位值原理与数的进制
小升初奥数位置原理
位置原理教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
教学内容：一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e ×10+f。
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。
也就是说，每一个，写在个位上，就表示5个一；写在十数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如“5”位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。
这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。
我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。
就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。
写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。
用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。
例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。
根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：其中a可以是1～9中的数码，但不能是0，b和c是0～9中的数码。
位置原理【例 1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；1、ab与ba的差被9除，商等于______与______的差；2、ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。
小学奥数数论讲义 15-进制与位值原理强化篇
今日关键1. n 进制运算2. n 进制3. 位值原理【例 1】(63121)8-(1247)8-(16034)8-(26531)8-(1744)8=( )8。
【巩固】在八进制中，1234-456-322= 。
【例 2】⑴(101)2⨯(1011)2-(11011)2=( )2；⑵(11000111)2-(10101)2÷(11)2=( )2；⑶(3021)4+(605)7=( )10。
【巩固】⑴(1101)2⨯(1111)2-(101)2= ；⑵(4023)5+(542)8=( )10。
【例 3】在几进制中有125⨯125=16324？【巩固】算式1534⨯25=43214是几进制数的乘法？进制与位值原理逢n 进1借1当n位值原理十进制除n 取余法【例 4】有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。
将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。
求原来的两位数。
【巩固】在一个两位质数的两个数字之间，添上数字6以后，所得三位数比原数大870，那么原质数是。
【例 5】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是。
【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。
〖答案〗【例 1】13121【巩固】234【例 2】⑴11100，⑵11000000，⑶500 【巩固】⑴10111110，⑵867【例 3】七进制【巩固】八进制【例 4】14【巩固】97【例 5】1，2，4【巩固】139。
五年级数学奥数讲义-位值原理与数的进制(学生版)
“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，=1二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba 的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。
【试题来源】【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【试题来源】【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
位值原理与数的进制
位值原理与数的进制位值原理是指在其中一进位制数中，每一位的权值是逐位递增的，即从低位到高位，每一位的权值所代表的数值是上一位权值的进位操作，通常以10进制作为例子进行说明。
数的进制则是指用多少个不同的数位来表示一个数的概念。
常见的进制有二进制、八进制、十进制和十六进制等。
一、位值原理（以十进制为例）在十进制中，每一位的数值是上一位的数值乘以10的权值次方。
即从右到左，第1位权值为10^0=1，第2位权值为10^1=10，第3位权值为10^2=100，第4位权值为10^3=1000，以此类推。
例如，数值5274在十进制中，表示为：5*10^3+2*10^2+7*10^1+4*10^0即：5000+200+70+4=5274二、数的进制1.二进制：使用0和1来表示数值。
每一位的权值是上一位权值的2倍。
例如，数值1011表示为：1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0即：8+0+2+1=112.八进制：使用0到7的八个不同数位来表示数值。
每一位的权值是上一位权值的8倍。
例如，数值231表示为：2*8^2+3*8^1+1*8^0即：128+24+1=1533.十六进制：使用0到9的十个数位和A到F的六个字母来表示数值。
每一位的权值是上一位权值的16倍。
例如，数值ABC表示为：10*16^2+11*16^1+12*16^0即：2560+176+12=2748三、进制转换在进制转换中，下面的方法可以用来将一个数从一种进制转换为另一种进制：1.从十进制转换为其他任意进制：使用除数取余法将十进制数依次除以进制数，直到商为0为止，将每次的余数逆序排列即可得到结果。
2.从其他进制转换为十进制：将每一位数的权值乘以对应的进制数，再将结果相加即可得到十进制数。
3.在其他任意进制之间转换时，可以先将数值转换为十进制，再由十进制转换为目标进制。
四、应用场景不同的进制在计算机科学和信息技术中有着广泛的应用。
其中，二进制在计算机内部用于数据的存储和处理，八进制和十六进制则常用于表示和调试二进制数，简化了长二进制数的书写方式。
小学奥数知识点梳理1——数论
小学奥数知识点梳理1——数论数论是研究整数及其性质的学科。
其中包括奇偶、整除、余数、质数合数、约数倍数、平方、进制和位值等方面的内容。
首先，奇偶性是整数的基本属性之一，一个整数要么是奇数，要么是偶数。
对于奇偶数的运算性质，有以下规律：（1）奇数加减奇数得偶数，偶数加减偶数得偶数，奇数加减偶数得奇数，偶数加减奇数得奇数；（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数，任意多个偶数的和或差总是偶数；（3）奇数乘奇数得奇数，偶数乘偶数得偶数，奇数乘偶数得偶数；（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数；（5）偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1.总之，几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定。
其次，整除是数论中的重要概念。
要掌握能被30以下质数整除的数的特征。
例如，被2整除的数的特征为它的个位数字之和可以被2整除，被3或9整除的数的特征为它的各位数字之和可以被3或9整除，被5整除的数的特征为它的个位数字之和可以被5整除。
而对于被7、11、13整除的数的特征，可以使用关键性式子7×11×13=1001.判定一个数能否被7或11或13整除，只需把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
最后，还有进制和位值等方面的内容。
其中，进制是指计数的基数，如十进制、二进制、八进制和十六进制等。
而位值则是指数位所代表的数值大小，如十进制数中的个位、十位、百位等。
掌握进制和位值的概念，可以更好地理解数的表示和计算方法。
总之，数论是一门重要的数学学科，涉及到整数及其性质的多个方面。
掌握数论的基本概念和规律，可以更好地理解和应用数学知识。
N=xxxxxxxx，判断N能否被17整除。
由于429=25×17+4，所以N不能被17整除。
N=xxxxxxx，判断N能否被17整除。
位值原理的巧算应用
位值原理的巧算应用什么是位值原理？位值原理是一种数学计算方法，它利用不同位上数字的权值，将多位数字组合成一个整数。
在位值原理中，每一位都有一个权值，从右到左依次增加。
举个例子，对于一个三位数，分别是百位、十位和个位，它们的权值分别是100、10和1。
位值原理在计算中非常常见，特别是在二进制和十进制之间进行转换时，经常会用到。
此外，在计算和编程领域，位值原理也具有广泛的应用。
位值原理的应用位值原理的应用非常广泛，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 二进制和十进制之间的转换位值原理在二进制和十进制之间进行转换时非常有用。
在二进制中，每个位只有0和1两种可能的值，而且每一位都有一个对应的权值。
通过将每一位的值与权值相乘，然后将结果相加，就可以将二进制数转换为十进制数。
反过来，将十进制数转换为二进制数也是可以利用位值原理进行计算的。
2. 字符的编码和解码在计算机系统中，字符通常使用数字来表示。
常用的字符编码包括ASCII码和Unicode码。
ASCII码使用8位二进制数表示一个字符，而Unicode码使用16位二进制数表示一个字符。
利用位值原理，可以将字符编码转换为二进制数，或者将二进制数转换为字符解码。
3. 位运算位运算是计算机系统中常见的一种计算方法，它直接操作二进制数的每一位。
位运算包括按位与、按位或、按位非、按位异或等操作。
这些操作都涉及到位值原理，通过对各个位进行逐位的计算和操作，可以实现复杂的逻辑运算。
4. 数据存储和传输在计算机中，数据储存和传输通常是以二进制形式进行的。
利用位值原理，可以将数据按位组成字节，然后将字节存储在内存中或通过网络进行传输。
在数据传输和存储过程中，常常需要对数据进行位操作，例如提取特定的位或者将特定的位设置为特定的值。
5. 位图图像处理位图图像是由像素点组成的图像，每个像素点都包含一定数量的位信息。
在位图图像处理过程中，利用位值原理可以对像素进行操作，例如修改像素值、提取图像的特定区域、进行图像的缩放和旋转等。
【免费】【内部资料】5-7-1数值原理与数的进制-题库教师版
5-7位置原理与数的进制教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
进制间的转换：如右图所示。
5-7.位置原理与数的进制.题库教师版page 1 of 95-7.位置原理与数的进制.题库 教师版 page 2 of 9模块一、位置原理 【例 1】 某三位数abc 和它的反序数cba 的差被99除，商等于______与______的差；【解析】 本题属于基础型题型。
位值原理与数的进制
【例 9】将4个不同的数字排在一起,可以组成24个不同的四位数( ).将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数;按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3０00～４000之间.求这2４个四位数中最大的那个．
【巩固】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加 ，这里A表示一个看不清的数码,求这个数和A。
【巩固】某八位数形如 ,它与3的乘积形如 ,则七位数 应是多少?
【例 7】一个六位数 ,如果满足 ,则称 为“迎春数”(例如 ,则102564就是“迎春数”)．请你求出所有“迎春数”的总和．
【巩固】(2０08年“华杯赛”决赛）设六位数 满足 ，请写出这样的六位数.
二、数的进制
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外,还有其他的大于１的自然数进位制。比如二进制，八进制,十六进制等。
二进制:在计算机中,所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是１、21、２2、23、……,二进制数也可以写做展开式的形式，例如１00110在二进制中表示为:(10011０)2=１×２5+0×24＋０×23+1×2２+1×２1+０×２0。
【巩固】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问:再行多少小时,可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
【巩固】将四位数的数字顺序重新排列后,可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同,且没有0的四位数 ,它比新数中最大的小3８34,比新数中最小的大４３38.求这个四位数.
13位值原理应用
基础知识一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdefa×100000+b×10000+c×1000+d×100+e ×10+f。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
进制间的转换：如右图所示。
小升初第13讲位值原理的应用（一）技巧总结1、用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字表示所有整数的方法叫做十进制，十进制是最常见的进制，世界上绝大多数国家和地区都用这种计算方法来计数，它的特点是满十进一，退一当十。
除了十进制外，有其它一些进位制，如时间是60进制，即60秒是一分，60分是1小时，还有三进制，五进制，八进制，十六进制。
它们和十进制计数方法的道理是一样的，现代计算机上大多数用二进制，即满二进一，退一当二，这种进位制只能两个数字0和1，如1在二进制中做1,2就要满二进一，记做10,3记做11，为了区别十进制和二进制，只要在这个数的右下角标上2或10即可。
位值原理知识点
位值原理知识点位值原理是信息论中的重要概念，用于描述信息的表示和传输方式。
它是现代通信系统的基础，也是数据存储和处理的基础原理之一。
本文将从位值的定义、位值的计算和应用方面进行介绍。
一、位值的定义位值是指信息中每一个二进制位所代表的含义或价值。
在计算机科学中，每一个二进制位都可以表示0或1两个状态，而这两个状态可以对应不同的含义。
例如，在一个8位二进制数中，第一位可以表示正负号，后面的7位可以表示一个整数的绝对值。
在这个例子中，第一位的位值是符号位，后面的7位的位值是数值位。
二、位值的计算位值的计算是根据位的位置和表示范围来确定的。
对于一个n位二进制数，最高位的位值是2^(n-1)，其余位的位值依次减半。
例如，一个8位二进制数的位值依次为128、64、32、16、8、4、2、1。
通过位值的计算，我们可以将二进制数转换为十进制数，或者将十进制数转换为二进制数。
三、位值的应用位值的应用非常广泛，特别是在计算机科学和通信领域。
在计算机存储和处理中，位值用于表示数字、字符、图像、音频和视频等各种类型的数据。
例如，在一个字节的数据中，每一个二进制位都代表一个字符或一个像素点的颜色值。
位值的应用还涉及到数据的编码和压缩，例如将文本数据转换为ASCII码或Unicode码，将图像数据转换为JPEG或PNG格式。
在通信系统中，位值用于表示信号的状态和传输的信息。
通信系统中的信号可以是模拟信号或数字信号，而数字信号又可以是离散信号或连续信号。
位值的应用使得信号可以通过数字化的方式进行表示和传输，提高了通信的可靠性和效率。
例如，在数字通信中，位值的应用使得数字信号可以通过调制和解调的方式进行传输，而不会受到噪声和干扰的影响。
位值的应用还涉及到计算机网络和信息安全等领域。
在计算机网络中，位值用于表示IP地址、端口号和协议类型等网络标识符。
在信息安全领域，位值用于表示加密算法和密钥长度等安全参数，以及进行数据加密和解密操作。
位值原理与整数四则运算
位值原理与整数四则运算本文将介绍位值原理与整数四则运算。
首先，我们将简要介绍位值原理，然后分别讨论整数加法、减法、乘法和除法的计算方法。
一、位值原理位值原理是指数与其位值之间的数学关系。
在十进制系统中，每一位上的数字代表的是10的n次方倍，其中n是该位的索引（从右向左）。
例如，数字1234的每一位可以表示为：1×10^3+2×10^2+3×10^1+4×10^0同样，再看二进制系统。
在二进制系统中，每一位上的数字代表的是2的n次方倍，其中n是该位的索引（从右向左）。
例如，数字1101的每一位可以表示为：1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0二、整数加法整数加法的计算方法是将两个数的每一位进行相加，并考虑进位。
从右向左逐位相加，如果两位相加的和大于等于基数（10或者2），就需要进位。
进位的结果会在下一位的计算中被考虑。
例如，我们计算十进制数37和58的和时：37+58—-在二进制中，计算1101和1011的和时：1101+1011三、整数减法整数减法的计算方法是将被减数减去减数。
从右向左逐位相减，如果被减数的其中一位小于减数的对应位，那么需要向高位借位。
例如，我们计算十进制数124减去58时：124-5866-1011110四、整数乘法整数乘法的计算方法是将两个数的每一位进行相乘，并将结果相加。
首先，我们计算第一个数的每一位与第二个数的乘积，然后按照位权相加的原则得到最后结果。
例如，我们计算十进制数23乘以5时：23×5在二进制中，计算1101乘以11时：1101×1111010000(向左移动一位，相当于乘以2)1101(向左移动三位，相当于乘以8)五、整数除法整数除法的计算方法是将被除数除以除数，得到商和余数。
从被除数的最高位开始，逐步向下计算商和余数。
例如，我们计算十进制数50除以7时：7---------7，50-49------因此，商为7，余数为1、即50除以7的结果是7余1101-------------10综上所述，位值原理为我们提供了一种计算整数四则运算的方法。
位值原理公式
位值原理公式首先，让我们来了解一下位值原理公式的定义。
位值原理公式是将一个数字表示为各个位数的数值乘以对应的位值之和。
例如，一个三位数abc可以表示为a100 + b10 + c1，其中a、b、c分别代表这个数字的百位、十位和个位。
这个公式可以推广到任意位数的数字，它是数字在计算机中表示和运算的基础。
接下来，让我们来看一些具体的例子，来帮助理解位值原理公式。
比如，我们有一个四位数1234，根据位值原理公式，可以表示为11000 + 2100 + 310 + 41。
这样我们就可以将这个四位数表示为各个位数的数值乘以对应的位值之和。
通过这个例子，我们可以更加直观地理解位值原理公式的运算过程。
除了整数，位值原理公式也适用于小数。
对于小数来说，位值原理公式的原理是一样的，只是位值是小数点后的位数，例如0.123可以表示为10.1 + 20.01 + 30.001。
这个例子展示了位值原理公式在小数表示中的应用。
在计算机中，位值原理公式也被广泛应用。
计算机使用二进制来表示数字，位值原理公式帮助我们理解二进制数的运算。
例如，一个八位的二进制数10101010可以表示为1128 + 064 + 132 + 016 + 18 + 04 + 12 + 01。
通过位值原理公式，我们可以将二进制数转换为十进制数，也可以将十进制数转换为二进制数，这对于计算机的运算和编程是非常重要的。
总结一下，位值原理公式是将一个数字表示为各个位数的数值乘以对应的位值之和的公式。
它适用于整数和小数，并且在计算机科学和电子工程中有着广泛的应用。
通过位值原理公式，我们可以更好地理解数字在计算机中的表示和运算，这对于我们深入理解计算机原理和编程语言是非常有帮助的。
希望本文对位值原理公式有所帮助，谢谢阅读！。
简述数制转换的原理
简述数制转换的原理数制转换是指将一个数在不同的数制之间进行转换，数制是一种计数的方式，用于表示数的位值和进位的规则。
常见的数制有十进制、二进制、八进制和十六进制等。
数制转换的原理基于以下两个原则：1.位权原则：每个数字位所代表的数值与其所处的位权相乘，再求和即可得到原数的十进制表示。
2.进制原则：每个数制都有一定的进位规则和位权规定，通过按照不同的进位规则和位权规定将一个数从一种数制表示转换为另一种数制表示。
下面以二进制转换为八进制为例进行简要说明数制转换的原理：1.二进制数的位权规定为2^n，从右到左依次为1、2、4、8、16……2.将二进制数按照位权规定进行分组，从右到左每三个一组分组，并在左侧加上位权数，得到组数。
3.每个组数根据二进制的进位规则将其转换为十进制数，得到的十进制数即是八进制数的位值。
第一步：按照位权规定分组，从右到左每三个一组分组并在左侧加上位权数，得到组数为00、110、011、110。
第二步：将每个组数转换为十进制数，得到的十进制数分别为0、6、3、6第三步：将得到的十进制数依次排列，得到的八进制数即为0636数制转换的方法主要有：1.十进制转换为其他进制：-除留取余法：通过将十进制数不断除以目标进制并取余的方式得到各位的值。
-利用秦九韶定理：通过将十进制数不断除以目标进制并取商的方式得到各位的值。
2.其他进制转换为十进制：-位权法：将数中每个位上的数字与其对应的位权相乘，再求和，即可得到十进制数的值。
3.其他进制之间的转换：-先将一个进制转换为十进制，再将十进制转换为另一个进制。
4.二进制到十六进制的转换：-将二进制数按照4位一组进行分组。
-每个4位二进制数转换为对应的十六进制数。
-将得到的各位十六进制数按顺序排列。
数制转换在计算机科学和电子工程中具有重要的应用。
在计算机中，二进制被广泛使用，因为计算机是由开关电路组成，二进制可以很好地表示开关的开关状态。
十六进制则常用于表示二进制数，因为十六进制数可以比较直观地对应到二进制数的位。
五年级奥数第50讲 进位制与位值原理-
【例5】 (★★★★) 在6进制中有三位数 abc ，化为9进制为 cba，求 这个三位数在十进制中为多少？
1
二、位值原理
【例6】 (★★★) 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新 的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原 数大8802 。求原来的四位数。
例3答案：① (11100)2 ② (11000000）2 ③ (500)10 例4答案：248
④ (13121)8
例5答案：22
）2
一、进位制 2．咱要了解的进位制： ⑴本质：n进制就是逢n进一 ⑵n进制下的数字最大为(n－1) 特别的：超过9的一般用大写英文字母表示 3．会变身的进位制：n进制和十进制的相互转化
【例3】 (★★★) ① (101)2(1011)2 (11011)2 ( ）2 ② (11000111）2 (10101）2 (11）2 ( ）2 ③ (3021)4 (605)7 ( )10 ④ (63121)8 (1247)8 (16034)8 (26531)8 (1744)8 ( )2
进位制与位值原理
一、进位制 1．缤纷多彩的进位制：
六十 进制 二十 进制
二进 制 … … 十六 进制
五进 制 十二 进制
【例1】 (★★★) 把下列各数转化成十进制数： ⑴ (463)8；⑵ (2BA)12；⑶ (5FC)16。
【例2】 (★★★) ⑴把85化成二进制数。 ⑵ (567)10 ( ）8 ( ）5 (
【例7】 (★★★) 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数， 如果这6个三位数的和是1554 ，那么这3个数字分 别是＿。
进制与位值原理
进位制部分重点在于各种进位制与十进制之间转换及计算的规律，并熟悉进制的应用．在有些数论问题中，用代数式来表示数往往能使问题迎刃而解，或收到意想不到的效果，起到简化解题过程的作用．⑴掌握进位制的基本方法和常见技巧； ⑵了解整数的代数表现形式并能熟练应用．同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满十进一”，十进制是最常用的进位制，这与人们屈指计数的习惯相符，使用起来也很方便．随着人类对数的认识不断深入，产生了各种不同的进位制，我们来一起看一些例子．两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于1平方米，100平方厘米等于1平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于1千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……．进制问题与我们的生活息息相关，我们有必要掌握一些进制方面的知识，它会给我们的生活带来很多便利哦！什么叫二进制所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”．大家知道：数是计算物体的个数而引进的，0代表什么也没有，有一个，记为“1”；再多一个，记为“10”(在十进制下记为２)；比“10”再多一个，记为“11”．依次类推，我们很容易接受二进十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 1 2 3 4 1 10 11 100 5 6 7 8 101 110 111 1000 9 10 11 12 1001 1010 1011 1100 13 14 15 16 1101 1110 1111 10000的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮(在计算机中主要用电压的高与低)等等手段加以表示．当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多．十进制与二进制的互相转化今天，当我们写上一个数目1999时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，1999110009100=⨯+⨯ 91091+⨯+⨯，也就是说：1999中含有一个1000，九个100，九个10与九个1．为了叙述的方便，我们约定：用2（ ）表示括号内写的数是二进制数，如21010（）；用10（ ）表示括号中写的数是十进制数，如1066（）；十进制的标志可省略，66就代表十进制下的数．二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律：二进制数1000000应该表示十进制数64，L ．那经典精讲第十一讲进位制与位值原理二进制数 十进制数1 10 100 1000 10000 100000 L L1 2422=⨯ 8222=⨯⨯ 162222=⨯⨯⨯ 3222222=⨯⨯⨯⨯ L L⑴ 关于进位制的两个需要注意的地方：二进制数有0，1两个数符，由低位向高位是“逢二进一”；八进制数有0，1，2，……，7八个数符，由低位向高位是“逢八进一”；十六进制数有0，1，2，……，13，14，15十六个数符，由低位向高位是“逢十六进一”．根据科学技术的需要，还可以扩充其他进位制数的概念和运算．为了区别各种进位制数，n 进制中的数用()n a 表示．如果10n ≥，那么从10到1n -的这些数符可用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示．比如，用A 表示10，B 表示11，C 表示12，D 表示13，E 表示14，F 表示15等等． ⑵ 十进制数与n 进制数的互换：n 进制数110()r r n a a a a -L 写成十进制数是121210r r r r a n a n a n a n a --+++++L ．十进制数化成n 进制数，只要把十进制数用n 除，记下余数；再用n 除它的商，又记下余数；直到商为0；将余数自下而上依次排列，就得到一个n 进制的数．这叫做“除n 取余法”． 如把1234化成三进制数：3123434111313703452315035031201L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 余余余余余余余 所以，(10)(3)12341200201=．⑶ 一般地，一个自然数N 可表示为1210r r r a a a a a --L 的形式，其中r a ，1r a -，…，1a ，0a 是0，1，2，3，…，9中的一个，且0r a ≠，即：1110101010r r r r N a a a a --=⨯+⨯++⨯+L ． 这就是十进制数，记作(10)N ，简记为N ．十进制数有两个特征：一是有十个不同的数符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；二是“逢十进一”的法则：有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、千分位等自左向右的数位．⑷ 对于进位制需要注意其本质：n 进制就是逢n 进一．［分析］掌握十进制转化为n 进制的基本方法：短除法.以()()10237=和()()108888=为例.我们用2去除37，记下每次得到的余数，一直除到商为0为止.然后将余数由下至上写出来，就是37的二进制数.()()10237100101=.例1237218...129...024...122...021 0...188888111...0813...781...50 (1)同样的方法，我们用8去除888，一直除到商为0为止，把余数由下至上写出来，得到：()()1088881570=.()()()()()()()()10210310510837100101;24222222;1561111;8881570====.［巩固］（基础学案1）将1030（）、1072（）改写成二进制数． ［分析］ 可以按照短除法来做，也可以按照如下的方法.1023016141686168420111110=+=++=++++⨯=（）（）102726486403201680402011001000=+=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=（）（）［巩固］（提高学案1）将10301（）、1072（4）改写成七进制数． ［分析］短除法.()()107301610=；()()107721243=4［提高］（尖子学案1）十六进制从古至今一直影响着我们的日常生活.我国古代1斤等于十六两，所以会有“半斤八两”这样一个成语.现在，我们通常用,,,,,A B C D E F 来表示十六进制中的10,11,12,13,14,15.那么，聪明的同学们，你们能把十进制中的234化成十六进制数吗？ ［分析］仍然用短除法.()()1016234EA =［分析］n 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．()()()()5432102104321031010100112021202021241120211323032313142=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 当然计算时，数位是0的可以省略.［分析］（1）可转化成十进制来计算：222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））； 如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都是例3例22，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））； （2）十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ．原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；（3）本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：32471010103021)(605)(34241)(675)(500)+=⨯+⨯++⨯+=(．［铺垫］（基础学案2）尝试用竖式来计算二进制的加减法()()()()()()222222100111111010101+=-=［分析］十进制的加减法运算，需要“满十进一”，“借十当一”.那么在二进制里面也一样，“满二进一”，“借二当一”.1001110101111011000010101+-［铺垫］（提高学案2）尝试用竖式来计算二进制的乘除法 ［分析］ ⑴ 列竖式： ⑵ 列竖式：1111011111011011011101101×10110110110110011100111001110101011100110011得：2221011011011111101111⨯=（）（）（） 得：22210101011100111001÷=（）（）（）［拓展］（尖子学案2）完成下列进制的转化()()216110010011011;= ()()16295A E =［分析］不同进制之间的互化有一个通法，就是先化成十进制，再从十进制再转化.二进制和十六进制的互化有一个更简单的方法.二进制是计算机工作的基本语言.但是二进制数位太长了，不利于人类识别和使用，因此我们把二进制的每4位和在一起4216=，就变成了十六进制.那么第一个问题，()2110010011011我们把它每4位数码合在一起()()2161100,C =()()21610019,=()()2161011B =，因此()()2161100100110119C B =.第二个问题，()1695A E 我们把它每一位拆成4位二进制数，()()16291001,=()()1621010,A =()()()()16216250101,1110E ==，因此，()()162951001101001011110A E =.［分析］利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以例4说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12． 所以， n 只能是6．［巩固］（基础学案3）在几进制中有12512516324⨯=？［分析］注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3． 因为出现了6，所以n 只能是7．［拓展］（提高学案3）算式153********⨯=是几进制数的乘法？［分析］注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．［拓展］（尖子学案3）记号()25k 表示k 进制的数，如果()52k 是()25k 的两倍，那么，()123k 在十进制表示的数是多少？［分析］可用位值原理来进行计算.()()2525,5252k k k k =+=+，依题意，()22552k k ⨯+=+，解得8k =.()()81012318828383=⨯⨯+⨯+=.［分析］设此数为()()43abc cba =，利用位值原理转化为十进制数.164931580a b c c b a a b c ++=++⇒+-=.又,,a b c 是三进制中的数字，所以,,0,1,2a b c =，那么易得1,1,2a b c ===，()411211614222=⨯+⨯+=.十进制表示是22.［巩固］在七进制中有三位数abc ，化为九进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？ ［分析］首先还原为十进制：27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++；29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++．于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；所以77()(503)5493248abc ==⨯+=．于是，这个三位数在十进制中为248．例5［拓展］用,,,,a b c d e 分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果5()ade ，5()adc ，5()aab 是由小到大排列的连续正整数，那么5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是多少？［分析］注意555()(1)()adc aab +=，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则0b =，而555(10)(1)(4)c =-=，则4c =．而555()(1)()ade adc +=，所以1e c +=，则3e =． 又1d a +=，所以1d =，2a =．那么，5()cde 为25(413)45153108=⨯+⨯+=． 即5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是108．［提高］自然数10)(abc x =化为二进制后是一个7位数2)1(abcabc ，那么x 是多少？ ［分析］根据位值原理100106432168426436189a b c a b c a b c a b c ++=++++++=+++，于是64648888a b c a b c =--⇒=--.又,,a b c 是二进制中的数字，因此,,0,1a b c =，那么易得1,0,0a b c ===.100x =．[补充],a b 是自然数，a 进制数()47a 和b 进制数()74b 相等，a b +的最小值是多少？［分析］,8a b ≥，根据位值原理，4774743a b b a +=+⇒-=．左右两边取4的模，有()()33mod 41mod 4b b ≡⇒≡，那么，b 的最小值是9，此时()793415a =⨯-÷=.那么，24a b +=．［分析］若给每个盒子分别放入：1，2，22，L ，92发子弹，即相当于二进制数中的：0000000001，0000000010，L ，1000000000，即在十个盒子对应的数位上是1，而其余位上均为0．这样我们可以任意抽出：2101011111023=L 123（）（）以内的任何发子弹，但由于现在总共只有1000发子弹，所以先在前9个盒子中分别装：1，2，22，L ，82发子弹，相当于二进制数中的000000001，000000010，000000100，L ，100000000发子弹，最后一个盒子中只能放9223-（）发子弹，即489发子弹．即可凑出1000以内的任何数发子弹．所以十个盒子中应分别装子弹数为：1，2，4，8，16，32，64，128，256，489．［铺垫］（基础学案4）茶叶店以“两”为单位整两出售茶叶，顾客来买茶叶时，店员们先用天平称出重量，再打成小包交给顾客．由于顾客时多时少，所以店员们有时忙不过来，有时又闲的无事．于是，老板想出一个办法，闲的时候让店员们将茶叶称好后打成小包，忙的时候让店员们直接拿出小包交给顾客，省去了用天平称重量，效率大大提高．现在我们的问题是：如果顾客要买1~31中的任何整两数茶叶，那么茶叶店至少要有几包茶叶才能一次付给顾客？这些茶叶的重量分别是多少两？［分析］我们知道任何一个正整数都可以唯一的用二进制数来表示．因为531322<=，所以用42，32，22，12，02就可以表示1~31中的所有整数．因为021=，122=，224=，328=，4216=，所以茶叶店只要有5包茶叶，分别重1，2，4，8，16两，就可以满足一位顾客1~31两茶叶的需要．［拓展］（提高学案4）现有六个筹码，上面分别标有数值：1,3,9,27,81,243.任意搭配这些筹码（也可以只选择一个筹码）可以得到很多不同的和，将这些和从小到大排列起来，第39个是多少？ ［分析］由例题我们可以知道一共有63个不同的和.在2进制中的第39个非零自然数，即将10进制中例6的39转化为2进制，应记为：2(100111)．所以，在3进制中，只用1和0表示的数，第39个也是100111，将其转化为10进制，有523(100111)1313131256=⨯+⨯+⨯+=．即其中第39个数是256．［拓展］（尖子学案4）我们可以通过天平和砝码来称量物体的重量.一般来说我们把砝码放在天平的左边，物体放在右边.现在我希望这台天平能称量从1克到1000克的所有整数克的物体，那么最少需要几个砝码？［分析］称量1克，需要1克的砝码；称量2克，需要2克的砝码； 称量3克，需要1克和2克的砝码； 称量4克，需要4克的砝码； ……有了这3个砝码，我们可以称量1克到7克的所有重量了，接下来还需要一个8克的砝码. 以此类推，共需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.接下来，我们可以验证，有了这10个砝码可以称量1克到1000克的全部重量.10个砝码分别对应于二进制中的()()()()()()222222110100100010000100000，，，，，，()()()()22221000000100000001000000001000000000，，，.1到1023之间的任何一个十进制的自然数都可以用一个不超过10位的二进制数.如()210231*********=.那么对于其二进制表示的每一位，如果是1就代表需要这个砝码，如果是0就代表不需要这个砝码.如()25131000000001=，代表我们可以用一个()25121000000000=克和一个()211=克砝码来称量513克. 因此最少需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.越玩越聪明： 超常挑战：1. 把下面的二进制数改写成十进制数．⑴ 2101110（） ；⑵ 2111101（）；［分析］⑴2101011100112141801613246=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）⑵ 2101111011102141811613261=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）2. ①852567(((=== ） ） ）；②在八进制中，1234456322--=________；［分析］本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111===）））； ②原式1234(456322)12341000234=-+=-=.3. 计算：()()()222(1)1111101+=()()()888(2)357521+=家庭作业［分析］()()()222111*********+=()()()8883575211100+=4. 转化进位制()()8210247=［分析］()()82102471000010100111=5. 在算式2222222000+++++=学习必须努力中，不同的汉字代表不同的数字，并且学、习、必、须、努、力按从大到小的顺序排列，那么，学、习、必、须、努、力应分别是多少？ ［分析］通过观察题目给出的算式，我们很容易将题中的2的乘方和二进制数联系到一起，所以我们只需将2000化成二进制数，再利用二进制定义即可．102200011111010000=（）（），10987642000121212121212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯所以学、习、必、须、努、力分别代表的是10、9、8、7、6、4．。
数字的进位与退位
数字的进位与退位数字是我们日常生活中不可或缺的一部分。
无论是计算金钱，还是测量时间，数字都扮演着重要的角色。
在数字系统中，我们常常需要进行进位和退位的操作，以实现更准确和方便的计算。
本文将讨论数字的进位和退位原理以及应用。
一、进位与退位的概念1. 进位：在十进制数系统中，当个位数达到9时，就需要进位到十位。
同样地，当十位数达到9时，需要进位到百位，以此类推。
进位是指某一位数字的数值超过限定范围，需要转移到更高位的操作。
2. 退位：与进位相反，退位是指某一位数字的数值低于限定范围，需要从更高位借位的操作。
例如在十进制数系统中，当个位数为0时，就需要从十位借位一个单位。
二、进位与退位的原理1. 进位原理：进位的原理可以简单地归纳为：超过进制上限的数值需要进位。
例如在十进制数系统中，当某一位数达到9时，超过了十进制的上限，需要进位到更高位。
2. 退位原理：退位的原理也可以简单地归纳为：低于进制下限的数值需要退位。
例如在十进制数系统中，当某一位数为0时，低于了十进制的下限，需要从更高位借位。
三、十进制数的进位与退位十进制数是我们最常见的数字系统，它由0至9的十个数字组成。
我们可以通过以下实例来理解十进制数的进位与退位操作：1. 进位：假设我们需要对数字964进行进位操作。
首先，我们从个位开始，当个位的数字4超过了限定范围，就需要进位。
个位进位后变成0，同时十位的数字6需要多加1，成为7。
最终结果为970。
2. 退位：假设我们需要对数字102进行退位操作。
首先，我们从个位开始，当个位的数字2低于了限定范围，就需要退位。
个位退位后变成9，同时十位的数字0需要从更高位借位一个单位，成为10。
最终结果为910。
四、其他进制数的进位与退位除了常见的十进制数，我们还可以使用其他进制数进行计算，例如二进制、八进制或十六进制。
进位与退位的原理在这些进制数中同样适用，只是进制数和数位的范围不同而已。
以二进制为例，它由0和1两个数字组成。
六年级进位制与位值原理通用版(奥数拓展)-第9讲
进位制与位值原理（奥数拓展）知识点进位制进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法（有不带进位的计数方法，比如原始的结绳计数法，唱票时常用的“正”字计数法，以及类似的tally mark计数）。
对于任何一种进制---X 进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位。
十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。
1)二进制二进制有两个特点：它由两个数码0，1组成，二进制数运算规律是逢二进一。
为区别于其它进制，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或在后面加B表示，其中B是英文二进制Binary的首字母。
例如：二进制数10110011可以写成（10110011）2，或写成10110011B。
对于十进制数可以不加标注，或加后缀D，其中D是英文十进制Decimal的首字母D。
计算机领域我们之所以采用二进制进行计数，是因为二进制具有以下优点：1）二进制数中只有两个数码0和1，可用具有两个不同稳定状态的元器件来表示一位数码。
例如，电路中某一通路的电流的有无，某一节点电压的高低，晶体管的导通和截止等。
2）二进制数运算简单，大大简化了计算中运算部件的结构。
二进制数的加法和乘法基本运算法则各有四条，如下：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=100×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=12)八进制由于二进制数据的基数R较小，所以二进制数据的书写和阅读不方便，为此，在小型机中引入了八进制。
八进制的基数R=8=2^3，有数码0、1、2、3、4、5、6、7，并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。
八进制用下标8或数据后面加O表示例如：二进制数据（ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 对应八进制数据 (352.264)8或352.264O。
3)十六进制由于二进制数在使用中位数太长，不容易记忆，所以又提出了十六进制数。
小学五年级逻辑思维学习—位值原理与数的进制
小学五年级逻辑思维学习—位值原理与数的进制知识定位本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
知识梳理一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
2二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。
n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
例题精讲【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于与的差；ab与ba的差被9除，商等于与的差；ab与ba的和被11除，商等于与的和。
【题目】如果ab×7= ，那么ab等于多少？【题目】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
小学五年级奥数课件 进位制与位值原理
②原式=（11000111）2-（111）2 =（11000000）2
例题【三】（★ ★ ★）
① (101) 2 ×(1011)2-(11011)2-（11011）2=（11100）2 ② (11000111）2-(10101）2÷(11）2=（11000000）2 ③ (3021)4 +(605)7 =(500)10 ④ (63121)8 -(1247)8 -(16034)8-(26531)8-(1744)8 =（13121）8
2、n进制计算： ⑴ 同进制下,可以直接计算. (2)不同进制,借助十进制转换计算 3、位值原理 ⑴ 借助数位,按数位进行计算. ⑵ 根据具体位置特征进行估算.
（2）（2BA）12=2×122-B×121+A×12 =2×144+11×12+10×1 =288+132+10 =288+142 =（430）10
（1） 4×82+6×81+3×8 =4×64+6×8+3×1 =256+45+3 =256+51
=（307）10
例题【二】（★ ★ ★）
把下列各数转化成十进制数： ⑴ (463)8；⑵ (2BA)12；⑶ (5FC)16.
例题【一】（★ ★ ）
⑴将(2009)10写成二进制数 ⑵把十进制数 2008转化为十六进制数
（2009）10=（111110011001）2
例题【一】（★ ★ ）
⑴将(2009)10写成二进制数 ⑵把十进制数 2008转化为十六进制数
例题【二】（★ ★ ★）
把下列各数转化成十进制数： ⑴ (463)8；⑵ (2BA)12；⑶ (5FC)16.
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位值原理与数的进制
5-7位置原理与数的进制
教学目标
本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。
通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。
并学会在其它进制中位值原理的应用。
从而使一些与数论相关的问题简单化。
知识点拨
一、位值原理
位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就
表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：
abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
二、数的进制
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。
n 进制：n 进制的运算法则是“逢n 进一，借一当n ”，n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
进制间的转换：如右图所示。
模块一、位置原理
【例 1】 某三位数abc 和它的反序数cba 的差被99除，商等于
______与______的差；
【巩固】 ab 与ba 的差被9除，商等于______与______的差；
【巩固】 ab 与ba 的和被11除，商等于______与______的和。
例题精讲
十进制 二进制
十六八进制
【例 2】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如
果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是
45，试求这样的两位数中最大的是多少？
【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数．
【巩固】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。
例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。
可以证明，所有的巧数都是两位数。
请你写出所有的巧数。
【例 3】(第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的
和是1554，那么这3个数字分别是多少？
【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个
三位数中最小的三位数．
【巩固】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
【巩固】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。
若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能
是几？
【巩固】a，b，c分别是09:中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数
之和是2234，那么另一个三位数是几？
【例 4】在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数
中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两
位数的9倍。
求出所有这样的三位数。
【巩固】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个
两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。
又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
【巩固】 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新
的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数M ，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．
【例 5】 已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求.
【巩固】 (2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各
位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少．
【例 6】 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则
可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一
个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于3600．求原来的两位数．
【巩固】 如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加
1111A ，这里A 表示一个看不清的数码，求这个数和A 。
【巩固】 某八位数形如2abcdefg ，它与3的乘积形如4abcdefg ，则七
位数abcdefg 应是多少？
【例 7】 一个六位数abcdef ，如果满足4abcdef fabcde ⨯=，则称abcdef 为
“迎春数”(例如4102564⨯=410256，则102564就是“迎春数”)．请你求出所有“迎春数”的总和．
【巩固】 (2008年“华杯赛”决赛)设六位数abcdef 满足
fabcde f abcdef =⨯，请写出这样的六位数．
【例 8】 记四位数abcd 为X ，由它的四个数字a ,b ,c ,d 组成的最
小的四位数记为X *，如果*999X X -=，那么这样的四位数X 共有_______个．
【例 9】 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同
的四位数(432124⨯⨯⨯=)．将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大的那个．
模块二、数的进制
【例 10】 ① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________；
② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；
③ 4710(3021)(605)()+= ；
④ 88888
(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；
⑤ 若(1030)140n
=，则n =________．
【巩固】 ①852567(((=== ） ） ）；
②在八进制中，1234456322--=________；
③在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．
【例 11】 在几进制中有413100⨯=？
【巩固】在几进制中有12512516324
⨯=？
【巩固】算式153********
⨯=是几进制数的乘法？
【例 12】将二进制数(11010.11)2化为十进制数为多少？
【巩固】二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
【巩固】将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。
【巩固】某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?
【例 13】现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？
【例 14】在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?
【巩固】在7进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？
【巩固】一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年龄．
【巩固】N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四次方．
【例 15】试求(22006-1)除以992的余数是多少?
【巩固】计算2003(31) 除以26的余数．
【巩固】 计算2003(21)-除以7的余数．
【巩固】 (2001年人大附中分班考试题)在8进制中，一个多
位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？
【例 16】 (2009年清华附中小升初入学测试题)已知正整数N
的八进制表示为8
(12345654321)N =，那么在十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？。