鸡兔同笼问题几种不同的解法

鸡兔同笼问题几种不同的解法

一、鸡兔同笼问题

例1 笼中有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有多少只？解法1 假设法

假设一个未知数是已知的，比如假定50个头全是兔，则共有脚（4×50=）200（只），这与题中已知140只不符，多出（200-140=）60（只），多的原因是鸡当兔后每只鸡多算了2只脚，所以鸡的只数是（60÷2=）30（只），则兔的只数为（50-30＝）20（只）。

这种解法，思路清晰，但较复杂，不便操作。能不能形象地画个图呢？让我们试试。

解法2 图形法

从图中看ACDF的面积＝4×50＝200（只脚），比实际多出GHEF 的面积＝200-140＝60（只脚），AB=GH=60÷2=30（只鸡），BC=AC-AB=50-30＝20（只兔）

解法2比解法1高级，算理是一样的。这里答案是图上算出的，显然这两种解法都要用纸和笔。不用纸和笔肯定是用口诀或易记的公式，这是老公公的传家宝。解法3 公式法

老公公讲：只要用哨子一吹，并喊一声口令：“全体肃立”。这时每只鸡呈金鸡独立之状，每只兔呈玉兔拜月状，着地的脚数之和有（140÷2＝）70（只），其中鸡的头数与脚数相等，由于每只兔的脚比头数多1，因此兔的头数为（70－50＝）20（个），即兔有20只，则鸡有（50－20＝）30（只）。这个故事实际上老公公用了如下的公式。

脚数和÷2-头数和=兔子数。

小孙子们听了兴趣为之大增，纷纷叫老公公再出几道题。老公公又出了

（1）30个头，80只脚……。（兔10，鸡20）。

（2）100只脚，40个头……。（兔10，鸡30）。

（3）80个头，200只脚……。（兔20，鸡60）

小孙子们个个都愉快地答出来了。

这个公式简洁好用，它是祖代传下来的还是老公公想出来的呢？我们中华文化博大精深，这两种可能性都是有的。这个公式是碰巧做对还是符合算理的呢？这是十分重要的。数学家高斯说过：“数学中许多方法与定理是靠归纳发现的，证明只是补行的手续而已。”现在我们就来补行这个手续。

2鸡头=鸡脚。4兔头=兔脚。

得：兔脚+鸡脚=2鸡头+4兔头

=2（鸡头+2兔头）。

这就证明了老公公归纳的公式。

说到鸡兔同笼问题，常常大家精神就紧张起来，以为是难题来了。现在掌握了规

律其实不难，所以凡事都应去摸索规律，照规律办事。

鸡兔同笼问题在民间是当故事讲的，有没有实际价值呢？我们再来看下面的问题。

二、邮票问题

例2 买3角与5角的邮票共24张，总值9.6元，问两种邮票各买了几张？

解这道题当然可以用假设法和图形法，但用什么样的公式呢？美国数学教育家C·波利亚说：“……不论初等数学、高等数学中的发现……特别是不能没有类比。”用类比很容易发现这个公式是：邮

设3角邮票为A1张，价值A2角；

5角邮票为B1张，价值B2角。

说明数量关系与鸡兔同笼问题相一致。

又3A1=A2，5B1=B2。

得：A2＋B2＝3A1+5B1，

这就与例1的公式相类似，很容易将这个公式翻译成语言陈述，大家试

（24－12＝）12（张）。

如果你认为这个公式不太好记，就不妨用图来解。

（24×5－96）÷2=12（张、3角）24-12＝12

所以解题方法的选用常常是根据具体情况而定的。

再试试

（1）6角与8角的邮票共18张，总价12.4元，问两种邮票各几张？（10，8）（2）3角与8角的邮票共100张，总价50元，问两种邮票各几张？（60，40）三、植树问题

例3 一次植树活动，规定大树每人种2棵，小树每人种4棵，全班50人种树140棵，问种这两种树的各有多少人？

这道题可用例1的公式很快解得种大树的有30人，种小树的有20人。四、运输（工作）问题

例4 有小卡车50辆，大卡车每辆运4吨，小卡车每辆运2吨，共运140吨化肥，问大小卡车各几辆？

难道不是题目看完答案就出来了吗？

五、农药问题

例5 甲种农药每千克兑水20千克，乙种农药每千克兑水40千克，现为了提高药效，根据农科所意见，甲乙两种农药混合使用，已知两种农药共50千克，要配药水140千克，问甲、乙两种农药各需多少千克？

用公式解很简单（30，20），如果将这个公式交给农民，那么他们配起农药来就既方便又正确，你能想出这个公式是什么吗？

还会遇到许多许多的问题，它们的数量关系（应用题的本质）与鸡兔同笼问题相一致，都可以用鸡兔同笼问题的三种方法来解，这些问题我们将它们统称为鸡兔同笼问题。

相传大禹治水到黄河，发现一只神龟，背上驮了一张图叫河图（洛书）。（左图），用阿拉伯数字表示就是右图，图中三条竖线、三条横线、二条对角线共八条线上三个数的和都是15，这样的图是怎样造出来的呢？其法一时失传了，于是有人用它来占卜、相风水，进入迷信状态。后来数学家发现其原理是二进制，说明二进制是中国人最先发明的，近代根据二进制发明了计算机，所以有些基础科学的研究成果一时看起来无多大用途，以后渐渐会发现有大用途。