高等数学讲义课件 第1节 函数

确定的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作
y f ( x)
因变量 自变量
数集D叫做这个函数的定义域(Domain) 。
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点 0处的函数值 x .
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D } 称为函数的值域 .
函数的三因素: 定义域，值域和对应法则.
(2) 无限区间
[a ,) { x a x }
Def
o a Def ( , b) { x x b} o (,) { x x R}
Def
x
b
x
其中 为正无穷大， 为负无穷大. 只是一个记号。
3.邻域:
设x0与是两个实数 , 且 0.
数集{x x x0 }称为点x0的邻域 , 记为U (x0 , )
第一章
函数 极限 连续 第一节 函数
一、集合 区间 二、函数的定义 三、函数的基本特性 四、复合函数与反函数 五、初等函数
一、集合(set) 区间(interval)
1.几种重要集合:
(1) 常用数集 N----自然数集
Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
(2) 不含任何元素的集合称为空集.
几个特殊的函数举例 ①多值函数、 单值分支 如果自变量在定 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否 则叫做多值函数．
y
y a2 x2
o
x2+y2=a2
x
例如，x 2 y 2 a 2．
一般只讨论单值函数
②分段函数：
•绝对值函数(Absolute Function)
2. 复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
x 例如 y cot , y u , 2
x u cot v , v . 2
复合函数的复合结构。
五、初等函数
（一）、基本初等函数
1、幂函数(Power Function)
y x

( 是常数)
y
y x2
1
(1,1)
y x
y x
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
M y=f(x) o -M M
y
x
有界 X
x0
o -M X 无界
x
2、函数的单调性(Monotonic Function):
y
y f (x)
y
f ( x2 )
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
3．函数的奇偶性
1 x y ln arcsin x 1 x2来自如：函数的分类:
代 数 函 数 有 理 函 数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)
函 数
初 等 函 数
无理函数
超越函数(指数、对数、三角、反三角) 非初等函数(部分分段函数,部分有无穷多 项等函数)
2
x 当x 0 y x x 当x 0
-2 -1
1.5
1
0.5
1
2
•符号函数(sign Function)
y 1 o x
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
sgn( 6) 1; sgn 2
-1
x sgn x x
o
1 y x
1
x
2、指数函数(Exponential Function)
y ax
(a 0, a 1)
y ex
1 x y( ) a
y ax
(a 1)

(0,1)
3、对数函数(Logarithmic Function)
y loga x (a 0, a 1)
y ln x
f ( x ) g( x ); f ( x ) g( x ); f ( x ) g( x ).
2、反函数(Inverse Function)
y
y
函数 y f ( x )
反函数 x ( y )
W
y0
W
x
x D0
y0
o
o
x0D
x
y
反函数y f 1 ( x )
Q ( b, a )
记作
例如
{ x x R, x 2 1 0}
2.区间 (1)有限区间
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间,
记作 (a , b)
o
a
b
x
记作 [a , b]
{ x a x b} 称为闭区间,
o
a
b
x
{ x a x b} 称为半开半闭区间, 记作 [a , b) { x a x b} 称为半开半闭区间, 记作 (a , b]
y
y f ( x)
y
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
-x
o
f ( x )
x
x
Even Function
Odd Function
4．函数的周期性(Periodic Function):

3l 2

l 2
l 2
3l 2
四、反函数与复合函数
1.函数的四则运算(combinations of functions)
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称. 命题 单值单调函数的反函数仍是单值单调， 且保持直接函数的增(减)性。
3、复合函数(Composite Function)
设 y u, u 1 x 2 ,
y 1 x2
定义: 设函数y=f(u)的定义域为D1 ，如果函数
y cot x
1 正割函数 y sec x cos x
y sec x
余割函数
y csc x 1
sin x
y csc x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
点x0叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.
U (x0 , ) {x x0 x x0 } x

x x0


x0

x0
0
x0
x
点x0的去心的邻域, 记作 U ( x0 , ). 0 (x0 , x0 ) (x0 , x0 ) U ( x , ) { x 0 x x }
(
x
D
对应法则f
x0 )
自变量
(
W
y
f ( x0 )
)
因变量
函数的两要素:
定义域与对应法则.
结论:两个函数相同(等)的充要条件是定义域与
对应法则分别相同.
例１：判别下列函数是否是相同的函数？
(1) f ( x ) x , g( x ) x2 ;
x2 1 (2) f ( x ) x 1, g( x ) ; x 1 2 2 (3) f ( x ) sin x cos x , g( x ) 1; (4) f ( x ) ln x 2 , g( x ) 2 ln x;
u (x) 的值域为 W D1 ，则称 y f [ ( x )]
为由函数 y=f(u) 与 u (x) 构成的复合函数.
x 自变量, u 中间变量,
y 因变量,
Note: 1. 不是任何两个函数都可以复合成一个 复合函数的;
例如 y arcsinu, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
1.
•取整函数 y=[x] (Rounding Function) [x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1
y
4 3 2 1 o
阶梯曲线
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
2.43 2;
2.43 3.
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
y arctan x
反余切函数y=arc cot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
（二）、初等函数(Elementary Function)
1. 定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则 运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示的函数,称为初等函数.
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
a
4、三角函数(Trigonometric Function) 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
注:分段函数的定义域应为各分段部分的并集.
三、函数的基本特性
1、函数的有界性(Bound):
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,