最小码距和检错纠错能力关系
数据通信原理第四章 差错控制(一)
• 突发差错
– 一串串，甚至是成片出现的差错，差错之间有相关性， 差错出现是密集的 – 错误的信道称为有记忆信道或突发信道 – 如短波信道、散射信道 – 存储介质损坏或输出故障也可引发突发错误
一、差错分类和错误图样
• 发送数据序列： 000000001111111111 • 接收数据序列： 000010011111001011 • • • • 差错序列： 错误图样： 突发长度：12 练习： 发送数据序列：001000101111001111 接收数据序列：001000111111111111 • 错误图样：？ 突发长度：？ 1111111 7
一、检错和纠错的原理
• 码的差错和纠错能力是同信息量的冗余度 换取的 • 任何信息源发出的消息可以用“1”和“0”来 表示 • 对于最简单的只发送A和B两种消息，用“0” 代表A，“1”代表B
– 如果只传输一位二进制数，则无法判断是否为 错码
一、检错和纠错的原理
• 在信息码后添加一位监督码，形成11或00 两种码组，当接受端为10或01时则可判断 为错码； • 在信息码后添加两位监督码，形成111或 000，不仅可以判断错码，而且可以根据 “大数”法则纠正一个错误； • 以上例子中11、00或者111、000称为“许 用码组”，其余码组为“禁用码组”。
• 3种形式：
– 停发等候重发 – 返回重发 – 选择重发
• 停发等候 重发
• 返回重发
• 选择重发
（二）前向纠错
• 前向纠错系统（FEC）中，发送端的信道编码器 将输入数据序列变换成能够纠正错误的码，接收 端的译码器根据编码规律检验出错误的位置并自 动纠正。
– 优点：前向纠错方式不需要反馈信道，特别适合于只 能提供单向信道的场合。由于能自动纠错，不要求检 错重发，因而延时小，实时性好。 – 缺点:所选择的纠错码必须与信道的错误 特性密切配合， 否则很难达到降低错码率的要求；为了纠正较多的错 码，译码设备复杂，而要求附加的监督码元也较多， 传输效果就低。
信道编码与调制技术
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4.3 信道编码技术
线性分组码
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4.3 信道编码技术
线性分组码
线性分组码的性质：
1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。线性分 组码一定包含全0的码组。 2、码的最小距离等于非零码的最小码重
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4.3 信道编码技术
循环码
线性分组码的一种； 循环码中任意一组许用码循环左移1位后，仍为该循环 码中的另一个码组。
s an1 an2
a2 a1 c0
s=0,认为无误码；s=1，认为有误码 由r个监督码元构造出r个监督关系式来指示1位误码的 n种可能位置，要求
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4.3 信道编码技术
线性分组码
例 （7，4）分组码
s1 a6 a5 a4 a2 s2 a6 a5 a3 a1
差错控制编码的分类
按信息码元与附加的监督码元之间的检验关系分类： 线性码 非线形码 按信息码元与附加的监督码元之间的约束关系： 分组码：每组监督码元只与本组的信息码元之间有确 定的检验关系 卷积码：每组监督码元不但与本组信息码有关，还与 前面若干个码组的信息码元之间有约束关系 按照信息码元在编码后是否保持原来的形式不变分类： 系统码：信息码元序列保持不变 非系统码：信息码元信号序列改变
a2 a1 c0 1 an2 an1 1
奇偶校验码只能检出单个或奇数个误码，而无法检测
偶数个误码。检错能力有限，不能纠错。
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4.3 信道编码技术
线性分组码
信息码元与监督码元之间具有线性关系 （n，k）分组码，由k个码元按一定规则产生r个监督码 元，并附加在信息码元之后，组成长度为n=k+r的码组。 校验子s：
信道编码的基本概念以及汉明码编码错误图样
虽然通过Q矩阵可以产生线性分组码，但需要分为两矩步阵，G如则果被对称Q矩为阵线做性
变换：
在Q矩阵的G左边I加k 上Q一个100k×100k阶100单000位阵111，110即：110
分组码的生成矩阵
若f进一步满足线性关系：
则f ( 称u f为 线u 性' ) 编 码f ( 映u 射) ，若f ( f为u 一' ) , 一对应, 映 射G ，F 则( 2 ) 称 f{ 为0 , 唯1 } 一,可u , u 译' 线U k
性编码，由f编写的码c = (cn-1cn-2…c0)称为线性分组码，u = (un1un-2… u0 )为编码前的信息分组，其中k为信息位数，n为码长， 其编码效率为η= k/n
0100
110
1100
001
0101
101
1101
010
0110
011
1110
100
0111
000
1111
111
信道编码的基本概念以及汉明码编码 错误图样
监督矩阵的推导
将监督关系式进行变换
u6 u5 u4 c2 0
u6
u5
u3
c1
0
1u61u51u40u31c20c10c00 1u61u50u41u30c21c10c00
X X ' ( x n 1 x 'n 1 ,x n 2 x 'n 2 ,,x 0 x '0 )
信道编码的基本概念以及汉明码编码 错误图样
二、线性分组码
线性分组码的数学定义： 信道编码可表示为由编码前的信息码元空间Uk到编码后的码字 空间Cn的一个映射f，即： f： Uk → Cn 其中( n > k )
差错率差错率是衡量传输质量的重要指标之一,它有以下几
(3) 举例
(7,4) 线性码的生成矩阵为
(4) 生成矩阵与一致监督矩阵的关系
由于生成矩阵G的每一行都是一个码字，所以G 的每行都满足 Hr×nCTn×1=0Tr×1，则有
Hr×nGTn×k=0Tr×k 或
Gk×nHTn×r=0k×r
线性系统码的监督矩阵 H 和生成矩阵 G 之间可以直接互换。
按纠正差错的类型可分为纠正随机错误的码和纠正突 发错误的码； 按码字中每个码元的取值可分为二进制码和多进制码。
(1)偶（或奇）校验方法
p 为偶校验位 m0+m1+m2+…+mk－1+p=0 (mod 2) 则 C =(m0,m1,m2,…,mk－1,p) 为一个偶校验码字。 C 中一定有偶数个“1” 当差错图案 E 中有奇数个“1”，即 R 中有奇数个位有错 时，可以通过校验方程是否为0判断有无可能传输差错。
E
图6.1.5 BSC编码信道
(2) 信道编码的基本思想
信道编码的对象：是信源编码器输出的信息序列m。通 常是二元符号1、0组成的序列。
信道编码的基本思想
按一定规则给数字序列m增加一些多余的码元，使 不具有规律性的信息序列 m 变换为具有某种规律性 的数码序列 C； 码序列中的信息序列码元与多余码元之间是相关的； 信道译码器利用这种预知的 编码规则译码。检验接 收到的数字序列 R 是否符合既定的 规则，从而发现 R 中是否有错，或者纠正其中的差错；
组的监督码元或监督元。
(3) 纠错编码的பைடு நூலகம்类
分组码：编码的规则仅局限于本码组之内，本码组的监 督元仅和本码组的信息元相关。
纠错码
编码距离与纠错检测的关系
几个基本概念 码重:码组中“1”的个数成为码组的重量。 码距 :两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距离。我们把 某种编码中各个码组之间距离最小值称为最小码距（d0）。一种编码 的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力。
1011101 与 1001001 之间的码距是 2。
接收端收到禁用码组时，就认为发现了错误
这种方法只能检测错误，但不能纠正错误
比如：当接收端收到禁用码组100时，无法判决哪一位码 发生了错误
000（晴） 101（云） 110（雨） 错一位 100
要想纠正错误，需要增加多余度，比如，只准使用两个码组
000（晴）
111（阴）
其他均为禁用码组，则它可检测两个错码或能纠正一个错码。
译码:在接收端,利用这种规律性来鉴别传输过程是否发生错误或纠正 错误，恢复原始信息序列。
纠错编码的分类
按功能分：检错码和纠错码 按监督码元与信息码元之间是否存在线性关系分：线性码与非线性码 按信息码元与监督码元之间的约束关系不同分：分组码与非分组码如 卷积码 按纠正差错的类型分：纠正随机错误的码与纠正突发错误的码 按码元的取值分：二进制码与多进制码
1 1 n 1 0
v v ，若对任一 v a , a ,, a v 恒有 v a ,, a , a v ，则称 vn ,k 为循环码。
n,k n
0 1 n 1
n,k
n,k
在下表中给出了一种（7,3）循环码的全部码组
卷积码
把信源输出的信息序列，以个 k 0(k 0 通常小于 k)码元分为一段，通过 编码器输出长为 n 0(≥k 0 )一段的码段。 但是该码段的 n 0 k 0 个校验 元不仅与本组的信息元有关，而且也与其前m段的信息元有关，称m为 编码存贮。因此卷积码用(n 0， k 0， m)表示。
《通信原理》10信道编码和差错控制资料
并保持误码率不变，付出的代价也是带宽
的增大。
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纠错编码
纠错编码系统的性能：
传输速率和带宽的关系：对于给定的传输系
统，其传输速率和信噪比 Eb / n0 的关系为
E P T P P b s s s n n n ( 1 / T ) n R 0 0 0 0 B
提高传输速率，采用编码以保持误码
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线性分组码
S
001 010 100 011
E
错码位置
S
101 110 111 000
E
错码位置
0000001 a0
0010000 a 4
0000010 a1
0100000 a
5
a2 0000100
0001000 a3
a 1000000
6
0000000 无错
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线性分组码
线性码的封闭性
111 100 010 001 001 010 100 111
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线性分组码
汉明码 接收端解码方法：
根据接收码组，先计算出校正子S1S2S3 ， 然后查表判断错码位置。
S1 a6 a5 a4 a2 S2 a6 a5 a3 a1 S3 a6 a4 a3 a0
调制解调器至终端调制解调器的无差错数
据传送。
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基本内容
差错控制编码方法/纠错编码方法：
为了在接收端能够发现或纠正错码， 在发送码元序列中加入一些差错控制码 元（监督码元/监督位）。 加入的监督码元越多，纠/检错的能
力越强，传输效率越低，从而可以用降
低传输效率换取传输可靠性的提高。
通信原理第11章差错控制编码分析
接收端将接收到的信码原封不动地转发回发端， 并与原发送信码相比较，若发现错误，发端再重 发。
发
数据信息 数据信息
收
图11.1-6 信息反馈法
第11章 差错控制编码
11.1
概述
收端把收到的数据序列全部经反向信道送回发
端，发端比较发出和送回的数据序列，从而发 现有否错误，如果有错误，发端将数据序列再 次传送，直到发端没有发现错误。
编码二： 消息A----“00”；消息B----“11” 最小码距2 若传输中产生一位错码，则变成“01”或“10”， 收端判决为有错（因“01”“10”为禁用码组），但 无法确定错码位置，不能纠正，该编码具有检出 一位错码的能力。 这表明增加一位冗余码元后码具有检出一位错 码的能力
第11章 差错控制编码
11.1
概述
差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性 前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。 差错控制编码是在信息序列上附加上一些监督 码元，利用这些冗余的码元，使原来不规律的或 规律性不强的原始数字信号变为有规律的数字信 号。例如奇偶校验。 差错控制译码则利用这些规律性来鉴别传输过 程是否发生错误，或进而纠正错误。
11.2
差错控制编码的基本原理
（2）最小码距与检错和纠错能力的关系
一个码能检测e个错码，则要求其最小码dmin≥e+1
一个码能纠正t个错码，则要求其最小dmin≥2t+1 一个码能纠正t个错码，同时能检测e个错码，则要
求其最小码距
dmin≥e+t+1 (e>t)
第11章 差错控制编码
11.2
11.1
概述
（1）检错重发法（ARQ） Automatic Repeat reQuest 收端在接收到的信码中发现错码时，就通 知发端重发，直到正确接收为止。例如奇偶 校验。 检错重发方式只用于检测误码，能够在接 收单元中发现错误，但不一定知道该错误码 的具体位置。 需具备双向信道。
DVB-S信道编码
循环码的解码方法
接收端接收到码组 R(x) 时，要达到解 码和检错纠错的目的。由于任一码组的码 元多项式T(x)都应被码元多项式g(x)整除， 因此接收端可将接收码组 R(x) 用原始生成 多项式 g(x) 相除。如果传输中未发生误码， 接收码组与发送码组相同，即R(x)＝T(x)， 则R(x)必能被g(x)整除，无余项；如果发生 误码， R(x)≠T(x) ，则 R(x) 被 g(x) 相除时会 有余项出现，即
T’(x)亦是一个许用码组。 T’(x)也是 T(x)码组
向左循环移位i次的结果。
Example
设循环码T（x）=x6+x5+x2+1， 码组为（1100101），给定i=3， xiT（x）=x3（x6+x5+x2+1） = x9+x8+x5+ x3 ≡ x5+x3+x2+x（mod（x7+1）） 码组为（0101110）是许用码组，它是 （1100101）向左循环移位3次的结果。
卷积码基本形式及工作原理
图5-9最小码距与检错纠错能力间的关系
纠错码的分类
一、分类（线性分组码）
按对信息码元的处理方法分 分组码：将 k 个信息码元划分成 1 组，然后由这 k 个码元 按照一定的规则产生 r 个校验码元，从而组成长度为 k + r 的码字；在分组码中，校验码元仅校验本码字中的信息码 元；分组码一般用符号 ( n, k ) 表示，并且将分组码的结构 规定为前面 k 位为信息位，后面附加 r 个校验移位后仍是这组的码字 非循环码：任意一个码字中码元循环移位后不一定再 是该码中的码字 卷积码：每组的校验码元不但与本码组的信息码元有关， 而且还与前面若干组信息码元有关，即不是分组的特点， 而是每个校验码元对它的前后码元都实行校验，前后相连， 因此有时也称为连环码
第七章差错控制编码习题解答
8－1 某码字的集合为 00000000 1000111 0101011 0011101 1101100 1011010 0110110 1110001求：（1）该码字集合的最小汉明距离；（2）根据最小汉明距离确定其检错和纠错能力。
解：（1）通过两两比较每个码字，可知该码字集的最小汉明距离为4；（2）因为检错能力与最小码距的关系为：1min +=e d ，所以检错能力为3141min =-=-=d e又因为纠错能力与最小码距的关系为：12min +=t d ，所以纠错能力为5.121421min =-=-=d t取整后可得，纠错能力为1=t 。
8－2 已知二进制对称信道的差错率为210-=P 。
（1）（5，1）重复码通过此信道传输，不可纠正错误的出现概率是多少？（2）（4，3）偶校验码通过此信道传输，不可检出错误的出现概率是多少？解： （1）当（5，1）重复码发生3个或3个以上的错误时不可纠正，此时不可纠正的错误出现的概率为()()()60555144523351085.9111-⨯≈-+-+-=P P C P P C P P C P e （2）当（4，3）偶校验码发生偶数个错误时这些错误不可检出，这些错误出现的概率为()()4044422241088.511-⨯≈-+-=P P C P P C P e8－3 等重码是一种所有码字具有相同汉明重量的码，请分析等重码是否线性码？解：因为该码字集中所有的码字均有相同的码重，因此全零码字不包括在内，而线性码在输入信息位均为零时，输出也全为零，因此一定包含全零码。
因此等重码不是线性码。
8－4 对于一个码长为15，可纠正2个随机错误的线性分组码，需要多少个不同的校正子？至少需要多少位监督码元？解：对于一个码长为15的线性码，1个及2个随机错误的图样数为120215115=+C C所以至少需要121个校正子因为12712120631272151156=-<=+<=-C C所以至少需要7位监督码元。
计算机网络通信技术第04章纠错
差错控制的基本方式
反馈重发纠错（ARQ）方式 前向纠错（FEC）方式 混合纠错（HEC）方式 奇偶监督码 行列监督码 恒比码 海明码
常用检错码：
数据通信中的差错控制技术
在数据传输中，可靠性是一个重要的性能指标，
由于传输信道不理想以及来自各个方面的干扰，出现错误 码元是不可避免的。
行列监督码在某些条件下还能纠错。
突发差错行列监督码
行列监督码也常用于检查或纠正突发差错。可以检查 出错误码元长度小于或等于码组长度的所有错码，并纠正 某些情况下的突发差错。
3.
恒比码(3:2)
恒比码又称等比码或等重码（非零码组中“1”码的个数 称为码重）。恒比码的每个码组中，“1”和“0”的个数之 比都是恒定的。
方阵码只是对构成矩形四角的错码无法检测，故
其检错能力较强。
使误码率降至原误码率的百分之一到万分之一。
行列监督码(含突发错码)
当差错个数恰为4的倍数，且差错位置正好构成矩形的四个角时（如上
图所示方阵码中标有D的码元），方阵码检查不出错误。
含突发错码行列监督码
行列监督码
接收端按同样行列排成方阵，发现不符合行列 监督规则的判决有错。
恒比码
恒比码在检测时，通过计算接收码组中“1”
的数目，判定传输有无错误。这种码除了“1” 错成“0”和“0”错成“1”成对出现的错误以外， 还能发现其他所有形式的错误，故检错能力很 强。
应用这类码后，国际电报的误字率保持在
10-6以下。
4.5.3
纠错编码
现行的抗干扰编码发展成为两大类：分组码和卷积码。
误码解析
误码解析主要内容摘要误码是光纤通信系统的其中一项非常重要的指标，本来从理论上来说数字信号的传输质量与传输距离没有关系，但这种情况只有在信号在接收端正确被接收才能成立。
关键词误码误码率误信率传输损伤码元传输速率信息传输速率误码是SDH系统的主要传输损伤，但因为产生的原理和分布特性等并不是完全相同，所以就具有许多自己的特性。
理想的光纤传输系统是十分稳定的传输通道，外界对他的干扰影响应该很小，但是由于一些别的原因，例如光噪声、色散所引起的码间干扰、定位抖动、传输设备的各个功能块受到外界干扰等等，所以误码的存在是必不可免的。
从实际运行的光缆传输系统来看，上述的一些原因只是提供了一些很低的背景误码水平，而比如外部电磁干扰、静电放电、设备故障、电源的瞬态干扰以及一些的人为活动等引起的脉冲干扰往往构成占主导的突发误码。
其中最为我们所熟悉的一种是抖动，抖动是造成误码从而使传输段的传输质量下降的原因之一，尤其是当网络传输的是数字同步信号时，网络上发生的抖动损伤会使所传输的时钟信号精度下降。
数字信号的抖动性质一般用幅度和频率这两个参数来进行描述。
幅度一般用数字周期间隔UI来度量，一个UI就是1比特信息所占用的时间，即时钟的周期；抖动频率即是描述抖动变化快慢的参数。
对于SDH设备的抖动工程中常有下述项目：SDH设备的固有抖动、再生器的抖动转移特性、设备输入抖动容限、SDH设备的映射抖动和结合抖动等等。
SDH网络系统的误码性能目前普遍采用一套以块为基础的新参数：误码秒比（ESR）、严重误码秒比（SESR）和背景块差错比（BBER）。
块------是指与通道有关的连续比特，当与块有关的任意比特发生差错时，就称该块为误块（EB），这套以块为基础的参数不仅仅适用于不停业务监视（in service monitoring），而且适用于描述实际现场中常常出现的突发误码现象，对于SDH设备而言，BIP就是一种固有的监视块。
WDM光网络节点的同频串扰理论分析,考虑光放大器ASE噪声的影响,采用重要性采样技术进行数值仿真,得出某一波长信道中串扰导致的误码率,波长个数、同源串扰数及消光比等因素对系统性能都有很大的影响误码性能参数的评价只有在通道处于可用状态是才有意义。
差错控制编码
第3章信道编码 (2)3.1差错控制方式 (2)3.2信道编码 (3)3.2.1 差错控制编码的基本原理 (3)3.2.2 差错控制编码的分类 (4)3.2.3 差错控制编码的基本概念 (5)3.3常见的几种检错码 (7)3.3.1 奇偶校验码 (7)3.3.2 水平奇偶校验码 (8)3.3.3 水平垂直奇偶校验码 (9)3.3.4 恒比码 (9)3.3.5群计数码 (10)3.4线性分组码 (11)3.4.1 基本概念 (11)3.4.2 线性分组码的编码 (12)3.4.3 线性分组码的译码 (16)3.5循环码 (18)3.5.1 基本概念 (18)3.5.2 循环码的编码 (25)3.5.3 循环码的译码 (27)3.5.4 常见的几种循环码 (29)3.6BCH码 (30)3.7RS码 (33)3.7.1 RS码的编码 (34)3.7.2 RS码的译码 (35)3.8卷积码 (36)3.8.1 基本概念 (36)3.8.2 卷积码的图解表示 (38)3.8.3 卷积码的译码 (40)3.9几种新的编码方法 (42)3.9.1 网格编码调制（TCM） (42)3.9.2 TURBO码 (47)8.9.3LDPC码 (49)3.9.4喷泉码 (51)本章小结 (56)习题 (57)第3章信道编码在数字通信系统中，干扰会使信号产生变形，致使接收端产生误码，这将严重影响数字通信系统的可靠性。
为了提高数字通信系统的可靠性，除了可采用均衡技术来消除乘性干扰引起的码间串扰外，还可以通过对所传数字信息进行特殊的处理（即信道编码）对误码进行检错和纠错，进一步降低误码率，以满足通信的传输要求。
因此，信道编码是提高数字通信系统可靠性的有效措施之一，能提高传输质量1~2个数量级。
信道编码的目的就是通过加入冗余码来减小误码，进而提高数字通信的可靠性。
香农第二定理指出：对于一个给定的有扰信道，若该信道容量为C，则只要信道中的信息传输速率R小于C，就一定存在一种编码方式，使编码后的误码率随着码长n的增加而按指数下降到任意小的值。
问答
5-1 高次群的形成采用什么方法？为什么？答：扩大数字通信容量，形成的高次群的方法有两种：PCM复用和数字复接。
形成高次群一般采用数字复接。
因为若采用PCM复用，编码速度太快，对编码器的元件精度要求过高，不易实现。
5-2 比较按位复接与按字复接的优缺点？答：按位复接要求复接电路存储容量小，简单易行。
但这种方法破坏了一个字节的完整性，不利于以字节（即码字）为单位的信号的处理和交换。
按字复接要求有较大的存储容量，但保证了一个码字的完整性，有利于以字节为单位的信号的处理和交换。
5-3 为什么复接前首先要解决同步问题？答：数字复接的同步指的是被复接的几个低次群的数码率相同。
若被复接的几个低次群的数码率不相同，几个低次群复接后的数码就会产生重叠和错位，所以复接前首先要解决同步问题。
5-4 数字复接的方法有哪几种？PDH采用哪一种？答：数字复接的方法有同步复接和异步复接两种，PDH采用异步复接。
5-5 画出数字复接系统方框图，并说明各部分的作用。
答：数字复接系统方框图为数字复接器的功能是把四个支路（低次群）合成一个高次群。
它是由定时、码速调整（或变换）和复接等单元组成的。
定时单元给设备提供统一的基准时钟（它备有内部时钟，也可以由外部时钟推动）。
码速调整（同步复接时是码速变换）单元的作用是把各输入支路的数字信号的速率进行必要的调整（或变换），使它们获得同步。
复接单元将几个低次群合成高次群。
数字分接器的功能是把高次群分解成原来的低次群，它是由定时、同步、分接和恢复等单元组成。
分接器的定时单元是由接收信号序列中提取的时钟来推动的。
借助于同步单元的控制使得分接器的基准时钟与复接器的基准时钟保持正确的相位关系，即保持同步。
分接单元的作用是把合路的高次群分离成同步支路信号，然后通过恢复单元把它们恢复成原来的低次群信号。
5-6 为什么同步复接要进行码速变换？答：对于同步复接，虽然被复接的各支路的时钟都是由同一时钟源供给的，可以保证其数码率相等，但为了满足在接收端分接的需要，还需插入一定数量的帧同步码；为使复接器、分接器能够正常工作，还需加入对端告警码、邻站监测及勤务联络等公务码（以上各种插入的码元统称附加码），即需要码速变换。
樊昌信《通信原理》(第7版)课后习题(差错控制编码)【圣才出品】
11-12 何谓截短循环码？它适用在什么场合？ 答：（1）设给定一个（n，k）循环码，它共有 2k 种码组，现使其前 i（0＜i＜k）个信 息位全为“0”，于是它变成仅有 2k－1 种码组。然后从中删去这 i 位全“0”的信息位，最 终得到一个（n－i，k－i）的线性码。将这种码称为截短循环码。 （2）在设计纠错方案时，常常信息位数 k、码长 n 和纠错能力都是预先给定的。但是， 并不一定有恰好满足这些条件的循环码存在。这时，可以采用将什么是循环码？循环码的生成多项式如何确定？ 答：（1）一个码组循环一位（即将最右端的一个码元移至左端，或反之）以后，仍为 该码中的一个码组的码称为循环码。 （2）循环码的生成多项式的确定：由
可知，生成多项式 g（x）为（xn＋1） 的一个因子。
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11-3 常用的差错控制方法有哪些？试比较其优缺点。 答：（1）常用的差错控制方法有： ①检错重发； ②前向纠错； ③反馈校验； ④检错删除。 （2）优缺点
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①检错重发
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a．优点：检测错误并自动重新发送；
b．缺点：检测到有错但不知道具体是哪个出错。
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要求的编码。
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11-13 什么是 BCH 码？什么是本原 BCH 码？什么是非本原 BCH 码？ 答：（1）BCH 码是指一种获得广泛应用的能够纠正多个错码的循环码。 （2）本原 BCH 码是指生成多项式 g（x）中含有最高次数为 m 的本原多项式，且码长 为 n＝2m－1（m＞13，为正整数）的 BCH 码。 （3）非本原 BCH 码是指生成多项式中不含这种本原多项式，且码长 n 是（2m－1） 的一个因子，即码长 n 一定除得尽 2m－1 的 BCH 码。
差错控制方法
主讲人：徐光达
1、差错原因
信道噪声
热噪声 ❖ 由传输媒体的电子热运动引起 ❖ 时刻存在，幅度小，属于随机噪声
冲击噪声 ❖ 是由外界电磁干扰引起 ❖ 幅度较大，是引起差错的主要原因 ❖ 冲击噪声引起的传输差错称为突发差错
差错产生的原因
发送的数据 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
得到的 (k + n) bit 的数除以事先选定好的长度为 (n + 1) bit 的除数P，得出商是 Q 而余数是 R，余数 R 比除数 P 至少要少1个比特。
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差错产生与差错控制方法 循环冗余编码原理
设 n = 5, P = 110101，模 2 运算的结果是： 商 Q = 1101010110 余数 R = 01110
数为偶数，即满足 an1 an2 a0 0
a 为监督位 0
它能检测奇数个错码，无纠错能力。
例 收端：1001 1011，则可能发生了奇数个错码
发端可能为
0001 1011、1101 1011
0111 1011
错一位 错三位
（2）奇数监督码：监督位也只有一位，使得码组中“1”的
其结构为：信息码+监督码
差错控制编码的基本原理
二、最小码距d0与纠错能力的关系：
1、重复码：用来发送天气预报 结论：纠错能力与码的位数有关。怎么样的关系呢？
2、最小码距d0与纠错能力的关系： (1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1; (2) 纠正t个随机错误， 则要求码的最小距离d0≥2t+1; (3) 纠正t个同时检测e个随机错误，则要求码的最小距离 d0≥t+e+1， (e>t)。
最小码距和检错纠错能力关系
最小码距和检错纠错能力关系一、码距？码距就是两个码字C1与C2之间不同的比特数。
如：1100与1010的码距为2;1111与0000的码距为4。
一个编码系统的码距就是整个编码系统中任意(所有)两个码字的最小距离。
若一个编码系统有四种编码分别为：0000，0011，1100，1111，此编码系统中0000与1111的码距为4;0000与0011的码距为2，是此编码系统的最小码距。
因此该编码系统的码距为2。
二、码距和检错纠错有何关联?首先大家要了解以下两个概念：1.在一个码组内为了检测e个误码，要求最小码距应该满足：d>=e+12.在一个码组内为了纠正t个误码，要求最小码距应该满足：d>=2t+1现在举个例子来说明这个问题：假如我们现在要对A，B两个字母进行编码。
我们可以选用不同长度的编码，以产生不同码距的编码，分析它们的检错纠错能力。
||-- 若用1位长度的二进制编码。
若A=1，B=0。
这样A，B之间的最小码距为1。
合法码：{0,1｝;非法码：{0,1｝;根据上面的规则可知此编码的检错纠错能力均为0，即无检错纠错能力。
其实道理很简单，这种编码无论由1错为0，或由0错为1，接收端都无法判断是否有错，因为1，0都是合法的编码。
||-- 若用2位长度的二进制编码，可选用11，00作为合法编码，也可以选用01，10作为合法编码。
若以A=11，B=00为例，A、B之间的最小码距为2。
合法码：{11,00｝;非法码：{01,10｝;根据上面的规则可知此编码的检错位数为1位，无法纠错。
因为无论A(11)或B(00)，如果发生一位错码，必将变成01或10，这都禁用码组(非法码)，故接收端可以判断为误码，却不能纠正其错误。
因为无法判断误码(01或10)是A(00)错误还是B(11)错误造成，即无法判断原信息是A或B，或说A与B形成误码(01或10)的可能性(概率)是相同的。
如果产生二位错码，即00错为11，或11错为00，结果将从一个合法编变成另一个合法编码，接收端就无法判断其是否有错。
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最小码距和检错纠错能力关系
一、码距？
码距就是两个码字C1与C2之间不同的比特数。
如：1100与1010的码距为2;1111与0000的码距为4。
一个编码系统的码距就是整个编码系统中任意(所有)两个码字的最小距离。
若一个编码系统有四种编码分别为：0000，0011，1100，1111，此编码系统中0000与1111的码距为4;0000与0011的码距为2，是此编码系统的最小码距。
因此该编码系统的码距为2。
二、码距和检错纠错有何关联?
首先大家要了解以下两个概念：
1.在一个码组内为了检测e个误码，要求最小码距应该满足：d>=e+1
2.在一个码组内为了纠正t个误码，要求最小码距应该满足：d>=2t+1
现在举个例子来说明这个问题：
假如我们现在要对A，B两个字母进行编码。
我们可以选用不同长度的编码，以产生不同码距的编码，分析它们的检错纠错能力。
||-- 若用1位长度的二进制编码。
若A=1，B=0。
这样A，B之间的最小码距为1。
合法码：{0,1｝;非法码：{0,1｝;
根据上面的规则可知此编码的检错纠错能力均为0，即无检错纠错能力。
其实道理很简单，这种编码无论由1错为0，或由0错为1，接收端都无法判断是否有错，因为1，0都是合法的编码。
||-- 若用2位长度的二进制编码，可选用11，00作为合法编码，也可以选用01，10作为合法编码。
若以A=11，B=00为例，A、B之间的最小码距为2。
合法码：{11,00｝;非法码：{01,10｝;
根据上面的规则可知此编码的检错位数为1位，无法纠错。
因为无论A(11)或B(00)，如果发生一位错码，必将变成01或10，这都禁用码组(非法码)，故接收端可以判断为误码，却不能纠正其错误。
因为无法判断误码(01或10)是A(00)错误还是B(11)错误造成，即无法判断原信息是A或B，或说A与B形成误码(01
或10)的可能性(概率)是相同的。
如果产生二位错码，即00错为11，或11错为00，结果将从一个合法编变成另一个合法编码，接收端就无法判断其是否有错。
所以此种编码的检错能力为1位，纠错能力为0位。
||--若用3位长度的二进制编码，可选用111，000作为合法编码。
A，B之间的最小码距为3。
合法码：{111,000｝;非法码：{001,010,011,100,101,110｝;
根据上面的规则可知此编码的检错位数为2位，纠错位数为1位。
例如：当信息A(000)产生1位错误时，将有3种误码形式，即001或010或100，这些都是禁用码组，可确定是误码。
而有这3个误码与合法编码000的距离最近，与合编码111的距离较远，根据误码少的概率大于误码多的概率的规律，可以判定原来的正确码组为000，只要把误码中的1改为0即可得到纠正。
同理，如果信息B(111)产生1位错误时，则有另三种误码可能产生，即110，101，011，根据同样道理可以判定原来的正确码组是111，并能纠正错误。
但是，如果信息A(000)或信息B(111)产生两位错误时，虽然能根据禁用码组识别其错误，但纠错时去会做出错误的纠正而造成“误纠错”。
如果信息A(000)或信息B(111)产生三位错误时，将从一个合法编码A(或B)变成了另一个合法编码B(或A)，这时既检不出错，更不会纠错了，因为误码已成为合法编码，译码后必然产生错误。
所以检错位数为2位，纠错位数为1位。
总结：。