权线性回归和最小化重要性采样。
极大似然估计(MLE)也叫最大似然估计，是一种基于极大似然法的估计统计量的方法。
它的目的是最大化制定概率模型的参数的后验概率。
MLE得出的结果往往比矩估计更加精确。
与贝叶斯估计不同，MLE不需要选择先验分布，且不考虑实证概率，只考虑已知数据。
贝叶斯估计(Bayesian Estimation)是基于概率模型进行参数估计时，结合预先取得的知识，使用条件概率的方法。
基于已有的先验知识，贝叶斯估计将未知参数的概率分布转化为后验的概率，以此来进行估计。
贝叶斯估计法可以克服极大似然估计出现的不平滑问题，而且还能考虑实证概率的影响。
最小二乘估计(Least Square Estimation,LSE)是一种基于数据拟合的参数估计方法。
它将未知数参数表示为一个函数，并使得残差平方和最小，最小化残差平方和来估计未知参数，也就是拟合曲线最适合数据点。
实际运用中往往会遇到过度拟合和欠拟合等问题，所以LSE在多项式回归时需要采用正则化项依据损失函数来控制模型的复杂度，以避免过拟合的情况。
局部加权线性回归(Local Weighted Linear Regression,LWLR)是一种用来解决非线性问题的回归方法。
它的特点是对未知的值的预测引入了权重，在线性回归的基础上引入一个滑动窗口，把预测点以外的点的权重不断减少，越靠近预测点的点的权重越大，这样做的目的是为了使参数估计更加准确和稳定。
最小化重要性采样(Minimum Importance Sampling,MIS)是一种非参数估计参数的方法，它不会估计参数本身，而是通过采样数据而且采样频次是以后验分布的形式定义的，从而用采样数据来估计参数的分布。
统计学 第七章 参数估计
[
]
2 χα (n) （n）的α 分位数，记为k≜ n k≜
抽样分布
（3）性质 • 若X服从χ2 （n），则均值E（X）=n ，方差 D（X） =2n 。 • χ2分布具有可加性。若 X1，X2相互独立，
X1～ χ2（n1） ，X2～χ２（n2）
则（X1＋X2）～χ２（ｎ１＋n２） • 当ｎ→∞时，χ２分布渐进于正态分布
σ
2
~ χ (n −1)
2
第三节两个总体参数的区 间估计（112页）
• • • • • • • 一、两个总体均值之差的区间估计 （一）两个总体均值之差的估计：独立样本 大样本：近似于正态分布 小样本： （1）两个总体的方差均已知，近似于正态分布 （2）两个总体的方差均未知但相等，近似于ｔ分布 （3）两个服从正态分布的总体的方差均未知且不等， 但样本容量相等，近似于ｔ分布 • （4）两个总体的方差均未知且不等，样本容量也不 等，近似于ｔ分布，自由度为V
• 解：求（3）的计算步骤： • ①求样本指标：
x ＝1000小时
σ＝50 （小时）
µ x＝
σ
n
＝
50 100
＝（小时） 5
• ②根据给定的F（t）＝95%，查概率表得t＝1.96。 • ③根据∆x＝t×µx＝1.96×5＝9.8，计算总体平均耐 用时间的上、下限： x − ∆ x＝1000－9.8＝990.（小时） 2 • 下限 x ＋∆ x＝1000＋9.8＝1009 .（小时） 8 • 上限 • 所以，以95%的概率保证程度估计该批产品的平均耐 用时间在990.2～1009.8小时之间。
f (x;θ ) 其中 θ
或概率密度为
是未知参数。 是未知参数。
如何求极大似然估 计量呢？ 计量呢？
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。
在统计学中，参数估计是其中一个重要的概念，它允许我们通过样本数据来推断总体的特征。
本文将介绍统计学中常用的参数估计方法，包括点估计和区间估计。
一、点估计点估计是一种通过样本数据来估计总体参数的方法。
在点估计中，我们选择一个统计量作为总体参数的估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种基于样本数据的估计方法，它通过选择使得观察到的数据出现的概率最大的参数值来估计总体参数。
最大似然估计的核心思想是找到一个参数估计值，使得观察到的数据在该参数下出现的概率最大化。
最大似然估计方法在统计学中被广泛应用，它具有良好的渐进性质和统计学性质。
矩估计是另一种常用的点估计方法，它基于样本矩的性质来估计总体参数。
矩估计的核心思想是将样本矩与总体矩相等，通过求解方程组来得到参数的估计值。
矩估计方法相对简单，易于计算，但在样本较小或总体分布复杂的情况下，可能会出现估计不准确的问题。
二、区间估计区间估计是一种通过样本数据来估计总体参数的方法，它提供了参数估计的置信区间。
在区间估计中，我们通过计算样本数据的统计量和抽样分布的性质，得到一个包含真实参数的区间。
置信区间是区间估计的核心概念，它是一个包含真实参数的区间。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和抽样分布的性质。
常见的置信区间计算方法有正态分布的置信区间和bootstrap置信区间。
正态分布的置信区间是一种常用的区间估计方法，它基于样本数据的统计量服从正态分布这一假设。
通过计算样本数据的均值和标准差，结合正态分布的性质，我们可以得到一个包含真实参数的置信区间。
Bootstrap置信区间是一种非参数的区间估计方法，它不依赖于总体分布的假设。
Bootstrap方法通过从原始样本中有放回地抽取样本，生成大量的重采样数据集，并计算每个重采样数据集的统计量。
通过分析这些统计量的分布，我们可以得到一个包含真实参数的置信区间。
统计学第7讲参数估计
• 将此数据作为样本，商店开张后经过该地的人数作为总体。 在95%的置信度下，能否知道每天经过此地的人数？
案例二： 参数估计在品牌认知度中应用
例 某食品厂准备上市一种新产品，并配合以相应的广告 宣传，企业想通过调查孩子们对其品牌的认知情况来 评估广告的效用，以制定下一步的市场推广计划。他 们在该地区随机抽取350个小孩作访问对象，进行儿童 消费者行为与消费习惯调查，其中有一个问句是“你 听说过这个牌子吗？”，在350个孩子中，有112个小 孩的回答是“听说过”。根据这个问句，可以分析这 一消费群体对该品牌的认知情况。食品厂市场部经理 要求，根据这些样本，给定95％的置信度，估计该地 区孩子认知该品牌的比例。
优点：简单、具体明确
缺点：没有给出估计值接近总体参数的程度，也无法说明估 计结果有多大的把握程度。
(一)常用的点估计量
1.总体均值点估计量（样本均值）
x
1 n
n i 1
xi
2.总体方差与标准差点估计量（样本方差与标准差）
2
S2
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
S
lnL(, 2 ; x1,
, xn ) n ln
2
n 2
ln
2
1
2
2
n i 1
( xi )2
对, 2求偏导数并令其为零.
ln L 1 n
2 i1
(xi ) 0
ln L
2
统计学 参数估计
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量 z
x
z
~ N (0,1)
n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
s
x z 2
或 x z 2
( 未知)
n
n
总体均值的区间估计
的比例为0.323~0.517
【练习】某保险 解：已知 n=100，p＝25% , 1- =
95%，z/2=1.96
公司欲了解本地
区汽车保险的出
p(1 p)
p z 2
险情况。随机抽
n
查 了 100 辆 机 动
25%(1 25%)
车过去一年的保
25% 1.96
100
单，其中有25份
2. 使用正态分布统计量 z
p
z
~ N (0,1)
(1 )
3.
n
总体比例 在 1- 置信水平下的置信区间为
p (1 - p )
p z 2
n
【例】某所大学想要了解应届毕业生在大
四找到工作的学生中女生所占的比例，随
机抽取了100名找到工作的应届毕业生，其
中42人为女生。试以95%的置信水平估计该
保单பைடு நூலகம்出险记录
16.51%,33.49%
。 试 以 95% 的 置
该城市下岗职工中女性比例的置
信度估计该地区
信区间为16.51%~33.49%
汽车保险出险率
的置信区间。
三、总体方差的区间估计
总体方差的区间估计
1. 估计一个总体的方差或标准差
《统计学》第4章 参数估计
与总体参数之间的偏差。然而，由于可靠性由抽样标准误差决定，一个
具体的点估计值无法给出可靠性的度量。此外，总体参数的真值未知，
我们也无法得到点估计值与总体参数之间的偏差大小。这个问题可以通
过区间估计来解决。
第四章 参数估计
《统计学》
17
4.2 区间估计
求得的መ 1 , 2 , … , 称为的极大似然估计值，相应的估计量
መ 1 , 2 , … , 称为的极大似然估计量。
第七章 参数估计
《统计学》
14
4.2 点估计与区间估计
极大似然估计(MLE) 的一般步骤如下：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率函数(或联合密度函数)；
平表示所有区间中有95% 的区间包含总体参数真值，因此A 队的估计结果
中有5% 的区间(1 个) 未包含总体平均身高的真值。同理，90% 的置信水
平表示所有区间中有90% 的区间包含总体参数真值，因此B 队的估计结果
中有10% 的区间(2 个) 未包含总体平均身高的真值。由该例也可以看到，
尽管总体参数的真值是固定的，但基于样本构造的置信区间会随着样本的
计方法，其实质是根据样本观测值发生的可能性达到最大这一原则来选
取未知参数的估计量，理论依据就是概率最大的事件最可能出现。
设X1, X2 , … , Xn是从总体X中抽取的一个样本，样本的联合密度函数(连续
型) 或联合概率函数(离散型) 为
ෑ ( , ) 。
=1
第七章 参数估计
《统计学》
13
区间估计(Interval estimate) 指在点估计的基础上，给出总体参数
统计学参数估计
统计学参数估计统计学是一门研究如何收集、处理、分析和解释数据的学科，参数估计是统计学中的重要内容之一。
参数估计旨在利用样本数据来推断总体参数的取值范围，从而为决策和推断提供依据。
本文将介绍统计学参数估计的基本概念和方法。
一、参数估计的概念在统计学中，参数是描述总体特征的数字指标，如总体均值、方差、比例等。
总体是指我们研究的对象的全体，参数是对总体特征的数值度量。
而样本是从总体中抽取的一部分个体，样本统计量是对总体参数的估计。
参数估计就是通过样本数据推断总体参数的过程。
二、最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法。
它基于一个假设：样本观察值是从总体中独立抽取的，并且满足某种概率分布。
最大似然估计的目标是找到一个参数值，使得观察到的样本出现的概率最大。
以估计总体均值为例，假设总体服从正态分布。
根据最大似然估计的原理，我们需要找到一个样本均值和样本方差，使得样本观察值出现的概率最大。
通常情况下，我们使用样本均值作为总体均值的估计值，并使用样本方差除以样本容量的平方根作为总体均值的标准误差的估计值。
三、区间估计除了点估计，我们经常需要给出参数估计的置信区间。
置信区间是估计总体参数的取值范围，其中包含了真实参数值的可能性特定置信水平。
常见的置信水平有95%和99%，意味着我们有95%或99%的置信度相信参数落在该区间内。
求解置信区间的方法有很多，其中一种常用的方法是使用样本均值加减总体均值的标准误差乘以相应的分位数来计算。
这样得到的区间便是总体参数的置信区间。
四、样本容量对参数估计的影响样本容量对参数估计的精度具有重要影响。
当样本容量较小时，估计的不确定性较高；而样本容量增加时，估计的精度会提高。
这是由于大样本可以更好地反映总体特征，减少抽样误差的影响。
五、假设检验在进行参数估计时，我们常常需要对总体参数是否等于某个给定的值进行假设检验。
假设检验的目的是评估参数估计结果的显著性，判断其是否具有实际意义。
统计学参数估计
统计学参数估计统计学参数估计是统计学中一种重要的方法，它通过观察样本数据来估计总体参数的值。
参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体比例等。
参数估计的目的是根据样本信息对总体参数进行推断，从而得到总体特征的近似值。
参数估计的过程通常分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是指根据样本数据求出总体参数的一个数值估计量，例如样本均值、样本比例等。
点估计的基本思想是用样本统计量作为总体参数的估计值，它是参数的无偏估计量时，表示点估计是一个良好的估计。
区间估计是指根据样本数据求出一个区间，这个区间包含总体参数的真值的概率较高，通常用置信区间表示。
区间估计的基本思想是总体参数位于一个区间中的可能性，而不是一个确定的值。
置信区间的构造依赖于样本统计量的分布以及总体参数的估计量的抽样分布。
点估计和区间估计的方法有很多，其中最常用的是最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是指根据已知样本观测值，选择使样本观测值出现的概率最大的总体参数作为估计值。
最大似然估计的基本思想是找到一个参数值，使得已观测到的样本结果出现的概率尽可能大。
矩估计是指根据样本矩的观测值，选择使样本矩的偏差与总体矩的偏差最小的总体参数作为估计值。
矩估计的基本思想是利用样本矩估计总体矩，从而近似估计总体参数。
参数估计在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在医学研究中，需要对患者的疾病概率进行估计，以帮助医生做出正确的诊断和治疗决策。
在经济学研究中，需要对经济指标（如GDP、通胀率等）进行估计，以帮助政府制定宏观经济政策。
在市场调研中，需要对消费者行为进行估计，以帮助企业确定产品定价和市场策略。
然而，参数估计也存在一些局限性。
首先，参数估计的结果仅仅是对总体参数的估计，并不是总体参数的确切值。
其次，参数估计的结果受到样本容量的影响，样本容量越大，估计结果越可靠。
另外，参数估计还需要满足一些假设条件，如总体分布的形式、样本的独立性等，如果这些假设条件不满足，估计结果可能会失效。
统计学第4章 参数估计
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被
估计的总体参数
抽样分布
中，样本 P(ˆ)
均值、比 率、方差
无偏
有偏
分别是总
A
B
体均值、
比率、方
差的无偏
估4计- 2量3
ˆ
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
置信水平（1-α）表达了区间估计的可靠性。 它是区间估计的可靠概率。
显著性水平α表达了区间估计的不可靠的概 率。
4 - 20
统计学§4.2 点估计的评价标准
STATISTICS
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估 计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用 标准
4 - 21
(1) 无偏性 (2) 有效性 (3) 一致性
统计学 定义 STATISTICS
无偏性
(unbiasedness)
若 E(ˆ)
则称 ˆ是 的无偏估计量.
定义的合理性
我们不可能要求每一次由样本得到的
估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
4 - 22
统计学
量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ)
ˆ1 的抽样分布
B
无偏估计量还 必须与总体参 数的离散程度
比较小
4 - 24
A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
统计学
有效性
STATISTICS
定义 设 ˆ1 1(X1, X 2, , X n )
统计学参数估计
用样本的
k
阶中心矩
Bk
1 n
n
X
i 1
X
k
去估计总体
的k阶中心矩 E[ X E( X )]k;
并由此得到未知参数的估计量 .
5-25
设总体 X 的分布函数为F x；1，2， ，m ,
1，2， ，m 是 m 个待估计的未知参数 . 设
m E( X m ) 存在，对任意 k , k 1，2， ，m
i 1
在ˆ ˆ1,ˆ2, ,ˆm 处达到最大，则称ˆ1,ˆ2, ,ˆm
分别为1,2, ,m的极大似然估计量.
5-33
n
由于 ln L ln p xi；
i 1
ln L 与 L 有相同的极大值点 .因此，ˆ 为
极大似然估计的必要条件为
ln L
i
ˆ 0
i 1，2， ，m
称它为似然方程, 其中 1,2,...,m .
5-3
在上例中，假如随机抽取了一个容量为30的样本：
平均年薪
是否参加培训
49094.3
是
53263.9
是
49643.5
否
…
…
根据该样本求得的年薪样本平均数、标准差及参加过 培训计划人数的比例分别为：
x xi / n 1554420/ 30 51814.00
s (xi x)2 /(n 1) 325009260 / 29 3347.72
知参n数， X1，X2， ，Xn 的分布律(或分布密度)
为 p xi； ,当给定样本值 x1，x2， ，xn 后，
i 1
它只是参数 的函数，记为 L ，即 n L p xi； i 1
则称 L 为似然函数，似然函数实质上是样本的
参数估计方法
参数估计方法参数估计方法是统计学中非常重要的一个概念，它用于根据样本数据来估计总体参数的数值。
在统计学中，参数通常是指总体的特征数值，比如总体均值、方差等。
而样本则是从总体中抽取的一部分数据。
参数估计方法的目的就是通过对样本数据的分析，来估计总体参数的数值。
本文将介绍几种常见的参数估计方法。
一、最大似然估计法。
最大似然估计法是一种常用的参数估计方法。
它的核心思想是，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的参数值作为总体参数的估计值。
具体来说，假设总体的概率分布函数为f(x|θ)，其中θ是待估计的参数，x是观察到的样本数据。
那么最大似然估计法就是要找到一个θ值，使得观察到的样本数据出现的概率f(x|θ)最大。
通过对数似然函数的求解，可以得到最大似然估计值。
二、贝叶斯估计法。
贝叶斯估计法是另一种常见的参数估计方法。
它的特点是将参数视为一个随机变量，而不是一个固定但未知的数值。
在贝叶斯估计中，参数的取值是有一定概率分布的，这个概率分布称为参数的先验分布。
当观察到样本数据后，可以通过贝叶斯定理来更新参数的概率分布，得到参数的后验分布。
而后验分布的均值或中位数可以作为参数的估计值。
三、矩估计法。
矩估计法是一种比较直观的参数估计方法。
它的思想是利用样本矩来估计总体矩，进而得到总体参数的估计值。
具体来说，对于总体的某个参数，可以通过样本的矩（如样本均值、样本方差等）来估计总体对应的矩，然后解出参数的估计值。
矩估计法的计算比较简单，但在某些情况下可能会产生不稳定的估计结果。
四、区间估计法。
除了点估计方法，还有一种常见的参数估计方法是区间估计法。
区间估计法不是直接给出参数的估计值，而是给出一个区间，称为置信区间，该区间内有一定的概率包含真实的参数值。
区间估计法的优势在于可以提供参数估计的不确定性信息，而不仅仅是一个点估计值。
总之，参数估计方法是统计学中的重要内容，不同的参数估计方法有各自的特点和适用范围。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的参数估计方法，并结合实际问题对参数进行准确估计。
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令t
X Y /n
，则t服从自由度为n的t分布。
3. 随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态 分布 。
5-13
t 分布图示
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
x
t 分布与标准正态分布的比较
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
5-14
2、性质
——关于y轴呈对称分布；当 n 时，近似于 N（0，1）分布。
5-3
参数估计的一般问题（例子）
例：某大公司要整理2500个职工的档案。其中一项内容是 考察这些职工的平均年薪及参加过公司培训计划的比例。
总体：2500名职工（population )， 如果上述情况可由每个人的个人档案中得知，可容易地测
出这2500名职工的平均年薪及标准差。
已经得到了如下的结果： 总体均值： =51800
样本均值（标准差/比例）称为总体均值（标准差 /比例）的点估计量（point estimator）；
样本均值（标准差/比例）的具体数值称为总体均 值（标准差/比例）的点估计值（point estimate）。
5-6
三大推断分布
1 2分布
2 t 分布 3 F 分布
5-7 2分布(2 distribution)
——α分位点
对于给定的α，0< α<1，称满足 t1 (n) t (n)
P{t t (n)}
f (t)dt
t (n)
的点 t (n) 为t分布的α分位点。
5-15
F分布(F distribution)
1. 由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的， 以其姓氏的第一个字母来命名
2. 设若U为服从自由度为n1的2分布，即 U即~V~2(n21()n，2),V且为U服和从V相自互由独度立为，n则2的称F2分为布服，
为F分布的α分位点。
——
F1 (n1, n2 )
F
1 (n2 , n1)
教材上对统计量抽样分布的归纳 P109
1 单个正态总体
2 两个正态总体
3 一般总体
5-18
一、有关正态总体的几个主要结果
iid
1、若 X1, X 2, ,X n ~ N (, 2 ) 则
U
X
~
N (0, 1)
证明
X
1 n
n i 1
2
5-10
2分布(性质和特点)
1. 分布的变量值始终为正 2. 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不
对称的右偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋 于对称
3. E(2)=n，D(2)=2n 4. 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，
U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自 由度为n1+n2的2分布
n
(xi x )2
i 1
2
~ 2 (n 1)
5-8
2分布(图示)
总体
选择容量为n 的 简单随机样本 计算样本方差S2
计算卡方值
2 = (n-1)S2/σ2
计算出所有的
2值
不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10 n=20
2
5-9
2分布(图示)
n=1 n=4 n=10 n=20
不同容量样本的抽样分布
从自由度n1和n2的F分布，记为
F U n1 V n2
F ~ F (n1, n2 )
5-16
F分布(图示) 不同自由度的F分布
（1,10)
(5,10)
(10,10)
F
5-17
——α分位点 对于给定的α，0< α<1，称满足
P{F F (n1, n2)}
f (y)dy
F (n1,n2 )
5-11
（2） 分位点
若对于给定的 ，0＜＜1，存在使得
则称点P2{(n2)为 2分2(n布)} 的上2 (n) 分f (x位)dx点， 如图所示。
5-12
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出
2. 设X~N(0,1), Y ~ 2 (n)
2
(3) X 与S2独立
5-20
3、设(X1,X2,…,Xn)是正态总体N(μ,σ2)的样
本，则 X ~ t(n 1)
Sn
证明 (X1,X2,…,Xn)是正态总体N(μ,σ2)的样本， 则由分布定理1、2可知
1. 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨
特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分别于1875年
和1900年推导出来
2.
设X ~ N (, 2 ) ，则 z X ~ N(0,1)
令 Y z2 ，则 Y 服从自由度为1的2分布，即
Y ~ 2 (1)
3. 当总体X ~ N (, 2，) 从中抽取容量为n的样本，则
5-1
描述统计与推断统计的关系
概率论
（包括分布理论、大数定律 和中心极限定理等）
反映客观 现象的数
据
样本数据
描述统计
（统计数据的搜集、整
总体数据 理、显示和分析等）
推断统计
（利用样本信息和概率 论对总体的数量特征进
行估计和检验等）
总体内在的 数量规律性
5S-2tatistics
参数估计
5
பைடு நூலகம்
通过本章的学习，我们应该知道： 1. 统计推断的基本问题、概念与原理 2. 参数点估计的方法与评价 3. 正态总体均值、方差的区间估计 4. 一般总体的均值、成数的区间估计 5. 参数估计所需的样本容量的确定
总体参数
总体标准差： =4000
同时，有1500人参加了公司培训，则 参加公司培训计划的比例为： =1500/2500=0.60
5-4
在上例中，假如随机抽取了一个容量为30的样本：
平均年薪
是否参加培训
49094.3
是
53263.9
是
49643.5
否
…
…
根据该样本求得的年薪样本平均数、标准差及参加过 培训计划人数的比例分别为：
Xi
是n
n
个独立的正态随机变量的线性
组合，故服从正态分布。
E(X )
1 n
n i 1
E( X i )
D(X )
1 n2
n
2
D(Xi )
i 1
n
X ~ N(, 2 )
n
U
X
~
N (0, 1)
n
5-19
2、设(X1,X2,…,Xn)是正态总体N(μ,σ2)的样本， 则
(1)
X
~
N
,
2
n
(2) (n 1)S 2 ~ 2 (n 1)
x xi / n 1554420/ 30 51814.00
s (xi x)2 /(n 1) 325009260 / 29 3347.72
p 19 / 30 0.63
5-5
则可用上述结果分别代表2500名职工的平均年 薪、年薪的标准差及受训比例。
上述估计总体参数的过程被称为点估计（point estimation）；