复数单元测试题含答案 百度文库
英语单复数测试题及答案
英语单复数测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. There are _______ in the box.A. a bookB. two booksC. many books2. I have _______ to tell you.A. newsB. a newsC. some news3. _______ is a kind of fruit.A. BananaB. BananasB. A banana4. The _______ are playing football.A. manB. menC. mans5. There is _______ on the table.A. a cup of teaB. cups of teaC. some cups of tea6. She has _______.A. two brotherB. two brothersC. two brother's7. _______ are my favorite fruit.A. AppleB. ApplesC. An apple8. How many _______ do you have?A. tomatoB. tomatoesC. tomatos9. _______ is going to the party.A. The SmithsB. SmithC. The Smith10. _______ is difficult to learn.A. ChineseB. The ChineseC. A Chinese二、填空题（每题1分，共10分）11. There are _______ (许多) apples on the table.12. _______ (一张) paper is enough for the test.13. I have _______ (一些) pens in my bag.14. _______ (一只) dog is barking at the door.15. _______ (一些) students are playing basketball.16. _______ (两杯) coffee is too much for me.17. _______ (三只) cats are sleeping on the sofa.18. _______ (五本) books are on the shelf.19. _______ (四辆) cars are parked outside.20. _______ (六条) fish are swimming in the tank.三、改错题（每题1分，共10分）21. I have a lot of informations to share with you.22. The news is very exciting.23. There are two mices in the kitchen.24. She has a lot of moneys.25. The child has two tooths.26. There are many peoples in the park.27. The deers are running in the forest.28. The man and the woman are my friends.29. There are two childs in the classroom.30. A foots are hurting.四、翻译题（每题2分，共20分）31. 桌子上有两本书。
必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数 2．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 4．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i) 5．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i - 7．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i --B ．1i +C ．55i +D ．55i - 8．复数51i i-的虚部是( ) A ．12 B ．2i C ．12- D ．2i - 9．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）A B C D 10．若11i ai ++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2- 11．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ）A 1BC ．3D ．212．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数2202021a i z i =--不是纯虚数“是“1a ≠”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．设复数z 满足341z i --=，则z 的最大值是_______.14．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.15．化简：2020201921i z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________.16．在复平面内，复数(3)2a a z i =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 17．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：()111222121212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题:①若12z z ＞,则12z z ＞；②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞；④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞.其中所有真命题的序号为______________.18．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________． 19．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于________．20．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___．三、解答题21．已知m R ∈，复数2(1i)(5i 3)(46i)z m m =+-+-+，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？（4）z 在复平面内对应的点在第四象限？22．已知1z i =+，i 为虚数单位.（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求实数a ，b 的值.23．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.24．已知复数z 满足z =，2z 的虚部为2，（1）求复数z ；（2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积. 25．已知复数z 使得2z i R +∈，2z R i∈-，其中i 是虚数单位. （1）求复数z 的共轭复数z ； （2）若复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 26．i 是虚数单位，且2(1)2(5)3i i a bi i-+++=+（,a b ∈R ）. （1）求,a b 的值；（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】()2222110t t t ++=++>，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.2．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.3．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.4．A【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5．A解析：A【详解】 因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 6．B解析：B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题. 7．A解析：A化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案.【详解】()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.8．A解析：A【解析】【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】 由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i i i i +==-+-+， 则复数51i i-的虚部是12. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可.【详解】 由题意可得：2211i z i i i i i +=+=-++=-，则1,z i z =+=故选A .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B解析：B设11i bi ai+=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】 设()1,,1i bi a b R ai+=∈+， 所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩， 解得11a b =-⎧⎨=⎩， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.11．A解析：A【分析】 根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.【详解】因为|||i |1z x y =+==，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又|12i ||(1)(2)i |z x y +-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，所以min |12i |z +-为||1OA r -=，故选：A ．【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题. 12．A解析：A【分析】先化简z ，求出a ，再判断即可.【详解】()()2202022211112121211222a i a a i a z i i i i i +=-=-=-=-----+，z 不是纯虚数，则21022a -≠，所以21≠a ，即1a ≠±， 所以1a ≠±是1a ≠的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.二、填空题13．6【解析】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹再求的最大值详解：设复数则所以复数对应的点的轨迹为（34）为圆心半径为1的圆所以的最大值是故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题意在考查学生对这 解析：6【解析】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹，再求z 的最大值.详解：设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22341,(3)(4)1x yi i x y +--=∴-+-=， 所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为1的圆，所以z 1516=+=.故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi r ++=表示以点(a,b)为圆心r 为半径的圆,不要死记硬背，直接化成直角坐标，就一目了然. 14．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所 解析：74- 【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320ax ax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=) 则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=.所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，8b =±，所以838z =-±.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74-【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z . 15．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案.【详解】2019201633i i i i i =⋅==-，()1010202010102101010082222i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --.故答案为：1i --.【点睛】 本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等. 16．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果.【详解】解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-．故答案为：66i -【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．②③【分析】根据新定义序的关系对四个命题逐一分析由此判断出真命题的序号【详解】对于①由于所以或且当满足但所以①错误对于②根据序的关系的定义可知复数的序有传递性所以②正确对于③设由所以或且可得或且即成解析：②③【分析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号.【详解】对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足12a a >但12z z <，所以①错误.对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确.对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③【点睛】本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.18．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（11+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围【详解】由题意集解析：b ≤≤【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（1，1+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围．【详解】由题意，集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部； 集合B 表示点的轨迹为以（1，1+b ）为圆心，半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴4≤．可得：b ≤≤，故答案：b ≤≤，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B 集合的意义是关键，是中档题19．【分析】由题意可得a ＜0由|z|=2可得a 的方程解出即得【详解】∵z=a+i 在复平面内对应的点位于第二象限∴a ＜0由|z|=2得=2解得a=﹣1或1（舍去）∴z=﹣1+i 故答案为﹣1+i 【点睛】该题解析：【分析】由题意可得a ＜0，由|z|=2，可得a 的方程，解出即得．【详解】∵i 在复平面内对应的点位于第二象限，∴a ＜0，由|z|=2，解得a=﹣1或1（舍去），∴z=﹣．故答案为﹣【点睛】该题考查复数的模、复数代数形式的表示及其几何意义，属基础题．20．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复解析：2-32π 【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.详解：设(,)z x yi x y R =+∈11,2y ≤≥ ，如图,2.3AOB π∠=因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是21212232(111sin )232332πππ⨯⋅-⨯⨯⨯=- 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi三、解答题21．（1）6m =或1m =-（2）6m ≠且1m ≠-（3）4m =（4）46m <<【分析】由题意得解得22(34)(56)z m m m m i =--+--，（1）由2560m m --=，求出m 即可；（2）2560m m --≠，即可得出m ； （3）由22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得m 范围； （4）根据象限特征，由22340560m m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得m 范围. 【详解】解：()()()21i 5i 346i z m m =+-+-+=()()223456i m m m m --+--， （1）由2560m m --=得6m =或1m =-，即当6m =或1m =-时，z 为实数；（2）由2560m m --≠得6m ≠且1m ≠-，即当6m ≠且1m ≠-时，z 为虚数；（3）由22340{560m m m m --=--≠，，得4m =， 即当4m =时，z 为纯虚数；（4）由22340{560m m m m -->--<，，解得46m <<， 即当46m <<时，z 在复平面内对应的点在第四象限.【点睛】本题考查复数的有关概念及其运算法则、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力．22．（1）ω；（2）12a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）求出1z i =+的共轭复数，代入234z z ω=+-化简，再求ω； （2）根据2211z az b i z z ++=--+，得到()()21a b a i i +++=+，列方程组即可求解. 【详解】（1）已知1z i =+，1z i ∴=-，()()213141i i i ω=++--=--∴，ω∴=（2）()()22211a b a z az b i z z i i+++++==--+， ()()21a b a i i ∴+++=+，121a b a +=⎧∴⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解. 23．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩， 所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题24．（1）1i +或1i --；（2）1【分析】（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； （2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知可得：22ab ==⎪⎩2221a b ab ⎧+=⎨=⎩， 解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1； 当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．【点睛】 本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．25．（1）42i +；（2）()2,2-.【分析】(1)根据2z i R +∈、2z R i∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2) 复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得m 的范围【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++∵2z i R +∈∴2y =- 又22242255z x i x x i R i i -+-==+∈--， ∴4x = 综上，有42z i =- ∴42z i =+（2）∵m 为实数，且()()()()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ ∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得22m -<< 故，实数m 的取值范围是()2,2-【点睛】本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围26．（1）3,1a b ==-（2【解析】分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．详解：（1）∵()()21253i i a bi i -+++=+ 1033i i==-+ ， 又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+()()331y y i =-+++由题意可知：331y y -+=+，解得2y =-∴z ==点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．。
复数经典试题(含答案)
一、复数选择题1．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0D ．1-2．i =（ ）A ．i -B ．iC i -D i 3．若20212zi i =+，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i --C ．12i -D ．12i +4．已知i 为虚数单位，则复数23ii-+的虚部是（ ） A ．35 B ．35i - C ．15- D ．15i -5．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ）A 3B ．1C ．2D ．36．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上A ．直线12y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =- D ．直线12y7．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A B C ．3D ．58．已知i 为虚数单位，若复数()12iz a R a i+=∈+为纯虚数，则z a +=（ ）A B ．3C ．5D ．9．设()2211z i i=+++，则||z =（ ）A B ．1C ．2D10．若复数z 满足421iz i+=+，则z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．3i +D ．3i -11．若复数z 满足()322iz i i-+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35B ．35i -C ．35D ．35i12．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π 13．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --14．已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A ．75B ．75-C ．15D ．15-15．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，则zi=（ ） A ．1i - B ．1i --C ．1i -+D ．1i +二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限 17．若复数351iz i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限18．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-19．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ） A ．0B ．2-C ．2iD ．2i -20．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 21．（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -22．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =23．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件24．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限25．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 26．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=27．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数28．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =29．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解． 【详解】 ，它为纯虚数， 则，解得． 故选：D ． 解析：D 【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解． 【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，它为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-． 故选：D ．2．B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】 . 故选：B.解析：B 【分析】由复数除法运算直接计算即可.()21iii+==-.故选：B.3．C【分析】根据复数单位的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由已知可得，所以.故选：C解析：C【分析】根据复数单位i的幂的周期性和复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由已知可得202150541222(2)21121i i i i i iz ii i i i i⨯+++++⋅-======-⋅-，所以12z i=-.故选：C4．A【分析】先由复数的除法运算化简复数，再由复数的概念，即可得出其虚部. 【详解】因为，所以其虚部是.故选：A.解析：A【分析】先由复数的除法运算化简复数23ii-+，再由复数的概念，即可得出其虚部.【详解】因为22(3)26133(3)(3)1055i i i iii i i-----===--++-，所以其虚部是35.故选：A.5．A【分析】利用复数的模长公式结合可求得的值.【详解】，由已知条件可得，解得.故选：A.【分析】利用复数的模长公式结合0a >可求得a 的值. 【详解】0a >，由已知条件可得12ai +==，解得a =故选：A.6．C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-.7．D【分析】求出复数，然后由乘法法则计算． 【详解】 由题意， ． 故选：D ．解析：D 【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅．由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．8．A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得 【详解】由复数为纯虚数，则，解得 则 ，所以，所以 故选：A解析：A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a + 【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a ii a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =-则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a += 故选：A9．D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解． 【详解】 因为， 所以，则． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D 【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ． 【详解】 因为()()()()2221211*********i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z = 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．10．C 【分析】首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出. 【详解】 ，故. 故选：C.解析：C 【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z . 【详解】()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-====-++-，故3z i =+. 故选：C.11．A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得， 其虚部为， 故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z ii i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A.12．C 【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】 ,,所以复数在第二象限，设幅角为， 故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C 【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cossin )332Z i O OZ ππ=+=2111()2222z z i --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴=故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.13．A【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数． 【详解】 由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同， ∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A 【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数． 【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同， ∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -．故选：A ．14．D 【分析】先化简，求出的值即得解. 【详解】 ， 所以. 故选：D解析：D 【分析】 先化简345ia bi -+=，求出,ab 的值即得解. 【详解】22(2)342(2)(2)5i i ia bi i i i ---+===++-，所以341,,555a b a b ==-∴+=-. 故选：D15．A 【分析】根据复数对应的点的坐标是，得到,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是，所以,所以,故选：A解析：A【分析】根据复数z 对应的点的坐标是(1,1)，得到1z i =+,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，所以1z i =+, 所以11i i i z i+==-, 故选：A 二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.18．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．19．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.20．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.21．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 22．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.23．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】 由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.24．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.25．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 27．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.28．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．29．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
第七章 复数(单元测试)试卷及答案
第七章复数单元测试一、单选题（共8小题）1．已知a∈R，若复数z=a2+2a+ai是纯虚数，则a=（）A．0B．2C．−1D．−22．已知复数z=1+3i，i为虚数单位，则|z|=（）1−iA．√2B．√5C．√10D．2√53．若复数z=(1+ai)⋅(1−i)的模等于2，其中i为虚数单位，则实数a的值为（）A．−1B．0C．1D．±14．设复数z=i，则复数z的共轭复数z̅在复平面内对应的点位于（）1+iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知z=1+i，则z(z+1)=（）A．3+i B．3−i C．1+i D．1−i6．已知复数z=(3−4i)(2−i)，则z的虚部为（）A．2B．11C．−11D．−11i7．若z=2−i，则z2−4z=（）A．-5B．-3C．3D．58．在复平面内，复数z1,z2所对应的点关于虚轴对称，若z1=1+2i，则复数z2=（）A．−1−2i B．−1+2iC．1−2i D．2+i二、多选题（共4小题）9．已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A．复数z的虚部为i B．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1−i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限10.下列命题中，真命题为（）A．复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0B．复数z=1−3i的共轭复数为z=1+3iC．复数z=1−3i的虚部为−3D．复数√2z=1+i，则z2=i=i，则下列结论正确的是（）11．已知复数z满足z+1zA ．复数z 的共轭复数为−12+12iB ．z 的虚部为12C ．在复平面内z 对应的点在第二象限D ．|z |=√2212．下列命题中正确的是（ ）A ．已知平面向量a ⃑满足|a ⃑|=1，则a ⃑⋅a ⃑=1B ．已知复数z 满足|z |=1，则z ⋅z =1C ．已知平面向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑⋅b ⃑⃑=0D ．已知复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0三、填空题（共4小题）13．已知复数z 满足z ⋅(1−2i )=|3+4i |，则z =___________. 14．已知i 为虚数单位，则i 2020+i 2021=___________.15．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是________． 16．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____.四、解答题（共5小题） 17．计算：(1)(1−4i )(1+i )+2+4i3+4i；(2)(1+i )51−i+(1−i )51+i；(3)(1+2i)2+3(1−i)2+i．18. 已知复数z =m 2−2m −15+(m 2−9)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位． (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求z1+i 的虚部．19．已知复数z =(m 2−2m −3)+(m 2+m −2)i ，(m ∈R)． (1)若z >0，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z ⋅z̅的值．⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i，20．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量BA⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i，求：向量BC(1)点D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．−isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．求|z1⋅z2|的21．已知复数z1=3cosθ+isinθ，z2=√24值域．22．已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数iz的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i第七章 复数单元测试一、单选题（共8小题）1．已知a ∈R ，若复数z =a 2+2a +ai 是纯虚数，则a =（ ） A ．0 B ．2 C ．−1 D ．−2【答案】D【分析】结合复数的概念得到{a 2+2a =0a ≠0，解之即可求出结果.【详解】∵z =a 2+2a +ai 是纯虚数，∴{a 2+2a =0,a ≠0,解得a =−2. 故选：D.2．已知复数z =1+3i 1−i，i 为虚数单位，则|z |=（ ） A ．√2 B ．√5C ．√10D ．2√5【答案】B【分析】利用复数除法运算进行化简，再求得|z |. 【详解】z =(1+3i )(1+i )(1−i )(1+i )=−2+4i 2=−1+2i ，∴|z |=√(−1)2+22=√5. 故选：B3．若复数z =(1+ai)⋅(1−i)的模等于2，其中i 为虚数单位，则实数a 的值为（ ） A ．−1 B ．0 C ．1 D ．±1【答案】D【分析】先根据复数的乘法法则得z =(1+a)+(a −1)i ,再根据模的公式列方程求解即可. 【详解】∵z =(1+ai)⋅(1−i)=1−i +ai −ai 2=(1+a)+(a −1)i 则|z|=√(1+a)2+(a −1)2=√2a 2+2=2，解得：a =±1. 故选:D. 4．设复数z =i1+i ，则复数z 的共轭复数z̅在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】先求出z ，再求出z ̅，直接得复数z ̅在复平面内对应的点. 【详解】z =i 1+i=i (1-i )(1+i )(1-i )=12+12i ，则z =12−12i ，∴z ̅在复平面内对应的点为(12,−12)，位于第四象限；故选：D.5．已知z =1+i ，则z (z +1)=（ ） A ．3+i B ．3−iC ．1+iD ．1−i【答案】B【分析】根据复数的四则运算法则计算即可.【详解】z ̅(z +1)=(1−i)(1+i +1)=(1−i)(2+i)=3−i ，故选：B. 6．已知复数z =(3−4i)(2−i)，则z 的虚部为（ ）A．2B．11C．−11D．−11i【答案】C【分析】利用复数乘法求出z，即可确定其虚部.【详解】∵z=(3−4i)(2−i)=2−11i，∴z的虚部−11，故选：C7．若z=2−i，则z2−4z=（）A．-5B．-3C．3D．5【答案】A【分析】依据复数的运算法则直接求解即可；【详解】z2−4z=z(z−4)=(2−i)⋅(−2−i)=i2−4=−5，故选：A8．在复平面内，复数z1,z2所对应的点关于虚轴对称，若z1=1+2i，则复数z2=（）A．−1−2i B．−1+2iC．1−2i D．2+i【答案】B【分析】根据对应的点的特征直接求出即可.【详解】∵z1=1+2i对应的点为(1,2)，z1,z2所对应的点关于虚轴对称，∴z2对应的点为(−1,2)，∴z2=−1+2i. 故选：B.二、多选题（共4小题）9．已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A．复数z的虚部为i B．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1−i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限【答案】BCD【分析】根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确.【详解】∵复数z=1+i，∴其虚部为1，即A错误；|z|=√12+12=√2，故B正确；复数z的共轭复数z=1−i，故C正确；复数z在复平面内对应的点为(1,1)，显然位于第一象限，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.11.下列命题中，真命题为（）A．复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0B．复数z=1−3i的共轭复数为z=1+3iC．复数z=1−3i的虚部为−3D ．复数√2z =1+i ，则z 2=i 【答案】BCD【分析】对A,根据纯虚数的定义，可知a =0，b ≠0，故A 错.根据共轭复数，虚部的定义，可判断B,C.运用复数的四则运算，可判断D. 【详解】复数z =a +bi 为纯虚数的充要条件是a =0，b ≠0,故A 错. 复数z =1−3i 的共轭复数为z =1+3i ,复数z =1−3i 的虚部为−3,故B,C 对. 复数√2z =1+i ，则z =√2,z 2=(√2)2=2i 2=i ，故D 对.故选:BCD 11．已知复数z 满足z+1z=i ，则下列结论正确的是（ ）A ．复数z 的共轭复数为−12+12i B ．z 的虚部为12 C ．在复平面内z 对应的点在第二象限 D ．|z |=√22【答案】AD【分析】先由已知求出复数z ，然后再逐个分析判断即可 【详解】由z+1z=i ，得z +1=zi ，∴z =−11−i =−(1+i)(1−i)(1+i)=−12−12i ， ∴复数z 的共轭复数为−12+12i ，复数z 的虚部为−12，复数z 在复平面内对应的点在第三象限，|z |=√(−12)2+(−12)2=√22，∴AD 正确，BC 错误，故选：AD 12．下列命题中正确的是（ ）A ．已知平面向量a ⃑满足|a ⃑|=1，则a ⃑⋅a ⃑=1B ．已知复数z 满足|z |=1，则z ⋅z =1C ．已知平面向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑⋅b ⃑⃑=0D ．已知复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0 【答案】ABC【分析】结合选项逐个验证，向量的模长运算一般利用平方处理，复数问题一般借助复数的运算来进行.【详解】∵a ⃑⃑⋅a ⃑⃑=|a ⃑⃑|2=1，∴A 正确；设z =a +bi ，则z =a −bi ，∵|z |=1，∴a 2+b 2=1， ∴z ⋅z =(a +bi )(a −bi )=a 2+b 2=1，∴B 正确；∵|a ⃑⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑⃑−b ⃑⃑|，∴a ⃑⃑2+2a ⃑⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=a ⃑⃑2−2a ⃑⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2，即a ⃑⃑⋅b ⃑⃑=0，∴C 正确； ∵|1+i |=|1−i |，然而1⋅i =i ≠0，∴D 不正确. 故选：ABC.三、填空题（共4小题）13．已知复数z 满足z ⋅(1−2i )=|3+4i |，则z =___________. 【答案】1+2i【分析】根据复数的四则运算进行整理化简即可. 【详解】解：∵z ⋅(1−2i )=|3+4i |=5 ∴z =51−2i=5(1+2i )(1−2i )⋅(1+2i )=1+2i ，故答案为：1+2i.14．已知i 为虚数单位，则i 2020+i 2021=___________. 【答案】1+i【分析】根据i n 的周期性求得正确结论. 【详解】i 2020+i 2021=i 4×505+i 4×505+1=1+i . 故答案为：1+i15．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是________． 【答案】－6－8i【分析】由复数的几何意义得出向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，再由向量的运算得出AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，进而得出其复数.【详解】∵复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,3),OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−5) 又AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−5)−(4,3)=(−6,−8)，∴向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是－6－8i ． 故答案为：－6－8i16．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____. 【答案】92【分析】将x =1+2i 代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到(−3−m +2n )+(4−2m )i =0，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：将x =1+2i 代入方程x2－mx ＋2n ＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n ＝0，即1+4i −4−m −2mi +2n =0，即(−3−m +2n )+(4−2m )i =0， 由复数相等的充要条件，得{−3−m +2n =04−2m =0解得{n =52m =2 ，故m +n =2+52=92. 故答案为：92 四、解答题（共5小题） 17．计算：(1)(1−4i )(1+i )+2+4i3+4i；(2)(1+i )51−i+(1−i )51+i；(3)(1+2i)2+3(1−i)2+i．【答案】(1)1−i ；(2)0；(3)15+25i 【分析】根据复数四则运算法则计算即可. 【详解】（1）原式=5−3i+2+4i 3+4i=7+i3+4i =(7+i )(3−4i )(3+4i )(3−4i )=25−25i 25=1−i .（2）原式=(1+i )6+(1−i )6(1−i )(1+i )=[(1+i )2]3+[(1−i )2]32=(2i )3+(−2i )32=−8i+8i2=0.（3）(1+2i)2+3(1−i)2+i=−3+4i+3−3i2+i=i 2+i=i(2−i)5=15+25i18. 已知复数z =m 2−2m −15+(m 2−9)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位． (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求z1+i 的虚部． 【答案】(1)m =±3；(2)8【分析】（1）由题意得m 2−9=0，求解即可；（2）先由题意求得z =16i ，再根据复数的除法法则化简复数z 1+i，由此可求得答案.(1)解：若z 为实数，则m 2−9=0，解得m =±3． (2)解：由题意得{m 2−2m −15=0,m 2−9≠0,解得m =5，∴z =16i ，故z 1+i=16i 1+i=16i (1−i )(1+i )(1−i )=8+8i ，∴z1+i的虚部为8．19．已知复数z =(m 2−2m −3)+(m 2+m −2)i ，(m ∈R)． (1)若z >0，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z ⋅z̅的值． 【答案】(1)m =−2；(2)4或100【分析】（1）根据复数z >0，可知z 为实数，列出方程，解得答案；（2）根据z 是纯虚数，列出相应的方程或不等式，再结合共轭复数的概念以及复数的乘法运算，求得答案. 【详解】（1）∵z >0，∴z ∈R ，∴m 2+m −2=0，∴m =−2或m =1． ①当m =−2时，z =5>0，符合题意； ②当m =1时，z =−4<0，舍去． 综上可知：m =−2．（2）∵z 是纯虚数，∴{m 2−2m −3=0m 2+m −2≠0，∴m =−1或m =3,∴z =−2i ，或z =10i ,∴z ⋅z ̅=−2i ×2i =4或z ⋅z ̅=10i ×(−10i)=100, ∴z ⋅z ̅=4或100．20．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2+i ，向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i ，向量BC⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i ，求： (1)点D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积． 【答案】(1)5；(2)7【分析】（1）根据复数与向量间的关系运算得BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,1)，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)，则OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(5,0)，从而得到其对应的复数； （2）cosB =BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=5√2，则sinB =5√2，利用平行四边形面积公式即可得到答案.【详解】（1）∵向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i ,∴向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)， BC⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i ,∴向量BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,−1)， BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)+(3,−1)=(4,1)， OB⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,1)−(1,2)=(1,−1)， ∴OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)+(4,1)=(5,0)， ∴点D 对应的复数为5 .（2）∵BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cosB ，∴cosB =BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5×√10=5√2， ∵B ∈[0,π]，∴sinB =5√2，∴S =|BA⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |sinB =√5×√10×5√2=7.故平行四边形ABCD 面积为7.21．已知复数z 1=3cosθ+isinθ，z 2=√24−isinθ，其中i 为虚数单位，θ∈R ．求|z 1⋅z 2|的值域． 【答案】[3√24,5√24] 【分析】由复数模的定义，结合三角函数值域的求法即可求解.【详解】|z 1⋅z 2|=|(3cosθ+isinθ)⋅(√24−isinθ)|=|(3cosθ+isinθ)||(√24−isinθ)| =√(1+8cos 2θ)(18+sin 2θ)=√18+sin 2θ+cos 2θ+8sin 2θcos 2θ=√98+2sin 22θ. ∵sin 22θ∈[0,1]，∴ √98+2sin 22θ∈[3√24,5√24]，即|z 1⋅z 2|∈[3√24,5√24]. 22．已知复数z =3x −(x 2−x )i(x ∈R)的实部与虚部的差为f(x)． (1)若f(x)=8，且x >0，求复数iz 的虚部； (2)当f(x)取得最小值时，求复数z 1+2i的实部．【答案】(1)6；(2)−75【分析】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得f(x)=x 2+2x ，再结合题意可得x =2，再确定iz 在复平面内对应的点的坐标即可；（2）先求出函数取最小值时x 对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.【详解】（1）由题意可得f(x)=3x +(x 2−x )=x 2+2x ， ∵f(x)=8，∴x 2+2x =8， 又x >0，∴x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， ∴复数iz 的虚部为6．（2）∵f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，∴当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ，则z 1+2i=−3+2i 1+2i=−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，∴z1+2i 的实部为−75．。
复数练习题含答案
复数练习题含答案一、单选题1．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若0a <，则a 的三角形式为（ ）A ．()cos0isin0a +B ．()cos isin a ππ+C ．()cos isin a ππ-+D ．()cos isin a ππ--3．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 4．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限7．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-110．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +11．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ） A ．1 B ．12 C ．2 D ．12．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．213．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（ ） A ．75B ．－115C ．－185D ．514．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ） A ．4BC ．2D ．1015．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 516．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ） A ．5BC ．10D17．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 18．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2 C．D ．419．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限20．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．筹四象限二、填空题21．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.22．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________24．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．25．若复数z 满足i 2022i z ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的虚部是___________. 26．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 27．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________． 28．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 30．化简：i 是虚数单位，复数()2021i 34i z =+=_________.31．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________. 32．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=33．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R，若z =，则t 的值为___________.34．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.35i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．36．设复数()21(1)i m m -++为纯虚数，则实数m 的值为________．37．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________ 38．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 39．计算：112i2i-=+___________. 40．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________．三、解答题41．设实部为正数的复数z ，满足z =(12i)z +在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数z ； (2)若i()1im z m R ⋅+∈+为纯虚数，求实数m 的值. 42．若复平面内单位圆上三点所对应的复数123,,z z z ，满足22z 13z z =且23i i 0z z +-=，求复数123,,z z z ．43．已知复数()()()121i z m m m R =++-∈ (1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 在复平面内的对应点位于第四象限，求实数m 的取值范围及z 的最小值. 44．已知复数()()()2i 1i 24i z a a a R =--+++∈．(1)若z 在复平面中所对应的点在直线0x y -=上，求a 的值； (2)求2i 7iz --的取值范围．45．已知复数()()222343i z m m m m =--+-+（m R ∈）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z ： (1)在实轴上； (2)在虚轴上； (3)在第一象限.【参考答案】一、单选题 1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．B10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．A 16．D 17．D 18．C 19．C 20．C 二、填空题 21．35 2223．12或12##12-或12 24．四 25．2022-2627．128．43i -##3i 4-+ 29．12i -##2i+1- 30．－4＋3i##3i-4 31．13233．2或2- 34．[)2,+∞35．1-1- 36．1 37．()0,3 38．③39．43i -##3i 4-+三、解答题41．(1)3i z =-； (2)6m =-. 【解析】 【分析】（1）根据复数的模公式，结合复数乘法的运算法则、第一、三象限的角平分线的性质进行求解即可；（2）根据纯虚数的定义，结合共轭复数的定义、复数除法的运算法则进行求解即可. (1)设i(0,),10,(12i)2(2)i z a b a b R z z a b b a =+>∈∴=+=-++， 由题意得，22223,101a b b a a a b b -=+=⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩， 即3i z =-； (2)i i 3i 3(1)i 1i 222m m m m mz ⋅++=++=++++为纯虚数， 30,62mm ∴+=∴=-. 42．答案见解析. 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，结合复数的运算求得3z 和2z ，再结合复数的乘除运算，即可求得1z . 【详解】因为单位圆上三点所对应的复数为123,,z z z ，故可设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，z 3＝cos γ＋isin γ， 则由23i i 0z z +-=，可得cos sin 0sin cos 10βγβγ-=⎧⎨+-=⎩，利用cos 2β＋sin 2β＝1，解得1cos 2sin γγ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩z 3故当z3时，z2＝－i(z3－1)，z1＝223zz=1；当z3时，z2＝－i(z3－1)z1＝223zz=＝1．43．(1)1-;(2)11,2⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．(1)()()()121iz m m m R=++-∈为纯虚数，10m∴+=且210m-≠1m∴=-(2)z在复平面内的对应点为(1,21)m m+-由题意：10210mm+>⎧⎨-<⎩，∴112m-<<．即实数m的取值范围是11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．而||z当11(1,)52m=∈-时，||minz44．(1)4a=(2)⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）首先根据复数代数形式的乘法运算化简复数z，即可得到复数在复平面内所对应的点的坐标，最后代入直线方程，即可求出a；（2）根据复数代数形式的除法运算化简2i7iz--，再根据复数模的计算公式及二次函数的性质计算可得；(1)解：因为复数()()()2i 1i 24i z a a a R =--+++∈，所以()222i i i 24i 326i z a a a a a =-+-+++=-++，所以z 在复平面内对应的点为()32,6a a -+，因为在复平面内对应的点在直线0x y -=上，即为()3260a a --+=，解得4a =；(2) 解：由[]()232(6)i i 32(6)i2i 72i 72i 7(6)32i 2i 713i i i i a a z a a a a a a -++-++--=--=--=+----=--所以2i 713i iza a --=--==所以当且仅当110a =2i 7i z --的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭45．(1)1m =或3m = (2)1m =-或3m = (3)1m <-或3m > 【解析】 【分析】（1）由题意可得2430m m -+=，从而可求出m 的值， （2）由题意可得2230m m --=，从而可求出m 的值，（3）由题意可得22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，解不等式组可求得结果(1)点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2430m m -+=得1m =或3m =， ∴当1m =或3m =时，点Z 在实轴上； (2)点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，由2230m m --=得1m =-或3m =， ∴当1m =-或3m =时，点Z 在虚轴上； (3)点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0，由22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，即1313m m m m ⎧-⎪⎨⎪⎩或或，解得1m <-或3m >，∴当1m <-或3m >时，点Z 在第一象限.。
复数经典试题(含答案)
一、复数选择题1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ．3155i + B ．1355i + C ．113i + D ．13i + 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．24．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ）A ．97- B ．7 C ．97 D ．7-5．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．z 的实部是1B ．z 的虚部是1C ．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 6．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i -7．若复数z 满足()322i z i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35 B ．35i - C ．35 D ．35i 8．已知复数z 满足22z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ）A ．恒在实轴上B ．恒在虚轴上C ．恒在直线y x =上D ．恒在直线y x =-上9．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π10．复数2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15D ．35 11．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅虚部等于（ ）． A ．1- B ．3 C ．3iD ．i - 12．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-113．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A ．1- B ．12- C ．13 D ．115．题目文件丢失！二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 18．若复数351i z i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限19．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =20．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 21．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 22．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称23．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>24．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20z B ．2z z = C ．31z = D ．1z =25．下列命题中，正确的是（ ）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数26．以下为真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数27．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数28．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =29．给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数30．已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．B【分析】利用复数的除法法则可化简，即可得解.【详解】，.故选：B.解析：B【分析】 利用复数的除法法则可化简1i z+，即可得解. 【详解】 2z i =-，()()()()12111313222555i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B.2．D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可.【详解】因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.故选：D解析：D【分析】 运用复数除法的运算法则化简复数534i i-的表示，最后选出答案即可. 【详解】 因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i i i i i i ⋅+-===-+--+， 所以在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D 3．C【分析】根据复数的几何意义得．【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴，∴．故选：C ．解析：C【分析】根据复数的几何意义得,a b ．【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．4．B【分析】先求出，再解不等式组即得解.【详解】依题意，，因为复数为纯虚数，故，解得.故选：B【点睛】易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.解析：B【分析】 先求出321795858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=⎧⎨+≠⎩即得解. 【详解】 依题意，()()()()3373321793737375858m i i m i m m z i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 为纯虚数，故3210790m m -=⎧⎨+≠⎩，解得7m =. 故选：B【点睛】易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.5．C【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项.【详解】，，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误；，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误.故选：C.解析：C【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项.【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正；2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.6．C【分析】首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出.【详解】，故.故选：C.解析：C【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z .【详解】()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-====-++-，故3z i =+. 故选：C.7．A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得，其虚部为，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z i i i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A. 8．A【分析】先由题意得到，然后分别计算和，再根据得到关于，的方程组并求解，从而可得结果．【详解】由复数在复平面内对应的点为得，则，，根据得，得，.所以复数在复平面内对应的点恒在实轴上，故解析：A【分析】先由题意得到z x yi =+，然后分别计算2z 和2z ，再根据22z z =得到关于x ，y 的方程组并求解，从而可得结果．【详解】由复数z 在复平面内对应的点为(),x y 得z x yi =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+， 根据22z z =得222220x y x y xy ⎧-=+⎨=⎩，得0y =，x ∈R . 所以复数z 在复平面内对应的点(),x y 恒在实轴上，故选：A ．9．C【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解.【详解】,,所以复数在第二象限，设幅角为，故选：C【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】 11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cos sin )3322Z i O OZ ππ=+=+2111()222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴= 故选：C【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.10．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为.故选：C【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .11．B【分析】化简，利用定义可得的虚部．【详解】则的虚部等于故选：B解析：B【分析】化简12z z ⋅，利用定义可得12z z ⋅的虚部．【详解】()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3故选：B12．B【分析】可得，即得.【详解】由，得a ＝1.故选：B ．解析：B【分析】可得3(2)(1)3ai i i i -=+-=-，即得1a =.【详解】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-，得a ＝1.故选：B ． 13．A【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的乘法可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.解析：A【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的乘法可得出结论.【详解】()()221223243z i i i i i =-+=+-=+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.14．B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得 故选：B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =- 故选：B15．无二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 18．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD. 19．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 20．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.21．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.22．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．23．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以122ω=--，∴213142422ωω=--=--=，故A 正确，32111312244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，2111102222ωω++=---++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】 本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．24．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．25．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．26．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--， 则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】 本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.27．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.28．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．29．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 30．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.。
数学复数单元测试题及答案
数学复数单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是：A. 5B. 7C. √7D. √292. 复数 \( z = 2 - i \) 的共轭复数是：A. 2 + iB. -2 + iC. -2 - iD. 2 - i3. 如果 \( z = a + bi \) 且 \( \bar{z} = a - bi \)，那么复数\( z \) 的实部是：A. aB. bC. a + bD. a - b4. 复数 \( z = 1 + i \) 的辐角主值是：A. 0B. π/4C. π/2D. π5. 以下哪个表达式是正确的：A. \( (1+i)^2 = 1 - 1i \)B. \( (1+i)^2 = 2i \)C. \( (1+i)^2 = 0 \)D. \( (1+i)^2 = 2 \)二、填空题（每空3分，共15分）6. 复数 \( z = -3 + 4i \) 的模是 ______ 。
7. 如果复数 \( z \) 的模为 5，且 \( \text{Im}(z) = 4 \)，那么\( \text{Re}(z) \) 是 ______ 。
8. 复数 \( z = 5 - 12i \) 的辐角主值是 ______ 弧度。
9. 复数 \( z = 3 + 4i \) 与 \( w = 2 - i \) 的和是 ______ 。
10. 复数 \( z = 2 + 3i \) 除以 \( w = 1 - i \) 的结果是______ 。
三、简答题（每题5分，共20分）11. 请解释什么是复数的模，并给出计算公式。
12. 什么是复数的辐角主值？它有哪些性质？13. 如何将复数 \( z = a + bi \) 转换为极坐标形式 \( r(\cos \theta + i\sin \theta) \)？14. 复数的共轭有哪些应用？四、计算题（每题10分，共20分）15. 计算复数 \( z_1 = 2 + 3i \) 和 \( z_2 = 1 - 4i \) 的乘积\( z_1 \cdot z_2 \)。
完整版英语名词单复数练习题带答案
( )2. Tom is one of the Chinese _____ in our school.
A. boyB. boysC. boies
( )3. A cat has four ____ , doesn't it?
A. footsB. feetC. feets
1. I have two____________ (knife)
2. There are many ___________ here. (box)
3. There are many ___________ on the road. (bus)
4. A few ___________ are drawing on the wall. (boy)
juice__________ water____________ milk___________ rice__________
people CD ox___________deer____________ fish___________
二、单项选择(1'*10=10')
( )1. The __ in our yard are very beautiful.
( )10.The green sweater isΒιβλιοθήκη his _________.1
A.brother B.brothers C.brother's
三、选择填空(1'*10=10')
( )1. They come from different ______
A. country B. countries C. a country D. countrys
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∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
故选：D.
7．C
【分析】
根据模的运算可得选项.
【详解】
.
故选:C.
解析：C
【分析】
根据模的运算可得选项.
【详解】
.
故选:C.
8．A
【分析】
由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．
【详解】
由题意，得，
其虚部为，
故选：A.
解析：A
【分析】
由复数的除法法则和乘法法则计算出 ，再由复数的定义得结论．
【详解】
由题可得， ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ，在第三象限，
故选：C．
10．D
【分析】
根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.
【详解】
，
则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D．
解析：D
【分析】
根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.
B．“ ”是“ 为纯虚数”的必要不充分条件
C．“ ”是“ 为实数”的充要条件
D．“ ”是“ 为实数”的充分不必要条件
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、复数选择题
1．D
【分析】
运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可.
【详解】
因为，
所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．复数 的虚部是（）
A． B． C． D．
6． ＝（）
A．1B．-1C．2D．-2
7．已知复数 ，则 （）
A．1B． C． D．5
8．若复数 满足 ，则复数 的虚部为（）
A． B． C． D．
9．已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项.
【详解】
因为，所以，所以，所以，所以A选
解析：BC
【分析】
由 可得 ，得 ，可判断A选项，当虚部 ， 时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得 ， 的实部是 ，可判断D选项.
本题考
解析：BC
【分析】
利用复数的除法求出复数 ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.
【详解】
， ，所以，复数 的虚部为 ， ，共轭复数为 ，复数 在复平面对应的点在第四象限.
故选：BD.
【点睛】
本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.
21．BC
【分析】
所以复数z的虚部是．
故选：C．
解析：C
【分析】
由复数除法法则计算出 后可得其虚部．
【详解】
因为 ，
所以复数z的虚部是 ．
故选：C．
6．D
【分析】
先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.
【详解】
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
故选：D.
解析：D
【分析】
先求 和 的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.
14．复数 ，则 的共轭复数 （）
A． B． C． D．
15．复数 的虚部为（）
A． B．1C． D．
二、多选题
16．若复数 ，则（）
A．
B．z的实部与虚部之差为3
C．
D．z在复平面内对应的点位于第四象限
17．已知复数 ，则下列结论正确的有（）
A． B． C． D．
18．下列四个命题中，真命题为（）
解析：A
【分析】
根据复数的几何意义得出 坐标，由平行四边形得 点坐标，即得 点对应复数，从而到共轭复数．
【详解】
由题意 ，设 ，
∵ 是平行四边形，AC中点和BO中点相同，
∴ ，即 ，∴ 点对应是 ，共轭复数为 ．
故选：A．
14．D
【分析】
由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数.
【详解】
∴，
故选：D
D．若 ，则实数a的值为2
26．已知复数 满足 为虚数单位 ，复数 的共轭复数为 ，则（）
A． B．
C．复数 的实部为 D．复数 对应复平面上的点在第二象限
27．若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C． 为纯虚数D． 的共轭复数为
28．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
二、多选题
16．AD
【分析】
根据复数的运算先求出复数z，再根据定义、模、几何意义即可求出.
【详解】
解：，
，
z的实部为4，虚部为，则相差5，
z对应的坐标为，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正
解析：AD
【分析】
根据复数的运算先求出复数z，再根据定义、模、几何意义即可求出.
【详解】
解： ，
，
z的实部为4，虚部为 ，则相差5，
一、复数选择题
1．在复平面内，复数 （ 为虚数单位）对应的点的坐标为（）
A． B． C． D．
2．复数 在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知复数 ，则复数 在复平面内对应点所在象限为（）
∵复数Z的实部2＞0，虚
解析：A
【解析】
试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．
解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i
∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0
∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限
故选A
点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．
10．若 ，则在复平面内，复数 所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11． （）
A．1B．-1C．iD．-i
12．已知 是 的共轭复数，则 （）
A．4B．2C．0D．
13．在复平面内，已知平行四边形 顶点 ， ， 分别表示 ， ，则点 对应的复数的共轭复数为（）
A． B． C． D．
【详解】
，
则复数 对应的点的坐标为 ，位于第四象限．
故选：D．
11．D
【分析】
利用复数的除法求解.
【详解】
.
故选：D
解析：Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【分析】
利用复数的除法求解.
【详解】
.
故选：D
12．A
【分析】
先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．
【详解】
，
故选：A
z对应的坐标为 ，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正确，
故选：AD.
17．ACD
【分析】
分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质.
【详解】
因为，所以A正确；
因为，，所以，所以B错误；
因为，所以C正确；
因为，所以，所以D正确
解析：ACD
【分析】
分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质.
故选：D
解析：D
【分析】
运用复数除法的运算法则化简复数 的表示，最后选出答案即可.
【详解】
因为 ，
所以在复平面内，复数 （ 为虚数单位）对应的点的坐标为 .
故选：D
2．B
【分析】
先利用复数的乘法化简复数z，再利用复数的几何意义求解.
【详解】
因为复数，
所以在复数z复平面上对应的点位于第二象限
故选：B
解析：B
【分析】
先利用复数的乘法化简复数z，再利用复数的几何意义求解.
【详解】
因为复数 ，
所以在复数z复平面上对应的点位于第二象限
故选：B
3．A
【解析】
试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．
解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i
复数z的虚部为，故B错误；
在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C正确
解析：AB
【分析】
先由复数除法运算可得 ，再逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
由题意得： ，即 ，
所以z不是纯虚数，故A错误；
复数z的虚部为 ，故B错误；
在复平面内， 对应的点为 ，在第三象限，故C正确；
，故D正确.
故选：AB
【点睛】
【详解】
因为 ，所以A正确；
因为 ， ，所以 ，所以B错误；
因为 ，所以C正确；
因为 ，所以 ，所以D正确，
故选：ACD.
【点睛】
本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.
18．AB
【分析】
利用特值法依次判断选项即可得到答案.
【详解】
对选项A，若复数满足，设，其中，则，则选项A正确；
【详解】
由题意，得 ，
其虚部为 ，
故选：A.