集合的概念课件
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反之，如果X是一个奇数，那么X除以2的余数为1，它能表示为 X=2k+1（k∈Z）的形式。所以，X=2k+1（k∈Z）是所有奇 数的一个共同特征，于是奇数集可以表为 {X∈Z｜X=2k+1， k∈Z}.
再如，实数集，有限小数和无限循环小数都具有q╱p（p， q∈Z，p≠0）的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为 Q={X∈R｜X=q╱p，p，q∈Z，p≠0}. 其中，X=q╱p（p，q∈Z，p≠0）就是所有有理数具有的共同 特征。
例如，
不等式X-7<3的解是X<10，因为满足X<10的实数有无数个， 所以X-7<3的解集无法用列举法表示。但是我们可以利用解集中 元素的共同特征，即：X是实数，且X<10，把解集表示为 {X∈R｜X<10}.
又如，整数集Z可以分为奇数集和偶数集。对于每一个X∈Z，如 果它能表示为X=2k+1（k∈Z）的形式，那么X除以2的余数为1， 它是一个奇数；
（1）小于10的所有自然数组成的集合
解：设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3， 4，5，6，7，8，9}.
注，由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因 此一个集合可以有不同的列举方法，故以上例题的集合还可以写成 A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.
集合E={X∈Z｜X=2k+1，k∈Z}也可表示为E={X｜ X=2k+1，k∈Z}.
练习
1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）A，B是平面α内的定点，在平面α内与A，B等距离的点； （2）高中学生中的游泳能手. 2.用符号“∈”或“∉”填空： 0＿N； -3＿N； 0.5＿Z； √2＿Z； 1╱3＿Q； π＿R.
再如，实数集，有限小数和无限循环小数都具有q╱p（p， q∈Z，p≠0）的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为 Q={X∈R｜X=q╱p，p，q∈Z，p≠0}. 其中，X=q╱p（p，q∈Z，p≠0）就是所有有理数具有的共同 特征。
例如，
不等式X-7<3的解是X<10，因为满足X<10的实数有无数个， 所以X-7<3的解集无法用列举法表示。但是我们可以利用解集中 元素的共同特征，即：X是实数，且X<10，把解集表示为 {X∈R｜X<10}.
又如，整数集Z可以分为奇数集和偶数集。对于每一个X∈Z，如 果它能表示为X=2k+1（k∈Z）的形式，那么X除以2的余数为1， 它是一个奇数；
（1）小于10的所有自然数组成的集合
解：设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3， 4，5，6，7，8，9}.
注，由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因 此一个集合可以有不同的列举方法，故以上例题的集合还可以写成 A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.
集合E={X∈Z｜X=2k+1，k∈Z}也可表示为E={X｜ X=2k+1，k∈Z}.
练习
1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）A，B是平面α内的定点，在平面α内与A，B等距离的点； （2）高中学生中的游泳能手. 2.用符号“∈”或“∉”填空： 0＿N； -3＿N； 0.5＿Z； √2＿Z； 1╱3＿Q； π＿R.
集合的概念ppt课件
(1) 1
N
(3) -12
Z (5) √2
R
(2) 0
N* (4) √3
Q (6) π
R
解析： (1) ∈ (3) ∈
(5) ∈
(2) ∉ (4) ∉ (6) ∈
03
集合的表示
一、合作探究
小组讨论：
1、小于5的自然数集合A，有哪些元素？ 2、小于5的实数集合B，包括哪些元素？
1、集合A，包括元素：0,1,2,3,4。 集合A中的元素可以一 一列举。
③ 集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性 ④ 集合的分类：有限集、无限集、空集 ⑤ 数集：N , N* , Z , Q , R ⑥ 集合的表示方法：列举法、描述法
06
课后作业
课后作业1
1、用符号“∈”或“∉”填空：
（1） -3
N， 0.5
N， 0.3
N
（2） 1.5
Z， -5
Z，
3
Z
（3）-0.2
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
目录
01 集合的概念
0 元素与集合 2
0 集合的表示 3
04 集合的分类
01
集合的概念
一、导入生活情景
情景1-上架商品：
如右图，“美汇”生活超市新进了一批果蔬：苹果， 葡萄，黄桃，柠檬，石榴，西瓜，土豆。茄子，西蓝 花等。
作为陈列员，你该如何分类摆放这些商品呢？
四、集合中元素的性质
集合中元素的性质
确定性
1 集合中的元素 必须是确定的
无序性
2 集合中的元素
无顺序之分 {a, b, c} = {a, c, d}
互异性
3 集合中的元素 是互不相同的
集合的概念ppt课件
例： 表示 以内所有素数构成的集合，则4 ___ ,3____ .
新课引入
概念深化
四、常用数集及其记法
非负整数集 (自然数集)
正整数集
整数集 有理数集 实数集
或
Natural number
Zahlen quotient Real number
N*或N＋ N Z Q R
新课引入
应用举例
五、集合的表示方法
×√ （2）较小的数.
新课引入
牛刀小试
2022年8月底，我们踏入了心仪的校园，找到了自己的班级.下列现象能 否构成一个集合，并说明理由？
（1）你所在班级中的全体学生； （2）你所在班级中比较高的同学； （3）你所在班级中身高超过178cm的同学； （4）学习成绩比较好的同学.
能 不能 能 不能
新课引入
遍性的特点
新课引入
布置作业
•作业1: 习题1.1第2，3，4题 •作业2: 《课时练习册》第一节内容 •作业3: 元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似的，集合与集合之间的关系又 有多少种？如何表示？请同学们通过预习课本来解答.
新课引入
结束语
谢谢观看！
元素
新课引入
概念形成
一、概念 元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.
集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
我们通常用大写拉丁字母
表示集合，用小
写拉丁字母
表示集合中的元素.
康托尔(Georg Cantor,1845～ 1918) 德国数学 家, 集合论创始 人, 他于1895年 谈到“集合”一词.
1.列举法： 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集 合的方法.
集合的概念-课件ppt
（一）集合的概念：
各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看作对象。
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就
说这个整体是有这些对象的全体构成的集合（或集）。 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）
如：小于10的自然数 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 构成了一个集合
集合举例
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来 表示一个集合.
例1：用列举法表示下列集合
（1）A {x N | 0 x 5} A {1，2，3，4，5} （2）B={2，3}
例2：用描述法表示下列集合
（1）{1，1}； （2）大于3的全体偶数构成的集合；
（二）“元素”与“集合”：
1. 集合通常用大写英语字母A，B，C，…来表示，元 素通常用小写英语字母a，b，c，…来表示；
2、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a∈A （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A， 记作要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.
问题：正偶数的集合怎么表示， 能否使用列举法？
{x R | x能被2整除，且大于0} 或{x R | x 2n, n N}
问题解决：用集合中元素的特征性 质来描述
2、描述法： 在集合I中，属于集合A的任意元素x都 具有性质p(x)，而不属于集合A的元 素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做 集合A的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：
3.空集
（1）考虑方程x+1=x+2的解的全体构成的集合.显然这 个集合不含任何元素.
（2）一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集， 记作Ф
知识探究
任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元 素有什么特征？
人教版高中数学必修一课件：1.1《集合》 (共23张PPT)
（2）互异性：
一个给定集合中的元素是互不相同的．即集合 中的元素是不重复出现的。
（3）无序性：
元素完全相同的两个集合相等，而与列举顺序 无关。
【注】两个集合相等当且仅当构成
这两个集合的元素是完全一样的.
三、元素与集合的关系
常见数集：
1. 自然数集(非负整数集): N 2. 正整数集: N*或N+ 3. 整数集: Z 4. 有理数集: Q 5. 实数集: R
(2) 描述法：
{ x I | P( x)}
元素符号 范围 元素的特征
【例2】试分别用列举法和描述法表示下列 集合 (1)方程x2-2＝0的所有实数根组成的集合; (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
【思考题】用列举法表示集合:
ab 1) A { x | x ,
a, b为非零实数}
3.
方程组
x x
y9 y3
的解集用列举
法或描述法表示为
。
4、已知x2∈ {1, x, 0}, 求实数x的值.
52、) 补充 : 含有三个实数的集合可
表示为{ a, b , 1 }, 也可表示为 a
{a 2 , aabb,，00},}求, 求a 2a0120006 b b . 20120006.
6、已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0, m∈R}且A中只有一个元素，求m的值.
课堂练习 P5 练习1、2
小结
1. 集合的概念； 2. 元素与集合的关系； 3. 集合的元素特征； 4. 集合的表示方法；
ab
2) B {k N | 6 Z} 3k
思考：B { 6 Z | k N }呢？ 3k
1. 已知集合S中有三个元素 a, b, c
一个给定集合中的元素是互不相同的．即集合 中的元素是不重复出现的。
（3）无序性：
元素完全相同的两个集合相等，而与列举顺序 无关。
【注】两个集合相等当且仅当构成
这两个集合的元素是完全一样的.
三、元素与集合的关系
常见数集：
1. 自然数集(非负整数集): N 2. 正整数集: N*或N+ 3. 整数集: Z 4. 有理数集: Q 5. 实数集: R
(2) 描述法：
{ x I | P( x)}
元素符号 范围 元素的特征
【例2】试分别用列举法和描述法表示下列 集合 (1)方程x2-2＝0的所有实数根组成的集合; (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
【思考题】用列举法表示集合:
ab 1) A { x | x ,
a, b为非零实数}
3.
方程组
x x
y9 y3
的解集用列举
法或描述法表示为
。
4、已知x2∈ {1, x, 0}, 求实数x的值.
52、) 补充 : 含有三个实数的集合可
表示为{ a, b , 1 }, 也可表示为 a
{a 2 , aabb,，00},}求, 求a 2a0120006 b b . 20120006.
6、已知集合A={x∈R|mx2-2x+3=0, m∈R}且A中只有一个元素，求m的值.
课堂练习 P5 练习1、2
小结
1. 集合的概念； 2. 元素与集合的关系； 3. 集合的元素特征； 4. 集合的表示方法；
ab
2) B {k N | 6 Z} 3k
思考：B { 6 Z | k N }呢？ 3k
1. 已知集合S中有三个元素 a, b, c
集合的概念和表示法-PPT课件
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7
离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 b、部分列举法：
列举集合的部分元素，其他元素可从列举的元
素 归纳出来 ， 用省略号代替。 例如A表示“全体小写英文字母”的集合， 则 A={a, b, … , y, z} 注： 列举法仅适用于描述元素个数有限的集合 或 元素具有明显排列规律的集合。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 元素间用逗号 并将其放在花括号内。 隔开， 例如“所有小于5的正整数”， 这个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。 如果把这个集合命名为A, 就可记为 A={1, 2, 3, 4}
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
3、集合的分类
1) 有限集合 集合的元素个数是有限的。
2) 无限集合 集合的元素个数是无限的。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
1、符号表示法
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 b、部分列举法：
列举集合的部分元素，其他元素可从列举的元
素 归纳出来 ， 用省略号代替。 例如A表示“全体小写英文字母”的集合， 则 A={a, b, … , y, z} 注： 列举法仅适用于描述元素个数有限的集合 或 元素具有明显排列规律的集合。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
2、描述集合中元素的方法
1) 列举法 a、全部列举法： 以任意顺序写出集合的所有元素, 元素间用逗号 并将其放在花括号内。 隔开， 例如“所有小于5的正整数”， 这个集合的元素为 1, 2, 3, 4, 再没有别的元素了。 如果把这个集合命名为A, 就可记为 A={1, 2, 3, 4}
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
一、集合的基本概念
3、集合的分类
1) 有限集合 集合的元素个数是有限的。
2) 无限集合 集合的元素个数是无限的。
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离散数学 3.1 集合的概念及表示法
二、集合的表示法
1、符号表示法
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12
集合的概念ppt课件
04
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
差集的应用举例：在数据筛选中，可以使用差集运算找出满足某一条 件但不满足另一条件的记录。
补集及其运算
补集的定义：对于全集U 和它的一个子集A，由全 集U中所有不属于A的元 素组成的集合称为A的补 集，记作∁UA或~A。
补集的运算性质：满足德 摩根定律，即 ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ， ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) 。
集合的包含关系
01
集合包含的定义
对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称
集合B包含集合A。
02
集合包含的性质
如果集合B包含集合A，则A是B的子集，即A⊆B。
03
集合包含的符号表示
B⊇A表示集合B包含集合A。
04
集合的应用
集合在数学中的应用
01
02
03
描述数学对象
集合论是数学的基础，用 于描述各种数学对象及其 性质，如数、点、线、面 等。
偏序集的概念
偏序集的定义
偏序集是一种具有部分顺序关系的集合，其中元素之间的比较不是完全的，而是部分的。 偏序关系通常表示为≤。
偏序集的性质
偏序集具有一些重要的性质，如自反性、反对称性和传递性。此外，偏序集还可以有最大 元、最小元、上界和下界等概念。
偏序集的应用
偏序集在数学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用，如用于描述数据结构中的排 序问题、经济学中的偏好关系等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
似，但要考虑隶属度的影响。
幂集的概念
幂集的定义
给定集合A，由A的所有 子集（包括空集和A本 身）组成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。
幂集的性质
集合的概念与表示方法ppt课件
③互异性，即同一集合中的元素是互不相同的．
能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合（简称集）。
练习1
1、下列说法中，正确的有______．（填序号）
2
①单词 book 的所有字母组成的集合的元素共有 4 个；
②集合 M 中有 3 个元素 a，b，c，其中 a，b，c 是△ABC 的三
边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
5
∉
A
集合与元素的关系
集合与元素的关系：
①属于，如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A，记作a∈A
；
②不属于，如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记
作 a∉A．
0
∉
Ф
集合的三大特性
集合三要素：
①确定性，即同一集合中的元素必须是确定的；
②无序性，即同一集合中的元素之间不考虑顺序；
4
6
习题：
能正确表示集合 M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合 N＝{x∈R|x2－x＝0}
关系的Venn 图是（B）。
总结
集合
THANK YOU
习题：
1、被 3 除余 2 的正整数集合；
解：（1）
{x|x＝3n＋2，n∈N}
2、平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
（2）
{(x，y)|xy＝0}
三、韦恩图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称
为韦恩图，一般画成椭圆或矩形．
问题3 使用韦恩图表示中0-10之间的偶数集合。
0
10
2
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合
集合的概念与表示方法
你眼中的
集合
你眼中的
集合
人教 高中数学必修第一册第一章《1.1集合的概念》课件(共17张ppt)
如：（1）小于5的答自案然：数{1组，成－的1}集合可表示为____． （2）方程x2－1＝0的解集可表示为_{_x_∈__R_|_x_2-．1=0}
(4). Venn图
我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部表示一个集合．
例如，图1-1表示一个集合AA 图1-1
元素，称为空集，记为；
（4） 两个集合的元素若一样，则称它们相等。
4．几个常用数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N＋* : 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 (5) R：实数集
5．集合的几种表示法
(1).自然语言法
(2).列举法：适用对象：有限、有规律
取值范围．a≠-2 (互异性应用）
知识点2 元素与集合的关系
1. 用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2)
Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) 2 3 Q (6) 2 3 R
书本P5:1
温馨提示：分类讨论+检验
3.已知x2∈{1, 0，x}，求实数x的值．
(3)无序性：集合中的元素是无
先后顺序的．
3．集合与元素的关系：
（1） 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作a A．
（2） 集合中的元素可以是数，点，式， 图，人，物……；
（3） 集合中的元素个数如果有限，称为有 限集；如果个数无限，称为无限集；如果没有
(5)小于10的所有自然数组成的集合； (6)1~20以内的所有素数组成的集合；
2、用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)直角坐标平面内坐标轴上的点集．
(4). Venn图
我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部表示一个集合．
例如，图1-1表示一个集合AA 图1-1
元素，称为空集，记为；
（4） 两个集合的元素若一样，则称它们相等。
4．几个常用数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N＋* : 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 (5) R：实数集
5．集合的几种表示法
(1).自然语言法
(2).列举法：适用对象：有限、有规律
取值范围．a≠-2 (互异性应用）
知识点2 元素与集合的关系
1. 用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2)
Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) 2 3 Q (6) 2 3 R
书本P5:1
温馨提示：分类讨论+检验
3.已知x2∈{1, 0，x}，求实数x的值．
(3)无序性：集合中的元素是无
先后顺序的．
3．集合与元素的关系：
（1） 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作a A．
（2） 集合中的元素可以是数，点，式， 图，人，物……；
（3） 集合中的元素个数如果有限，称为有 限集；如果个数无限，称为无限集；如果没有
(5)小于10的所有自然数组成的集合； (6)1~20以内的所有素数组成的集合；
2、用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)直角坐标平面内坐标轴上的点集．
集合的概念精品PPT课件
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
• 集合中的各个对象叫做这个集合的元素.
符号及关系表示
• 集合：A，B，C… • 集合的元素：a，b，c…
读作“a属于A”
• 若a是集合A的元素，记作 a A. 读作“a不属于A”
• 若a不是集合A的元素，记作 a A.
集合的元素的性质：
• 确定性：组成集合的元素，必须是能确定的， 不能模棱两可；
• 互异性：集合中的元素是互异的，不能重复出 现；
• 无序性：集合中的ຫໍສະໝຸດ 素没有一定的顺序（通常 用正常的顺序写出）.
集合的分类：
• 按元素个数：
– 有限集：含有有限个元素的； – 无限集：含有无限个元素的集合； – 空集：不含任何元素的集合，记作 .
常用集合：
• 实数集R
– （正实数集R＋ 、负实数集R－ ）
第一章 集 合
1.1.1 集合的概念
观察归纳 形成概念
（1）某职业学校电子电器专业全体学生构成的整体 （2）硬盘上存放在一个文件夹里的照片构成的整体 （3）所有能被2整除的数构成的整体 （4）平面直角坐标系中纵坐标为0的点构成的整体
归纳总结 概括定义
• 把能够确指的一些对象看作一个整体，这 个整体就叫做集合，简称集.
作
教材
P4 第3、4题
业
P9 习题1.1第1、2题
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
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则实数 a为( c )
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
（3）下列四个集合中，不同于另外三个的是：
A.﹛y︱y=2﹜
B. ﹛x=2﹜
C. ﹛2﹜
D. ﹛x︱x2-4x+4=0﹜
(4) 由实数x, -x, x2 , ｜x｜, 3 x3 所组成的集合 中，最
多含有的元素的个数为（ ）
解析:判断一个元素是否在某个集合中,关键在于 弄清这个集合由哪些元素组成的.
集合的表示方法
问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合?
(2) 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集 合? ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ｛1,-2｝
把集合中的元素一一列举出来,并用花括号｛｝括起来表示
A.2 B.3 C.4
D.5
3.填空
x y 2 （1）方程组 x y 5 的解集用列举法表示
为_______；用描述法表示为 .
（2）集合{(x, y) | x y 6, x N, y N}
用列举法表示为
.
能力提高题
1. 用描述法表示下列集合 ①{1，4，7，10，13} ②{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}.
解： ①{x|x=3n-2, n ∈ N*且n≤5}
②
{x|x=
n
n
2
, n ∈ N*且n≤5}
2.用列举法表示下列集合：
（1）A=﹛x∈N︱1
6
x∈Z﹜
(2)
B=﹛1
6
x∈N
︱
x∈Z
﹜
3. 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的条件。 4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
1.确定性 2.互异性 3.无序性
集合的表示方法
(1) 您能用自然语言描述集合｛2,4,6,8｝吗? 小于10的正偶数的集合
(2) 您能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗? 不能一一列举
(请阅读课本P4例2前的内容)
{x R | x 10}
{x | x2 2 0}
﹨{ x | 10 x 20}
他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。
康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1 月6日病逝于哈雷。
康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年 入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获 博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教 授，1879年任教授。
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲 师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和 数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871 、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列 （即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为 对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴 趣和要求。
在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数 较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将 连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始 终未能给出。
19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的， 是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各 种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和 哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文 里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到 戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已 成为数学的基础理论。
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身 的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。
康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在 1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分 为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。 他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少 的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证 明。
确定性：给定的集合，它的元素必须是确定
的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在 不在这个集合中就确定了
互异性：一个给定的集合中的元素是互不相 同的，即集合中的元素不能相同。
无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即
集合里的任何两个元素可以交换位置
这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地.
集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的 兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较 完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起, 康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发 表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在 1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连 续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
第一课时完
（第二课时）
2009.9.25
集合的表示方法
练习 (1) 用列举法表示下列集合 ① A { x N | 0 x 5} ② B { x | x2 5x 6 0}
(2) 用描述法表示下列集合 ① {1,-1} ② 大于3的全体偶数构成的集合.
自然语言主要用文字语言表述,而列举法和描述法是用符号语言表述. 列举法主要针对集合中元素个数较少的情况,而描述法主要适用于集合中的 元素个数无限或不宜一一列举的情况.
集合的方法叫做列举法.
（注意：元素与元素之间用逗号隔开）
例1 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程 x2 x 的所有实数根组成的集合；
(3)由1~20以内的所有素数组成的集合.
一个集合中的元素 的书写一般不考虑 顺序(集合中元素 的无序性).
ห้องสมุดไป่ตู้
解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. (2)B={0，1}. (3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}.
其实，生活中有很多东西能构成集合，比如新华 字典里所有的汉字可以构成一个集合等等。大家 能不能再举一些生活中的实际例子呢？
集合的概念
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些 元素组成的总体叫做集合(简称为集).
思考：
（1）世界上最高的山能不能构成集合？ （2）世界上的高山能不能构成集合？ （3）由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？ （4）由实数1、2、3、1组成的集合记为A,由实数3、 1、2、组成的集合记为B,这两个集合相等吗？
1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。 1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数 似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的 估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数 是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分 类的准则。
判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
(1) 大于3小于11的偶数;
(2) 我国的小河流.
问题
如果用A表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高 一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同 学,那么a、b与集合A分别有什么关系？由此看出元 素与集合之间有什么关系？
元素与集合的关系
由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成 整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用 小写字母a,b,c等表示集合中的元素.
初中学习了哪些集合的实例
数集 自然数的集合,有理数的集合,不等式x-7<3 的解的集合…
点集 圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合) 线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离 相等的点的集合),等等.
“请我们班所有的女生起立！”，咱们班所有的 女生能不能构成一个集合？
“请我们班身高在1.70米的男生起立！”，他们 能不能构成一个集合？
练习 P5 练习第2题
基础练习
1.填空题
⑴现有:①不大于 3 的正有理数.②我校高一年级 所有高个子的同学.③全部长方形.④全体无实根 的一元二次方程．四个条件中所指对象不能组 成集合的＿②＿＿．
⑵设集合Ａ＝{-2,-1,0,1,2}，Ｂ＝{x A时代数
式 x2 1 的值}．则Ｂ中的元素是＿{3＿,0＿,-1＿} ＿
（第一课时）
2009.9.25
集合的含义与表示
德国数学家，集合论的 创始者。1845年3月3 日生于圣彼得堡（今苏 联列宁格勒），1918 年1月6日病逝于哈雷。
了解康托尔
学习目标
1.了解集合的含义以及集合中元素的确定性、互异性与无序性. 2.掌握元素与集合之间的属于关系并能用用符号表示. 3.掌握常用数集及其专用符号，学会使用集合语言叙述数学问 题. 4.掌握集合的表示方法：自然语言、集合语言(列举法、描述 法)，并能相互转换.能选择适当的方法表示集合.
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
（3）下列四个集合中，不同于另外三个的是：
A.﹛y︱y=2﹜
B. ﹛x=2﹜
C. ﹛2﹜
D. ﹛x︱x2-4x+4=0﹜
(4) 由实数x, -x, x2 , ｜x｜, 3 x3 所组成的集合 中，最
多含有的元素的个数为（ ）
解析:判断一个元素是否在某个集合中,关键在于 弄清这个集合由哪些元素组成的.
集合的表示方法
问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合?
(2) 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集 合? ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ｛1,-2｝
把集合中的元素一一列举出来,并用花括号｛｝括起来表示
A.2 B.3 C.4
D.5
3.填空
x y 2 （1）方程组 x y 5 的解集用列举法表示
为_______；用描述法表示为 .
（2）集合{(x, y) | x y 6, x N, y N}
用列举法表示为
.
能力提高题
1. 用描述法表示下列集合 ①{1，4，7，10，13} ②{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}.
解： ①{x|x=3n-2, n ∈ N*且n≤5}
②
{x|x=
n
n
2
, n ∈ N*且n≤5}
2.用列举法表示下列集合：
（1）A=﹛x∈N︱1
6
x∈Z﹜
(2)
B=﹛1
6
x∈N
︱
x∈Z
﹜
3. 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的条件。 4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
1.确定性 2.互异性 3.无序性
集合的表示方法
(1) 您能用自然语言描述集合｛2,4,6,8｝吗? 小于10的正偶数的集合
(2) 您能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗? 不能一一列举
(请阅读课本P4例2前的内容)
{x R | x 10}
{x | x2 2 0}
﹨{ x | 10 x 20}
他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。
康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1 月6日病逝于哈雷。
康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年 入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获 博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教 授，1879年任教授。
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲 师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和 数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871 、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列 （即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为 对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴 趣和要求。
在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数 较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将 连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始 终未能给出。
19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的， 是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各 种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和 哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文 里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到 戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已 成为数学的基础理论。
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身 的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。
康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在 1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分 为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。 他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少 的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证 明。
确定性：给定的集合，它的元素必须是确定
的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在 不在这个集合中就确定了
互异性：一个给定的集合中的元素是互不相 同的，即集合中的元素不能相同。
无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即
集合里的任何两个元素可以交换位置
这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地.
集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的 兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较 完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起, 康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发 表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在 1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连 续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。
第一课时完
（第二课时）
2009.9.25
集合的表示方法
练习 (1) 用列举法表示下列集合 ① A { x N | 0 x 5} ② B { x | x2 5x 6 0}
(2) 用描述法表示下列集合 ① {1,-1} ② 大于3的全体偶数构成的集合.
自然语言主要用文字语言表述,而列举法和描述法是用符号语言表述. 列举法主要针对集合中元素个数较少的情况,而描述法主要适用于集合中的 元素个数无限或不宜一一列举的情况.
集合的方法叫做列举法.
（注意：元素与元素之间用逗号隔开）
例1 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程 x2 x 的所有实数根组成的集合；
(3)由1~20以内的所有素数组成的集合.
一个集合中的元素 的书写一般不考虑 顺序(集合中元素 的无序性).
ห้องสมุดไป่ตู้
解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. (2)B={0，1}. (3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}.
其实，生活中有很多东西能构成集合，比如新华 字典里所有的汉字可以构成一个集合等等。大家 能不能再举一些生活中的实际例子呢？
集合的概念
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些 元素组成的总体叫做集合(简称为集).
思考：
（1）世界上最高的山能不能构成集合？ （2）世界上的高山能不能构成集合？ （3）由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？ （4）由实数1、2、3、1组成的集合记为A,由实数3、 1、2、组成的集合记为B,这两个集合相等吗？
1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。 1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数 似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的 估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数 是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分 类的准则。
判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
(1) 大于3小于11的偶数;
(2) 我国的小河流.
问题
如果用A表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高 一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同 学,那么a、b与集合A分别有什么关系？由此看出元 素与集合之间有什么关系？
元素与集合的关系
由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成 整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用 小写字母a,b,c等表示集合中的元素.
初中学习了哪些集合的实例
数集 自然数的集合,有理数的集合,不等式x-7<3 的解的集合…
点集 圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合) 线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离 相等的点的集合),等等.
“请我们班所有的女生起立！”，咱们班所有的 女生能不能构成一个集合？
“请我们班身高在1.70米的男生起立！”，他们 能不能构成一个集合？
练习 P5 练习第2题
基础练习
1.填空题
⑴现有:①不大于 3 的正有理数.②我校高一年级 所有高个子的同学.③全部长方形.④全体无实根 的一元二次方程．四个条件中所指对象不能组 成集合的＿②＿＿．
⑵设集合Ａ＝{-2,-1,0,1,2}，Ｂ＝{x A时代数
式 x2 1 的值}．则Ｂ中的元素是＿{3＿,0＿,-1＿} ＿
（第一课时）
2009.9.25
集合的含义与表示
德国数学家，集合论的 创始者。1845年3月3 日生于圣彼得堡（今苏 联列宁格勒），1918 年1月6日病逝于哈雷。
了解康托尔
学习目标
1.了解集合的含义以及集合中元素的确定性、互异性与无序性. 2.掌握元素与集合之间的属于关系并能用用符号表示. 3.掌握常用数集及其专用符号，学会使用集合语言叙述数学问 题. 4.掌握集合的表示方法：自然语言、集合语言(列举法、描述 法)，并能相互转换.能选择适当的方法表示集合.