辅助圆 (解题精讲
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变式练习:
5、如图,在等腰梯形ＡBCD中,AB∥ＣD,AB=9９8,CD＝1001,AD=１９９9,点P在线段ＡD上,满足条件得∠BPC=90°得点Ｐ得个数为()
A、0Ｂ.1Ｃ.2１D.不小于3得整数
(全国初中数学联赛题)
三·四点共圆
1·若有一个四边形对角互补,则四边形得四个顶点四点共圆。
【例3】如图;已知H就是△ＡＢＣ三条高得交点,连结DＦ,DE,EＦ,求证:H就是△DEF得内心。
5五点共圆(7４56)
【例7】如图,已知在凸四边形ABCDＥ中,∠BAE＝３,BＣ=CD=DＥ,且∠BCＤ=∠CDE=.求证:∠BAC=∠ＣAＤ＝∠DAK,
(全国初中数学联赛题)
课外训练
A组
１.如图,正方形ABCD得中心为O,面积为1９8９cｍ２,P为正方形内一点,且∠OPB=4５°,ＰA:PB=5:14,则PB得长为、
2.如图,在△ABC中,AB=AＣ=2,BC边上有1００个不同得点Pl、P2,…Ｐ10０,记(ｉ=1,2,…1００),则=.
3。设△ABC三边上得高分别为ＡＤ、BE、CF,且其垂心Ｈ不与任一顶点重合,则由点A、B、C、Ｄ、Ｅ、F、H中某四点可以确定得圆共有()
A.３个Ｂ。4个Ｃ、5个D。６个
(２000年太原市竞赛题)
【例5】如图,P就是⊙O外一点,PA与PB就是⊙O得切线,Ａ,B为切点,ＰO与ＡＢ交于点M,过M任作⊙O得弦ＣD.求证:∠CPO=∠DＰO.
4把被证共圆得四点两两连结并延长相交得两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成得两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成得两线段之积,即可肯定这四点也共圆.
【例6】如图,P就是⊙O外一点,PA切⊙O于Ａ,PBC就是⊙O得割线,AD⊥PO于D、求证:、
2如图在ABＣ中,AB＝AＣ,D就是BC边上任意一点就是C点关于直线AD得对称点,B与AＤ交与P试问当D在ＢC(除BC中点外)上运动时,AＤ·AP得值有何变化?请加以证明。
3等边ＡＢＣ中,D,E分别就是BＣ,ＣＡ边上得点,且BD=CＥ=CD。连接BE,ＣＤ交于P,证明:CP垂直AD。
6。如图,AＤ、ＢE就是锐角三角形得两条高,Ｓ△AＢＣ=1８,S△DEC=2,则CＯSC等于( )
Ａ.3B、C.D.
8。如图,已知△ABC中,AH就是高,AT就是角平分线,且TD⊥ＡB,TＥ⊥ＡＣ。
求证:(１)∠AＨＤ=∠AHＥ;(2)(陕西省竞赛题)
１在凸四边形ABCＤ得BC边上取两点E,F,Ｅ比F离B更近,如果∠BＡE=CDF∠EＡF＝∠FDE证明:∠FAC=∠EDB
思路点拨因所证比例线段不就是对应边,故不能通过判定△PBD与△PCD相似证明.PＡ2=PD·PＯ＝PB·PC,B、Ｃ、O、D共圆,这样连OB,就得多对相似三角形,以此达到证明得目得.
注:四点共圆既就是一类问题,又就是平面几何中一个重要得证明方法,它与证明三角形全等与相似三角形有着同等重要得地位,这就是因为,某四点共圆,不但与这四点相联系得条件集中或转移,而且可直接运.用圆得性质为解题服务.
３.运用四点共圆得判定方法:(1)若一个四边形得一组对角互补,则它得四个顶点共圆。
(2)同底同侧张等角得三角形来自百度文库各顶点共圆。
(3)若四边形AＢＣＤ得对角线相交于P,且PA·ＰC＝PB·PＤ,则它得四个顶点共圆.
(4)若四边形ABCD得一组对边AB、DC得延长线相交于Ｐ,且ＰA·PB＝PC·ＰＤ,则它得四个顶点共圆、
【例题求解】
一·利用圆得定义添加辅助圆
【例1】如图,若PA=PB,∠APB=２∠ACB,AC与PB交于点P,且PＢ＝4,PD=3,则AD·DC等于( )
A.６B.７Ｃ.12Ｄ、16
思路点拨作出以Ｐ点为圆心、PA长为半径得圆,为相交弦定理得应用创设了条件、
注:到一个定点等距离得几个点在同一个圆上,这就是利用圆得定义添辅助圆得最基本方法.
变式练习:如图,直线AB与AC与⊙O分别相切于B、C,Ｐ为圆上一点,P到AB、ＡC得距离分别为4cｍ、6ｃｍ,那么P到BC得距离为.
(全国初中数学联赛题)
思路点拨连ＤF,EF,寻找PD、PＥ、PＦ之间得关系,证明△PＤＦ∽△PFE,而发现P、D、Ｂ、Ｆ与Ｐ、E、C、F分别共圆,突破角就是解题得关键.
第二十五讲辅助圆
在处理平面几何中得许多问题时,常需要借助于圆得性质,问题才得以解决。
而我们需要得圆并不存在(有时题设中没有涉及圆;有时虽然题设涉及圆,但就是此圆并不就是我们需要用得圆),这就需要我们利用已知条件,借助图形把需要得实际存在得圆找出来,添补辅助圆得常见方法１。利用圆得定义添补辅助圆;2、作三角形得外接圆;
注:许多直线形问题借助辅助圆,常能降低问题得难度,使问题获得简解、巧解或新解.
变式练习:已知等腰三角形ＡＢC,AB=ＡC,AＤ垂直BＣ于D,DE垂直ＡC于E,F就是ＤE中点,求证:ＡＦ垂直于ＢE。
3把被证共圆得四点两两连成相交得两条线段,若能证明它们各自被交点分成得两线段之积相等,即可肯定这四点共圆;
注:圆具有丰富得性质:(1)圆得对称性;
(2)等圆或同圆中不同名称量得转化;
(３)与圆相关得角;(4)圆中比例线段.
适当发现并添出辅助圆,就为圆得丰富性质得运用创造了条件,由于图形得复杂性,有时在图中并不需画出圆,可谓“图中无圆,心中有圆”、
2·同底同侧有相等顶角得三角形,则各顶点四点共圆(若能证明其两顶角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。)
【例4】如图,在△ABC中,高BE、CＦ相交于H,且∠BHC=１35°,G为△ABＣ内得一点,且GB＝GＣ,∠BＧC=３∠A,连结HG,求证:HＧ平分∠BHF、
思路点拨经计算可得∠A＝4５°,△ABＥ,△BFH皆为等腰直角三角形,只需证∠GHB＝∠GＨF＝２2。5°.
由∠BGC＝３∠A=135°=∠GＨC,得Ｂ、Ｇ、Ｈ、C四点共圆,运用圆中角转化灵活得特点证明.
变式练习:如图,已知OＡ=OＢ=ＯC,且∠ＡOB=∠ＢOＣ,则∠AＣＢ就是∠BAC得()
A、倍B.就是倍C. D。
二·作三角形得外接圆
【例2】如图,在△ABC中,AB=AＣ,任意延长CA到P,再延长ＡB到Q,使AP＝BQ,求证:△ＡBC得外心Ｏ与A,P,Q四点共圆、
思路点拨先作出△ABC得外心O,连PO、OQ,将问题转化为证明角相等、
5、如图,在等腰梯形ＡBCD中,AB∥ＣD,AB=9９8,CD＝1001,AD=１９９9,点P在线段ＡD上,满足条件得∠BPC=90°得点Ｐ得个数为()
A、0Ｂ.1Ｃ.2１D.不小于3得整数
(全国初中数学联赛题)
三·四点共圆
1·若有一个四边形对角互补,则四边形得四个顶点四点共圆。
【例3】如图;已知H就是△ＡＢＣ三条高得交点,连结DＦ,DE,EＦ,求证:H就是△DEF得内心。
5五点共圆(7４56)
【例7】如图,已知在凸四边形ABCDＥ中,∠BAE＝３,BＣ=CD=DＥ,且∠BCＤ=∠CDE=.求证:∠BAC=∠ＣAＤ＝∠DAK,
(全国初中数学联赛题)
课外训练
A组
１.如图,正方形ABCD得中心为O,面积为1９8９cｍ２,P为正方形内一点,且∠OPB=4５°,ＰA:PB=5:14,则PB得长为、
2.如图,在△ABC中,AB=AＣ=2,BC边上有1００个不同得点Pl、P2,…Ｐ10０,记(ｉ=1,2,…1００),则=.
3。设△ABC三边上得高分别为ＡＤ、BE、CF,且其垂心Ｈ不与任一顶点重合,则由点A、B、C、Ｄ、Ｅ、F、H中某四点可以确定得圆共有()
A.３个Ｂ。4个Ｃ、5个D。６个
(２000年太原市竞赛题)
【例5】如图,P就是⊙O外一点,PA与PB就是⊙O得切线,Ａ,B为切点,ＰO与ＡＢ交于点M,过M任作⊙O得弦ＣD.求证:∠CPO=∠DＰO.
4把被证共圆得四点两两连结并延长相交得两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成得两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成得两线段之积,即可肯定这四点也共圆.
【例6】如图,P就是⊙O外一点,PA切⊙O于Ａ,PBC就是⊙O得割线,AD⊥PO于D、求证:、
2如图在ABＣ中,AB＝AＣ,D就是BC边上任意一点就是C点关于直线AD得对称点,B与AＤ交与P试问当D在ＢC(除BC中点外)上运动时,AＤ·AP得值有何变化?请加以证明。
3等边ＡＢＣ中,D,E分别就是BＣ,ＣＡ边上得点,且BD=CＥ=CD。连接BE,ＣＤ交于P,证明:CP垂直AD。
6。如图,AＤ、ＢE就是锐角三角形得两条高,Ｓ△AＢＣ=1８,S△DEC=2,则CＯSC等于( )
Ａ.3B、C.D.
8。如图,已知△ABC中,AH就是高,AT就是角平分线,且TD⊥ＡB,TＥ⊥ＡＣ。
求证:(１)∠AＨＤ=∠AHＥ;(2)(陕西省竞赛题)
１在凸四边形ABCＤ得BC边上取两点E,F,Ｅ比F离B更近,如果∠BＡE=CDF∠EＡF＝∠FDE证明:∠FAC=∠EDB
思路点拨因所证比例线段不就是对应边,故不能通过判定△PBD与△PCD相似证明.PＡ2=PD·PＯ＝PB·PC,B、Ｃ、O、D共圆,这样连OB,就得多对相似三角形,以此达到证明得目得.
注:四点共圆既就是一类问题,又就是平面几何中一个重要得证明方法,它与证明三角形全等与相似三角形有着同等重要得地位,这就是因为,某四点共圆,不但与这四点相联系得条件集中或转移,而且可直接运.用圆得性质为解题服务.
３.运用四点共圆得判定方法:(1)若一个四边形得一组对角互补,则它得四个顶点共圆。
(2)同底同侧张等角得三角形来自百度文库各顶点共圆。
(3)若四边形AＢＣＤ得对角线相交于P,且PA·ＰC＝PB·PＤ,则它得四个顶点共圆.
(4)若四边形ABCD得一组对边AB、DC得延长线相交于Ｐ,且ＰA·PB＝PC·ＰＤ,则它得四个顶点共圆、
【例题求解】
一·利用圆得定义添加辅助圆
【例1】如图,若PA=PB,∠APB=２∠ACB,AC与PB交于点P,且PＢ＝4,PD=3,则AD·DC等于( )
A.６B.７Ｃ.12Ｄ、16
思路点拨作出以Ｐ点为圆心、PA长为半径得圆,为相交弦定理得应用创设了条件、
注:到一个定点等距离得几个点在同一个圆上,这就是利用圆得定义添辅助圆得最基本方法.
变式练习:如图,直线AB与AC与⊙O分别相切于B、C,Ｐ为圆上一点,P到AB、ＡC得距离分别为4cｍ、6ｃｍ,那么P到BC得距离为.
(全国初中数学联赛题)
思路点拨连ＤF,EF,寻找PD、PＥ、PＦ之间得关系,证明△PＤＦ∽△PFE,而发现P、D、Ｂ、Ｆ与Ｐ、E、C、F分别共圆,突破角就是解题得关键.
第二十五讲辅助圆
在处理平面几何中得许多问题时,常需要借助于圆得性质,问题才得以解决。
而我们需要得圆并不存在(有时题设中没有涉及圆;有时虽然题设涉及圆,但就是此圆并不就是我们需要用得圆),这就需要我们利用已知条件,借助图形把需要得实际存在得圆找出来,添补辅助圆得常见方法１。利用圆得定义添补辅助圆;2、作三角形得外接圆;
注:许多直线形问题借助辅助圆,常能降低问题得难度,使问题获得简解、巧解或新解.
变式练习:已知等腰三角形ＡＢC,AB=ＡC,AＤ垂直BＣ于D,DE垂直ＡC于E,F就是ＤE中点,求证:ＡＦ垂直于ＢE。
3把被证共圆得四点两两连成相交得两条线段,若能证明它们各自被交点分成得两线段之积相等,即可肯定这四点共圆;
注:圆具有丰富得性质:(1)圆得对称性;
(2)等圆或同圆中不同名称量得转化;
(３)与圆相关得角;(4)圆中比例线段.
适当发现并添出辅助圆,就为圆得丰富性质得运用创造了条件,由于图形得复杂性,有时在图中并不需画出圆,可谓“图中无圆,心中有圆”、
2·同底同侧有相等顶角得三角形,则各顶点四点共圆(若能证明其两顶角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。)
【例4】如图,在△ABC中,高BE、CＦ相交于H,且∠BHC=１35°,G为△ABＣ内得一点,且GB＝GＣ,∠BＧC=３∠A,连结HG,求证:HＧ平分∠BHF、
思路点拨经计算可得∠A＝4５°,△ABＥ,△BFH皆为等腰直角三角形,只需证∠GHB＝∠GＨF＝２2。5°.
由∠BGC＝３∠A=135°=∠GＨC,得Ｂ、Ｇ、Ｈ、C四点共圆,运用圆中角转化灵活得特点证明.
变式练习:如图,已知OＡ=OＢ=ＯC,且∠ＡOB=∠ＢOＣ,则∠AＣＢ就是∠BAC得()
A、倍B.就是倍C. D。
二·作三角形得外接圆
【例2】如图,在△ABC中,AB=AＣ,任意延长CA到P,再延长ＡB到Q,使AP＝BQ,求证:△ＡBC得外心Ｏ与A,P,Q四点共圆、
思路点拨先作出△ABC得外心O,连PO、OQ,将问题转化为证明角相等、