三角形中的边角关系

三角形基础知识

说明：△ ABC中，角A , B, C的对边分别为a, b, c, p为三角形周长的一半，r为内切圆半径，R为外接圆半径，）h a, h b, %分别为a, b, c边上的高S^ABC表示面积。

1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形,其中各条线段叫做三角形的边,每两条边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）．

2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素．3．确定三角形的条件：在三角形的元素中,边和角叫做三角形的基本元素,其中角确定三角形的形状（定形） ,边确定三角形的大小（定量） ,三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公

共边（ASA ）或两角与其中一角的对边（AAS）,这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系．

4．三角形的“线”与“心” ：

（1）高线、垂心．

（2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理．

（3）中垂线、外接圆、外心．

（4）内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理．

（5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理．

（6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质．

5．三角形的分类：

（1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。

（2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

6．等腰三角形的判定与性质、四线合一

7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心）

8．三角形元素之间的关系：

（1）角与角的关系：

①内角和定理、

②外角定理

③角的性质：范围、关系.

④最大角、最小角.

⑤锐角三角形中任两角的和

（2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. （“三胞胎” ）（3）边与角的关系：（“三胞胎”）

①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对的角也相等，

反之也真.

②正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比都相等,都等于该三角形外接圆的

直径.

3. ③ 余弦定理：在一个三角形中，任何一边的平方都等于其他两边的平方和减去 这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍.

④ 射影定理：在一个三角形中，任何两边在第三边上的射影之和都等于第三边.

(4) 直角三角形的性质：

① 勾股定理

② 两个锐角的关系

③ 锐角的三角函数(边与角的联系)

④ 含30o 角的直角三角形的性质

⑤ 斜边上的中线长等于斜边长的一半.

9.

解三角形：根据三角形中已知的元素求其它未知的元素，叫解三角形. 10. 三角形面积公式：

1 1 1 =-absin C = -acsin B = — bcsin A

2 2 2

2 2 2 a si nBsi nC _ b sin Asin C _c si n Asin B

2sin A 2 =2R sin Asin BsinC 二 Rr(sin A sin B sin C)

c = acosB bcosA 。

三角形中三角函数的关系：由

A B ，可得。 (1) sin( A B) = sin C ,…… ；cos(A B) - -cosC ,

t a nA + B) = —t a iC

(1) 1 1 1

S A BC =严9心严

2sin B 2sinC

(2) (3) 二,p(p-a)(p-b)(p-c) AB = (x i ,y i ), AC AB = c , AC = b , 正弦定理:

sin A sin B abc

4R 二 pr .

-(x 2 ,y 2)，则 S ABC X 1X 2 - y i y 21.

则 S 虫BC =討b |2|c |2 —(b c )2 .

c

2R( R ABC 外接圆半径)。 si nC 2. 余弦定理:

2 2 2 2 2 2 a be - 2bc cos A ； b a c - 2ac cos B ； c 2 二 a 2 b 2 -2abcosC

3. 射影定理: a 二 bcosC ccosB ； b = acosC ccosA ；

(2) sin( A B)

2

)

C

=cos

2 cos(

.C

=sin

2