电动力学课件：2-1-静电势及其微分方程1
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chapter2-1 静电势
须为零，否则必定引起电流的存在。
公式中的 n 定义为导体表面的面法向单位矢量（指向
导体外面）
nE 0 n D f
3）静电状态下，与金属导体相邻的介电一侧的电势 的边界条件：
边界 常数
2
2 f n
____(1.13) 原则上讲，有导体存在的相关静电问题就是在边界条 件（1.13）下求解相应的泊松方程。式中，面法向矢 量 n 为从导体内指向导体外的单位矢量。 4）导体表面的总自由电荷量为：
连同边界条件 n21 ( E 2 E1 ) 0 n21 D2 D1 f 介质的电磁性质方程（本构方程） D D( E ) ——组成解决静电问题的基础。 2、静电势 的定义
静电场的一个重要的特征——无旋性 E 0 ， 总 可以把静电场表示成一个标量场的梯度（的负值） E 思考一下：本来一个矢量场有三个分量，为何可以 用只有一个分量的标量来描述？ 由于 是标量，处理静电问题时，通常是首先求出 ，接着由 E 计算场量，然后再计算诸如电 场力 F 等量。 根据静电场无旋性，有如下的积分形式：
1 E DdV ； 2 V
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
存在电场的地方就存在能量，而电场不局限于自由
1 电荷所处的区域， 因此 2 f 并不代表电场能量密度
（没有电荷就没有能量的看法是错误的） ；真实的 1 静电能量是以 w 2 E D 的形式在空间连续分布 的，即：场强大的地方能量也大； 对于导体系统，采用上述公式计算静电场的总能量 最为方便（静电条件下的导体为等势体） 。
C1 C2
即： E dl E dl
2-1_静电势及其微分方程
2-9
Qf
二、静电势的微分方程和边值关系 静电势的微分方程和边值关系 1.电势满足的方程 电势满足的方程 电势 泊松方程 导出过程
ρ ∇ ϕ =− ε
2
适用于均 匀介质
r 2 ⇒ε∇⋅ E = −ε∇⋅ ∇ϕ = −ε∇ ϕ = ρ
拉普拉斯方程
2-10
r r D = εE,
r E = −∇ϕ
r ∇⋅ D = ρ
Q
P
a
A 2 ϕ = + B (r > 0) 满足 ∇ ϕ = 0 r
2-20
(r > a)
r r ∇⋅ ∇ϕ ∝ −∇⋅ 3 = 0 r
(r ≠ 0)
r → ∞,ϕ → 0
B≡0
A ϕ= r
∂ϕ Q = − ε0 dS = ε 0 dS = ∂r r=a a2
∫
∫
∂ϕ ∂ϕ A = =− 2 ∂n ∂r r ε 0 A4π a2 A
σf =0
σ p = ε0 (E2n − E1n )
电磁性质方程： 电磁性质方程： 静电平衡时的导体： 均匀各向同性线性介质： ② 静电平衡时的导体： ① 均匀各向同性线性介质 r r r r r 导体内 J = σE = 0 σ ≠ 0 （ ） P = χeε0 E = (ε − ε0 )E r r r r r r r r E, D, P, ρ,L= 0 (D = ε0 E + P) D = εE σ 外表面 E = En = , Et = 0 r ε0 ε ρP = −∇⋅ P = ( −1)ρ ε 电荷分布在表面上， 电荷分布在表面上，电 r r r σ P = −n ⋅ (P − P ) 场处处垂直于导体表面 2 1
注意：考虑了束缚电荷， 注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质
Qf
二、静电势的微分方程和边值关系 静电势的微分方程和边值关系 1.电势满足的方程 电势满足的方程 电势 泊松方程 导出过程
ρ ∇ ϕ =− ε
2
适用于均 匀介质
r 2 ⇒ε∇⋅ E = −ε∇⋅ ∇ϕ = −ε∇ ϕ = ρ
拉普拉斯方程
2-10
r r D = εE,
r E = −∇ϕ
r ∇⋅ D = ρ
Q
P
a
A 2 ϕ = + B (r > 0) 满足 ∇ ϕ = 0 r
2-20
(r > a)
r r ∇⋅ ∇ϕ ∝ −∇⋅ 3 = 0 r
(r ≠ 0)
r → ∞,ϕ → 0
B≡0
A ϕ= r
∂ϕ Q = − ε0 dS = ε 0 dS = ∂r r=a a2
∫
∫
∂ϕ ∂ϕ A = =− 2 ∂n ∂r r ε 0 A4π a2 A
σf =0
σ p = ε0 (E2n − E1n )
电磁性质方程： 电磁性质方程： 静电平衡时的导体： 均匀各向同性线性介质： ② 静电平衡时的导体： ① 均匀各向同性线性介质 r r r r r 导体内 J = σE = 0 σ ≠ 0 （ ） P = χeε0 E = (ε − ε0 )E r r r r r r r r E, D, P, ρ,L= 0 (D = ε0 E + P) D = εE σ 外表面 E = En = , Et = 0 r ε0 ε ρP = −∇⋅ P = ( −1)ρ ε 电荷分布在表面上， 电荷分布在表面上，电 r r r σ P = −n ⋅ (P − P ) 场处处垂直于导体表面 2 1
注意：考虑了束缚电荷， 注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质
南京航空航天大学电动力学 第2章
一、静电场的标势 v 对静电场 ∇ × E = 0 v 由 ∇ × ∇φ ≡ 0 令 E = −∇ϕ v v v Q dϕ = ∇ ϕ ⋅ dl = − E ⋅ d l
v P2 P2 v ∴ ∫ dϕ = − ∫ E ⋅ dl
P 1 P 1
§2-1 静电场的标势及其微分方程 v
∇⋅ D = ρ v v ∂B ∇× E = − v ∂t ∇⋅ B = 0 v v v ∂D ∇×H = J + ∂t
2 Vi Vi
= ∫ ε i (∇ϕ ) 2 dV
Vi
0
ε1
ε j εi
ε2 对所有分区求和 v ∑ ∫ ε iϕ∇ϕ ⋅ dS = ∑ ∫ ε i (∇ϕ )2 dV
i Si i Vi
设介质分界面面积之和为S ’ v ∴ ∑ ∫ ε iϕ∇ϕ ⋅ dS Si i v v = ∑ ∫ ε iϕ∇ϕ ⋅ dS + ∑ ∫ ε iϕ∇ϕ ⋅ dS S S' v i i en ∂ϕ ε j εi 在边界S上 ϕ S = 0 ∂n = 0
v v v 1 p⋅r ∴ E = −∇ϕ = − ∇( 3 ) 4πε 0 r
v r+ v +q v v θ r r − l
−q
z
P
1
∇(ϕψ ) = ϕ∇ψ + ψ∇ϕ
Q ∇(
v v p⋅r 1 v v v v 1 ) = 3 ∇( p ⋅ r ) + ( p ⋅ r )∇ 3 3 r r r
ρ ε
∇ 2ϕ " = −
ρ ε
设V 可以分为若干个均匀区域Vi 在i，j界面上有 ϕi ' = ϕ j ' ϕi " = ϕ j " ∴ϕ i = ϕ j ⎛ ∂ϕ ' ⎞ ⎛ ∂ϕ ' ⎞ ε j⎜ ⎟ = −σ ⎟ − εi ⎜
v P2 P2 v ∴ ∫ dϕ = − ∫ E ⋅ dl
P 1 P 1
§2-1 静电场的标势及其微分方程 v
∇⋅ D = ρ v v ∂B ∇× E = − v ∂t ∇⋅ B = 0 v v v ∂D ∇×H = J + ∂t
2 Vi Vi
= ∫ ε i (∇ϕ ) 2 dV
Vi
0
ε1
ε j εi
ε2 对所有分区求和 v ∑ ∫ ε iϕ∇ϕ ⋅ dS = ∑ ∫ ε i (∇ϕ )2 dV
i Si i Vi
设介质分界面面积之和为S ’ v ∴ ∑ ∫ ε iϕ∇ϕ ⋅ dS Si i v v = ∑ ∫ ε iϕ∇ϕ ⋅ dS + ∑ ∫ ε iϕ∇ϕ ⋅ dS S S' v i i en ∂ϕ ε j εi 在边界S上 ϕ S = 0 ∂n = 0
v v v 1 p⋅r ∴ E = −∇ϕ = − ∇( 3 ) 4πε 0 r
v r+ v +q v v θ r r − l
−q
z
P
1
∇(ϕψ ) = ϕ∇ψ + ψ∇ϕ
Q ∇(
v v p⋅r 1 v v v v 1 ) = 3 ∇( p ⋅ r ) + ( p ⋅ r )∇ 3 3 r r r
ρ ε
∇ 2ϕ " = −
ρ ε
设V 可以分为若干个均匀区域Vi 在i，j界面上有 ϕi ' = ϕ j ' ϕi " = ϕ j " ∴ϕ i = ϕ j ⎛ ∂ϕ ' ⎞ ⎛ ∂ϕ ' ⎞ ε j⎜ ⎟ = −σ ⎟ − εi ⎜
电动力学PPT课件
S
闭合曲面为S。
对于任意封闭曲面某时间间隔内流入闭 曲面的电量等于闭面内电量的增加量
第11页/共68页
电流连续性方程
注意：当电流为恒定电流时，一切物理量不随时间变化， 即有 因此， 这就表示恒定电流的场线处处连续，因而是闭合的。
第12页/共68页
3。洛伦兹力公式--毕奥萨伐定律
（1）磁场对电流元的力密度
Ez H
ra
I2
2 2a3
流进长度为Δl的导线内部的功率为
Sr 2al
I 2l
a2
I2R
第65页/共68页
证明
第66页/共68页
证毕
证明
对于场点求导
第67页/共68页
对于稳恒电流
谢谢您的观看！
第68页/共68页
在没有外场作用时，介质是电中性的，且内部宏观电磁场 为零。
第25页/共68页
2。介质的极化
从极化角度看 a.有极性分子
b.无极性分子
极化的解释 极化强度
外场条件
各向同性线性介质
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2。介质的极化
单位体积分子数为n
体元内跑出 的正电荷为
表示封闭体内通过界面 S穿出去的正电荷 将净余的负电荷定义为束缚电荷，其密度为
要看五个关系的内部与场论公式有没有无矛盾，
有问题的只有
左式为零，右式为零时是恒流源情况 为使右式为零加一项
令
引入位移电流概念
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2。位移电流
第21页/共68页
3。真空中的麦克斯韦方程组
a)电场分布只取决于电荷的 分布和磁场的变化
b)电场的散度与当时当地的 电荷密度成正比，感应电 场是无散的
电动力学chp2-1静电势及其微分方程
E zez 3 00 d2z3dd 0 1 2 0 d 0 ez
在z=0面上:
0ezD |z0
0E |z0
d0 d 0102d
在z=d面上:
d ezD |z d
0E|zd
0
d
d
040d
z
Rp P0
lim ln 11R 2M 2 11R 02M 2
4 M 0
11R 02M 2 11R 2M 2
由 于 1R2 M 2 1 211R2 2M 2
pp040lnR R022
2 0
20lnR R020lnR R0
ln R
2 0 R
其 中 R ,R 分 别 是 P 到 直 线 的 垂 直 距 离 .
P
.R R
O
例 4 . 带 电 量 Q , 半 径 为 a 的 导 体 球 的 静 电 场 的 总 能 量 .
则 p Edl
p
a.点电荷
0
p
r
Q
40r2
dr
Q 4 0r
p Qi
i 40ri
b.电荷连续分布
x
xdV
40r
二.静电势的微分方程和边值关系
对各向同性均匀介质
D E 且 为 常 量
p
Aq2E1dl
410
q2q1 r12
例1.真空中静电场的电势为
aaxxxx00 (a为常数）
求产生该电场的电荷分布
解: 由静电势的方程 2
0
020
d2
dx2
0，(x0) 0，(x0)
电磁场理论课件 2-1静电场的标势及其微分方程
P r
(P)
Q
4 0
(1 r
1 r
)
r2 R 2 l 2 2Rl cos
Q
2l
x -Q
求近似值：
r R
1
l2 R2
2l
cos
/
R
R
1 2l cos / R
R(1 1 2l cos ) R l cos
2R
R r
y
(l R)
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos
R02 R2
20
ln
R R0
若选P0为参考点，则
(P)
ln R
ER
R
20
,
2 0 R
R0 E EZ 0
解2：
z
电荷源
dq dz z' o
r
场点
p
R
选取柱坐标：源点的坐标为（0, z'），场点的坐标为
（R, 0），考虑到导线是无限长，电场强度显然与z
无关。
这里，先求场强 E
，后求电势
E 0
D
E
这两方程连同介质的 电磁性质方程是解决 静电问题的基础。
静电场的无旋性是它的一个重要特 性，由于无旋性，我们可以引入一 个标势来描述静电场。
无旋性的积分形式是电场 沿任一闭合回路的环量等 于零，即
E dl 0
设C1和C2为P1和P2点的两 条不同路径。C1与C2合成 闭合回路，因此
量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以
密度 w 1 E D的形式在空间连续分布，场强大的地方 2
能量也大；
（4）W 1 dV中的 是由电荷分布 激发的电势； 2
(P)
Q
4 0
(1 r
1 r
)
r2 R 2 l 2 2Rl cos
Q
2l
x -Q
求近似值：
r R
1
l2 R2
2l
cos
/
R
R
1 2l cos / R
R(1 1 2l cos ) R l cos
2R
R r
y
(l R)
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos
R02 R2
20
ln
R R0
若选P0为参考点，则
(P)
ln R
ER
R
20
,
2 0 R
R0 E EZ 0
解2：
z
电荷源
dq dz z' o
r
场点
p
R
选取柱坐标：源点的坐标为（0, z'），场点的坐标为
（R, 0），考虑到导线是无限长，电场强度显然与z
无关。
这里，先求场强 E
，后求电势
E 0
D
E
这两方程连同介质的 电磁性质方程是解决 静电问题的基础。
静电场的无旋性是它的一个重要特 性，由于无旋性，我们可以引入一 个标势来描述静电场。
无旋性的积分形式是电场 沿任一闭合回路的环量等 于零，即
E dl 0
设C1和C2为P1和P2点的两 条不同路径。C1与C2合成 闭合回路，因此
量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以
密度 w 1 E D的形式在空间连续分布，场强大的地方 2
能量也大；
（4）W 1 dV中的 是由电荷分布 激发的电势； 2
《物理电动力学》PPT课件
第六章第二节
狭义相对论基本原理 洛仑兹变换
§2
狭义相对论的基本原理
洛仑兹变换
核心 问题
一 基本原理（两个公理） 1 相对性原理（relativity principle）
一切物理定律在所有的惯性系中都具有相同形式； 一切惯性系都等价，不存在特殊的绝对的惯性系。 2 光速不变原理 (principle of constancy of light velocity)
经典力学绝对时间概念只不过是狭义相对论的时间概念在经典力学绝对时间概念只不过是狭义相对论的时间概念在低速情况下的近似若低速情况下的近似若从狭义相对论的基本假设可直接导出时间延缓效应从狭义相对论的基本假设可直接导出时间延缓效应经历的时间测量的时间带电带电介子是不稳定的可衰变为介子是不稳定的可衰变为介子和中微子对介子和中微子对于静止的于静止的介子测得平均寿命为介子测得平均寿命为设在实验设在实验室测得室测得介子运动速度为介子运动速度为求衰变前的平均距离
一、伽利略变换
—— 在两个惯性系中分析描述同一物理事件(event)
在t ＝0 时刻，物体在O 点, • 在t ＝ t 时刻，物体运动到P 点
系重合
:
:
r x, y, z, t r x , y , z ,t
Y
Y'
v
正 变 换
x x vt
t t
狭义相对论的重点与难点
本章重点： 1、深刻理解经典时空理论和迈克尔逊实验； 2、熟记狭义相对论基本原理、洛仑兹变换； 3、理解同时的相对性和尺缩、钟慢效应，能够 熟练利用洛仑兹速度变换解决具体问题； 4、了解相对论四维形式和四维协变量； 5、掌握相对论力学的基本理论并解决实际问题。 本章难点： 1、同时的相对性、时钟延缓效应的相对性； 2、相对论四维形式的理解； 3、电动力学相对论不变性的导出过程。*
电动力学09
1 1 We = − ∫ ∇(ϕ • D)dV + ∫ ϕ∇ • DdV 2 V∞ 2 V∞ 1 1 = − ∫S '+ S ϕD • dS + ∫ ϕρ f dV ∞ 2 2V 1 右第一项 = − ∫ [ϕ1D1 • (ndS ) + ϕ 2 D 2 • (−ndS )] 2S
1 1 = ∫ ϕ [n • (D 2 − D1 )dS ] = ∫ ϕσ f dS 2S 2S 1 1 所以 We = ∫ ϕρ f dV + ∫ ϕσ f dS 2V 2S
∂A ∂t
⇒ E = −∇ϕ
(2.1.1) (2.1.8)
ρ ⇒∇ ϕ =− ε0
2
的物理意义： 两点间的电势差， 静电标势ϕ 的物理意义 ： r ,r0 两点间的电势差 ， 等于把单位正电 点反抗电场力所做的功。 荷从 r0 点沿任意路径移到 r 点反抗电场力所做的功。 注意： 注意：a. 由(2.1.1)定义的 ϕ 不唯一，b. 电势差才有物理意义 定义的 不唯一，
∂ϕ1 ∂ϕ 2 ∂ϕ1 ∂ϕ 2 结论： −ε2 = σ f ，ε 0 ( − ) =σ。 结论：ϕ1 = ϕ 2 ，ε 1 ∂n ∂n ∂n ∂n
∂ϕ ∂ϕ *导体表面的边值关系 ϕ 1 = ϕ 2 ，ε 1 1 − ε 2 2 = σ f ∂n ∂n ϕ 导面 = 常, ∂ϕ ∂ϕ − ε =σ f , −ε ∫ dS = Q f . ∂n 导面 ∂n 的方向！！ n 的方向！！ S∞ 二、 静电场的能量 S’ *静电能 2 1 已知 We = ∫ E • DdV n 2∞ 1 ϕ1 = ϕ 2 = ϕ ， σf S n • (D 2 − D1 ) = σ f ， ∇ • D = ρ f E • D = −∇ϕ • D = −∇(ϕ • D) + ϕ∇ • D 1 1 We = − ∫ ∇(ϕ • D)dV + ∫ ϕ∇ • DdV 2 V∞ 2 V∞ 1 1 = − ∫S '+ S ϕD • dS + ∫ ϕρ f dV ∞ 2 2V
《电动力学》ppt课件
铁磁材料在恒定磁场中表现出非线性、磁饱和、磁滞等特性。
2024/1/24
03
应用举例
利用铁磁材料的特性制作电感器、变压器、电机等电气设备，以及用于
磁记录、磁放大等领域。
16
恒定磁场能量储存与转换
2024/1/24
恒定磁场能量密度
恒定磁场中储存的能量与磁场强度的平方成正比，能量密 度w=(1/2)BH。
度
描述电磁场能量的空间分布和传 播方向，是分析电磁场能量特性 的重要工具。
电磁波辐射
阐述电磁波的产生、传播和接收 过程，涉及天线辐射、电磁波传 播和接收等方面的知识。
2024/1/24
22
05
电磁波传播特性及辐射问 题探讨
2024/1/24
23
电磁波在自由空间中传播特性
2024/1/24
电磁波在自由空间中的传播速 度：等于光速，不受频率影响
26
无线通信系统基本原理简介
无线通信系统组成
包括发射机、信道、接收机等部分，实现信 息的传输和接收。
2024/1/24
无线通信基本原理
利用电磁波作为信息载体，通过调制将信息加载到 载波上，经过信道传输后，在接收端进行解调还原 出原始信息。
无线通信关键技术
包括调制与解调、信道编码与解码、多址接 入、抗干扰等技术，保证通信系统的可靠性 和有效性。
。
电磁波在自由空间中的传播 方向：垂直于电场和磁场构 成的平面，遵循右手定则。
电磁波在自由空间中的能量传 输：通过电场和磁场的交替变 化实现，能量密度与振幅的平
方成正比。
24
电磁波在介质中传播特性
2024/1/24
01
电磁波在介质中的传播速度：小于光速，与介质性 质有关。
《电动力学》大学本科课件第一章
V
J (x ) r
dV
变成先积分后微分
将 B 矢量表示为 A 矢量的旋
21
J ( x ) 0 其中： A d V ( x ) r V 4
，因积分后成为 A 不 带 x 的 (x)
函数，且对任意矢量都 成立。
B 0
磁场基本场方程
18
2、磁场的通量和散度： 积分关系：
d S 0 B
S
意义：电流激发的磁感应线 是闭合曲线。
微分关系：
由高斯散度定理： B d S B dV 0
S V
体积 V 是任取的
B 0
磁场基本场方程 意义：磁场是无源场。
电流元在磁场中受力：
d F Id l B J 即为电流元 Il d 的方向 由 Id l J dSdl J dV
得： d F J B dV
15
2、毕－萨定律：
Id l在真空中激发的磁场 微分形式： 一电流元
Id l r r 为由源点指向场点的矢 径， 0 d B 3 d B 、 d l、 r构成右旋关系。 4 r 由 Id l J dSdl J dV r 0J d B dV 3 4 r
L
S
微分关系： 由斯托克斯定理 A d l ( A ) d S L S B d l ( B ) d S J d S 0
L S
S
以 L 为边界的曲面 S 是任意的
B J 0
稳恒电场是有源无旋场 ， E 线是有头有尾的 电荷即 稳恒磁场是有旋无源场 ， B 线是无头无尾的 线，电 是涡旋的中心。
《高中物理课件-电动力学》
1
并联电容器的优点是什么？
2
并联电容器的优点和应用场景是什么？
3
什么是并联与串联电容器？
其对电容量的影响和其相对应计算公式 是什么？
串联电容器的优点是什么？
串联电容器的优点和应用场景是什么？
电容器充电和放电
什么是电容器充电和放 电？
如何计算电容器的充电和放 电曲线？
电容器充电放电的应用 场景
电容器充电和放电在哪些情 景下会用到？
什么是变压器？
变压器的工作原理和种类有哪些？
洛伦兹力、安培力和磁场能量
什么是洛伦兹力？ 安培力有什么作用？ 磁场有哪些应用?
怎样计算洛伦兹力？有哪些应用？ 什么是安培力？如何计算？ 磁场有哪些应用？有哪些重要性？
磁场线和电场线有什么区别？如何计算
电磁感应
2
磁感应强度和互感?
电磁感应现象和法拉第电磁感应定律是
什么，有哪些应用？
3
感生电动势和洛伦兹力
什么是感生电动势和洛伦兹力？如何计 算？有哪些应用？
安培定律和磁场强度
什么是安培定律？
安培定律公式和意义是什么？
什么是磁场强度？
怎么计算磁场强度？磁场的方向 和种类有哪些?
电势和电势能是怎么计算的？
电势能有哪些应用？如何解决和电势能相关的问 题？
电容器和电容量
电容器是什么？
电容器的基本原理是什么？分布 式参数和集中参数有什么意义？
电容量是什么？
什么是电容量？计算公式与单位 是什么？
电容器有哪些种类？
电容器如何分类？什么时候选择 固定电容器和变电容器？
并联与串联电容器
高中物理课件——电动力学
本课程为高中物理电动力学课件，内容包括电荷、电场、静电场与电介质、 电路、磁力线等基础知识。
电动力学第二章
若轴对称，
u()abln
§3拉普拉斯方程——分离变量法 例2：电容率为 的介质球置 于匀强外场 中，求电势 解： 设：球半径为 ，球外为真空， 该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外场 方 向的轴线。取此线为轴线，球心为原点建立球坐标系。 以原点为电势0点， 为球外势， 为球内势能
1
写出通解 通解为
上给定
（i）电势 S
或
（ii）电势的法向导数
n S
若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电
势或导体上的电荷。
则V内的电场唯一地确定。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． 例如：① 电容器内部的电场是由作为电极的两个
导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。
当带电体为一点电荷
静电场标势 静电势的微分方程
a.边界条件
由边界条件
导体的静电条件归结为：
①导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面 上。
②导体内部电场为零。
③导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表 面为等势面，整个导体的电势相等。
§1 静电场的标势及其微分方程 1。静电场标势 2。静电势的微分方程
的梯度、散度、旋度公式
§4 镜象法
一、研究的问题 在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面
二、镜象法的基本思想 在所求场空间中，使用场空间以外的区域某个 或某几个假想的电荷来代替导体的感应电荷或 介质的极化电荷
§4 镜象法
三、理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在 所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在 的“镜象电荷”来代替真实的导体感应电荷或 者介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时 候必须保证原有的场方程，边界条件不变
u()abln
§3拉普拉斯方程——分离变量法 例2：电容率为 的介质球置 于匀强外场 中，求电势 解： 设：球半径为 ，球外为真空， 该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外场 方 向的轴线。取此线为轴线，球心为原点建立球坐标系。 以原点为电势0点， 为球外势， 为球内势能
1
写出通解 通解为
上给定
（i）电势 S
或
（ii）电势的法向导数
n S
若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电
势或导体上的电荷。
则V内的电场唯一地确定。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． 例如：① 电容器内部的电场是由作为电极的两个
导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。
当带电体为一点电荷
静电场标势 静电势的微分方程
a.边界条件
由边界条件
导体的静电条件归结为：
①导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面 上。
②导体内部电场为零。
③导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表 面为等势面，整个导体的电势相等。
§1 静电场的标势及其微分方程 1。静电场标势 2。静电势的微分方程
的梯度、散度、旋度公式
§4 镜象法
一、研究的问题 在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面
二、镜象法的基本思想 在所求场空间中，使用场空间以外的区域某个 或某几个假想的电荷来代替导体的感应电荷或 介质的极化电荷
§4 镜象法
三、理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在 所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在 的“镜象电荷”来代替真实的导体感应电荷或 者介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时 候必须保证原有的场方程，边界条件不变
电动力学(全套课件)ppt课件(2024)
解释光学现象
光是一种电磁波，电动力学为光 的传播、反射、折射、衍射等现 象提供了理论解释。
揭示物质的电磁性质
物质的电磁性质，如导电性、介 电常数、磁导率等，都可以通过 电动力学进行研究和解释。
2024/1/28
28
电动力学在工程技术中的应用
电气工程
在电气工程中，电动力学用于研 究电磁场与电路元件的相互作用 ，以及电磁场在电路中的传播和
静电场
2024/1/28
7
库仑定律与电场强度
2024/1/28
库仑定律
01
描述两个点电荷之间的相互作用力，与电荷量的乘积成正比，
与距离的平方成反比。
电场强度
02
表示电场中某点的电场力作用强度，是矢量，其方向与正电荷
在该点所受电场力的方向相同。
电场强度的计算
03
通过库仑定律和叠加原理计算多个点电荷在某点产生的电场强
2024/1/28
5
电动力学与经典物理学的关系
2024/1/28
继承与发展
电动力学是经典物理学的一个重要分 支，继承了经典物理学的许多基本概 念和原理，并在其基础上进行了发展 。
深化与拓展
电动力学不仅深化了人们对电磁现象 的认识，而且拓展了物理学的研究领 域，为现代物理学的发展奠定了基础 。
6
02
17
磁感应强度与磁场强度
磁感应强度的定义与物理意义 磁感应强度与磁场强度的关系
磁场强度的定义与计算 磁场的叠加原理
2024/1/28
18
安培环路定理与磁通量
01
安培环路定理 的表述与证明
02
磁通量的定义 与计算
2024/1/28
安培环路定理 的应用举例
1静电场标势及微分方程
第二章 静电场带电体系：电荷静止，所激发的电场不随时间变化；给定自由电荷的分布以及周围空间介质或者导体的分布，运用电磁场理论求解这样的带电体系的电场。
§1 静电场的标势及其微分方程 1、 静电场的标势——静电势 麦克斯韦方程0 , ,=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇=⋅∇B tD J H tB E Dρ静电条件：()00==∂∂J t 物理量 将静电条件代入麦克斯韦方程得到00=⋅∇=⨯∇=⋅∇=⨯∇B H D Eρ✧ 在静电条件下，电场和磁场相互独立，可以分开求解；✧ 静电场是无旋场；自由电荷分布是D的源。
解决静电问题的基本方程： 微分方程0 =⨯∇=⋅∇E D ρ +边界条件f D D n σ=-⋅1221+介质的电磁性质方程静电势的定义：静电场的无旋性是静电场的一个重要的特征，其积分形式为0d =⋅⎰l E L——（1.3）“电场沿任一闭合回路的线积分等于零。
”将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功⎰⋅21d P P l E将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功与具体的路径无关，只与起点和终点有关。
0d =⋅⎰l E L0d d 21=⋅+⋅⎰⎰-C C l E l E0d d 21=⋅-⋅⎰⎰C C l E l E⎰⎰⋅=⋅21d d C C l E l E利用这一特点，引入电势的概念，是空间位置的标量函数（标势）； 定义两点间的电势差为⎰⋅-=-21d )()(12P P l E P Pϕϕ ——（1.4）推论：如果电场对（单位）正电荷做正功，则电势降低；只有两点的电势差才具有物理意义； 如果知道空间的电场的分布，则可以计算空间任意两点间的电势差；实际的计算中为了方便，常选取某个参考点，规定该点的电势为零，这样整个空间里的电势就有一个确定的值。
如果电荷分布在有限的空间里，则可以取无穷远处的电势为零，即()0=∞ϕ这样空间P 点的电势为()⎰∞⋅=Pl E P d ϕ相距为ld 的两点的电势的增量为l E dd ⋅-=ϕ式中()lz y x z y x zzy y x x z y x y y xd de d e d e e e e d d d d ⋅∇=++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕϕϕϕϕ从而得到，ϕ-∇=E——（1.5）如果知道了空间电势的分布情况，则可采用上式计算电场强度的分布。
《电动力学》课件
目录•课程介绍与基础知识•静电场•稳恒电流场•恒定磁场•时变电磁场•电磁辐射与散射课程介绍与基础知识0102 03电动力学的定义和研究范围电动力学是物理学的一个重要分支，主要研究电磁场的基本性质、相互作用和变化规律。
电动力学的发展历史从库仑定律、安培定律到麦克斯韦方程组的建立，电动力学经历了漫长的发展历程。
电动力学在物理学中的地位电动力学是经典物理学的基础之一，对于理解物质的微观结构和相互作用具有重要意义。
电动力学概述03电磁场与物质的相互作用洛伦兹力、电磁辐射等。
01静电场和静磁场的基本性质电荷守恒定律、库仑定律、高斯定理等。
02电磁感应和电磁波的基本性质法拉第电磁感应定律、麦克斯韦方程组等。
电磁现象与基本规律数学物理方法简介向量分析和场论基础向量运算、微分和积分运算、场论的基本概念等。
微分方程和偏微分方程基础常微分方程、偏微分方程、分离变量法等。
复变函数和积分变换基础复数运算、复变函数、傅里叶变换和拉普拉斯变换等。
特殊函数和数学物理方程简介勒让德多项式、贝塞尔函数、超几何函数等，以及波动方程、热传导方程、泊松方程等数学物理方程的基本概念和求解方法。
静电场库仑定律与电场强度库仑定律描述两个点电荷之间的相互作用力，其大小与电荷量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
电场强度表示电场中某点的电场力作用效果的物理量，其方向与正电荷在该点所受的电场力方向相同。
电场强度的计算通过库仑定律和叠加原理，可以计算多个点电荷在某点产生的电场强度。
电势与电势差电势描述电场中某点电势能的物理量，其大小等于将单位正电荷从该点移动到参考点时电场力所做的功。
电势差表示电场中两点间电势的差值，等于将单位正电荷从一点移动到另一点时电场力所做的功。
电势的计算通过电势的定义和叠加原理，可以计算多个点电荷在某点产生的电势。
1 2 3在静电场中，导体内部电场强度为零，电荷分布在导体的外表面。
导体的这种性质使得它可以用来屏蔽电场。
电动力学课件 3
利用正弦函数的级数展开系数计算公式得
4 V 0 /( n ), an V 0 sin( n x / a ) dx 0 , a 0 2
4V 0
n 为奇数 ; n 为偶数 .
n 1
( 2 n 1) x sin e 2n 1 a 1
2
m
c 0 d 0 , c m cos m d m sin m ,
m 0, m 0.
(am
m
bm
m
)( c m cos m d m sin m ) ,
(2.2.14)
本征值m由周期边界条件确定(02),系数由边值关系和定解条件确定
|x 0 |x a 0, |y0 V0 ,
n 1, 2 , ;
y
y
V0
O
a
图2－1
x
|y 0
b 0
由齐次边界条件(第1个)确定本征值 和 b：
n / a,
由第3个条件得 c = 0；不妨令 d = 1. 最后由第2个条件确定a ：
2
Rm
( a 0 b 0 ln )( c 0 d 0 )
m0
a 0 b 0 ln , m m a m bm ,
m 0, m 0;
1 1 2 0 2 2 R R 2 0 2 2 1 d dR m 2 R , d 2 2 d d m 2 d
2 n 1 a
y
解毕 10
2012-6-4
大学物理第2章电势能电势.ppt
q0 E dr W E ( EE ) a b p p b p a a
E E
pa pb
b
: q0 在 a 点的电势能. : q0 在 b 点的电势能.
若选b点为电势能零点；则有
E W Er d p a a b 0 q
a
b
电荷q0在电场中某点的电势能，数值上等于将电荷q0从 该点移动到电势能零点处，电场力所做的功！！ 若选无穷远处为电势能零点；则有 E W Er d7 p a a 0 q
2 b b b q q q q q 1 d r 1 2 r d r q d r 0 0 0 3 3 2 a a a 4 2 r 4 2 r 4 0 0 0 r
q q q 1 q q11 1 q 0 0 0 d ( -) ( ) ( ) a 4 r 4 ra 4 0 0 0r a r b
Ra Rb
+Q a
(2) 令 V 0 , 球面内部一点a的电势为
V ( r ) E d l E d l E d l 沿电场线积分
r R a R b R a R b
Q 1 1 V ( r ) E d l E d r ( ) ( r R ) r a R R a a 4 R 0 aR b 17
求两球面内部中间外部的电势分布取无穷远处为电势零点沿电场线积分182两球面之间一点b的电势为3两球面外面一点p的电势为试用两个球面的电势叠加来做本题19由电势相等的点组成的面叫等势面当常量c取等间隔数值时可以得到一系列的等势面
第一章 电势能 电势
1
目录 §1.1 静电场力的保守性质 电场强度的环流 §1.2 电势 电势差
E E
pa pb
b
: q0 在 a 点的电势能. : q0 在 b 点的电势能.
若选b点为电势能零点；则有
E W Er d p a a b 0 q
a
b
电荷q0在电场中某点的电势能，数值上等于将电荷q0从 该点移动到电势能零点处，电场力所做的功！！ 若选无穷远处为电势能零点；则有 E W Er d7 p a a 0 q
2 b b b q q q q q 1 d r 1 2 r d r q d r 0 0 0 3 3 2 a a a 4 2 r 4 2 r 4 0 0 0 r
q q q 1 q q11 1 q 0 0 0 d ( -) ( ) ( ) a 4 r 4 ra 4 0 0 0r a r b
Ra Rb
+Q a
(2) 令 V 0 , 球面内部一点a的电势为
V ( r ) E d l E d l E d l 沿电场线积分
r R a R b R a R b
Q 1 1 V ( r ) E d l E d r ( ) ( r R ) r a R R a a 4 R 0 aR b 17
求两球面内部中间外部的电势分布取无穷远处为电势零点沿电场线积分182两球面之间一点b的电势为3两球面外面一点p的电势为试用两个球面的电势叠加来做本题19由电势相等的点组成的面叫等势面当常量c取等间隔数值时可以得到一系列的等势面
第一章 电势能 电势
1
目录 §1.1 静电场力的保守性质 电场强度的环流 §1.2 电势 电势差
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① 知的道选择即不可唯确一定，相E差一个常数，只要
② 取负号
③ 满足迭加原理
Q
E E1
E1 E2
1
E2
2
\ 1 2 (1 2 )
2、电势差
d dl E dl
空间某点电势无物 理意义，两点间电 势差才有意义
Q
P Q
E dl
P
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
1 1 r r 2l cos 2l cos
r r
r r
R 2 l 2 cos2
R2
(P) 2Ql cos 2QlRcos p R
4 0 R2
4 0 R3
4 0 R3
3. 42页例2 4．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。
电荷分布在有限区，参
考点选在无穷远。根据
Q
P
对称性，导体产生的场
因为电荷分布在无穷区域，可选
R
空间任一点为参考点，为方便取
y
坐标原点电势
0 x
0 0 P
0
(P)
E
P
dl
E0
dl
P
E0
0
dl
E0
R
(P) 0 E0 R( 0 E0Z 0 E0Rcos )
2. 电偶极子产生的电势
解：电偶极子： 两个相距为
2l
的同量异号点电荷构成的
|s 常数
n s
Q dS dS
S
S n
En
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度
w
1
E
D
2
总能量
W
1 2
E DdV
2. 若已知 , 总能量为
W 1 dV 1 不是能量密度
2V
2
导出过程：
E D D (D) D (D)
（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考
点，否则积分将无穷大。
3、电荷分布在有限区几种情况的电势
（1）点电荷
(P) Qr
dl
Qd r
Q
P 4 0r3
P 4 0r2 4 0r
（2）电荷组
n
(P)
Qi
i1 4 0 ri
（3）无限大均匀线性介质中点电荷
Q 4 r
点电荷在均匀介质中 的空间电势分布（Q 为自由电荷）
② 两点电势差与作功的路径无关 (Q E dl 0) L
●等势面：电势处处相等的曲面
E
与等势面垂直，即
E
n
均匀场电场线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
点电荷电场 线与等势面
参考点
（1）电荷分布在有限区域，
P
E dl
P
通常选无穷远为电势 参考点
0 (Q )
P点电势为将单位正 电荷从P移到∞电场 力所做的功。
具有球对称性，电势也
a
应具有球对称性。当考
虑较远处场时，导体球
可视为点电荷。
A B (r 0) 满足 2 0 (r a)
r
r 0
r3
(r 0) r , 0
B0 A
r
A
n r r 2
Q
0
r
dS
ra
0
A dS 0 A4 a 2
a2
a2
A Q
4 0
（4）连续分布电荷
(P) (x)dV
V 4 0 r
二、静电势的微分方程和边值关系
1. 电势满足的方程
泊松方程 2
导出过程
适用于均 匀介质
D E, E D
E
2
0 拉普拉斯方程 2
适用于无自 由电荷分布 的均匀介质
2．静电势的边值关系 (1) 两介质分界面
Q 4 0 r
(r a)
E
内 =
表面 =
Q
4 0a
Q r Qr
(r a)
(r a)
4 0 r 2
4 0 r 3
D PPEn (PP(D2(P10)0
E P)
1)
外表面
E
En
,
Et 0
电荷分布在表面上，电
场处处垂直于导体表面
§2.1 静电势及其微分方程
本节主要内容
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三．静电场的能量
一、静电场的标势
1．静电势的引入 E 0
静电场标势 [简称电势]
E
边值关系：
n
(E2
E1 )
0
n (D2 D1 )
介质分界面上的束缚电荷：
n
(E2
E1 )
P 0
f
电磁性质方程：
f 0
p 0 E2n E1n
① 均匀各向同性线性介质：
② 静电平衡时的导体：
导体内 J E 0（ 0）
P e 0 E ( 0 )E
E, D, P, , 0
W
1 2
dV
1 2
(D)dV
(D)dV SDdS
D
dS
1
1
r
D
1 r2
dS r2
S D dS 0
W
1 2
dV
该公式只适合于静电场情况。 能量不仅分布在电荷区，而 且存在于整个场中。
四、例题
1.求均匀电场 E0 的电势
z
解：均匀电场可看作由两无限大
P
平行板组成的电容器产生的电场。 θ
E0
系统偶极矩 P 2Ql ez
P点电势：
(P)
Q
4 0
(1 r
1 r
)
（无穷远为零点）
z
P
r
Q
2l R r
y
x -Q (l R)
求近似值： r2 R2 l 2 2Rl cos
r
R
1 2l cos / R R(1 1 2l cos ) R l cos
2R
同理
r R l cos
第二章 静电场
本章重点： 静电势及其特性、分离变量法、镜象法 本章难点： 分离变量法（柱坐标）、电多极子
静电场的基本特点：
① J 0
② E, B, , P 等均与时间无关
③不考虑永久磁体（M 0） ④ B H 0
（ H 0, B 0 ，H B 0 为唯一解）
基本方程： E 0 D
Q
Q P P E dl
P
Q
0
P Q
2
Q
n
2
1 S 2 S
S
1 P 1
2
2
n
S
1
1
n
S
n (D2 D1)
2 E2n 1E1n
D2n D1n
D E
En
n
（2）导体表面上的边值关系
由于导体表面为等势面，因此在导体表
面上电势为一常数。考虑导体内部电场 为零，则可以得到第二个边值关系。