5 单自由度结构的地震反应
第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱一、水平地震作用的基本公式 由上一节可知，()()[]()()t kx t x c t xt x m +=+- 0 3.26因()()r kx t xc ，略去不计，有()()[]()t kx t x t x m ≈+-0 3.27质点的绝对加速度为3.28()()()()()t x t x mkt xt x t a 20ϖ-=-=+= 将式3.24代入上式，得3.29质点的最大绝对加速度为()m ax a t a S =3.30一、 地震反应谱 反应谱分析法：求解结构最大地震反应的方法即反应谱分析法，这种方法是对单质点单自由度体系，在给定的阻尼比 时，取不同的自振周期T ，求出任意给定的地震波下的最大加速度 。
然后，以阻尼比 为参数，作出自振周期T 与最大反应的关系曲线族，即反应谱。
这样一来，对于任何单质点、单自由度体系，如果已知其自振周期T 、阻尼比 ，便可从反应谱图中直接查得该结构体系在特定地震波下的最大反应，实际运用是比较方便的。
图3.7是根据1940.5.18美国埃尔森特罗地震时地面运动加速度记录绘出的加速度反应谱曲线。
任何地震波所得的地震反应谱，几乎后共同的特点。
1、谱曲线是多峰点的，是由于地面运动的不规则造成的，但在阻尼比等于零时反应谱的谱值最大，而任何较小的阻尼比都能否使峰点削平很多。
2、当结构自振周期较小时，随周期T 的增加，反应急剧增长，而较大自振周期时，反应逐渐衰减、稳定。
目前，世界各国已普遍计算和利用地震反应谱。
在现今设计中，已有许多可以直接应用的地震反应谱，包括最大加速度、最大相对加速度或最大相对位移反应，以满足不同使用的要求。
aS 与质点质量的乘积即为水平地震作用的绝对最大值a mS F = 3.31二、 标准反应谱βGk x Sg x mg mS F max a max a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00 3.32式中： k—— 地震系数 β—— 动力系数mg G =——重力（一）地震系数1、概念：即指地面运动最大加速度与重力加速度的比值2、公式：gxk max0 =3.333、有关因素：与地震烈度有关4、确定：见表 3.1 （二）动力系数β1、概念：即指单质点弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比。
单自由度体系地震能量反应的计算
图! 滞回耗能和弹性应变能 " # % ! & ’ ( ) * ’ ) ( + , / ’ 0 ( 0 ’ # * 1 # / / # + ’ 0 1 $ . 2 0 3 0 ( + 3 10 , + / ’ # * / ’ ( + # 30 3 0 ( $ . $ .
（ ， # ! " # $ % % & % ) * ) &+ , ) , . . / ) , , 12 / # $ ) 3 . # 3 4 / .， 5 )’ 0 ,6 , ) * . / 7 ) 3 % # ) . , # . 0 , 19 . # $ , % & % 5 )’ 0 ,? # ) ) B C ( $ ) , 0； ’( -0 8 8 ’" 8， ， ’ ， ’ ， ） ! ! " # $ % % & % ) * ) &+ , ) , . . / ) , )0 ,6 , ) * . / 7 ) 3 % / # $ ) 3 . # 3 4 / . 0 , 19 . # $ , % & % )0 ,? # ) ) B B ( $ ) , 0 ’( - 5 8 ’2 8 5
) 概
述
在地震过程中， 结构吸收地震波输入的能量， 产生结构反应， 并通过结构反应转化和吸收部分能量， 造成结 构吸能部位的损坏。因此， 在地震动过程中， 与结构破坏有直接联系的应是结构的地震能量反应。 结构弹塑性地震反应分析一般采用动态分析方法进行， 即根据选定的地震波和结构恢复力特性曲线， 对动 力方程进行直接积分， 采用逐步积分的方法计算地震过程中每一瞬间结构的位移、 速度和加速度反应， 从而观察 到结构在强震作用下在弹性和非弹性阶段的内力变化以及构件开裂、 损坏直到结构倒塌的全过程。这种方法又
第三章1-单自由度体系的弹性地震反应分析与地震作用
1 k
x g (t )
上式与振动方程（3.4b）完全相同。
17
3. 振动方程的简化
令： = k m (3.6) (3.7)
=
c 2 m
代入式（3.4b）得 即 (t ) 2 x (t ) 2 x (t ) = g (t ) x x (3.5)
式中 ：称为自振频率
x (t )
建立振动方程有两种方法： 刚度法和柔度法
m
k
fD
m
fS
fI
x g (t )
14
1. 刚度法
地震时，任意时刻质点m的相对位移为x(t ) 任意时刻基础的位移为xg (t ) 质点m的绝对加速度为： x(t ) xg (t ) 取质点m为脱离体，则其所受 到的作用力有：
xg (t )
t
30
振动方程的特解——续
2 x 2 x = g x x
观察振动方程，可将方程右边项 xg (t )看作单位质量(m = 1)上 的动力荷载。
g (t )曲线划分成若 现将 x 干个瞬时荷载（如图）。
当t = 时： 体系的质量 m = 1 g ( ) 1 瞬时荷载为 P = x g ( ) d 瞬时冲量为 Pdt = x
x(t ) = et (c1 cosDt c2 sin Dt )
D = 1 2
D : 有阻尼单自由度体系的 自振频率
一般工程为欠阻尼情况： 边界条件： 代入上式：
x0 = x(0), x 0 = x(0)
c1 = x0
代入上式导数式： c = 2
x 0 x0
6
【2017年整理】地震反应谱、设计反应谱与地震影响系数谱曲线
【2017年整理】地震反应谱、设计反应谱与地震影响系数谱曲线地震反应谱、设计反应谱与地震影响系数谱曲线一直对反应谱这个东西，进来在听完一些免费结构讲座之后，自己总结了一下，梳理了一下几个概念，当然理解这些概念还需要对地震动的一些基本概念有一定理解，下次有机会再将地震动的东西总结一下，希望对初学者有点作用，文中所用图均来自网上。
1.地震反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大反应与相应体系自振周期间的关系曲线。
但是，不同场地类别和震中距对反应谱有影响，因而不能直接用于抗震设计，需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称为设计反应谱。
2.设计反应谱由结构动力学地震系数，该参数可将地震动幅值对地震反应谱的影响分离出来。
地震系数与基本烈度的关系基本烈度6789地震系数k0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.40(另:本人对其结果很是不解，由后文可知，地震影响系数最大值等于2.25倍的地震系数，而《抗震规范》2010 表5.1.4-1除以2.25后应该为基本烈度6789地震系数k0.0170.0355(0.0533)0.071(0.106)0.142欢迎大家讨论～)动力系数，是体系最大绝对加速度的放大系数特点:a.是一种规则化的地震反应谱，且动力系数不受地震动振幅的影响。
b.与地震反应谱具有相同的性质，受到体系阻尼比，以及地震动频谱(场地条件和震中距)的影响。
调整:1、为了消除阻尼比的影响由于大多数实际建筑结构的阻尼比在0.05左右,取确定的阻尼比然后不同建筑物根据公式相应调整。
2、按场地震中距将地震动记录分类，消除地震动频谱对地震动的影响。
3、计算每一类地震动记录动力系数的平均值考虑类别相同的不同地震动记录动力系数的变异性。
经过上述三条措施后，再将计算得到的β(T)平滑化后，可得到抗震设计采用的动力系数谱曲线。
3.地震影响系数谱曲线反应谱的局限性:不能反映地震的持续时间(加速度幅值)不能考虑多点激励的影响(刚性地基)不能反映建筑物质量和刚度分布的不均匀不能反映多个阻尼的情况不能反映场地条件和卓越周期的影响不能反映低周疲劳的影响不能反映结构周期不确定性的影响1,万,1,千地质测量质量要求表(吉林参考)11,万 1,5千 1,2千 1,千 1,万草测 1,2千草测 1 2 3 4 5 6 7 一沉 1对地层划分到组或阶，如范围大应进一步二分或三分，确定1.在1,万分成的基础上，按岩层、岩性特一般地段的研究程含矿层或地积其时代，测定其厚度及产状点进一步详细划分岩层，研究岩石的物质成度可低于1,万或成矿有利质岩 2.对标志层、成矿有利的岩层在图上的宽度大于1毫米者应扩分、结构、构造特征，胶结物性质，结核体与之相似。
反应谱-地震工程
1. 地震作用下的运动方程体系的受力平衡方程为I S ()()()0D f t f t f t ++=，其中惯性力I g ()(()())f t mu t mu t =-+，弹性恢复力S ()()f t mu t =-，阻尼力D ()()f t cu t =-代入得()g mu cu ku mu t ++=-， 22()g u u u u t ξωω++=- 2. 反应量在抗震设计中预留防震缝以防止相邻建筑物在地震中相互作用，则需要确定质量的绝对位移()t u t ，如果结构支撑着敏感设备并且要确定传递给设备的运动，那么需要确定质量的绝对加速度()t u t ，体系的内力与质量相对于运动地面的位移u（t ）线性相关的。
地震中反应量主要指相对量u （t ），()t u，()t u 和绝对量()t u t ，()t u t ，()t u t3. 反应时程反应时程体系的位移反应时程是()u t 、伪加速度反应时程()A t ，两者的关系为：2()()A t u t ω=给定地面运动()g u t ，单自由度体谱时，地震作用是确定的，每条地震波可以得到各自对应的反应谱。
反应谱的每一条曲线对应一个结构阻尼比，每一个结构阻尼比可得到一条反应谱。
反应谱的结构反应量既可以是系的位移反应只和体系的固有频率和阻尼比有关系，同样，伪加速度反应也一样。
确定出特定体系（固有频率和阻尼比一定）的位移反应和伪加速度反应，可方便地计算体系的内力了。
4. 反应谱用某个反应量的峰值作为体系的固有周期或像圆频率之类的参数的函数图形，称为该反应量的反应谱。
反应谱可以体现出结构的最大反应量与结构自振周期和阻尼比之间关系。
在获得反应绝对加速度，也可以是速度和位移。
反应谱作为地震工程中的一个核心概念，提供了一种方便的手段来概括所有可能的线性自由度体系对地面运动的某个特定分量的峰值反应。
它还提供了一种实用的方法，将结构动力学知识应用于结构的设计以及建筑规范中侧向力条文的制定。
地震反应谱
有阻尼自由振动
振动方程为 简化为
mx cx kx 0 2hwx w2 x 0 x c / m 2hw
xe
（9） （10）
其解为
k/mw
hwt
2
( A cos wd t B sin wd t )
（11）
速度表达式： x ehwt (hwAsin wd t wd B cos wd t ) （12)
地震反应谱
汇报者：董艳博
地震反应谱 • 单自由度体系在给定的地震作用下某个（位移、速度、加 速度）最大反应与体系无阻尼自振周期的关系曲线称为该 反应的地震反应谱。
单质点系的振动
• 1、水平方向的振动时的运动方程的建立
x g (t ) ：地面（基础）的水平位移
x(t ) ：质点对地面的的相对位移
x g ( t ) x( t )
t
THANKS
t
F ( )d h (t ) x(t ) e hw sin d (t ) d cos d (t )d 0 md
地震动反应
单质点系受地震作用时的运动方程式 mx cx kx my
x y 2hwx w2 x
m( g ) x x
cx
m
x(t )：质点的总Fra bibliotek移mkx
xg (t )
x g ( t ) x( t ) ：质点的绝对加速度
取质点为隔离体，作用在质点上的力惯性力：
I m x g ( t ) x( t ) 弹性恢复力： S kx(t ) 阻尼力：（粘滞阻尼理论） R cx(t )
•
根据达朗贝尔原理， 运动方程为：
第三章-单自由度体系结构的地震反应
P(t)
t
(t)
x(t)
() (a)
t
() (b)
xt ＝e
Pdt sin t （3.11） m
图3.7 瞬时冲量及其 引起的自由振动
3.3.2
一般动力荷载下的动力反应 般动力荷载下的动力反应—— 杜哈美积分
P()
图3.8示任一动力荷载，它 图3 8示任 动力荷载 它 的整个加载过程可看作是 由一系列瞬时冲量所组成。 运用叠加原理，把各个瞬 时冲量单独作用下的动力 反应求出 然后再叠加以 反应求出，然后再叠加以 求得总的动力反应。 冲量 P d 在 t t 引起的单自由度体系的振 动为
（3 1） （3.1） （3.2）
2x 2 x ＝ a t x
c c c 2 ＝ , ξ ， 2 mω 2 mk m
称为阻尼比；k为弹簧系数；c为阻尼系数 称为阻尼比 为弹簧系数 为阻尼系数
k ＝ ， 叫做无阻尼的自振圆频率 m
P t a t ＝ m Nhomakorabea3.4.2 运动方程数值计算解
目前直接对运动微分方程进行数值积分的方法，如 平均加速度法、线性加速度法、纽马克—法、 Wilson－法等。 数值方法的基本思路 t 0 ， t 0 及各个分点间的递 x 利用初始条件 x t 0 ，x 推关系，一步一步地向下进行递推计算
叫做激振加速度
地面运动作用下单自由度体系的运动方程
X(t) -mXg(t)
D S
I
Xg(t) (a) (b) (c)
图3.4
力学模型
x(t ) 质量块的绝对加速度 相对加速度为 x(t ) xg (t ) ，相对加速度为
单自由度体系结构的地震反应
3.13.1 概述
建筑结构的地震反应
3.1 概述
3.2.1力学模型及其运动方程
线性单自由度体系的运动方程
()
平衡方程地面运动作用下单自由度体系的运动方程平衡方程为（如图3.4）：
3.2.2单自由度体系的无阻尼自由振动3.2.3单自由度体系的有阻尼自由振动
例题分析
[例题3.1]
用下的受迫振动
3.3.1瞬时冲量及其引起的自由振动
应——杜哈美积分
3.4.1杜哈美积分的数值计算3.4 单自由度体系地震反应的数值计算
3.4.1杜哈美积分的数值计算
3.4.2运动方程数值计算解线性加速度法
线性加速度法线性加速度法
[]
例题分析例题分析
3.5 抗震设计反应谱 3.5.1水平地震作用的基本公式
采用的反应谱地震系数
动力系数标准的地震影响系数曲线
α
例题分析
例题分析
[例题3.3]
反应与计算 3.6.1材料的非线性
3.6.2单自由度非线性体系的运动方程 3.6.3非线性运动方程的求解3.6.4恢复力模型
“半退化三线型”恢复力模型。
抗震答案——精选推荐
抗震答案1、地震动有哪⼏个要素？P3峰值（最⼤振幅）、频谱、持续时间。
2、地震⼤震、中震、⼩震对应的超越概率？P8⼩震（多遇地震烈度）：63.2%，中震：10%，⼤震（罕遇地震烈度）：2%。
3、地基⼟液化过程的概念及判别。
P20-P21概念：饱和松散的砂⼟或粉⼟（不含黄⼟），地震时易发⽣液化，使地基⼟的承载⼒丧失或减弱，甚⾄喷⽔冒砂，这种现象称为砂⼟的液化或地基⼟的液化。
判别：初步判别、标准贯⼊试验判别（具体判别过程看课本）4、地震反应谱的概念以及影响因素。
P35-P37概念：单⾃由度体系的地震最⼤绝对加速度与相应的⾃振周期T的关系。
影响因素：关键因素：地震动（峰值、频谱、持续时间）、阻尼⽐。
还有场地条件，震中距等其他因素。
5、地震甲、⼄、丙、丁不同类别的建筑对应同样的地震采⽤的措施？P10-P11甲类（特殊设防类）：应按⾼于本地区抗震设防烈度提⾼⼀倍的要求加强其抗震措施，但抗震设防烈度为9度时应按⽐9度更⾼的要求采取抗震措施。
同时，应按批准的地震安全性评价的结果且⾼于本地区抗震设防烈度的要求确定期地震作⽤。
⼄类（重点设防类）：应按⾼于本地区的抗震设防烈度⼀倍的要求加强其抗震措施，但抗震设防烈度为9度时应按⽐9度更⾼的要求采取抗震措施；地基基础的抗震措施，应符合相关的要求。
同时，应按本地区的抗震设防烈度确定其地震作⽤。
丙类（标准设防类）：应按本地区抗震设防烈度确定其抗震措施和地震作⽤。
丁类（适度设防类）：允许⽐本地区的抗震设防烈度的要求适当降低其抗震措施，但其抗震设防烈度为6度时不应降低。
⼀般情况下，仍应按本地区抗震设防烈度确定其地震作⽤。
6、地震烈度对不同建筑的影响（⽐如对建筑的刚度、柔度的影响）。
7、影响液化指标的因素有哪些？P22⼟层所处的深度、地下⽔位的深度，饱和⼟的粘粒含量，地震烈度。
8、影响承载⼒抗震调整系数的因素有哪些？P19岩⼟类型和性状。
9、地震系数K与什么因素有关？P40与地震烈度有关（烈度越⾼，K值越⼩）。
单自由度体系结构的地震反应(2)
• 动力系数(放大倍数）
＝ Sa
xg max
7
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应
二、地震影响系数
• 地震系数 k＝ xg max
g
反应地面运动强烈程度。一般，地震烈度愈大，地面 运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数 与地震烈度之间有一定的对应关系。
地震烈度与地震系数的关系
地震烈度
6
7
2 1+0.05 0.08+1.6
20
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 六、 《抗震规范》设计反应谱
2. 地震影响系数曲线的确定 1)选用国内、外近300条地震纪录，按场地类别归类，统 计拟合出标准地震影响系数曲线。
2)谱曲线的峰值 max ：取决于设防烈度
表5-5 水平地震影响系数最大值αmax
对应关系，这样给定任一地面运动，即可做出一条a-T 曲线称作加速度反应谱曲线。
13
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 四、地震反应谱
反应谱曲线的特点 1）多峰值；2)阻尼影响大；3)随周期变化规律显著
El Centro波加速度反应谱
El Centro波速度反应谱
14
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 五、设计地震反应谱
地震系数k 0.05
0.1
表3-3
8
9
0.2
0.4
8
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 二、地震影响系数
• 动力系数(放大倍数） ＝ Sa xg max
反应单质点体系最大绝对加速度与地面运动最大加速度 的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比 地面运动最大加速度放大了多少倍.
9
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 三、水平地震作用的计算
3—5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用
3.5.2 底部剪力法
再将余下的部分 (1−δn )FEK 进行分配。因此， 进行分配。因此，在 考虑了上述调整后， 考虑了上述调整后，顶点的水平地震作用为 GnHn Fn = n (1−δn )FEK +δnFEK ∑ H jGj (3-135b) 135b) j=1 而其余各质点的水平地震作用为
αj Gi Vjo = ∑ Fji = ∑α jγ jφjiGi = α1G∑ γ j X ji i=1 i=1 i=1α G 1
n n n
5-3)
αj Gi 2 FEK = ∑V = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1
n 2 jo n n
(3-
3.5.2 底部剪力法
式中， 为高振型影响系数， 式中，ξ为高振型影响系数，其表达式为
αj Gi 2 ξ = j∑1(i∑ γ j X ji ) = =1α G 1
n n
计算资料的统计分析表明， 计算资料的统计分析表明 ， 当结构体系各质点重量 相等，并在高度方向均匀分布时， 相等，并在高度方向均匀分布时， ， ξ =1.5( n为质点数n +1) /(2n +1) 为质点数。如为单质点体系(即单层建筑 即单层建筑)， 为质点数。如为单质点体系 即单层建筑 ， ，如 ξ =1 为无穷多质点体系， 抗震规范》取中间值， 为无穷多质点体系， 。《抗震规范》取中间值， ξ = 0.75 故式(3-5-3) ξ = 0.85 即 。故式 n n n αj Gi 2 2 FEK = ∑Vjo = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1 改写为
3.5.2 底部剪力法
FEK = α1Geq
结构地震反应的分析方法与理论
结构地震反应的分析方法与理论随着人们对地震和结构动力特性认识程度的加深，结构的抗震理论大体可以划分为静力分析、反应谱分析和动力分析三个阶段。
2.2.1静力分析理论水平静力抗震理论[25]始创于意大利，发展于日本。
该理论认为:结构所受的地震作作用可以简化为作用于结构的等效水平静力，其大小等于结构重力荷载乘以地震系数，即： /F G g kG =α= (2.1)静力理论认为结构是刚性的，故结构上任何一点的振动加速度均等于地震动加速度，结构上各部位单位质量所受到的地震作用是相等的。
它忽略了结构的变形特征，没有考虑结构的动力特性，与实际情况相差较远。
随着工程抗震研究的发展，对地震认识的深入，此法已经淘汰。
2.2.2反应谱理论上世纪40年代以后，由于计算机技术的应用，在取得了较多的强震记录的基础上，产生了反应谱理论。
反应谱分析方法[25][26]是一种将模态分析的结果与一个已知的谱联系起来计算模型的作用效应的分析技术。
反应谱是指单自由度体系最大地震反应与结构体系自振周期的关系曲线。
为了便于计算，《抗震规范》采用相对于重力加速度的单质点绝对最大加速度，即/a S g 与体系自振周期T 之间的关系作为设计用反应谱，并将/a S g 用α表示，称为地震影响系数，如图2-5所示。
单自由度弹体系水平地震反应微分方程为：()()()()0mx t cx t kx t mx t ++=- (2.2)由上式得:()()()()0m x t x t k x t c x t-+=+⎡⎤⎣⎦ (2.3) 上式等号右边的阻尼力项()cx t 相对于弹性恢复力项()kx t 来说是一个可以略去的微量，故：()()()0m x t x t kx t -+=⎡⎤⎣⎦ (2.4)由反应谱理论，水平地震作用为：/a a F mS S gG G ===α (2.5)/a S g α= (2.6)α——地震影响系数；a S ——质点的绝对最大加速度；图2-5 地震影响系数α曲线Fig.2-5 seismic influence coefficient α vurves上升阶段 ()max 0.45 5.5T α=+α (00.1T ≤≤) (2.7) 水平阶段 α=max α (0.1g T T <≤) (2.8)曲线下降段 max g T T γ2⎛⎫α=ηα ⎪⎝⎭(5g g T T T <≤) (2.9) 直线下降段 ()max 0.25g T T γ21⎡⎤α=η-η-α⎣⎦ (5 6.0g T T <≤) max α——地震影响系数最大值；g T ——场地特征周期。
《地震反应谱》课件
新材料与新结构
随着新型材料和结构的出现，研究其在地震作用下的反应 特性，对于完善地震反应谱理论具有重要意义。
多维地震动输入
目前地震反应谱主要考虑水平地震动输入，未来研究可以 扩展到多维地震动输入，包括竖向和扭转分量，以更全面 地评估结构的抗震性能。
跨学科合作
加强地震工程学与其他相关学科（如物理学、数学、生物 学等）的合作，从多角度深入研究地震反应谱的内在机制 和影响因素。
人工智能技术
人工智能技术在数据处理、模式识别 等方面具有优势，未来可以应用于地 震反应谱的计算和分析中，提高计算 效率和准确性。
复杂结构体系的研究
高层建筑
随着城市化进程的加速，高层建 筑的数量不断增加，对高层建筑 的地震反应谱研究将更加深入。
地下结构
地下结构如地铁、隧道等在地震 作用下的反应与地面结构有所不 同，未来将加强这方面的研究。
详细描述
在结构抗震设计中，地震反应谱用于描述结 构在地震作用下的反应特性，包括加速度、 位移、速度和加速度谱等。这些数据可以帮 助工程师评估结构的抗震性能，并优化结构 的设计，提高其抵抗地震的能力。
结构健康监测
总结词
结构健康监测是另一个地震反应谱的重要应 用领域，通过实时监测结构的反应谱数据， 可以及时发现结构的损伤和异常，保障结构 的安全。
地震反应谱的重要性
总结词
地震反应谱是抗震设计的基础，有助于确定结构在地震作用下的响应和破坏程度。
详细描述
地震反应谱在抗震设计中扮演着至关重要的角色。通过分析地震反应谱，工程师可以了解结构在不同频率的地震 作用下的响应特性，从而有针对性地进行结构设计和优化。这对于确保结构在地震发生时能够保持稳定，避免或 减少破坏具有重要意义。
【2017年整理】地震反应谱、设计反应谱与地震影响系数谱曲线
【2017年整理】地震反应谱、设计反应谱与地震影响系数谱曲线地震反应谱、设计反应谱与地震影响系数谱曲线一直对反应谱这个东西，进来在听完一些免费结构讲座之后，自己总结了一下，梳理了一下几个概念，当然理解这些概念还需要对地震动的一些基本概念有一定理解，下次有机会再将地震动的东西总结一下，希望对初学者有点作用，文中所用图均来自网上。
1.地震反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大反应与相应体系自振周期间的关系曲线。
但是，不同场地类别和震中距对反应谱有影响，因而不能直接用于抗震设计，需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称为设计反应谱。
2.设计反应谱由结构动力学地震系数，该参数可将地震动幅值对地震反应谱的影响分离出来。
地震系数与基本烈度的关系基本烈度6789地震系数k0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.40(另:本人对其结果很是不解，由后文可知，地震影响系数最大值等于2.25倍的地震系数，而《抗震规范》2010 表5.1.4-1除以2.25后应该为基本烈度6789地震系数k0.0170.0355(0.0533)0.071(0.106)0.142欢迎大家讨论～)动力系数，是体系最大绝对加速度的放大系数特点:a.是一种规则化的地震反应谱，且动力系数不受地震动振幅的影响。
b.与地震反应谱具有相同的性质，受到体系阻尼比，以及地震动频谱(场地条件和震中距)的影响。
调整:1、为了消除阻尼比的影响由于大多数实际建筑结构的阻尼比在0.05左右,取确定的阻尼比然后不同建筑物根据公式相应调整。
2、按场地震中距将地震动记录分类，消除地震动频谱对地震动的影响。
3、计算每一类地震动记录动力系数的平均值考虑类别相同的不同地震动记录动力系数的变异性。
经过上述三条措施后，再将计算得到的β(T)平滑化后，可得到抗震设计采用的动力系数谱曲线。
3.地震影响系数谱曲线反应谱的局限性:不能反映地震的持续时间(加速度幅值)不能考虑多点激励的影响(刚性地基)不能反映建筑物质量和刚度分布的不均匀不能反映多个阻尼的情况不能反映场地条件和卓越周期的影响不能反映低周疲劳的影响不能反映结构周期不确定性的影响1,万,1,千地质测量质量要求表(吉林参考)11,万 1,5千 1,2千 1,千 1,万草测 1,2千草测 1 2 3 4 5 6 7 一沉 1对地层划分到组或阶，如范围大应进一步二分或三分，确定1.在1,万分成的基础上，按岩层、岩性特一般地段的研究程含矿层或地积其时代，测定其厚度及产状点进一步详细划分岩层，研究岩石的物质成度可低于1,万或成矿有利质岩 2.对标志层、成矿有利的岩层在图上的宽度大于1毫米者应扩分、结构、构造特征，胶结物性质，结核体与之相似。
地震作用计算——地震反应分析
体系的自由振动由体系初位移和初速度引起，而体系的强迫振动由地
面运动引起。若体系无初速度和初位移，则体系地震反应中的自由振动项
为零。即使体系有初位移和初速度，由于体系有阻尼，由x1（t）式子可知， 体系的自由振动项也会很快衰减，一般可不考虑。因此，可仅取体系强迫
振动项，即x2（t），计算单自由度体系的地震位移反应。
4.2.2 振动微分方程及解答
各种阻尼状态下单自由度体系的自由振动
0 0 1 1 1
4.2.2 振动微分方程及解答 2. 非齐次微分方程的特解——杜哈曼积分（强迫振动）
x(t) 2 x(t) 2 x(t) xg (t)
利用数值积分的思路进行求解： 1、将地震的地面加速度分成有限个脉冲 2、讨论在单一脉冲作用后结构的响应 3、单一脉冲作用后结构的响应为自由振动，解的形式已知 （只是初速度不同）。 4、在所有脉冲作用下结构的响应为每一自由振动的叠加 （积分）
相当于地震产生的作
单质点弹性体系在地 震作用下的微分方程
用于结构上的强迫力
x(t)
c m
x(t)
k m
x(t)
xg
(t)
x(t) 2 x(t) 2 x(t) xg (t)
2
x(t) 2 2
c km
k m
x(t)
k m
x(t) xg (t)
单自由度体系结构的地震反应
加速度反响谱曲线确定过程：
应取0.9。 4)直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系
数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
2 当建筑构造的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系 数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合以下规定：
1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定：
0.900..3056
• 由?抗震标准?可直接查得地震影响系数α，从而可方便地求得 单质点体系的水平地震作用。
F 由ma Sm 2 T• x g g 0S g 1 m aa xS g 0 ta x • g 0( G ) e 2 T ( t ) • s S i g n a2 T x ( 0 tg m ) a• d xx 0 m Sa m ax 得a x :k
• 对假设干条个地面运动加速度时程，可得到假设干条α-T曲
线。
• 对不同的建筑场地分类，对得到的α-T曲线进展统计、拟合，
并结合工程经历适当进展调整，可确定对应场地的标准α-T
曲线，即为标准的地震影响系数曲线。
• 假设构造的阻尼比不等于0.05，可在标准地震影响系数的根
底上进展修正而得到。
• 按照以上思路所得到的地震影响系数-自振周期曲线为设计
得 a ( t ) 0 t x 0 () e ( t )• si ( t n ) d
§3.3 单自由度体系地震作用及其反响谱
自由度体系结构的地震反应
直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
地震影响系数曲线
2 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定： 1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定： 3)阻尼调整系数应按下式确定：
地震影响系数的确定
建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值应按表3-4采用；特征周期应根据场地类别和设计地震分组按表3-2采用,计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。
近年来地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况重得多；理论分析也发现，震中距不同时反应谱频谱特性并不相同。
2
为更好体现震级和震中距的影响，采用设计地震分组来区分近震和远震，将建筑工程的设计地震分为三组。
3
设计地震第一组；震中距较小
4
设计地震第二组；震中距适中
5
设计地震第三组：震中距较大
6
常用术语—设计地震分组
谢谢观看！
单击此处添加副标题
3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱 标准反应谱
地震系数
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。 地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。
地震烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.1（0.15）
模态叠加法计算地震加速度时程反应的几个问题
模态叠加法计算地震加速度时程反应的几个问题潘旦光;李雪菊;芦盼【摘要】针对模态叠加法进行结构加速度时程反应分析,讨论了广义坐标积分步长、模态截断和离散位移时程求导三个问题对加速度时程反应误差的影响;并提出了振型加速度贡献系数的模态截断指标.以简谐荷载作用下单自由度体系的地震反应和三条地震波作用下的5层框架结构的地震反应为例,进行数值计算.算例分析结果表明:当广义单自由度计算的离散时间步长小于1/32的自振周期时,加速度反应的误差小于5% ;对于加速度时程反应而言,基于振型参与质量选取的模态数偏少,应基于振型加速度贡献系数作为模态截断的依据;由离散位移时程经中心差分法所得加速度的误差与直接由模态叠加法所得的基本相同,而快速傅里叶变换( FFT)方法所得加速度时程存在虚假的高频振动而误差较大,采用低通滤波可有效降低误差.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2019(019)010【总页数】8页(P155-162)【关键词】模态叠加法;积分步长;模态截断;中心差分法;滤波【作者】潘旦光;李雪菊;芦盼【作者单位】北京科技大学土木工程系,北京100083;同济大学土木工程防灾国家重点实验室,上海200092;北京科技大学土木工程系,北京100083;北达科他州立大学物流运输系, Fargo 58108-6050【正文语种】中文【中图分类】TU311.3在地震等复杂荷载作用下结构时程反应计算方法很多[1—4]，其中，模态叠加法理论简单、计算效率高而成为最常用的方法。
对于线弹性体系，模态叠加法理论上严密而精确，但少数低阶模态动力反应的解作为结构动力反应解必然存在模态截断误差[5,6]。
为在进行动力反应分析前，预估模态截断所产生的误差，不同学者提出不同指标以选择合适的模态阶数。
振型参与质量[2,7]作为最常用的模态截断依据而被规范和教材所采用。
Wilson[2]在分析振型参与质量比的基础上进一步提出静荷载参与比和动荷载参与比指标，对于地震而言，动荷载参与比和振型参与质量本质上是相同的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
40
中心差分方法（线弹性情况）
知道这些 参数即可
41
中心差分方法（线弹性情况）
知道这些 参数即可 • 根据 • 根据 • 分析步长取多大？下式是稳定性要求的步 长。实际中取的更小，一般0.01~1e-5
42
中心差分方法（线弹性情况）
• 步骤总结 绝对速度 和加速度
43
中心差分方法（线弹性情况）
max max
max
mSa
g
G k G
?
G ---集中于质点处的重力荷载代表值
g ---重力加速度
Sa xg (t )
k
xg (t ) g
max
---地震系数
---动力系数
max
k ---地震影响系数
23
抗震设计谱（续）
• 重力荷载代表值应取结构和构件自重标 准值和各可变荷载组合值之和。可变荷 载的组合值系数，可按下表采用
Sd = x(t ) max
13
y g ( t )
(ms 2 )
t (s)
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
相对速度反应谱
(t ) max Sv x
14
y g ( t )
(ms 2 )
t (s)
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
绝对加速度反应谱 Sa x(t ) xg
max
15
地震动反应谱（续）
1. 目前应用的抗震设计方法是基于力的抗震设计， 加速度反应谱是基于力的抗震设计的基础，因 此后面将主要介绍加速度反应谱 2. 在 代 表 未 来 抗 震 设 计 理 论 发 展 方 向 的 抗 震 理 论 —— 基 于 性 态 的 抗 震 设 计 理 论 （Performance-based seismic design）中，位 移反应谱将起到至关重要的作用！位移谱可以 用加速度谱转化。
50
Newmark方法（线弹性情况）
• 步骤总结 隐式方法 Implicit method
i+1时刻由i和 i+1时刻求出 ，使用i+1时 刻的平衡
51
Newmark方法（线弹性情况）
• 分析步长取多大？下式是稳定性要求的步 长。实际中取的更小，一般0.01~0.005， 但比显式方法大的多
52
• 第二类误差（初始刚度预测） 迭代逼近
modified Newton–Raphson iteration
62
Newmark方法（非线性情况）
• 第二类误差（初始刚度预测） 迭代逼近
Newton–Raphson iteration
63
Newmark方法（非线性情况）
• Modified Newton–Raphson iteration：收 敛慢、收敛性相对好 • Newton–Raphson iteration：收敛快、收 敛性相对差
max(Tg / T)
1 0.6 0 0.2 0.50.8 0 0.3 1
1.5 2.5
0 0.3
1
1.5
2 T (s)
3
4
2 T (s)
3
4
(c) 1974规范设计谱
Sl Sll Slll
4
(d) 1989规范设计谱
max
3
加速度
max(Tg / T)
2
max(Tg / T)
稳定性
• 三种方法的稳定性
无条件稳定
条件稳定
53
稳定性（续）
• Procedures that lead to bounded solutions if the time step is shorter than some stability limit are called conditionally stable procedures • Procedures that lead to bounded solutions regardless of the time-step length are called unconditionally stable procedures
设防烈度I 地震系数k 6 7 8 0.05 0.10（0.15） 0.20（0.30） 9 0.40
26
地震系数k
k
g (t ) x g
max
---地震系数
27 设计基本地震加速度是否直接用于设计？No！
抗震设计谱（续）
根据同一类场地上所得到的地面加速度记录分别计算 出它的加速度反应谱曲线，然后将这些谱曲线进行统计分 析，求出其中最有代表性的平均反应谱曲线然后结合经验 判断确定，通常称这样的谱曲线为抗震设计谱！
28
抗震设计谱（续）
---地震影响系数 ---结构周期
地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）
地震影响 多遇地震 罕遇地震 0.04 ----烈度 6 7 8 9 0.08(0.12) 0.16(0.24) 0.32 0.50(0.72) 0.90(1.20) 1.40
T
max---地震影响系数
5
荷载插值方法
6
荷载插值方法（续）
无阻尼情况
• 考虑i时刻的初始条件，得到
• i+1时刻
7
荷载插值方法（续）
无阻尼情况
• i+1时刻的反应
8
荷载插值方法（续）
无阻尼情况
• 可以得到以下递推公式
• 通过递推，可以得到结构反应的时程。值 得注意的是该方法没有任何的假设（除了 假设线性插值）。但该方法仅适用于线弹 性结构计算。 9
54
计算误差
• 计算误差：数值计算结果和真实结果的误 差。考虑以下自由振动算例
• 真实结果（理论解）
55
计算误差（续）
结构的时程反应
56
计 算 误 差
Amplitude Decay（AD）和 Period Elongation（PE）
57
中心差分方法（非线性情况）
• 使用位移差分表示速度和加速度
• 带入方程
，得到
58
Newmark方法（非线性情况）
• 带入方程 ，得到
• 下式的近似性
固定时间步长引 起的分析误差
59
Newmark方法（非线性情况）
• 第一类误差（拐点预测） 速度判断 减小步长
60
Newmark方法（非线性情况）
• 第二类误差（初始刚度预测） 迭代逼近
61
Newmark方法（非线性情况）
荷载插值方法（续）
• 递推系数（考虑阻尼）
10
地震动反应谱
11
地震动反应谱（续）
Sa
加速度反应谱
T1 Ti
T
概念：单自由度体系在给定地震动作用下 某种反应量的最大值与体系自振周期之间 的关系曲线
12
相对位移反应谱
地震动
y g ( t )
(ms 2 )
t (s)
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
45
Newmark方法（线弹性情况）
46
Newmark方法（线弹性情况）
• 速度和位移用以下两式表示 需要迭代
• 增量形式
47
Newmark方法（线弹性情况）
• 速度和位移用以下两式表示 需要迭代
48
Newmark方法（线弹性情况）
• 带入方程 ，得到
49
Newmark方法（线弹性情况）
• 步骤总结 绝对速度 和加速度
• 步骤总结 显式方法 Explicit method
i+1时刻由i时 刻求出，不使 用i+1时刻的 平衡条件
44
Newmark方法（线弹性情况）
• 速度和位移用以下两式表示
• 根据以上两个参数的取值不 同，对应两种常用方法：平 均加速度法和线性加速度法
Newmark NM，1959年提出。地震工程 中“最流行”的方法
0.9
1
min
0.3 0.2 0.7 1.5 3.5
0
1
2 T (s)
3
4
0 0.1 0
Tg 1
2 T (s)
3
33
4
4
中国规范设计谱（
1%
3
2% 5% 10% 20%
2
1
20 01 ）
0
0 0.25
1
2
3 T (s)
4
5
6
34
中国规范设计谱（
20 10
）
35
差异来自何处，认识问题？
38 个国家的设计谱比较
分四 类
29%
分二 类
7.9%
分三 类
36
55%
分六 类
5.3% 2.6%分Βιβλιοθήκη 类• 反应谱研究存在的问题
37
• 标准化技术（距离的影响）
38
• 标准化技术（谱的敏感区）
Chopra，2001
39
中心差分方法（线弹性情况）
• 使用位移差分表示速度和加速度
• 带入方程
，得到
水平地震影响系数是地震系数k与动力系数的乘积， 当基本烈度确定后，地震系数k为常数。仅随值而变化。 所以，水平地震影响系数最大值
max k max 2.25k
我国抗震规范中是以水平地震影响系数作为抗震设计 依据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以 25 及结构自振周期和阻尼比确定
0.05 2 1 0.06 1.7
30
对设计谱的再认识
31
由Housner提出的第一个地震设计谱(1959) 32