五年级数论：中国剩余定理1

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中国剩余定理（模板+详解）

中国剩余定理（模板+详解）问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。

问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。

上⾯给出了解法。

再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。

定理1：⼏个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。

以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。

⼀共有四个步骤。

下⾯详细解释每⼀步的原因。

（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。

105÷3=35。

显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。

相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。

那么这个基础数就是35。

记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。

体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。

21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。

中国剩余定理(孙子定理)

中国剩余定理（孙子定理）问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。

上面给出了解法。

再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。

定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。

以上两个定理随便个例子即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最小公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数）35+63+30=1284、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下）x=128-105=23那么满足题意得最小的数就是23了。

一共有四个步骤。

下面详细解释每一步的原因。

（1）最小公倍数就不解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。

105÷3=35。

显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。

相当于找到了最小的起始值，用它去除以3发现正好余2。

那么这个基础数就是35。

记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。

体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。

21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。

中国剩余定理

中国剩余定理
我们要看啥
• 1，定理的内容 • 2，定理的产生背景和证明 • 3，定理的应用——一些童年
最基本概念：模
• 带余除法：m=qn+r（基本思想） • 模：数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，即 m|(a-b)，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。 • 一些性质：1，同余式相加若a≡b (mod m)， c≡d(mod m)，则a+-c≡b+-d (mod m) • 2，同余式相乘若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd (mod m)
Байду номын сангаас 引用定理：裴蜀定理
• a,b互质的充要条件是 • 存在整数x,y使ax+by=1
中国剩余定理表述
卧槽这是神马
• 这是智慧 • 说人话
证明思想：尝试中获得灵感
• • • • 一元？二元？三元？ N元。。。
哦~~~~~

小学奥数-中国剩余定理

我们可以从满足“除以11余9”的数中，找出“除以9余4”的数，这只要依次加上11即可；然后再找出“除以4余1”的数，这需要依次加上9和11的最小公倍数99即可。
9+11=20 20÷9=2……2，不符合“除以9余4’’的条件； 20+11=31 31÷9=3……4，符合“除以9余4”的条件；但31÷4 =7……3，不符合“除以4余1"的条件； 31+99=130，130÷4=32……2，也不符合“除以4余1”的条
件； 130+99 =229，229÷4 =57……1 符合“除以4余1”的条件。因此这堆糖果至少有229个。
“韩信点兵”的故事
韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4 人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。
实际上70是能被5和7整除但被3除余1，21能被3和7整除但5除余1，15能被3和5整除但被7除余1。这个系统算法是南宋时期的数学家秦九韶研究后得到的。这就是著名的中国剩余定理。
例6、今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
题目中此数被3除余2，那就用70乘以2，被5 除余3。
所以这个两位数是56，70，84的公因数，答案是14 。
例2、有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个 10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个. 这盒乒乓球至少有多少个?
因为每次都多出3个，所以拿走3个乒乓球，那么不论是8个8个地数, 10个10个地数, 12个12个地数，都没有剩余，这时乒乓球的个数就应该是8、10和 12的公倍数。[8，10，12]=120 。

中国剩余定理

汉语余数定理，也称为汉语余数定理，是一个数论中关于一个变量的线性同余方程的定理，它解释了一个变量的线性同余方程的判据和解。

又称“孙子定理”，有“韩新兵”，“孙子定理”，“求术”（宋申国），“鬼谷计算”（宋周密），“隔墙”等古代名称。

计算”（宋周密），“切管”（宋阳辉），“秦王暗中战士”和“无数事物”。

一个变量的线性一致等式的问题最早可以在中国南北朝（公元5世纪）数学书《孙子书经》第26期中找到，这被称为“物是物”。

未知”。

原文如下：未知的事物，三到三个剩下两个，五到五个剩下三个，七到七个剩下两个。

问事物的几何形状？也就是说，将一个整数除以三分之二，五分之三和七分之二以找到该整数。

孙子的《佛经》首次提到了全等式问题和上述特定问题的解决方案。

因此，中国余数定理在中国数学文献中也将称为“孙子定理”。

1247年，宋代数学家秦久绍对“物不知数”问题给出了完整而系统的回答。

明代数学家程大为将解决方案汇编成《孙子的歌》，很容易赶上：三个人一起走了七十次，五棵树有二十一朵梅花，七个儿子团聚了半个半月。

除了一百零五，我们知道这首歌给出了秦绍的全同方程的模3、5和7的解。

意思是：将3除以70得到的余数，再乘以5除以得到的余数。

在图21中，将7除以15得到的余数相乘，将它们全部加起来并减去105或105的整数倍，得到的数字就是答案（除以105
得到的余数就是最小答案）。

例如，在上述事物数量未知的问题中，使用上述方法进行计算，根据民谣计算出的结果为23。

中国剩余定理的证明过程

中国剩余定理的证明过程摘要：I.引言- 介绍中国剩余定理及其应用背景II.中国剩余定理的数学表述- 阐述中国剩余定理的数学公式及符号表示III.证明过程- 讲解证明中国剩余定理的关键思路和方法- step-by-step 详细阐述证明过程IV.结论- 总结中国剩余定理的证明过程及意义正文：I.引言中国剩余定理，又称孙子定理，是数论中一个重要的定理。

该定理可以帮助我们求解一类模线性方程组的问题，即在模素数p 的意义下，求解形如x_1 ≡ a_1 (mod p), x_2 ≡ a_2 (mod p), ..., x_n ≡ a_n (mod p) 的方程组。

中国剩余定理给出了一个比较简洁的解法，基本思想是将原方程组转化为模p 的同余方程的求解。

II.中国剩余定理的数学表述中国剩余定理的数学表述如下：设p_1, p_2, ..., p_n 是n 个互异的素数，a_1, a_2, ..., a_n 是在模p_i下余数为a_i 的整数（1 ≤ i ≤ n），那么对于任意整数x，同余方程组：x ≡ a_1 (mod p_1)x ≡ a_2 (mod p_2)...x ≡ a_n (mod p_n)有唯一解x ≡ a (mod p)，其中a 是满足以下条件的最小正整数：1.a ≡ a_1 (mod p_1)2.a ≡ a_2 (mod p_2)...3.a ≡ a_n (mod p_n)III.证明过程中国剩余定理的证明过程分为两个关键步骤：1.模p_i 的同余方程求解对于任意素数p_i，设x ≡ a_i (mod p_i)，则有x = a_i + p_i * k_i，其中k_i 是满足0 ≤ k_i < p_i-1 的整数。

2.求解模p 的同余方程根据上述结果，我们可以将原同余方程组转化为模p 的同余方程组：a_1 + p_1 * k_1 ≡ a (mod p)a_2 + p_2 * k_2 ≡ a (mod p)...a_n + p_n * k_n ≡ a (mod p)由于p_1, p_2, ..., p_n 是互异的素数，根据Chinese RemainderTheorem，这个同余方程组有唯一解。

中国剩余定理（crt）和扩展中国剩余定理（excrt）

中国剩余定理（crt）和扩展中国剩余定理（excrt）数论守门员⼆号 =。

=中国剩余定理：1.⼀次同余⽅程组：⼀次同余⽅程组是指形如x≡ai(mod mi) (i=1，2，…，k)的同余⽅程构成的组中国剩余定理的主要⽤途是解⼀次同余⽅程组，其中m1,m2,...,mk互质2.中国剩余定理：令M=m1*m2*...*mk（即所有m的lcm）ti为同余⽅程M/mi*ti≡1(mod mi)的最⼩正整数解则存在解x=∑ai*M/mi*ti通解为x+i*M最⼩⾮负整数解为(x%M+M)%M（我承认这段是抄的orz原⽂看起来更⽅便：）M/mi*ti≡1(mod mi)可转化为M/mi*ti+mi*y=1，然后⽤exgcd求ti其中gcd(M/mi, mi)=1，意义为⽅程组⼀定有解3.证明：对于第k个⽅程①当i≠k时，有mk|M/mi，即ai*M/mi*ti≡0(mod mk)②当i=k时，有M/mk*tk≡1(mod mk)，即ak*M/mk*tk≡ak(mod mk)故∑ai*M/mi*ti≡ak(mod mk)4.代码：（其中LL是long long，qcm是快速乘）1 LL crt(){2 LL bwl=0;3for(int i=1;i<=k;++i){4 LL x,y;5 exgcd(M/m[i],m[i],x,y);6if(x<0) x=x%m[i]+m[i];7 bwl=(bwl+qcm(qcm(a[i],M/m[i]),x))%M;8 }9return (bwl+M)%M;10 }View Code5.孙⼦算经：《孙⼦算经》：今有物不知其数，三三数之剩⼆；五五数之剩三；七七数之剩⼆。

问物⼏何？《算法统宗》：三⼈同⾏七⼗稀，五树梅花廿⼀枝，七⼦团圆⽉正半，除百零五便得知。

其中70=7*5*2，70%3=1，21=3*7*1，21%5=1，15（半个⽉）=3*5*1，15%7=1⽤70*2+21*3+15*2=233除3*5*7=105，得到的余数23即为答案70=3*5*2，21=3*7*1，15=3*5*1三式中的最后⼀个乘数2、1、1即为上⽂提到的di 数字还挺吉利的233扩展中国剩余定理：1.⼀次同余⽅程组：扩展中国剩余定理的主要⽤途是解⼀次同余⽅程组，其中m1,m2,...,mn不⼀定互质2.扩展中国剩余定理：令前k-1个⽅程组成的同余⽅程组的⼀个解为x且M为前k-1个模数的lcm则前k-1个⽅程的⽅程组的通解为x+i*M现在将第k个⽅程加⼊只需求⼀个正整数t，使得x+t*M≡ak(mod mk)可以转化为M*t+mk*y=ak-x然后⽤exgcd求出t若此⽅程⽆解，则整个同余⽅程组⽆解否则x+t*M为前k个⽅程的⽅程组的⼀个解（这段也是我抄的，原⽂和上边⼀样orz）3.代码：（其中LL是long long，qcm是快速乘，三个参数分别为两个乘数和模数）1 LL excrt(){2 LL M=m[1],ans=a[1];3for(int i=2;i<=k;++i){4 LL x,y;5 LL d=gcd(M,m[i]);6 LL c=(a[i]-ans%m[i]+m[i])%m[i];7if(c%d) return -1;8 exgcd(M,m[i],x,y);9 x=qcm(x,c/d,m[i]/d);10 ans+=qcm(x,M,M*m[i]);11 M*=m[i]/d;12 ans=(ans%M+M)%M;13 }14return ans;15 }View Code4.细节：1.有些题数字卡得严，必须要⽤快速乘2.快速乘时注意第⼆个乘数必须为正，要⽤通解处理3.每次快速乘的模数不⼀定⼀样，需要好好考虑例题：洛⾕3868 猜数字洛⾕4777 扩展中国剩余定理。

中国剩余定理

中国剩余定理（孙子定理）定义中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。

是数论中一个重要定理。

又称中国剩余定理。

编辑本段内容1、分别找出能任两个数整除，而满足被第三个整除余几的数。

2、将三个未知数加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍。

N≡R1(mod d1) ≡R2(mod d2)≡R3(mod d3)则N=k1d2d3R1+k2d1d3R2+k3d1d2R3±d1d2d3P其中P为任意非负整数k1是满足k1d2d3≡1(mod d1)的最小正整数k2是满足k2d1d3≡1(mod d2)的最小正整数k3是满足k3d1d2≡1(mod d3)的最小正整数编辑本段解法解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。

同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。

附：如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。

孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。

解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。

即题目的答案为70×2+21×3+15×2=140+63+30=233233-2×105=23公式：70a+21b+15c-105n题中有三个数，分别为3、5、7，5*7/3余数为2，取35；3*7/5余数为1，要使余数为3，只需将3*7扩大3倍变成63即可；同样3*5/7的余数为1，要使余数为2，则将3*5扩大2倍，变成30。

中国剩余定理

韩信点兵韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。

据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从１至５报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。

这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。

它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。

我国古代数学名著《孙子算经》有这么一道题：今有物不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。

问物几许？它的解法由明代数学家程大位用诗歌给予了解答：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

这种解法的意思是，把用3除所得的余数乘以70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得余数乘以15，结果若比105大，就减去105的倍数，便是所求得的数，列成算式为：70×2+21×3+15×2=233，233—105×2=23。

这种方法称之为“中国剩余定理”。

数论中的余数问题，遇到同时被3个数除时，好多同学都不知道如何入手，这里给出了一个非常好的解决方法！例1：有兵一队，若1至3报数，最后一人报数为2；若1至5报数，最后一个报数为3；若1至7报数，最后一人报数为4.这一队士兵最少有多少人？解法一：这道题翻译成数学语言就是，一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求适合条件的最小自然数。

设士兵有x人，可用同余式表示为：x≡2（mod3），x≡3（mod5），x≡4（mod7）。

可用“枚举法”：因为x≡2（mod3），所以x可能等于2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47、50、53、56……又因为x≡3（mod5），所以x可能等于3、8、13、18、23、28、33、38、43、48、53、58……又因为x≡4（mod7），所以x可能等于4、11、18、25、32、39、46、53、60……同时出现在上述三个数列中的第一个数是53，所以符合条件的最小自然数是53.解法二：从上面看到同时满足三个条件的数最早出现在第三列，可先考虑被7除余4的数从小到大为4、11、18、25……其中第一个满足被5除余3的数是18，给18加上5与7的最小公倍数35的0倍，1倍，2倍，3倍……，得数列18、53、88，……这个数列的每一个数都满足被7除余4，被5除余3，其中满足被3除余2的第一个数是53，也就是这队士兵最少53人。

中国剩余定理的全部内容

中国剩余定理的全部内容我们在此，把中国剩余定理说得清清楚楚，明明白白，方便教师教学，学生学习和理解。

该定理说穿了，是不需要证明的，是因为，每一个剩余数的存在都是必然的，唯一的。

理由如下：1、素数当A，B，C，D，…，H为不同的素数时，有：因它们为不同的素数，所以，它们之间是不能相互整除的。

自然数除以A的余数分为0，1，2，3，…，A-1，共A种不同的选择，除以其它素因子的余数也是一样，分别为B，C，D，…，H种不同的选择。

这些不同的余数按排列组合共为A*B*C*D*…*H种排列，即在除以素数A，B，C，D，…，H中各选择一个余数，为在A*B*C*D*…*H之内的一个具体的数，它们是一一对应的，必然存在的，所以，这是无需证明的。

例，某数为M，M/3余1，M/5余3，M/7余2，M/11余5，求M＝？因为，M在3*5*7*11中是唯一的，所以，我们就采取计算唯一数的方法：（1）、满足除以11余5的数为等差数列5+11N，（2）、将5+11N取7项：5，16，27，38，49，60，71，只有16满足除以7余2，因11*7＝77，得新等差数列16+77N，（3）、将16+77N取5项：16，93，170，247，324，只有93除以5余3，因77*5＝385，得新等差数列93+385N，（4）、将93+385N取3项：93，478，863，得478为满足这些条件的数，因385*3＝1155，即478+1155数列的所有项都满足这些条件。

2、单合数如果，前面所列的素因子中，不包括素数P，S，D，那么，不论是P，S，D，还是P的N次方，S的K次方，D的Z次方都不能被A，B，C，D，…，H整除，那么，自然数除以P的N次方的余数同样有P的N次方个不同的选择，除以S的K次方的余数同样有S的K次方个不同的选择，除以D的Z次方的余数同样D 的Z次方个不同的选择，同样按排列组合在A*B*C*D*…*H*（P的N次方）*（S 的K次方）*（D的Z次方）内，对除以A，B，C，D，…，H，P的N次方，S 的K次方，D的Z次方各选择一个余数，对应这之内的一个数，都是一一对应的，必然存在的。

中国剩余定理计算过程

中国剩余定理计算过程摘要：一、引言二、中国剩余定理的概念和基本原理三、中国剩余定理的算法实现四、中国剩余定理的应用案例五、总结正文：一、引言中国剩余定理，又称孙子定理，是我国古代数学家孙子所提出的一个著名数学定理。

这个定理在现代数学领域有着广泛的应用，特别是在数论、代数和计算机科学等方面有着重要的意义。

本文将介绍中国剩余定理的计算过程，并结合具体的应用案例，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学定理。

二、中国剩余定理的概念和基本原理中国剩余定理是关于同余方程组的一个定理。

同余方程组是指由一系列同余方程所构成的方程组，例如：x ≡ a (mod m)，x ≡ b (mod n)，x ≡ c (mod p) 等。

中国剩余定理指出，如果这些同余方程的模数两两互质，那么这个同余方程组必有解，且解的个数为模数的最小公倍数。

三、中国剩余定理的算法实现中国剩余定理的算法实现有多种方法，其中比较常见的方法是基于miracle 算法的实现。

miracle 算法是一种高效的大数运算库，能够高效地实现大数的模运算、乘法和幂运算等。

下面是基于miracle 算法实现中国剩余定理的步骤：1.判断同余方程的模数是否两两互质。

如果模数不互质，则无法直接应用中国剩余定理求解。

2.根据中国剩余定理，计算同余方程组的解。

利用miracle 算法，可以高效地实现大数的模运算，从而求解出同余方程组的解。

3.如果同余方程组的解的个数小于模数的最小公倍数，说明同余方程组存在多个解。

此时，需要继续寻找其他解，直到找到所有可能的解为止。

四、中国剩余定理的应用案例中国剩余定理在实际应用中有很多案例，例如：在计算机科学中，中国剩余定理可以用于求解密码学中的难题，如RSA 加密算法中的模数分解问题；在数论中，中国剩余定理可以用于证明一些重要的定理，如费马小定理等。

五、总结本文介绍了中国剩余定理的计算过程，基于miracle 算法的实现方法，并结合具体的应用案例，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学定理。

中国剩余定理

中国剩余定理暑假集训的时候就应该来写这篇博客的，当时听的有些糊涂，不过该来的还是得来。

中国剩余定理介绍在《孙⼦算经》中有这样⼀个问题：“今有物不知其数，三三数之剩⼆（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩⼆（除以7余2），问物⼏何？”这个问题称为“孙⼦问题”，该问题的⼀般解法国际上称为“中国剩余定理”。

在《孙⼦歌诀》中给出了解决这个问题的解法：三⼈同⾏七⼗稀，五树梅花廿⼀⽀，七⼦团圆正半⽉，除百零五便得知。

很是朗朗上⼝，但这是什么意思呢？具体解法分三步：找出三个数：1.从3和5的公倍数中找出被7除余1的最⼩数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最⼩数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最⼩数70。

2.⽤15乘以2（2为最终结果除以7的余数），⽤21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，⽤70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。

3.⽤233除以3，5，7三个数的最⼩公倍数105，得到余数23，即233%105=23。

这个余数23就是符合条件的最⼩数。

就这么简单。

我们在感叹神奇的同时不禁想知道古⼈是如何想到这个⽅法的，有什么基本的数学依据吗？中国剩余定理分析我们将“孙⼦问题”拆分成⼏个简单的⼩问题，从零开始，试图揣测古⼈是如何推导出这个解法的。

⾸先，我们假设n1是满⾜除以3余2的⼀个数，⽐如2，5，8等等，也就是满⾜3*k+2（k>=0）的⼀个任意数。

同样，我们假设n2是满⾜除以5余3的⼀个数，n3是满⾜除以7余2的⼀个数。

有了前⾯的假设，我们先从n1这个⾓度出发，已知n1满⾜除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满⾜除以3余2？进⽽使得n1+n2+n3的和仍然满⾜除以3余2？这就牵涉到⼀个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为⾮零整数)，换句话说，如果⼀个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。

中国剩余定理

中国剩余定理【定理概述】中国剩余定理（孙⼦定理）是中国古代求解⼀次同余式组的⽅法。

是数论中⼀个重要定理。

⼀元线性同余⽅程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙⼦算经》卷下第⼆⼗六题，叫做“物不知数”问题，原⽂如下：有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。

问物⼏何？即，⼀个整数除以三余⼆，除以五余三，除以七余⼆，求这个整数。

《孙⼦算经》中⾸次提到了同余⽅程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中⽂数学⽂献中也会将中国剩余定理称为孙⼦定理。

【求逆元】逆元的含义：模p意义下，1个数a如果有逆元x，那么除以a相当于乘以x。

ax≡1(mod p)。

⼀个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,p)=1，此时逆元唯⼀存在，注意这⾥的唯⼀是指在群中唯⼀。

其实如果求出⼀个逆元x0，那么x0 + p*k都会满⾜上⾯的等式，但是我只取p内的正整数x0.【证明】由ax≡1(mod p)等价于这样⼀个⽅程a*x + p*y = 1 ，或者说这个⽅程x有解的话x必然满⾜ ax≡1(mod p)这个⽅程什么时候有解呢？很显然，当gcd(a,p) | 1时有解，所以gcd(a,p)只能是1，即a,p互质，证明完毕。

由此还可以得到⼀个结论，如果要求逆元，可以⽤扩展欧⼏⾥得求⼀组解（x,y），再求出x的最⼩正整数（x+p）%p,x就是a的唯⼀逆元。

⽅法1：费马⼩定理求逆元，p是，且gcd(a,p)=1在模为素数p的情况下，有费马⼩定理a p-1 ≡ 1（mod p）则a * a p-2 ≡ 1（mod p）所以a的逆元就是a p-2，⽤快速幂求即可。

#include<iostream>using namespace std;long long gcd(long long a, long long b){if(b == 0) return a;return gcd(b , a%b);}long long qPow(long long a ,long long n,long long mod){long long ans = 1;//如果n的⼆进制最后⼀位是1 结果参与运算//因为如果是0，那么幂运算之后该项是1,1乘任何数还是那个数，对结果不影响while(n > 0){if(n & 1)ans = (ans* a) % mod;a = (a*a) % mod;//底数加倍n >>= 1;//移位}return ans;}//long long invEle(long long a, long long mod){ //如果a 和模数不互质则必然不存在逆元if(gcd(a,mod) != 1 || mod < 2) return -1; return qPow(a,mod-2,mod);}int main(){long long a,b;int x,y;while(cin>>a>>b){cout<<invEle(a,b)<<endl;}}⽅法2：扩展欧⼏⾥得求逆元（⾼效）typedef long long ll;void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){if(!b){ d=a; x=1; y=0;}else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }}ll inverse(ll a,ll n){ll d,x,y;extgcd(a,n,d,x,y);return d==1?(x+n)%n:-1;}⽅法3：欧拉定理求逆元（很少⽤到）模p不是素数的时候需要⽤到欧拉定理逆元打表：typedef long long ll;const int N = 1e5 + 5;int inv[N];void inverse(int n, int p) {inv[1] = 1;for (int i=2; i<=n; ++i) {inv[i] = (ll) (p - p / i) * inv[p%i] % p;}}【解⽅程组】根据定理概述以及解法，得到以下⽅法int CRT(int a[],int m[],int n){int M = 1;int ans = 0;for(int i=1; i<=n; i++)M *= m[i];for(int i=1; i<=n; i++){int x, y;int Mi = M / m[i];extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;}if(ans < 0) ans += M;return ans;}【扩展中国剩余定理】当模数mi两两互质时有以上解法，当模数不确定是否两两互质呢？摘⾃博客:https:///acdreamers/article/details/8050018这种情况就采⽤两两合并的思想，假设要合并如下两个⽅程那么得到在利⽤扩展欧⼏⾥得算法解出的最⼩正整数解，再带⼊得到后合并为⼀个⽅程的结果为这样⼀直合并下去，最终可以求得同余⽅程组的解。

中国剩余定理

中国剩余定理孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。

是数论中一个重要定理。

又称中国余数定理。

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

中文名孙子定理外文名Chinese remainder theorem(CRT)分类数学提出孙子问题一元线性同余方程组又名余数定理目录.1公式.2文献.3交换环上推广.主理想整环.一般的交换环.4数论相关.5例题解析公式用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。

中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。

设为模的数论倒数(为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明 [1]：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。

考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解。

另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除. 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍。

而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解。

所以方程组所有的解的集合就是：文献一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

数论之中国剩余定理

数论之中国剩余定理欧⼏⾥得算法是⼀种求解两⾮负数最⼤公约数的过程，它本质上就是执⾏辗转相除法。

int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}可证明最终得到的结果（设为r n ）就是所求最⼤公约数：第⼀步证明r n 是两数约束，第⼆步证明r n 可被两数任意约数整除。

贝祖定理：对于不全为 0 的⾃然数a ,b ，必然存在整数x ,y （不唯⼀）满⾜等式ax +by =gcd (a ,b )。

使⽤扩展欧⼏⾥得算法能够证明。

进⽽可知，若a ,b 互素，那么存在整数x ,y 满⾜等式ax +by =1。

更进⼀步，若a ,b 互素，总可以找到⼀个⽐b ⼩的⾮负数x ，使得ax =1(mod b )成⽴。

中国剩余定理是从⼀个⽅程求解过程总结出的定理。

有同余⽅程组：x ≡a 1mod m 1x ≡a 2mod m 2⋯x ≡a k mod m k ，其中m 1,m 2,⋯,m k 为两两互素整数，求x 的最⼩⾮负整数解。

求解：令M =∏k i =1m i ，即M 是所有m i 的最⼩公倍数；由于m i 两两互素，所以M m i 与m i 亦互素，根据上述贝祖定理推论，可有Mm i t i ≡1mod m i ；则有⼀个解为x =∑k i =1a i M m i t i ，通解为x +i ∗M (i ∈Z )，特别的，最⼩⾮负整数解为(x %M +M )%M 。

证明：由Mm i t i ≡1mod m i 两边同乘a i 得：a i M m i t i ≡a i mod m i ；⼜∀k ↓=i ,a i Mm i t i ≡0mod m k ；将两式代⼊原⽅程，易得[其中⼀解]x =∑k i =1a i Mm i t i 。

推论：基于上述同余⽅程组，对于不同的a 1,a 2…,a k 集合，0⩽取值亦各不相同，此⼀⼀对应关系可⽤于推导。

参考资料：{()()()()()()()()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js。

中国剩余定理

孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。

是数论中一个重要定理。

又称中国余数定理。

一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。

问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。

按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。

初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。

高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。

它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。

初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。

此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。

本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。

初等数论中经典的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是费马小定理）、高斯的二次互反律，勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解法等等。

生动讲解中国剩余定理

生动讲解中国剩余定理
contents
目录
• 引言 • 中国剩余定理的背景 • 中国剩余定理的原理 • 中国剩余定理的证明 • 中国剩余定理的应用 • 中国剩余定理的扩展和推广
01 引言
什么是剩余定理
• 剩余定理，也称为中国剩余定理，是数论中的一个重要定理。它提供了一种解决一类线性同余方程组的方法，这些方程组中的每一个方程都是模数不同的。简单来说，如果有一组线性同余方程，每个方程都有一个不同的模数，那么中国剩余定理告诉我们如何找到一个整数，满足所有这些方程。
剩余定理的重要性
• 剩余定理在许多领域都有着广泛的应用，包括但不限于密码学、计算机科学、数论和代数几何等。在密码学中，它被用于公钥密码系统的设计和分析，如RSA算法。在计算机科学中，它被用于实现模运算的高效算法，以及解决一些优化问题。在数论和代数几何中，它被用于研究整数的性质和结构。因此，理解并掌握中国剩余定理是非常重要的。
数据压缩
在数据压缩中，中国剩余定理可以用于优化数据编码和解码的过程，提高数据传输和存储的效率。
并行计算
在并行计算中，中国剩余定理可以用于优化并行算法的设计和实现，提高计算性能。
06 中国剩余定理的扩展和推广
对称中国剩余定理
方程组，其解存在且唯一。
02 中国剩余定理的背景
历史背景
古代数学家的贡献
中国剩余定理起源于中国古代数学家的研究，如《九章算术》中的“方程”章就提到了线性同余方程组的解法。
数学史上的里程碑
中国剩余定理是中国古代数学的重要成果，也是世界数学史上的里程碑之一，对后世数学的发展产生了深远影响。
数学背景
同余方程
同余方程是数论中的基本概念，它描述了整数之间的一种等价关系。中国剩余定理主要应用于解决线性同余方程组的问题。

中国剩余定理

中国剩余定理中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是一种数论中的重要定理，用于求解一类关于模数不互素的同余方程组。

该定理由中国古代数学家孙子（Sunzi）在《孙子算经》中首次提出，因此得名。

中国剩余定理的核心思想是将一个复杂的同余方程组转化为一组简单的同余方程，然后通过求解这些简单方程来得到原方程的解。

中国剩余定理的应用广泛，不仅在数论中有重要的地位，还在密码学、编码理论、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

中国剩余定理的具体表述如下：设n1, n2, , nk为k个正整数，它们两两互素，即gcd(ni, nj) = 1 (i ≠ j)。

给定k个整数a1, a2, , ak，求解同余方程组：x ≡ a1 (mod n1) x ≡ a2 (mod n2) . x ≡ ak (mod nk)中国剩余定理告诉我们，如果k个正整数n1, n2, , nk两两互素，那么对于给定的任意k个整数a1, a2, , ak，上述同余方程组一定存在解，并且解唯一模n = n1 * n2 * , * nk。

具体的解可以通过如下步骤求得：1.计算N = n1 * n2 * . * nk。

2.对于每个i，计算Ni = N / ni。

3.对于每个i，计算Mi = Ni^(-1) mod ni，其中Ni^(-1)是Ni在模ni下的逆元。

4.计算x = (a1 * N1 * M1 + a2 * N2 * M2 + . + ak * Nk * Mk) mod N。

通过上述步骤，我们可以得到方程组的唯一解x，满足x ≡ ai (mod ni) (1 ≤ i ≤ k)。

中国剩余定理的证明较为复杂，可以利用数论中的一些基本定理和性质进行推导。

但无论是证明还是应用，中国剩余定理都是一个非常有用的工具。

在密码学中，中国剩余定理被广泛应用于RSA算法的加密和解密过程中，以提高计算效率。

在编码理论中，中国剩余定理可以用于设计纠错码，提高数据传输的可靠性。

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用

浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用1. 引言1.1 介绍中国剩余定理中国剩余定理，又称孙子定理，是中国古代数学中的一项重要定理。

该定理最早由中国古代数学家孙子在《孙子算经》中提出，后经过数学家贾宪、刘徽等人的发展完善，成为中国数学史上的一大成就。

中国剩余定理的主要内容是：如果一个整数被两个互素的整数所除，那么这个整数对这两个整数的余数所构成的同余方程组有唯一解。

这一定理在数论、代数等领域有着广泛的应用。

中国剩余定理在小学数学学习中虽然属于高等数学的内容，但其简单而且直观的特点使得它可以被引入到小学数学教学中。

通过教授中国剩余定理，不仅可以拓展小学生的数学思维，增强他们的逻辑推理能力，还能培养他们的观察力和解决问题的能力。

在小学数学教学中引入中国剩余定理具有重要的意义。

1.2 小学数学学习的重要性小学数学学习的重要性在于它是基础知识的奠基阶段，为学生建立数学思维、逻辑推理、问题解决能力奠定了坚实基础。

在小学数学学习中，学生将接触到数字、形状、图形、测量、算术运算等内容，通过这些学习，能够培养学生的数学思维能力，提升他们的逻辑思维能力，锻炼他们解决问题的能力。

小学数学学习还有助于培养学生的观察力、分析能力以及判断能力，帮助他们在日常生活中有效地运用数学知识解决问题。

小学数学学习对孩子的思维发展和学习习惯的养成也有着重要的影响。

通过数学学习，学生能够培养良好的学习习惯，提高自律能力和自信心，为他们未来的学习打下坚实基础。

数学学习可以帮助学生提高对抽象概念的理解能力，培养他们的逻辑思维及推理能力，为他们今后更加复杂的数学学习打下坚实基础。

小学数学学习的重要性不言而喻，它对学生的综合素质提升，学习能力的培养等方面都起到了至关重要的作用。

2. 正文2.1 中国剩余定理的原理及应用中国剩余定理是一个古老而又神秘的数学定理，被认为是中国古代数学的杰出成就之一。

它是一种用来解决一组同余方程的方法，可以帮助我们在处理复杂的问题时更有效地进行计算。