【专升本高数】导数的概念习题课PPT幻灯片
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高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
高数导数的概念ppt课件
h0
h
h h 0
y y x
o
x
lim
f (0 h)
f (0)
lim
h 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
五、 导数的几何意义与物理意义 y y f (x)
曲线
若 若 若 若
在点
(当
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o y
t0
f (t)
f '( x0 ) 0 0.
函数 f ( x)在点 x0连续 .
定理2. 函数 在点 处右 (左) 导数存在 在点 必 右 (左) 连续.
由定理1和定理2,可得: 在闭区间 [a , b] 上可导
注意:可导的条件要比连续强,存在处处连续但是 处处不可导的函数.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f ( x)连续 , 若 f( x0 ) f( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x) 的角点 ,函数在角点不可导.
例如, x2,
f (x) x,
x 0, x0
y
y x2
y x
0
x
在 x 0处不可导, x 0为 f ( x)的角点. y
y x
设描述质点运动位置的函数为
《导数的概念》课件
导数的定义
导数的定义是函数在某一点处的极限值。可以通过求导数来确定函数在该点 的切线斜率。
函数图像与导数的关系
函数的导数可以告诉我们函数的增减性、凹凸性以及极值的位置。导数为0的 点可能是函数的极值点。
复合函数求导法则
复合函数的导数可以通过链式法则来求解。这个法则是求导数中的重要工具， 能够简化复杂函数的求导过程。
高阶导数
高阶导数是指导数的导数。通过求高阶导数可以获得函数的更多信息，如函数的凹凸性和曲率。
求导数的方法总结
求导数的方法有很多种，如基本求导法则、常用函数导数表以及各种求导公式。掌握这些方法可以更有效地求 解导数。
导数的几何意义
导数有的重要作用。
《导数的概念》PPT课件
从导数的概念到应用，全面讲解微积分中的导数知识，帮助学生深入理解并 轻松掌握这一重要概念。
导数的概念简介
导数是微积分中的重要概念之一，用来描述函数在某一点的变化率。通过导数可以分析函数的增减性、极值等 性质。
基本符号表示
导数可以使用不同的符号来表示，如f'(x)、dy/dx、y'等。这些符号是用来表示函数的变化率。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
专升本高数2PPT课件
f (4) (x) ________．
34.
设
参
数
方
程
x
y
2t 1 3t2 1
所
确
定
的
函
数
为
y
y(x) ，则
d2 y dx2
________．
42 ． 设 由 方 程 e y xy2 e2 确 定 的 函 数 为
y y(x) ，求 dy ． dx x0
2011年河南专升本
2.1 导数的概念
本章重点考核的知识点
• 1．导数的定义； • 2．导数的几何意义； • 3．导数的四则运算法则； • 4．反函数求导法则； • 5．复合求导法则； • 6．简单函数的高阶导数； • 7．隐函数求导； • 8．对数求导法； • 9．幂指函数求导； • 10．参数方程求导； • 11．一元函数一阶微分形式的不变性。
2010年河南专升本
6.
函数
f (x) 在点 x
x0 处可导，且
f
(x0 )
1，则 lim h0
f (x0 ) f (x0 3h) 2h
A． 2 3
B． 2 3
C． 3 2
D． 3 2
8. 设函数 y 1 x2 2sin π ，则 y 5
A． x 2 cos π
1 x2
5
B． x 1 x2
0
00 0
为
y f (x ) f (x )(x x )；
0
0
0
曲线 y f (x)在点M (x , y )处的法线方程为 00 0
y f (x ) 1 (x x ) ，( f (x ) 0).
0
f (x0 )
0
0
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x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
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练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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专升本高数第二章导数-PPT课件
f( x )f( x ) 0 导数的一个等价定义： f ( x )lim 0 x x 0 x x 0
左、右导数
设函数 y f (x )在点 x 如果 0的某个邻域内有定义
f (x x ) f (x y 0 0) 左极限 lim lim 存在，那 x 0 x 0 x x 称此极限值为函数 y f (x )在点 x 0 处的左导数。
2 x e b( 1 b ) f ( 0 ) l i m 2 x 0 x
f ( 0 ) f ( 0 ) ， a 2
(二) 曲线的切线方程及法线方程
设 曲 线 的 方 程 为 y f() x ， 若 f() x在 x 处 可 导 ， 0 则 曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 切 线 方 程 为 0 0 y y f ( x ) ( x x ) 0 0 0
仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。
1. 基本导数表
x x
1 c 0 ， ( x ) x
x x
( aa ) l n a ， ( e ) e
1 1 ( l o g x ) ， ( l n x ) a x l n a x
( s i n x ) c o s( x ， c o s x )s i n x 2 2 ( t a n x ) s e c x ， ( c o t x ) c s c x ( s e c x ) s e c x t a n x ， ( c s c x ) c s c x c o t x
第二章 一元函数微分学
§2.1. 导数与微分
(一) 导数的概念
我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。
左、右导数
设函数 y f (x )在点 x 如果 0的某个邻域内有定义
f (x x ) f (x y 0 0) 左极限 lim lim 存在，那 x 0 x 0 x x 称此极限值为函数 y f (x )在点 x 0 处的左导数。
2 x e b( 1 b ) f ( 0 ) l i m 2 x 0 x
f ( 0 ) f ( 0 ) ， a 2
(二) 曲线的切线方程及法线方程
设 曲 线 的 方 程 为 y f() x ， 若 f() x在 x 处 可 导 ， 0 则 曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 切 线 方 程 为 0 0 y y f ( x ) ( x x ) 0 0 0
仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。
1. 基本导数表
x x
1 c 0 ， ( x ) x
x x
( aa ) l n a ， ( e ) e
1 1 ( l o g x ) ， ( l n x ) a x l n a x
( s i n x ) c o s( x ， c o s x )s i n x 2 2 ( t a n x ) s e c x ， ( c o t x ) c s c x ( s e c x ) s e c x t a n x ， ( c s c x ) c s c x c o t x
第二章 一元函数微分学
§2.1. 导数与微分
(一) 导数的概念
我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。
成人高考-专升本课件-导数的应用PPT课件
在讨论函数的单调性时，一般先求出函 数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点 , 然后按这些点将所讨论的区间分成小区间 , 在每个小区间内函数只有一种单调性 , 利用 导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.
24
例1 解
讨论 y 2x 8 的单调性. x
定义域: (, 0) (0, )
y
2
8 x2
0
x1 x ln x x 1 0
lim ln x 1 1
x1 ln x 11 2
16
例11
求
lim
x
2
arctan x
1
ln x.
00
解 运用取对数法 .
lim
x
2
arctan x
1 ln x
lim exp{ 1 } ln( arctan x) 0
x
ln x 2
{ } ln( arctan x)
f (x) f (x0) x Uˆ (x0) ,
则称 f (x0) 为 f (x) 的极小值 , x0为函数的极小点.
29
三、函 数 的 极 值
函数的极值是个局部性的概念. 在 U(x0 )内比较 f (x) 与 f (x0 ) 的大小.
我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式: 费马定理 — 可微函数取极值的必要条件 函数的单调性判别定理和方法
其中 , 0 表示无穷小量; 表示无穷大量; 1表示以1为极限的变量 .
2
0
取 对 数 法 1 00 0
倒数法
0
0
只需讨论 这两种极限
3
罗必达法则
设在某一极限过程中
(1) lim f (x) 0 , lim g(x) 0 ,
0
24
例1 解
讨论 y 2x 8 的单调性. x
定义域: (, 0) (0, )
y
2
8 x2
0
x1 x ln x x 1 0
lim ln x 1 1
x1 ln x 11 2
16
例11
求
lim
x
2
arctan x
1
ln x.
00
解 运用取对数法 .
lim
x
2
arctan x
1 ln x
lim exp{ 1 } ln( arctan x) 0
x
ln x 2
{ } ln( arctan x)
f (x) f (x0) x Uˆ (x0) ,
则称 f (x0) 为 f (x) 的极小值 , x0为函数的极小点.
29
三、函 数 的 极 值
函数的极值是个局部性的概念. 在 U(x0 )内比较 f (x) 与 f (x0 ) 的大小.
我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式: 费马定理 — 可微函数取极值的必要条件 函数的单调性判别定理和方法
其中 , 0 表示无穷小量; 表示无穷大量; 1表示以1为极限的变量 .
2
0
取 对 数 法 1 00 0
倒数法
0
0
只需讨论 这两种极限
3
罗必达法则
设在某一极限过程中
(1) lim f (x) 0 , lim g(x) 0 ,
0
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
导数的概念PPT课件
△ｔ＜0时
2＋△ｔ
计算区间2 t, 2和区间2, 2 t
内平均速度v, 可以得到如下表格.
2
t
△ｔ＞0时 2＋△ｔ
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形 式,Δy也必须选择与之相对应的形式.
一差、二商、三极限
求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率， 并求出在该点处的导数．
(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时 速度.
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
解：Δy f (1 Δx) f (1) 3(1 Δx)2 3 6Δx 3(Δx)2
Δy 6Δx 3(Δx)2 6 3Δx
Δx
Δx
f '(1) lim Δy lim (6 3Δx) 6 x0 Δx x0
(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时 速度.
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
解：Δy f (1 Δx) f (1) 3(1 Δx)2 3 6Δx 3(Δx)2
Δy 6Δx 3(Δx)2 6 3Δx
Δx
Δx
f '(1) lim Δy lim (6 3Δx) 6 x0 Δx x0
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
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【专升本高数】导数的概念习题课 PPT幻灯片
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
《导数习题课》课件
详细描述
复合函数的导数是通过对中间变量求导，然后将结果代入到外层函数中求导得 到的。掌握复合函数的导数可以帮助我们解决一些复杂的函数问题，如求极值 、判断单调性等。
隐函数的导数
总结词
掌握隐函数的导数是解决隐函数问题 的关键。
详细描述
隐函数的导数是通过对等式两边同时 求导，然后解出对x的导数得到的。掌 握隐函数的导数可以帮助我们解决一 些涉及多个变量的问题，如求最值、 判断曲线的形状等。
THANKS
感谢观看
总结词
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等性质 。
详细描述
导数具有一系列重要的性质，包括连续性、可加性、可 乘性和链式法则等。连续性是指函数在某一点的导数等 于该点附近的极限值；可加性是指函数在两点之间的导 数等于两端点导数的和；可乘性是指函数与常数的乘积 的导数等于该常数与函数导数的乘积；链式法则是指复 合函数的导数等于复合函数内部函数的导数与外部函数 的导数的乘积。这些性质在研究函数的单调性、极值和 曲线的拐点等方面具有广泛应用。
导数与函数的最值的综合题
总结词
这类题目通常涉及到利用导 数研究函数的极值和最值，
解决最优化问题。
详细描述
这类题目要求熟练掌握导数 的计算方法和函数的极值判 定，能够利用导数研究函数 的极值和最值，解决最优化
问题。
示例
设函数$f(x) = x^{3} ax^{2} + bx$，若$f(x)$在$( - infty,0)$和$(2, + infty)$上 单调递增，在$(0,2)$上单调 递减，且$f(x)$在$x = 2$处 取得极小值，求$a,b$的值及 $f(x)$的最小值。
导数与函数的零点的综合题
总结词
复合函数的导数是通过对中间变量求导，然后将结果代入到外层函数中求导得 到的。掌握复合函数的导数可以帮助我们解决一些复杂的函数问题，如求极值 、判断单调性等。
隐函数的导数
总结词
掌握隐函数的导数是解决隐函数问题 的关键。
详细描述
隐函数的导数是通过对等式两边同时 求导，然后解出对x的导数得到的。掌 握隐函数的导数可以帮助我们解决一 些涉及多个变量的问题，如求最值、 判断曲线的形状等。
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总结词
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等性质 。
详细描述
导数具有一系列重要的性质，包括连续性、可加性、可 乘性和链式法则等。连续性是指函数在某一点的导数等 于该点附近的极限值；可加性是指函数在两点之间的导 数等于两端点导数的和；可乘性是指函数与常数的乘积 的导数等于该常数与函数导数的乘积；链式法则是指复 合函数的导数等于复合函数内部函数的导数与外部函数 的导数的乘积。这些性质在研究函数的单调性、极值和 曲线的拐点等方面具有广泛应用。
导数与函数的最值的综合题
总结词
这类题目通常涉及到利用导 数研究函数的极值和最值，
解决最优化问题。
详细描述
这类题目要求熟练掌握导数 的计算方法和函数的极值判 定，能够利用导数研究函数 的极值和最值，解决最优化
问题。
示例
设函数$f(x) = x^{3} ax^{2} + bx$，若$f(x)$在$( - infty,0)$和$(2, + infty)$上 单调递增，在$(0,2)$上单调 递减，且$f(x)$在$x = 2$处 取得极小值，求$a,b$的值及 $f(x)$的最小值。
导数与函数的零点的综合题
总结词
专升本-高等数学--第三章-PPT
Δx0
Δx Δx0
Δx0
Δx
由此可见，曲线 y f (x)在点M 0处的纵坐标 y 的增量
Δ y 与横坐标 x的增量Δx之比，当 x 0 时的极限即为
曲线在M 0点处的切线斜率.
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f (x)在点 x0的某一邻域内有定义，当自
变量 x在 x0处有增量Δx(Δx 0, x0 Δx仍在该邻域内)时，
Q (t0 )
细杆 质量
的线 m m(x) Δm m(x0 Δx) m(x0)
密度
Δx
Δx
(x0
)
lim
Δx0
m(
x0
Δx) Δx
m(x0
)
边际
成本 总成本 模型 C C(x)
ΔC C(x Δx) C(x)
Δx
Δx
C(x) limΔC limC(xΔx)C(x)
Δx Δx0
Δx0
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导.
例如，函数 y
x
x, x 0,
x,
x
0
显然在
x 0 处连续，
但是在该点不可导.
因为y f (0 x) f (x) x ,
所以在x 0 点的右导数:
f (0)
lim
x0
y x
lim x0
x x
x lim x0 x
1.
而左导数是:
f (0)
2.若lim xa
f (x) f (a) xa
A（A 为常数），试判断下列命
题是否正确.
（1） f (x)在点 x=a 处可导；
（2） f (x)在点 x=a 处连续；
（3） f (x) f (a) A(x a) o(x a).
导数的定义学习精品PPT课件
(5) y x( 0)
解 (x ) lim (x h) x
h0
h
[(1 h) 1]x
lim x
h0
h
h lim x x x1
h0 h
(x ) x1. ( R)
特别地 (xn ) nxn1.
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
x
x
y lim y .
x0 x
(1) y f (x) C(C为常数)
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C C h0 h
0.
即 (C) 0.
(2) f (x) sin x, 并求(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
x0 ),f (x0 )
0
例8 求y sinx在x 处的切线方程和法线方 程.
3.可导与连续的关系
定理3.1 y f(x)在x0可导 f ( x)在x0连续,反之未必.
证
设函数
y
f
(
x)在点
x0可导,
lim
x0
x
f (x0 )
lim y lim y x 0
x0
x0 x
函数 f ( x)在点 x0连续 .
lim
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x
几何意义:
f (x0 )表示y f (x)在x0处切线的斜率.
物理意义:
s(x0 )表示物体在x0处的瞬时速度.
从变化的观点看: f (x0 )表示函数在x0处的变化率.
导数的概念PPT教学课件
坦因两次掠走遗书、文
物一万多件。
•1908年法国人伯希和从
藏经洞中拣选文书中的
精品，掠走约5000件。
•1910年藏经洞中的劫余
写经，大部分运至北京， 交京师图书馆收藏。
斯坦因和王圆箓像
•1911年日本人橘瑞超和吉川小一郎从王道士处，弄走
约600件经卷。
•1914年俄国人奥尔登堡又从敦煌拿走一批经卷写本，
作业布置
• 一、作业：想一想 议一议 • 二、预学指导：第10课 辽、西
夏和北宋并立
检查预习
• 1、宋辽，宋夏和议共同点是（ ） A辽夏向宋称臣 B北宋割地求和 C北宋送给 辽夏“岁币”D互相禁止边境贸易 2、辽夏吸取南下劫掠遭抵抗的教训，进而 推行（ ） A扩军备战 B用严酷刑罚镇压 C破坏被占领 地区经济 D“以汉制待汉人”
x在 x = 2 处的导数。
解：函数改变量: y= x+x x
算比值, y x x x
1
x
x
x x x
取极限,
y
1
1
lim lim
x0 x x0 x x x 2 x
所以
y 1 2x
y' |x2 f '(2)
2 4
4. 导数的几何意义
函数 y=f(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是 曲线 y=f(x) 在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率。
学生展示，教师明确
学习指导（二）
“观者如山”的乐舞 请同学们自由朗读本目内容，先自主
思考以下问题，再与同位之间交流一下。 3分钟后看谁完成的最好。
《秦王破阵乐》的作者是唐朝皇帝 A.唐太宗 B.武则天 C.唐玄宗 D.唐中宗
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x x0
a，讨论下列函数在 x
x0的可导性：
⑴( x x0 ) ( x)；
⑵| x x0 | ( x)．
解 ⑴设f ( x) ( x x0 ) ( x)，则 f ( x0 ) 0，
lim f ( x) f ( x0 ) lim ( x x0 ) ( x) a，
x x0
x x0
x x0
3) 微分应用 近似计算公式
y f ( x)x ， f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x)x ．
二、例题选讲
ln(1 x)，x 0，
例1
设f
(
x)
0，
x 0，求 f ( x)．
Hale Waihona Puke 解sin x， x 0，
当 x 0时，f ( x) ln(1 x)，f ( x)
3) 高阶导数 若函数 y f ( x)是 n阶可导，则递归定义
f
(n) ( x)
[
f
(n1) ( x)]，或
dn y d xn
d dx
dn1 y d xn1
，
其中，记 f (0) ( x) f ( x)．
n阶导数的Leibniz公式 设 u, v为两个 n 阶可导的函数， 则函数 y uv 也 n阶可导，且有
| f (0) | lim f ( x) lim sin x 1，
x0 x
x0 x
即得| a1 2a2 nan | 1．
例5 可导函数 y f ( x)的图形与 y sin x 相切于原
点，试求lim n f 2 ． n n
dy
dy 1 ．
d x ( y) 复合函数的导数 设函数y f (u), u ( x )均为可导 函数，则函数 y f [ ( x)]为可导函数，且
d y d ydu ． dx du dx
对于具有更多中间变量的复合函数，则相应的导数为
d y d ydu dv dw ． dx du dv dw dx
x x0
即 f ( x0 ) a．
⑵ 设f ( x) | x x0 | ( x)，则 f ( x0 ) 0，
lim f ( x) f ( x0 ) lim | x x0 | ( x) a，
x x0
x x0
x x0
x x0
故极限存在的充分必要条件为 a 0，此时
f ( x0 ) 0 ．
数方程
x x(t)，
y
y(t)
确定，则当 x2 (t ) y2 (t ) 0时，可确定 y为 x 的函数(或
x为 y 的函数)，相应的导数为
d y y(t) ． d x x(t)
若令h(t ) y(t )，则 x(t )
d2 y d x2
h(t ) x(t )
．
由此方法，可得到更高阶的导数．
1，
1 x
当 x 0时，f ( x) sin x，f ( x) cos x，
当 x 0时，
f (0)
lim
x0
ln(1 x
x)
1 ，f (0)
lim
x0
sin x x
1，
即 f (0)不存在．因此
f
( x)
1 1
x
，x
0，
cos x， x 0 ．
ln(1 x) b，x 0，
一、本 章 要 点
1．导数的定义 2．求导法则 3．微分与应用
1．导数的定义
1) 导数
f
(
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f (x) f (x0 ) ． x x0
左导数
f( x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f (x0 ) ，
右导数
f (
例4 设f ( x) a1 sin x a2 sin 2 x an sin nx
其中ai R，且| f ( x) | sin x，证明 | a1 2a2 nan | 1 ．
证 f ( x) a1 cos x 2a2 cos 2 x nan cos nx，
故f (0) a1 2a2 nan，f (0) 0，因此
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ，
函数可导 左导数=右导数．
可导与连续的关系：函数在一点可导，则在该点连续．
导数的几何意义：函数在一点的导数为函数曲线在该点
的切线斜率．
曲线的切线方程及法线方程：
切线 y y0 f ( x0 )( x x0 ) ，
法线
y
y0
1 (x
3．微分
1) 微分的定义 若函数 y f ( x)的增量具有表达式 y Ax o(x)，
则函数 y f ( x)可微，相应的微分为 d y Ad x．
2) 可微的条件 函数 y f ( x)在点 x 处可微的充要条件 是 y f ( x)在点 x 可导，且有
d y f ( x)d x ．
n
(uv)(n)
C
k n
u(nk )v (k )
．
k0
4) 隐函数的导数 设函数 y f ( x)由方程F ( x, y) 0 确定，在一定的条件下，可以求出函数 y f (x) 的导数．
注意，一般情况下，其导函数的表达式仍然以隐式方程的 形式给出．
由隐函数求导法，得到对数求导法．
5) 由参数方程确定的函数的导数 设函数y f ( x )由参
f ( x0 )
x0 ) ( f ( x0 ) 0) ．
2) 求导法则 设 u, v为可导函数，则
(u v) u v ，
(uv) uv uv ，
u v
uv uv v2
(v
0)
．
反函数的求导法则 设函数 y f ( x)为x ( y)的反
函数，直接函数 x ( y)在区间 I y 上连续、单调，可导且 其导函数 d x ( y) 0，则
例2 设f ( x)
eax 1，
x
且
0，
f
(0)存在，
求a,b．
解 因 f (0)存在，故 f (x) 在 x 0处连续，所以
f (0 ) lim f ( x) lim [ln(1 x) b] b，
x0
x0
f (0 ) lim f ( x) lim (eax 1) 0，
x0
x0
即得 b 0．
又因 f (0) 存在，而
f (0)
lim
x0
f (x) x
f (0) lim ln(1 x) 1，
x0
x
f (0)
lim
x0
f (x) x
f (0) lim eax 1 a ， x x 0
因此 a 1．
例3 设 ( x)在 x0的某个邻域内有定义，又
lim ( x)
a，讨论下列函数在 x
x0的可导性：
⑴( x x0 ) ( x)；
⑵| x x0 | ( x)．
解 ⑴设f ( x) ( x x0 ) ( x)，则 f ( x0 ) 0，
lim f ( x) f ( x0 ) lim ( x x0 ) ( x) a，
x x0
x x0
x x0
3) 微分应用 近似计算公式
y f ( x)x ， f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x)x ．
二、例题选讲
ln(1 x)，x 0，
例1
设f
(
x)
0，
x 0，求 f ( x)．
Hale Waihona Puke 解sin x， x 0，
当 x 0时，f ( x) ln(1 x)，f ( x)
3) 高阶导数 若函数 y f ( x)是 n阶可导，则递归定义
f
(n) ( x)
[
f
(n1) ( x)]，或
dn y d xn
d dx
dn1 y d xn1
，
其中，记 f (0) ( x) f ( x)．
n阶导数的Leibniz公式 设 u, v为两个 n 阶可导的函数， 则函数 y uv 也 n阶可导，且有
| f (0) | lim f ( x) lim sin x 1，
x0 x
x0 x
即得| a1 2a2 nan | 1．
例5 可导函数 y f ( x)的图形与 y sin x 相切于原
点，试求lim n f 2 ． n n
dy
dy 1 ．
d x ( y) 复合函数的导数 设函数y f (u), u ( x )均为可导 函数，则函数 y f [ ( x)]为可导函数，且
d y d ydu ． dx du dx
对于具有更多中间变量的复合函数，则相应的导数为
d y d ydu dv dw ． dx du dv dw dx
x x0
即 f ( x0 ) a．
⑵ 设f ( x) | x x0 | ( x)，则 f ( x0 ) 0，
lim f ( x) f ( x0 ) lim | x x0 | ( x) a，
x x0
x x0
x x0
x x0
故极限存在的充分必要条件为 a 0，此时
f ( x0 ) 0 ．
数方程
x x(t)，
y
y(t)
确定，则当 x2 (t ) y2 (t ) 0时，可确定 y为 x 的函数(或
x为 y 的函数)，相应的导数为
d y y(t) ． d x x(t)
若令h(t ) y(t )，则 x(t )
d2 y d x2
h(t ) x(t )
．
由此方法，可得到更高阶的导数．
1，
1 x
当 x 0时，f ( x) sin x，f ( x) cos x，
当 x 0时，
f (0)
lim
x0
ln(1 x
x)
1 ，f (0)
lim
x0
sin x x
1，
即 f (0)不存在．因此
f
( x)
1 1
x
，x
0，
cos x， x 0 ．
ln(1 x) b，x 0，
一、本 章 要 点
1．导数的定义 2．求导法则 3．微分与应用
1．导数的定义
1) 导数
f
(
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f (x) f (x0 ) ． x x0
左导数
f( x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f (x0 ) ，
右导数
f (
例4 设f ( x) a1 sin x a2 sin 2 x an sin nx
其中ai R，且| f ( x) | sin x，证明 | a1 2a2 nan | 1 ．
证 f ( x) a1 cos x 2a2 cos 2 x nan cos nx，
故f (0) a1 2a2 nan，f (0) 0，因此
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ，
函数可导 左导数=右导数．
可导与连续的关系：函数在一点可导，则在该点连续．
导数的几何意义：函数在一点的导数为函数曲线在该点
的切线斜率．
曲线的切线方程及法线方程：
切线 y y0 f ( x0 )( x x0 ) ，
法线
y
y0
1 (x
3．微分
1) 微分的定义 若函数 y f ( x)的增量具有表达式 y Ax o(x)，
则函数 y f ( x)可微，相应的微分为 d y Ad x．
2) 可微的条件 函数 y f ( x)在点 x 处可微的充要条件 是 y f ( x)在点 x 可导，且有
d y f ( x)d x ．
n
(uv)(n)
C
k n
u(nk )v (k )
．
k0
4) 隐函数的导数 设函数 y f ( x)由方程F ( x, y) 0 确定，在一定的条件下，可以求出函数 y f (x) 的导数．
注意，一般情况下，其导函数的表达式仍然以隐式方程的 形式给出．
由隐函数求导法，得到对数求导法．
5) 由参数方程确定的函数的导数 设函数y f ( x )由参
f ( x0 )
x0 ) ( f ( x0 ) 0) ．
2) 求导法则 设 u, v为可导函数，则
(u v) u v ，
(uv) uv uv ，
u v
uv uv v2
(v
0)
．
反函数的求导法则 设函数 y f ( x)为x ( y)的反
函数，直接函数 x ( y)在区间 I y 上连续、单调，可导且 其导函数 d x ( y) 0，则
例2 设f ( x)
eax 1，
x
且
0，
f
(0)存在，
求a,b．
解 因 f (0)存在，故 f (x) 在 x 0处连续，所以
f (0 ) lim f ( x) lim [ln(1 x) b] b，
x0
x0
f (0 ) lim f ( x) lim (eax 1) 0，
x0
x0
即得 b 0．
又因 f (0) 存在，而
f (0)
lim
x0
f (x) x
f (0) lim ln(1 x) 1，
x0
x
f (0)
lim
x0
f (x) x
f (0) lim eax 1 a ， x x 0
因此 a 1．
例3 设 ( x)在 x0的某个邻域内有定义，又
lim ( x)