高等数学导数的概念教学ppt

sin( x h) sin x h 0 h h sin h 2 cos x. lim cos( x ) h 0 h 2 2 (sin x ) cos x .
x 4
.
即
(sin x )
x
4
cos x
x
4
2 . 2
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第二章 导数与微分
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim . x x0 x x0
其它形式
例3
f ( x ) 10 x , 求 f (1).
10( x h) 10 x 10h lim 10 h 0 h h
7
解： f (1) lim h0
第二章 导数与微分
2.右导数:
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim ; x x0 x 0 x x0 x
定理2.1.1
函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右 导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
二.导数的几何意义
切线的斜率
三.函数的可导性与连续性的关系
可导一定连续，但连续不一定可导
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
定义2.1.1 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x ( 点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x )在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x )在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
例4 求函数 f ( x ) C (C为常数) 的导数.
MN 0, NMT 0.
N T
C

M

x0
x
x
设 M ( x0 , y0 ), N ( x , y ).
y y0 f ( x ) f ( x0 ) 割线MN的斜率为 tan , x x0 x x0 C N 沿曲线 M , x x0 , f ( x ) f ( x0 ) . 切线MT的斜率为 k tan lim x x0 x x0
解：
f ( x ) f (0) sin x (0) lim f lim 1 x 0 x 0 x0 x (0) lim f
x 0
f ( x ) f (0) x lim 1 x 0 x x0
f (0) f (0)
f (0) 1
dy 或 dx
df ( x) x x0 或 dx
x x0
, 或f (x0 )
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
y 如果 lim 存在，则称y=f (x)在x0处可导. x 0 x y 如果 lim 不存在，则称y=f (x)在x0处不可导. x 0 x
如果 lim y ，则称y=f (x)在x0处导数为无穷大.
函数 f ( x )在点 x0 连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10
讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性.
y
y x
解: f (0 h) f (0) h ,
h h
f ( 0 h) f ( 0 ) h 1 , lim f(0) lim h 0 h 0 h h
x 0
x
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
即 y
x x0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim . h 0 h
注意:
f ( x0 ) f ( x )
x x0
.
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
定义2.1.2 单侧导数 1.左导数:
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim lim ; x x0 x 0 x x0 x
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
1 1 例9 求等边双曲线 y 在点 ( ,2)处的切线的 x 2 斜率 , 并写出在该点处的切线 方程和法线方程 .
解: 由导数的几何意义,得切线斜率为
k y
1 x 2
1 ( ) x
1 x 2
1 2 x
1 x 2
4.
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0. 2 1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
o
x
f(0) lim
h 0
f ( 0 h) f ( 0 ) h lim 1. h 0 h h
即 f (0) f (0), 函数y f ( x )在x 0点不可导.
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
内容小结
一.导数的定义
增量比的极限
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
二.导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线y=f(x)上点
'
y
y f ( x)
P0 ( x0 , f ( x0 ))处切线的斜率。
o

T
M
x0
x
切线方程为 y y 0 f ( x 0 )( x x 0 ).
1 ( x x 0 ). 法线方程为 y y 0 f ( x 0 )
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
三.函数的可导性与连续性的关系
定理2.1.2
证
凡可导函数都是连续函数.
设函数 f ( x )在点 x0可导, 即
y lim f ( x 0 ) x 0 x y 有 lim y lim x f ( x0 ) lim x 0 x 0 x 0 x x 0
( x n ) nx n 1 .
( x ) x 1 .
1
( R )
1 1 1 2 . ( x ) x 2 x 2
( x ) (1) x
1
1 1
1 2. x
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例7
sin x, x 0 , 求 f (0). 已知 f ( x) x, x 0
f ( x h) f ( x ) C C 解：f ( x ) lim lim h 0 h 0 h h 0.
即
(C ) 0.
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x ) sin x , 求(sin x )及(sin x ) 解：(sin x ) lim
第一节 导数的概念
例6 求函数 y x n (n为正整数) 的导数.
n n ( x h ) x n ( x 解： ) lim h 0 h n( n 1) n 2 n 1 lim[nx x h hn1 ] nx n 1 h0 2!
即
更一般地 例如,
第一节 导数的概念
对于任一 x I , 都对应着 f ( x ) 的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x ) 的导函数. dy df ( x ) 记作 y, f ( x ), 或 . dx dx
f ( x x ) f ( x ) 即 y lim x 0 x f ( x h) f ( x ) 或 f ( x ) lim . h 0 h
当 t t 0时,
取极限得瞬时速度
f (t ) f (t 0 ) v|t t lim 0 t t t t0 0
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第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例2.切线问题
y
y f ( x)
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线 o 极限位置即
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
第二章
导数与微分
第一节 导数的概念
第二节 导数的计算
第三节 函数的微分
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
第一节
导数的概念
本节主要内容:
一.导数的定义
二.导数的几何意义 三.函Baidu Nhomakorabea的可导性与连续性的关系
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一.导数的定义
例1. 瞬时速度问题 一质点在x轴上作变速直线运动,运动方程 x=f(t), 求 t 0 时刻的瞬时速度。 f (t ) f (t 0 ) x 平均速度 v t t0 t