电动力学-静电场答案详解
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（1）导体球上接有电池，使球保持电势为 ；（2）导体球上带有总电荷 。
解 建立球坐标系 极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与r有关
1） 的定解问题为
此时 是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为
2） 的定解问题为
类似解为
8.介电常数为 的无限均匀介质中，挖一个半径为 的空球，球心处置一电矩为 的自由偶极子，试求空间电势分布。
解：根据题意设球内区域电势为 ，球外区域电势为 ，
，
设像电荷位置如图所示，
其中
由边界条件
要使上式对任意 成立，必有
（*）
解得 ，（舍去）
代入（*），得
由上可知， ，
若使有确定 ，且两种情况有相同解 ，
，
由边界条件
所以，外表面感应电荷面密度 ，
内表面感应电荷面密度 ，
总感应电荷 ，（可见全部在内表面上）
可以证明E、F处的两个点电荷+Q和-Q关于 平面对称，因而可满足 平面的电势为零，这样找出了5个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点P处的电势可表为 ，
其中 分别为给定电荷Q及其像电荷到P点的距离。
在其余空间的电势为 。
11.接地空心导体球，内外半径为 和 ，球内离球心 处（ ）置一点电荷 ，试用电像法求空间电势分布。导体上感应电荷分布在内表面还是外表面？其量为多少？若导体球壳不接地而是带电量 ，则电势分布又如何？若导体球壳具有确定的电势 ，电势分布如何？
（1）首先考虑半面 ，为了满足 平面的电势为零，应在Q关于 对称的位置B处有一像电荷-Q,
（2）考虑半面 ，同样为了满足电势为零的要求，对于A、B处两个点电荷+Q和-Q，应在A、B关于 对称的位置C、D处有两个-Q、+Q，
（3）再考虑 半平面，对于C、D处的-Q和+Q，应在E、F处有两个像电荷+Q和-Q才能使导体 的电势为零。
12.四个点电荷，两个＋ ，两个－ ，分别处于边长为 的正方形的四个顶点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。
解：该系统电荷分布为分立分布，在如图坐标系中位置为q(0,0,0)，-q(a,0,0)，-q(0,a,0)，q(0,0,a)的精确到四极矩情况下，可求得远处的电势分布为 。
13.求面电荷密度按 分布，半径为 的球的电矩。问该系统是否存在电四极矩？
上边两式为: ，
于是得：
4.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。
证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。
静电情况下： ,
由边值关系： ,
可得： ,
即， ，
对于各向同性线性介质
所以，
即导体外的电场线垂直于导体表面
5.如图1，有一厚度为 ，电荷密度为 的均匀带电无限大平板，试用分离变量法求空间电势的分布。
编号： 班级： 学号：
姓名： 成绩：
第1章 静电场
1.证明均匀介质内部的极化电荷体密度 ，总等于自由Leabharlann Baidu荷体密度 的
－（1－ ）倍。
2.有一内外半径分别为 的空心介质球，介质的介电常数为 ，使介质内均匀带静止自由电荷 ，求
（1）空间各点的电场；
（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
解 1）
由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向
故： 时
或
时 球壳体内：
在 的球形外：
式中 写在一起
2）
（与第一题相符）
内表面：
外表面：
3.证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折
满足：
式中 和 分别为两介质的介电常数， 和 分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度 ，故边值关系为：
, （ , ）
若两种介质都是线性均匀的，即 ， ；
解：求解与上题类似，只需
得 ，
，
极化电荷分布，在介质球内
因此在球心处有一极化电偶极矩 ，
在 的界面上，由 ，
可得，
10.两个接地的无限大导电平面，其夹角为 ，点电荷 位于这个两面角的平面上，并与棱边（两面角之交线）相距为 。试用电像法求真空中的电势。
解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷Q位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小：
解：
，
所以，
14.设真空中电场的势为
式中 是离坐标原点的距离， 和 是常数，求相应的电荷分布。
解： ， ，
时， ，
时，
15.在一点电荷 的电场中，距离它为 的地方有一偶极子，其电矩 ，求在下列两种情况下，此电矩所受的力 和力矩 ：
（1）偶极子的电矩 沿点电荷电场的方向;
解 如图建立球坐标系， 的方向为极轴 方向,
的定解问题为
r=a时， ；
注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性， 可写为：
第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故Bn=0
解的电势分布
9．半径为R的均匀介质球中心置一自由偶极子 ，球外充满另一种介质，求空间各点的电势和极化电荷分布（介质球介电常数为 ，球外为 ）。
解：以O原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性，
电势分布仅与x有关， 即一维问题。容易写出定解问题：
时
时
直接求解得
6.内半径 ，外半径为 的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电量 ，试用分离变量法求空间电势分布。
解.根据球对称性，空间电势分布 仅与r有关，定结问题为：
r=b时
求解得
7.均匀外电场中 ，置入半径为 的导体球。求以下两种情况的电势分布。
解 建立球坐标系 极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与r有关
1） 的定解问题为
此时 是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为
2） 的定解问题为
类似解为
8.介电常数为 的无限均匀介质中，挖一个半径为 的空球，球心处置一电矩为 的自由偶极子，试求空间电势分布。
解：根据题意设球内区域电势为 ，球外区域电势为 ，
，
设像电荷位置如图所示，
其中
由边界条件
要使上式对任意 成立，必有
（*）
解得 ，（舍去）
代入（*），得
由上可知， ，
若使有确定 ，且两种情况有相同解 ，
，
由边界条件
所以，外表面感应电荷面密度 ，
内表面感应电荷面密度 ，
总感应电荷 ，（可见全部在内表面上）
可以证明E、F处的两个点电荷+Q和-Q关于 平面对称，因而可满足 平面的电势为零，这样找出了5个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点P处的电势可表为 ，
其中 分别为给定电荷Q及其像电荷到P点的距离。
在其余空间的电势为 。
11.接地空心导体球，内外半径为 和 ，球内离球心 处（ ）置一点电荷 ，试用电像法求空间电势分布。导体上感应电荷分布在内表面还是外表面？其量为多少？若导体球壳不接地而是带电量 ，则电势分布又如何？若导体球壳具有确定的电势 ，电势分布如何？
（1）首先考虑半面 ，为了满足 平面的电势为零，应在Q关于 对称的位置B处有一像电荷-Q,
（2）考虑半面 ，同样为了满足电势为零的要求，对于A、B处两个点电荷+Q和-Q，应在A、B关于 对称的位置C、D处有两个-Q、+Q，
（3）再考虑 半平面，对于C、D处的-Q和+Q，应在E、F处有两个像电荷+Q和-Q才能使导体 的电势为零。
12.四个点电荷，两个＋ ，两个－ ，分别处于边长为 的正方形的四个顶点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。
解：该系统电荷分布为分立分布，在如图坐标系中位置为q(0,0,0)，-q(a,0,0)，-q(0,a,0)，q(0,0,a)的精确到四极矩情况下，可求得远处的电势分布为 。
13.求面电荷密度按 分布，半径为 的球的电矩。问该系统是否存在电四极矩？
上边两式为: ，
于是得：
4.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。
证明：设介质1为导体，介质2为绝缘体。
静电情况下： ,
由边值关系： ,
可得： ,
即， ，
对于各向同性线性介质
所以，
即导体外的电场线垂直于导体表面
5.如图1，有一厚度为 ，电荷密度为 的均匀带电无限大平板，试用分离变量法求空间电势的分布。
编号： 班级： 学号：
姓名： 成绩：
第1章 静电场
1.证明均匀介质内部的极化电荷体密度 ，总等于自由Leabharlann Baidu荷体密度 的
－（1－ ）倍。
2.有一内外半径分别为 的空心介质球，介质的介电常数为 ，使介质内均匀带静止自由电荷 ，求
（1）空间各点的电场；
（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
解 1）
由电荷分布的对称性可知：电场分布也是对称的。电场方向沿径向
故： 时
或
时 球壳体内：
在 的球形外：
式中 写在一起
2）
（与第一题相符）
内表面：
外表面：
3.证明：当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折
满足：
式中 和 分别为两介质的介电常数， 和 分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
证明：绝缘介质分界面上自由电荷密度 ，故边值关系为：
, （ , ）
若两种介质都是线性均匀的，即 ， ；
解：求解与上题类似，只需
得 ，
，
极化电荷分布，在介质球内
因此在球心处有一极化电偶极矩 ，
在 的界面上，由 ，
可得，
10.两个接地的无限大导电平面，其夹角为 ，点电荷 位于这个两面角的平面上，并与棱边（两面角之交线）相距为 。试用电像法求真空中的电势。
解：考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷Q位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小：
解：
，
所以，
14.设真空中电场的势为
式中 是离坐标原点的距离， 和 是常数，求相应的电荷分布。
解： ， ，
时， ，
时，
15.在一点电荷 的电场中，距离它为 的地方有一偶极子，其电矩 ，求在下列两种情况下，此电矩所受的力 和力矩 ：
（1）偶极子的电矩 沿点电荷电场的方向;
解 如图建立球坐标系， 的方向为极轴 方向,
的定解问题为
r=a时， ；
注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性， 可写为：
第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故Bn=0
解的电势分布
9．半径为R的均匀介质球中心置一自由偶极子 ，球外充满另一种介质，求空间各点的电势和极化电荷分布（介质球介电常数为 ，球外为 ）。
解：以O原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性，
电势分布仅与x有关， 即一维问题。容易写出定解问题：
时
时
直接求解得
6.内半径 ，外半径为 的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电量 ，试用分离变量法求空间电势分布。
解.根据球对称性，空间电势分布 仅与r有关，定结问题为：
r=b时
求解得
7.均匀外电场中 ，置入半径为 的导体球。求以下两种情况的电势分布。