电动力学课件：2-1-静电势及其微分方程1

因为电荷分布在无穷区域，可选
R
空间任一点为参考点，为方便取
y
坐标原点电势
0 x
0 0 P
0
(P)
E
P
dl
E0
dl
P
E0
0
dl
E0
R
(P) 0 E0 R( 0 E0Z 0 E0Rcos )
2. 电偶极子产生的电势
解：电偶极子： 两个相距为
2l
的同量异号点电荷构成的
W
1 2
dV
1 2
(D)dV
(D)dV SDdS
D
dS
1
1
r
D
1 r2
dS r2
S D dS 0
W
1 2
dV
该公式只适合于静电场情况。 能量不仅分布在电荷区，而 且存在于整个场中。
四、例题
1.求均匀电场 E0 的电势
z
解：均匀电场可看作由两无限大
P
平行板组成的电容器产生的电场。 θ
E0
Q
Q P P E dl
P
Q
0
P Q
2
Q
n
2
1 S 2 S
S
1 P 1
2
2
n
S
1
1
n
S
n (D2 D1)
2 E2n 1E1n
D2n D1n
D E
En
n
（2）导体表面上的边值关系
由于导体表面为等势面，因此在导体表
面上电势为一常数。考虑导体内部电场 为零，则可以得到第二个边值关系。
具有球对称性，电势也
a
应具有球对称性。当考
虑较远处场时，导体球
可视为点电荷。
A B (r 0) 满足 2 0 (r a)
r
r 0
r3
(r 0) r , 0
B0 A
r
A
n r r 2
Q
0
r
dS
ra
0
A dS 0 A4 a 2
a2
a2
A Q
4 0
（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考
点，否则积分将无穷大。
3、电荷分布在有限区几种情况的电势
（1）点电荷
(P) Qr
dl
Qd r
Q
P 4 0r3
P 4 0r2 4 0r
（2）电荷组
n
(P)
Qi
i1 4 0 ri
（3）无限大均匀线性介质中点电荷
Q 4 r
点电荷在均匀介质中 的空间电势分布（Q 为自由电荷）
第二章 静电场
本章重点： 静电势及其特性、分离变量法、镜象法 本章难点： 分离变量法（柱坐标）、电多极子
静电场的基本特点：
① J 0
② E, B, , P 等均与时间无关
③不考虑永久磁体（M 0） ④ B H 0
（ H 0, B 0 ，H B 0 为唯一解）
基本方程： E 0 D
Q 4 0 r
(r a)
E
内 =
表面 =
Q
4 0a
Q r Qr
(r a)
(r a)
4 0 r 2
4 0 r 3
系统偶极矩 P 2Ql ez
P点电势：
(P)
Q
4 0
(1 r
1 r
)
（无穷远为零点）
z
P
r
Q
2l R r
y
x -Q (l R)
求近似值： r2 R2 l 2 2Rl cos
r
R
1 2l cos / R R(1 1 2l cos ) R l cos
2R
同理
r R l cos
|s 常数
n s
Q dS dS
Hale Waihona Puke Baidu
S
S n
En
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度
w
1
E
D
2
总能量
W
1 2
E DdV
2. 若已知 , 总能量为
W 1 dV 1 不是能量密度
2V
2
导出过程：
E D D (D) D (D)
边值关系：
n
(E2
E1 )
0
n (D2 D1 )
介质分界面上的束缚电荷：
n
(E2
E1 )
P 0
f
电磁性质方程：
f 0
p 0 E2n E1n
① 均匀各向同性线性介质：
② 静电平衡时的导体：
导体内 J E 0（ 0）
P e 0 E ( 0 )E
E, D, P, , 0
① 知的道选择即不可唯确一定，相E差一个常数，只要
② 取负号
③ 满足迭加原理
Q
E E1
E1 E2
1
E2
2
\ 1 2 (1 2 )
2、电势差
d dl E dl
空间某点电势无物 理意义，两点间电 势差才有意义
Q
P Q
E dl
P
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
（4）连续分布电荷
(P) (x)dV
V 4 0 r
二、静电势的微分方程和边值关系
1. 电势满足的方程
泊松方程 2
导出过程
适用于均 匀介质
D E, E D
E
2
0 拉普拉斯方程 2
适用于无自 由电荷分布 的均匀介质
2．静电势的边值关系 (1) 两介质分界面
② 两点电势差与作功的路径无关 (Q E dl 0) L
●等势面：电势处处相等的曲面
E
与等势面垂直，即
E
n
均匀场电场线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
点电荷电场 线与等势面
参考点
（1）电荷分布在有限区域，
P
E dl
P
通常选无穷远为电势 参考点
0 (Q )
P点电势为将单位正 电荷从P移到∞电场 力所做的功。
D PPEn (PP(D2(P10)0
E P)
1)
外表面
E
En
,
Et 0
电荷分布在表面上，电
场处处垂直于导体表面
§2.1 静电势及其微分方程
本节主要内容
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三．静电场的能量
一、静电场的标势
1．静电势的引入 E 0
静电场标势 [简称电势]
E
1 1 r r 2l cos 2l cos
r r
r r
R 2 l 2 cos2
R2
(P) 2Ql cos 2QlRcos p R
4 0 R2
4 0 R3
4 0 R3
3. 42页例2 4．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。
电荷分布在有限区，参
考点选在无穷远。根据
Q
P
对称性，导体产生的场