二元一次方程概念
二元一次方程概念
二元一次方程概念二元一次方程是数学中最重要的概念之一，它可以帮助我们研究和解决许多实际问题。
什么是二元一次方程？完全理解二元一次方程的概念，会帮助我们更好地解决实际问题。
二元一次方程概念的基本定义是：一元一次方程是由常数、变量和一次幂构成的数学关系，它表示一组数字之间的关系，也可以把它看作一条直线。
当然，一元一次方程也有更为抽象的定义，就像一元一次方程中的变量有时是一个抽象的概念，而不是一个明确的数字。
二元一次方程的概念可以用图形方式来表示。
它是一条直线，两个不同的变量以数字的形式显示。
这条直线能够把一组数据连接起来，我们可以用它来发现规律，从而得出结论。
二元一次方程的应用非常广泛，几乎在所有科学和技术领域中都有应用。
它可以帮助我们研究物理学，经济学，计算机科学，财务，医学，建筑等领域。
它也可以帮助我们研究社会科学，设计，文化，生物学等学科，探索它们之间的关系和联系。
二元一次方程也可以用来解决实际问题，其中最常见的例子是线性规划。
线性规划是一种优化技术，可以用来解决实际问题，例如优化产品生产成本，优化工资结构，改善质量管理等。
线性规划通常是以解决一组二元一次方程的形式来实现的，因此理解二元一次方程的概念对于使用线性规划的人来说是非常重要的。
此外，二元一次方程在科学研究和技术开发中也有重要作用。
例如，在研究细胞分裂机制时，我们可以使用二元一次方程来量化细胞的表现。
在对新材料进行设计时，也可以用它来模拟新材料的性能。
此外，由于它的灵活性，它在数据处理，模型的构建和设计领域中也被广泛使用。
总之，二元一次方程是一个重要的概念，它可以用来解决一些实际问题，也可以作为数学的基础，用于科学研究和技术开发。
因此，理解二元一次方程的概念对于掌握数学和解决实际问题来说是非常重要的。
二元一次方程两个根的公式
二元一次方程两个根的公式1. 引言大家好，今天咱们聊聊一个听上去有点复杂，其实超级简单的数学话题——二元一次方程和它的两个根的公式。
别担心，听起来像是高深莫测的东西，实际上就像在做一道家常菜，掌握了基本的材料和步骤，就能做得很好。
二元一次方程，就是那种看起来像“ax + by + c = 0”的方程，嗯，听起来是不是有点陌生？别怕，我们慢慢来。
2. 二元一次方程的基本概念2.1 什么是二元一次方程？简单来说，二元一次方程就是涉及两个变量的方程，比如x和y。
这种方程的特征就是它们的最高次幂是1，听起来简单吧？就像在一场足球比赛中，两个队伍同时出场，各自争夺胜利。
咱们的x和y就是这两个队伍，而方程则是他们的赛场。
比如，当你在街边问路，路人就像方程的解，告诉你前面的路怎么走。
2.2 如何求解方程的根？说到根，其实就是方程的解。
咱们的目标是找到x和y的值，让方程成立。
为了方便起见，咱们常用的就是代数方法了，嘿嘿。
首先，你可以选择一个变量，比如说y，然后把它换成x的表达式。
接着，通过一些巧妙的变换和运算，就能得到两个变量的值。
简单来说，这就像在解一个谜语，最后得到的答案让你恍若领悟到了宇宙的真理。
3. 根的公式3.1 二元一次方程的根的公式好啦，接下来是重点了。
咱们要介绍的两个根的公式，通常被写作：x1, x2 = (b ±√(b² 4ac)) / 2a。
看起来是不是有点复杂？别着急，咱们分开讲。
这个公式的每个部分都有自己的“角色”。
“a、b、c”就像是球队里的明星球员，各自发挥着独特的作用。
你只要把这些值代入，就能找到x的两个解了。
3.2 理解根的公式的背后故事让我们更深入地探讨这个公式背后的故事。
其实，这个公式来源于人们对方程的不断探索，就像科学家为了找到真理而不停实验一样。
每一个符号都不是无缘无故出现的，而是经过了无数次推理和验证后才最终形成的。
所以，当你在课堂上看到它时，不妨想象一下那些数学家们当年是如何在黑夜中摸索，最终找到光明的。
七年级数学二元一次方程的概念
中等难度题目解析
答案：x = -2, y = 7
中等难度题目：解方 程组
解析：通过代入法， 将一个方程的解代入 另一个方程，求解。
中等难度题目解析
x+y=6 答案：x = 2, y = 4 或 x = 4, y = 2
xy = 10
解析：通过因式分解法，将方程组化简为单一方程，再 求解。
高难度题目解析
的限制。
05
二元一次方程的解题技巧
观察法与试错法
要点一
观察法
通过观察方程的特点，尝试找出未知数的值或方程的解。 例如，观察方程中未知数的系数和常数项，尝试找出未知 数的值。
要点二
试错法
通过尝试不同的数值代入方程，观察方程是否成立，从而 找出未知数的值或方程的解。这种方法需要耐心和细心， 以免错过正确的解。
经济模型
在经济学中，经常需要建立各种经济 模型来预测市场趋势、分析经济数据 等。二元一次方程是构建和分析这些 模型的重要工具之一。
解决实际问题时的注意事项
实际问题的不确定性
在解决实际问题时，我们需要注意到问题的复杂性和不确定性。二元一次方程只能提供 近似解，而不能保证完全准确。因此，我们需要根据实际情况进行适当的调整和修正。
详细描述
图像法的基本思路是在平面直角坐标系中绘制二元一次方程所表示的直线，然后通过观察图形的交点 或切点来求解方程。这种方法的关键在于选择合适的坐标系和绘图方式，以直观地表示方程的解。
03
二元一次方程的应用
在生活中的实际应用
购物优惠
在购物时，商家经常会提供一些优惠活动，如“买一送一”或“满额减免”。通过二元一次方程，我们可以计算 出在满足一定条件下，如何购买商品才能获得最大优惠。
小学奥数二元一次方程 (2)
小学奥数二元一次方程 (2)一、引入二元一次方程是数学中常见的一个概念，也是小学奥数中的重要内容之一。
本文将介绍二元一次方程的基本概念和解题方法。
二、二元一次方程的基本概念二元一次方程是指含有两个变量的一次方程。
一般来说，二元一次方程的一般形式为：ax + by = c其中，a、b、c都是已知的实数，而x、y则是未知数。
三、解二元一次方程的方法解二元一次方程有多种方法，以下介绍两种常用且简单的方法。
1. 消元法：首先，我们需要选择一个变量进行消元，使得方程中只剩下一个变量。
然后，我们可以通过代入的方式求解另一个变量。
最后，将求得的变量值代入原方程，就可以得到另一个变量的值。
2. 相减法：首先，我们将两个方程相减，得到一个只含有一个变量的方程。
然后，求解这个方程，得到一个变量的值。
最后，将求得的变量值代入原方程中，得到另一个变量的值。
四、实例解析下面以一个具体的例子来说明解二元一次方程的步骤：例题：2x + 3y = 10x - y = 1解题步骤：1. 使用消元法，将第二个方程两边乘以2，得到2x - 2y = 2。
2. 将第一步得到的方程和第一个方程相减，得到5y = 8。
3. 解得y = 8/5。
4. 将y的值代入第一个方程，得到2x + 3(8/5) = 10。
5. 解得x = 5/2。
五、总结二元一次方程是小学奥数中的重要内容之一。
通过本文的介绍，我们了解了二元一次方程的基本概念和解题方法，包括消元法和相减法。
通过实例解析，我们也可以清楚地看到解二元一次方程的具体步骤。
希望本文对小学奥数研究有所帮助。
(word完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版
(word 完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版二元一次方程的基本概念1。
含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程。
判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”;③含有未知数的项的次数为1——“一次”。
2。
二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠)3。
二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。
【例1】 下列各式是二元一次方程的是( ）A 。
30x y z -+=B 。
30xy y x -+=C 。
12023x y -= D 。
210y x+-=【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故本题选C ．【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ）A.31x xy -= B 。
2430x x += C.23y += D.3x y =【答案】D ．【例2】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值.【答案】由定义知：321m -=,11n -=，所以：1m =，2n =.【巩固】已知方程11(2)2m n m x y m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值。
【答案】根据题意可得：20m -≠,11n -=，11m -=，所以2n =，0m =.二元一次方程组的概念和解法同步练习知识讲解(word 完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版【例3】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值。
【答案】由定义知：321m -=，11n -=，所以:1m =，2n =。
【巩固】已知方程11(2)2m n m x y m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程,求m 、n 的值。
初中二元一次方程知识归纳
初中⼆元⼀次⽅程知识归纳 ⼆元⼀次⽅程是初中解⽅程的重要知识点，求解⼆元⼀次⽅程⾸先要明⽩其基础内容。
以下是店铺分享给⼤家的初中⼆元⼀次⽅程知识，希望可以帮到你! 初中⼆元⼀次⽅程知识 ⼀.⼆元⼀次⽅程(组)的相关概念 1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数并且未知项的次数是1的⽅程叫做⼆元⼀次⽅程。
2.⼆元⼀次⽅程组：⼆元⼀次⽅程组两个⼆元—次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组。
3.⼆元⼀次⽅程的解集： (1)⼆元⼀次⽅程的解 适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值.叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解。
(2)⼆元⼀次⽅程的解集 对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼆个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值.因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解.由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集。
4.⼆元⼀次⽅程组的解：⼆元⼀次⽅程组可化为 使⽅程组中的各个⽅程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做⽅程组的解。
⼆.利⽤消元法解⼆元⼀次⽅程组 解⼆元(三元)⼀次⽅程组的⼀般⽅法是代⼊消元法和加减消元法。
1.解法： (1) 代⼊消元法是将⽅程组中的其中⼀个⽅程的未知数⽤含有另⼀个未知数的代数式表⽰，并代⼊到另⼀个⽅程中去，消去另⼀个未知数，得到⼀个解。
代⼊消元法简称代⼊法。
(2)加减消元法利⽤等式的性质使⽅程组中两个⽅程中的某⼀个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个⽅程相加或相减，以消去这个未知数，使⽅程只含有⼀个未知数⽽得以求解。
这种解⼆元⼀次⽅程组的⽅法叫做加减消元法，简称加减法。
⽤加减法消元的⼀般步骤为： ①在⼆元⼀次⽅程组中，若有同⼀个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可直接相减(或相加)，消去⼀个未知数; ②在⼆元⼀次⽅程组中，若不存在①中的情况，可选择⼀个适当的数去乘⽅程的两边，使其中⼀个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把⽅程两边分别相减(或相加)，消去⼀个未知数，得到⼀元⼀次⽅程; ③解这个⼀元⼀次⽅程; ④将求出的⼀元⼀次⽅程的解代⼊原⽅程组系数⽐较简单的⽅程，求另⼀个未知数的值; ⑤把求得的两个未知数的值⽤⼤括号联⽴起来，这就是⼆元⼀次⽅程组的解。
初一数学二元一次方程知识点总结
初一数学二元一次方程知识点总结一、二元一次方程的概念。
1. 定义。
- 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
例如：x + y=5，其中x、y是未知数，方程中x的次数是1，y的次数也是1，并且整个方程是整式方程。
2. 二元一次方程的一般形式。
- 一般形式为ax + by=c（a、b、c是常数，a≠0，b≠0）。
例如2x - 3y = 8就是这种形式，这里a = 2，b=-3，c = 8。
二、二元一次方程组的概念。
1. 定义。
- 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
例如x + y=3 2x - y = 1就是一个二元一次方程组。
2. 二元一次方程组的解。
- 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
例如对于方程组x + y=3 2x - y = 1，通过求解可得x=(4)/(3)，y=(5)/(3)，((4)/(3),(5)/(3))就是这个方程组的解，即把x=(4)/(3)，y=(5)/(3)代入方程组中的两个方程都成立。
三、二元一次方程组的解法。
1. 代入消元法。
- 步骤：- 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
例如对于方程组x + y=3 2x - y = 1，由方程x + y=3可得x = 3 - y。
- 将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
把x = 3 - y代入2x - y = 1，得到2(3 - y)-y = 1。
- 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
解2(3 - y)-y = 1，6-2y -y=1，- 3y=-5，y=(5)/(3)。
- 将求得的这个未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
把y=(5)/(3)代入x = 3 - y，得x=(4)/(3)。
2. 加减消元法。
- 步骤：- 当方程组中两个方程的同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
二元一次定义
二元一次定义二元一次方程是一个非常重要的数学概念，也是初中数学学习的基础之一。
它定义为一个未知量的二次方和一个一次方系数的代数方程，常常用来解决现实中的各种问题。
下面我们就一步步来了解它的定义。
1. 二元一次方程的表达式二元一次方程的表达式通常可以写成：ax^2 + bx + c = 0。
其中，a,b和c都是已知的实数，而未知量x是一个变量。
a是二次方系数，b是一次方系数，c是常数项。
2. 求解二元一次方程的方法求解二元一次方程的方法有好几种，其中最基本的方法是通过配方法将方程式整理成标准的形式，然后使用平方根式求解方程。
具体分为以下几个步骤：- 将方程式中的系数a通分，使其成为一个完全平方的形式。
例如，若a=2，则通分后变成2(x+b/2a)^2-C/2a=0。
- 将方程式中的常数项c移至方程式的右边，使等式左侧成为一个完全平方的形式。
例如，2(x+b/2a)^2=C/2a。
- 求出等左侧的平方根，这样方程就被转化成+-x=d的形式。
此时就能够解出x的两个根，分别是d和-d。
3. 举例说明如果我们想要解决一个问题，比如“有一个三角形，其中两边长度分别为3和4，而它们之间的夹角是60度，那么第三边长是多少呢？”。
我们可以用二元一次方程来解决它。
设第三边长度为x，那么根据余弦定理，可以得到下面的方程式：3^2 + 4^2 - 2×3×4cos60° = x^2这个方程式就是一个二元一次方程，其中a=1，b=0，c=-7，我们可以将它转化为标准形式：x^2 - 7 = 0然后使用平方根式求解方程，得到：x = ±√7因为x必须是正数，所以最终的答案是：x = √7通过这个例子，我们可以看到二元一次方程在解决实际问题中的重要性和应用广泛性。
它不仅是初中数学学习的基础，也是数学领域里面不可或缺的概念之一。
第一节 二元一次方程(组)的相关概念-学而思培优
第一节二元一次方程(组)的相关概念-学而思培优一、课标导航二、核心纲要1.二元一次方程1) 二元一次方程的概念二元一次方程是指含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是1的整式方程。
判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：①方程两边的代数式都是整式——整式方程；②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”。
2) 二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式为：ax+by+c=0（a≠0，b≠0）。
3) 二元一次方程的解使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。
2.二元一次方程组1) 二元一次方程组的概念由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起，方程可以超过两个，有的方程可以只有一个未知数。
例如：{2x=6.3x-y=1}也是二元一次方程组。
2) 二元一次方程组的解二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。
三、全能突破基础演练1.下列方程是二元一次方程的是(。
)A.2x+y=1B.2x-y=1C.3x/y=2D.2x+3xy=52.在{1/x=2.2x-y=5.x=-1.x=2}各组数中，是方程2x-y=5的解是(。
)。
A.(2)(3)B.(1)(3)C.(3)(4)D.(1)(2)(4)3.方程3x+y=10的正整数解有(。
)组。
A.1组B.3组C.4组D.无数组4.二元一次方程组{3x-2y=3.x+2y=5}的解是(。
)。
A.{x=1.y=2}B.{x=2.y=3}C.{x=7/2.y=-3/2}D.{x=7.y=-15}5.请写出一个解为{x=1.y=-2}的二元一次方程。
6.下列方程组中，是二元一次方程组的是(。
)。
A.{x。
x+y=2.xy=2.x^2-1}B.{x。
第4讲 二元一次方程(组)的概念与解法(学生版)
第4讲 二元一次方程（组）的概念与解法一、知识回顾：一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 特别说明：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧ba＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩.4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式；②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；转化消元一元一次方程二元一次方程组④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.二、经典例题：知识点一、二元一次方程（组）的概念【例1】若(a −2)x |a−1|−3y =5是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1或2 【例2】下列各组数中，是二元一次方程3x −5y =8的解的是（ ）A ．{x =1y =1B ．{x =−1y =1C ．{x =−1y =−1D ．{x =1y =−1【例3】若{x =−1y =2是关于x ，y 的二元一次方程3x+ay=5的一个解，则a 的值为 【例4】如果{x =1，y =2是关于x ，y 的方程mx +2y =6的解，那么m 的值为（） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【例5】下列方程中：①xy =1 ；②3x +2y =4 ；③2x +3y =0 ；④x 4+y3=7 ，二元一次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【例6】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A ．{mn =2m +n =3 B ．{5m −2n =01m+n =3C ．{m +n =03m +2a =16D ．{m =8m 3−n 2=1知识点二、二元一次方程组的解法【例7】用代入消元法解方程组 {y =x −13x −2y =5正确的化简结果是（ ） A ．3x −2x −2=5 B ．3x −2x +2=5 C ．3x −2x −1=5 D ．3x −2x +1=5【例8】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（ ）A ．由（1），得x=2−4y 3B ．由（1），得y=2−3x 4C ．由（2），得x=y+52D ．由（2），得y=2x ﹣5【例9】解方程组。
二元一次方程基本概念及基本解法讲解
二元一次方程一、二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 注意：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.练习1：已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．(1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7； (6)102x +=；(7)251x y +=；(8)132x y +=；(9)280x y -=；(10)462x y+=．【变式1】下列方程中，属于二元一次方程的有（ ）A.71xy -=B.2131x y -=+C.4535x y x y -=-D. 231x y-= 二、二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 注意：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：2,5.x y =⎧⎨=⎩．(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．如：10x y +=的解可以是241,,869x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩等等练习2：二元一次方程x-2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是( )A ．012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ B ．11x y =⎧⎨=⎩ C ．10x y =⎧⎨=⎩ D ．11x y =-⎧⎨=-⎩ 【变式2】若方程24ax y -=的一个解是21x y =⎧⎨=⎩，则a= .三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎩⎨⎧=-=+52013y x x 也是二元一次方程组.练习3：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A.22375(9)1x yx y⎧+=⎨+=-⎩B.2138237yxx y⎧-=⎪⎨⎪-=⎩C.135()237x z x yx z y=+-⎧⎨-=⎩D.5()()82317x y x yx y-++=⎧⎨=-+⎩（）四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组2526x yx y+=⎧⎨+=⎩无解，而方程组1222x yx y+=-⎧⎨+=-⎩的解有无数个．【巩固练习】一、选择题1．下列方程中，属于二元一次方程的是（）A．xy-7＝1 B．2x-1＝3y+1 C．4x-5y＝3x-5y D．231 xy-=2．下列方程组是二元一次方程组的是（）A．53 x yz x+=⎧⎨+=⎩ B．1113xxyx⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩C．434x y xyx y-+=⎧⎨-=⎩D．12132112(2)32x yx y x y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩3. 以31xy=⎧⎨=⎩为解建立一个二元一次方程，不正确的是（）A．3x-4y＝5 B．13x y-= C．x +2y＝-3 D．25236xy-=4. 方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（）A．12xy=⎧⎨=⎩B．21xy=⎧⎨=⎩C．11xy=⎧⎨=⎩D．23xy=⎧⎨=⎩5.已知二元一次方程组6511327,x y y x +=⎧⎨-=⎩， ①②，下列说法正确的是（）A.适合②的,x y 的值是方程组的解①②B.适合①的,x y 的值是方程组的解C.同时适合①和②的,x y 的值不一定是方程组的解D.同时适合①和②的,x y 的值是方程组的解6. 关于,m n 的两个方程23321m n m n -=+=与的公共解是（ ）A. 03m n =⎧⎨=-⎩B. 11m n =⎧⎨=-⎩C. 012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩ D. 122m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 二、填空题7．由x+2y ＝4，得到用y 表示x 的式子为x ＝________；得到用x 表示y 的式子为y ＝________．8.在二元一次方程组423x y x m y -=⎧⎨=-⎩中，有6x =，则_____,______.y m ==9.若22(32)0x y x -++=，则xy的值是 ． 10.若是二元一次方程的一个解，则的值是__________.11.已知，且，则___________.12.若方程ax-2y ＝4的一个解是21x y =⎧⎨=⎩，则a 的值是 . 三、解答题 13．已知23x y =⎧⎨=⎩是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组．14.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组．（1）甲数的13比乙数的2倍少7； （2）摩托车的时速是货车的32倍，它们的速度之和是200km/h ；（3）某种时装的价格是某种皮装价格的倍，5件皮装比3件时装贵700元解二元一次方程方法1.代入消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组的步骤有四步：（1）变形：将方程组中系数较简单的方程变形，将系数较简单的未知数用另一个未知数表示出来；（2）代入：将变形的方程代入另一个方程，这样便消去一元，求出一个未知数的值；（3）代入：将求得的未知数的值代入变形后的方程（这一点要特别注意），求出另一个 未知数的值；（4）写出方程组的解. 一般地，当方程组中某个方程的某未知数的系数绝对值是1或常数项为0时，用代入法简便．例2 解方程组 327,2 5.x y x y -=⎧⎨+=⎩①②解析：由②，得 52x y =-. ③ 将③代入①，得 3(52)27y y --=， 15627y y --=，88y -=-， 1.y = 把 1y =代入③，得 3.x =所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.1,3y x点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x 的系数是1，因此考虑将方程②变形，并用含y 的代数式表示x . 用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单. 代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误.变式2：用代入法解方程组：34,110.42x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②方法2.加减消元法解二元一次方程组加减消元法解二元一次方程组的步骤有四步： （1）变形：使方程组中某未知数的绝对值相等；（2）加减：若某未知数的系数相等，两方程相减；若某未知数的系数互为相反数，两方程相加；这样便消去一元，求出一个未知数的值；（3）代入：将求得的未知数的值代入系数较简单的方程，求出另一未知数的值； （4）写出方程组的解.进行加减消元时，要注意做到以下几点：（1）当方程组比较复杂时，应先整理变形，把方程组整理成形如：111222,a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的形式，若此时两未知数的绝对值都不相等，则先观察哪个未知数的系数较易化为绝对值（系数的最小公倍数的绝对值）相等的形式，且计算简单，然后将其化为系数的绝对值相等的形式.（2）两个未知数的值都可采用加减消元法的方法求出.（3）当方程组中的某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时，用加减法简便．例3 解方程组：521,7316.m nm n+=⎧⎨-+=⎩①②解析：法一：①×3，②×2，得1563,14632.m nm n+=⎧⎨-+=⎩③④③-④，得29m=-29，m=-1.将m=-1代入①，得-5+2n=1，n=3.所以原方程组的解为1,3. mn=-⎧⎨=⎩法二：①×7，②×5，得35147,351580.m nm n+=⎧⎨-+=⎩③④③+④，得29n=87，n=3.把n=3代入①，得5m+6=1，m=-1.所以原方程组的解为1,3. mn=-⎧⎨=⎩点评：此题方程组中的两方程，两未知数的系数分别既不相等也不互为相反数，即绝对值不相等. 因此先将两方程分别变形，使某个未知数的系数的绝对值相等. 比较题中的两种方法，先消去系数比较简单的未知数n，解法较为简捷. 另外用加减消元法解二元一次方程组，需注意两方程相减时，符号的正确处理.练习（1）（2）（3）（4）；（5）； （6）附加题（7）（8） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1213222132y x y x。
第8讲 二元一次方程(组)的概念和解法
第8讲二元一次方程（组）的概念和解法【学习目标】1.二元一方程（组）的概念2.二元一次方程组的基本解法3.复杂的多元一次方程组【模块一】二元一次方程组的概念在本模块我们的学习目标是：1、掌握二元一次方程概念2、掌握二元一次方程组概念3、理解方程组的解（公共解）一、二元一次方程1、定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程. 【例】x＋2y＝5，2x＝3y，3x＝y－2对于二元一次方程的定义可以用“三个条件一个前提”来理解：①含有两个未知数一一“二元②含有未知数的项的最高次数为1一“一次③未知数的系数不能为0前提：方程两边的代数式都是整式一一整式方程2、一般形式：二元一次方程的一般形式：ax＋by＋c＝0（a＝0，b＝0）【课堂建议】类比一元一次方程：标准式：ax＋b＝0（a≠0）3、判定：先看前提，再化一般形式易错总结（1）二元：x＋y＋z＝1，x－2＝1（2）一次：x2－x＋y＝1，xy＋x＋y＝1【袁华燕录入】(3) 系数不为0：x＋y－1＝x－y＋1，x2－x＋y－1＝x2＋x－y＋1(4) 整式方程：1x＋y＝1，1x＋x＋y＝1x【易错】x＋y－1＝x－y＋1，x2－x＋y－1＝x2＋x－y＋1，1x＋x＋y＝1x【例1】下列方程中，是二元一次方程的有哪些？①x＋3＝7；②a＋b＝0；③3a＋4t＝9；④xy－1＝0；⑤1x－y＝0；⑥x＋y＋z＝4；⑦2x2＋x＋1＝2x2＋y＋5；⑧x2＋y－6＝2x.【练1】方程2x－3y＝5,xy＝3，x＋3y－1，3x－y＋2z＝0，x2＋y＝6中是二元一次方程的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【例2】⑴己知方程x n－1＋2y|m－1|＝m关于x，y的二元—次方程，求m、n的值.⑵己知方程(a－2)x|a|－1－(b＋5)y|b|－4＝3是关于x、少的一元一次方程，求a、b的值.【练2】（1)若方程2x m－1＋y n＋m＝12是二元一次方程.则mn＝_____(2)若己知方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋(k－7)y＝k＋2，当k＝_______时，方程为一元一次方程，当k＝_____时，方程为二元一次方程.4、二元一次方程的解：二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.任何一个二元一次方程都有无数个解.【例3】⑴己知21xy=⎧⎨=⎩是方程3x＋ay＝5的解，则a的值为（）A.－1B.1C.2D.3⑵判断下列数值是否是二元一次方程3t＋2s＝24的解.①29ts=⎧⎨=⎩②21ts=⎧⎨=⎩③89ts=⎧⎨=⎩④46ts=⎧⎨=⎩【练3】⑴若23x ky k=⎧⎨=-⎩是二元—次方程2x－y＝14的解，则k的值是（）A.2B.－2C.3D.－3⑵已知12xy=⎧⎨=⎩与3xy m=⎧⎨=⎩都是方程x＋y－＝n的解，求m与n的值.二．二元_次方程组：1、二元一次方程组.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组叫二元—次力程组.(1)二元：总共有两个未知数如：+12 22 xx=⎧⎨=⎩，21x y yx+=⎧⎨=⎩，12x yx y+=⎧⎨+=⎩，121x yx+=⎧⎨=⎩，12xy=⎧⎨=⎩，12x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩，11x yy z+=⎧⎨+=⎩(2) —次：每个都是一次方程如:22x yy x⎧=⎪⎨=⎪⎩，2222+x x xy y y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，11x yxy+=⎧⎨=⎩，1111xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(3)方程组：方程个数大于等于2如：x＋y＝l，112 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩① 二元—次方程组一定是由两个或多个二元一次方程组成（错）② 两个或多个二元一次方程一定可以组成二元一次方程组（错）【例4】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A.527x yxy+=⎧⎨=⎩B.121340xyx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩C.354433x yx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩D.28312x zx y-=⎧⎨+=⎩【练4】下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A.4119x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B.57x yy z+=⎧⎨+=⎩C.1x y xyx y-=⎧⎨-=⎩D.1326xx y=⎧⎨-=⎩2、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解，同时它也必须是－个数对.而不能是一个数.【例5】⑴己知43xy=-⎧⎨=⎩是方程组12ax yx by+=-⎧⎨-=⎩的解，则(a＋b)b＝_______,(2)己知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组12ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，则a－b的值为( )A.1B.－1C.2D.3【练5】（1)下列四个解中是方程组16223111x yx y⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩的解是（）A.810xy=⎧⎨=-⎩B.101xy=⎧⎨=-⎩C.6xy=⎧⎨=-⎩D.112xy⎧=-⎪⎨⎪=⎩⑵关于x，y的二元一次方程组331ax yx by-=⎧⎨-=-⎩解中的两个未知数的值互为相反数，其中x＝l,求a，b的值.模块二二元一次方程组的基本解法一．会解基本二元一次方程组（体会消元过程）2、熟练应用代入与加减的方法，养成严格书写的习惯二元一次方程方程组最根本的思路就是将二元方程消元变成一元方程，代入消元法和加减消元法是最常用的方法.1.代入消元：why：等量代换when：(未知数系数为1时优先）how：用一个字母表示另一个字母直接代入(1)12xx y=⎧⎨+=⎩(2)2x yx y=⎧⎨+=⎩⑶23x yx y=⎧⎨+=⎩⑷13x yx y+=⎧⎨+=⎩变形代入(5)13x yx y-=⎧⎨+=⎩(6)2127x yx y-=⎧⎨+=⎩(7)2+38321x yx y=⎧⎨-=-⎩1．代入消元法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想, 代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x的代数式表示出来，即写成y＝ax＋b的形式：②把y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程：③解这个一元一次方程，求出x的值：④回代求解：把求得的x的值代入y＝ax＋b中求出y的值从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式.【例】解方程组2 239 x yx y-=⎧⎨+=⎩②①解：由①得y＝x—2 ③把③代入②，得2x＋3(x－2)＝9 解得x＝3把x＝3代入③得,y＝l所以方程组的解是31 xy=⎧⎨=⎩2、加减消元：Why：等式性质When：系数绝对值相同优先How：系数统一后相加减直接加减；⑴31x yx y+=⎧⎨-=⎩⑵521327x yx y-=⎧⎨+=⎩⑶24234x yx y+=⎧⎨-=-⎩系数统一(4)23124x yx y-=⎧⎨+=⎩(5)237324x yx y+=⎧⎨-=⎩2.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法用加减法解二元一次方程组的－般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数.使两个方程里的某―个未知数互为相反数或相等.②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减.消去一个未知教，得到一个一个―次方程：③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值：④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值：⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式例：解方程组32 12 3 x yx y-=⎧⎨+=⎩②①解：①×2 得4x＋2y＝6 ③①＋③得7x＝7解得x＝l把x＝l代入①得y＝l所以方程组的解是11 xy=⎧⎨=⎩代入消元与加减消元的对比：代入消元方法的选择：①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0” 的形式.求不出未知数的值.②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便.加减消元方法的选择：① 一般选择系数绝对值最小的未知数消元；② 当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等,再用加减消元求解.④当未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解.【例6】⑴方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（ )A.12xy=⎧⎨=⎩B.21xy=⎧⎨=⎩C.11xy=⎧⎨=⎩D.23xy=⎧⎨=⎩⑵方程组535213x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A.12xy=⎧⎨=⎩B.45xy=-⎧⎨=⎩C.53xy=⎧⎨=⎩D.45xy=⎧⎨=-⎩⑶用代入消元法解方程组：3 3814 x yx y-=⎧⎨-=⎩⑷用加减消元法解方程组：49 351 x yx y+=-=⑸二元一次方程ax＋by＝6有两组解是22xy=⎧⎨=-⎩与18xy=-⎧⎨=-⎩，求a，b的值.【练6】⑴二元―次方程组2x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．2xy=⎧⎨=⎩B.2xy=⎧⎨=⎩C.11xy=⎧⎨=⎩D.11xy=-⎧⎨=-⎩⑵方程组25342x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是____________.⑶己知方程组2421mx y nx ny m+=⎧⎨-=-⎩的解是11xy=⎧⎨=-⎩，那么m，n的值为（）A.11mn=⎧⎨=-⎩B.21mn=⎧⎨=⎩C.32mn=⎧⎨=⎩D.31mn=⎧⎨=⎩三元：【例7】0 423 9328 a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩【练7】解方程组0.5320 322 x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩模块三二元一次方程组的基本解法本模块中，我们主要学习复杂二元一次方程组化简，同时，对换元，轮换，连等式等量代信思想的建议认识理解.复杂方程组化简为基本二元一次方程组消元求解【例8】解下列方程组：⑴3(1)4(4)5(1)3(5)y xx y-=-⎧⎨-=+⎩⑵134723m nm n⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【练8】解方程组：⑴2344143m n n mnm+-⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⑵3221245323145x yx y--⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩2、轮换对称：二元对称：【例9】解方程组：⑴231763172357x yx y+=⎧⎨+=⎩⑵201120134023201320114025x yx y+=⎧⎨+=⎩【曾伟录入】【练9】（1）解关于x、y的方程组301120722 150271571x yx y+=⎧⎨+=⎩（2）解关于x、y的方程组331512 173588x yx y+=⎧⎨+=⎩三元轮换【例10】解方程组（1）222426x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（2）1131x y zy z xz x y+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩.【练10】（1）解方程组12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩；（2）已知1467245735674757671234567394941131499x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎪++++++=⎩，求7x .3、换元：【例11】（1）解方程组23237432323832x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩【练11】（第七届“华罗庚杯”邀请赛试题） 解方程组1211631102221x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪+=⎪--⎩【例12】解方程组（1）1513pq p q pq p q ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩；（2）1321312312mn m n mn m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.【练12】（1）已知1,2,3xy yz zx x y y z z x===+++，求x y z ++的值.（2）解关于x 、y 的方程组1111(0,)x y abx a b x y aby ab ab b aa b ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+≠±≠⎪⎩.4、连等比例【例13】解方程组：（1）:::1:2:3:49732200x y z u x y z u =⎧⎨+++=⎩；（2）解方程组：2345238x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+-=⎩【练13】已知a b c k b c a c a b===+++，求k 的值.第8讲［尖端课后作业二元一次方程（的）念和解法【习1】下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）A. 312x xy +=B. x y =C. 2115x y =+ D. 253x y x y -=+ 【习2】下列各方程是二元一次方程的是（ ）A. 23x y z +=B. 45y x +=C. 2102x y +=D. 1(8)2y x =+【习3】若关于x 、y 的方程2(3)0a a x y --+=是二元一次方程，那么a 的取值为( )A. 3a =-B. 3a =C. 3a >D. 3a <【习4】若方程22(4)(23)(2)0k x k x k y -+-+-=为二元一次方程，则k 的值为( )A. 2B. －2C. 2或－2D. 以上均不对【习5】若方程2(3)25m m x y -+-=为关于x 、y 的二元一次方程，则2012(2)m -= .【习6】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. 4119x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩B. 57x y y z +=⎧⎨+=⎩C. 1x y xy x y -=⎧⎨-=⎩D.1326x x y =⎧⎨-=⎩【习7】下列不是二元一次方程组的是（ ）A. 23x y y z +=⎧⎨+=⎩B. 2334m n n m =+⎧⎨-=⎩ C. 21x y =⎧⎨=-⎩D. 4252()12()3a a b a b +=⎧⎨-+=+-⎩ 【习8】解下列二元一次方程组：（1）527341x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ；（2）327238x y x y +=⎧⎨+=⎩ ；（3）34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩【习9】若方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是（ ） A. 6.32.2x y =⎧⎨=⎩ B. 8.31.2x y =⎧⎨=⎩ C. 10.32.2x y =⎧⎨=⎩ D. 10.30.2x y =⎧⎨=⎩【习10】若实数x 、y 满足2142y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求关于x 、y 的方程组12x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩的解.【习11】已知211(3)02a b -++=，解方程组315ax y x by -=⎧⎨+=⎩. 【习12】解方程组2(1)5(2)1101217102x y x y --++=⎧⎪-+⎨-=⎪⎩【习13】解方程组3()4()4126x y x y x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪⎩ 【习14】解方程组2320235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩【习15】解方程组9()18523()2032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩【习16】解方程组1232(1)11x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩【习17】解方程组37043225x y y z x z -+=⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩【习18】解方程组23162125x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩【习19】解方程组56812412345x y z x y z x y z +-=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩【玉勇录入】【习20】已知方程组361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩的解是x p y q =⎧⎨=⎩，方程组345113435113991332x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩的解是x m y n z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则(p －q )(m －n ＋t )等于 ．【习21】(武汉市“CASIO ”竞赛题)已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足becdf a ＝4，acdef b ＝9，abdef c ＝16，abcef d ＝14，abcdf e ＝19， abcde f ＝116，求(a ＋c ＋e )－(b ＋d ＋f )的值．【习22】(第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试)已知实数x 1，x 2，x 3，x 4满足条件1231234234134124x x x a x x x a x x x a x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，其中a 1<a 2<a 3<a 4，则x 1，x 2，x 3，x 4的大小关系是( ) A ． x 1<x 2<x 3<x 4 B ． x 2<x 3<x 4<x 1 C ． x 3<x 2<x 1<x 4 D ． x 4<x 3<x 2<x 1【习23】若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪-+=⎩①②③④⑤，求x2x3x4的值．【习24】解方程组：:3:2:5:466 x yy zx y z=⎧⎪=⎨⎪++=⎩【张来录入】。
(完整版)二元一次方程基本概念及基本解法讲解
二元一次方程一、二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1,像这样的方程叫做二元一次方程.注意：二元一次方程满足的三个条件：(1)在方程中“元”是指未知数， “二元”就是指方程中有且只有两个未知数 .(2) “未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是 1.(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式^练习1:已知下列方程，其中是二元一次方程的有 .(1)2x-5=y; (2)x-1 = 4; (3)xy = 3;(4)x+y = 6; (5)2x-4y=7;一 1- 2 1 _ 2__ x4y -(6) x - 0； (7)5x — 1; (8)x - y 3; (9) x 8y 0; (10) ---------------- 6.2 y 2 2【变式1 ］下列方程中，属于二元一次方程的有()2A. xy 7 1B. 2x 1 3y 1C. 4x 5y 3x 5yD. 3x — 1 y二、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程的一组解.注意：如：x y 10的解可以是练习2:二元一次方程 x-2y= 1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是x 1 x 1C. D.y 0 y 1.............................. x 2【变式2】若方程ax 2y 4的一个解是 ，则a= .y 1三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如3x 1 0也是二元一次方x 2y 5(1)二元一次方程的解都是一对数值,而不是一个数值, 般用大括号联立起来, 如:x 2, y 5.(2) 一般情况下，二元一次方程有无数个解, 即有无数多对数适合这个二元一次方程.x 1 B.y 1程组.练习3:下列方程组中，是二元一次方程组的是( )四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解^注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对， 它必须同时满足方程组中的每一个方程， 一般x a , 写成的形式.y b〃， ，、…，…一“ ,一，/ , 2x y 5T （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个， 但也有特殊情况，如方程组无2x y 6一 一、… x y 1 ，…,解，而方程组 "的解有无数个.2x 2y 2【巩固练习】 一、选择题1 .下列方程中，属于二元一次方程的是（A. xy-7=1B. 2x-1 = 3y+12 .下列方程组是二元一次方程组的是（）x 3 _3 .以为解建立一个二兀一次万程，不正确的是()y 11 x 25 A. 3x- 4y= 5 B. —xy 0 C. x +2y = - 3 D.— — y —3 2 362x y 3 34 .方程组的解是()x y 3C.2x 2 3y 7 5(x 9) 1 y B.3- y 2 8 x 2x 3 7yx 13z 5(x y) 2x 3z 7yD.5(x y) (x y) 8 2x 3y 1) 7C. 4x-5y=3x-5y0 2D. 3x 一y x y 5A.z x 3x y xy 4 C.3x y 41-x 2y 13D.2-x - y 2(x 3 22y)x 1 x 2A. B.y 2 y 1C.y 1D.「 ，、… 6x 5y 11, ①……5 .已知二元一次方程组 7,下列说法正确的是()3y 2x 7,②A.适合②的x, y 的值 是方程组的解①②B.适合①的x, y 的值 是方程组的解C.同时适合①和②的x, y 的值 不一定是方程组的解D.同时适合①和②的 x, y 的值 是方程组的解 6 .关于m, n 的两个方程2m n 3与3m 2n二、填空题7 .由x+2y =4,得到用y 表示x 的式子为x= x y 4 ,, …8 .在二元一次方程组中，有x 6 ,则y _______ , m ______2x m 3y9 .若 |x 2 (3y 2x)2 0 ,则二的值是次方程"工+如二一2的一个解，则2a-b-6的值是11 .已知以一 1|+[2>+1)，=0 ,且2工一仙=4 ,则太=一一 .一 x 2 ........... .12 .右方程ax-2y = 4的一个解是 ，则a 的值是 ___________ .y 1三、解答题x 213,已知是一个二元一次方程的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组.y 314.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组.(1)甲数的1比乙数的2倍少7;33 .、1的公共解是(A.m 0B .n 3m 1 C.n 1m 0 1 D.n -21m - 2 n 2;得到用x 表示y 的式子为 y=x = 210.若"是二兀〔A —(2)摩托车的时速是货车的一倍，它们的速度之和是200km/h;2(3)某种时装的价格是某种皮装价格的 1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元解二元一次方程方法1.代入消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组的步骤有四步：(1)变形：将方程组中系数较简单的方程变形，将系数较简单的未知数用另一个未知 数表示出来；(2)代入：将变形的方程代入另一个方程，这样便消去一元，求出一个未知数的值； (3)代入：将求得的未知数的值代入变形后的方程(这一点要特别注意)，求出另一个未知数的值；(4)写出方程组的解.一般地，当方程组中某个方程的某未知数的系数绝对值是 1或常数项为0时，用代入法简便.3x 2y 7, ① x 2y 5. ② x 5 2y.③ 3(5 2y) 2y 7,15 6y 2y 7, 8y 8, y 1.把y 1代入③，得 x 3.点评：此题方程②的系数较简单，且方程②中未知数x 的系数是1,因此考虑将方程②变形，并用含y 的代数式表示x.用代入消元法解二元一次方程组， 需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单 .代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误 .x 3y 4, ①变式2:用代入法解方程组：1 1-x -y 0.② 4 2方法2.加减消元法解二元一次方程组 加减消元法解二元一次方程组的步骤有四步：(1)变形：使方程组中某未知数的绝对值相等；(2)加减：若某未知数的系数相等，两方程相减；若某未知数的系数互为相反数，两 方程相加；这样便消去一元，求出一个未知数的值；(3)代入：将求得的未知数的值代入系数较简单的方程，求出另一未知数的值； (4)写出方程组的解.进行加减消元时，要注意做到以下几点：(1)当方程组比较复杂时，应先整理变形，把方程组整理成形如：a1x b 1yc 1’的形a 2xb 2yc 2式，若此时两未知数的绝对值都不相等， 则先观察哪个未知数的系数较易化为绝对值 (系数的最小公倍数的绝对值)相等的形式，且计算简单，然后将其化为系数的绝对值相等的形式例2解方程组 解析：由②，得 将③代入①，得所以原方程组的解是x 3,y 1.(2)两个未知数的值都可采用加减消元法的方法求出^(3)当方程组中的某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时，用加减法简 便.③-④，得 29m=-29 , m=-1. 将 m=-1 代入①，得-5+2 n=1, n=3.③ +④，得 29n=87, n=3.把 n=3 代入①，得 5m+6=1 , m=-1. 点评：此题方程组中的两方程， 两未知数的系数分别既不相等也不互为相反数，即绝对值不相等.因此先将两方程分别变形， 使某个未知数的系数的绝对值相等 .比较题中的两种方法， 先消去系数比较简单的未知数 n,解法较为简捷.另外用加减消元法解二元一次方程组，需 注意两方程相减时，符号的正确处理 . 练习f9x+2y=20 l3x+4y=10例3解方程组:5m 2n 1, ①7m 3n 16.②解析：法①②X2,得15m 6n 3, ③14m 6n 32.④所以原方程组的解为m 1, n3.法二：①X 7,②X 5,得35m 14n 35m 15n7, 80.④所以原方程组的解为m 1, n 3.(1)j 2戈-3产- 5[3x+2y=12"2y=3⑸" x 一第F ；J- -2=10附加题C3 (s- t) - 2 ts+t) =10 13 fs-t) +2 (s+t) =26x 2 y 1--- --- - 2(8) 3 2x 2 1 y d1。
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解06 二元一次方程组(解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题06 二元一次方程组【知识要点】考点知识一二元一次方程（组）有关概念二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
【注意】1）二元：含有两个未知数；2）一次：所含未知数的项的次数都是1。
例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。
2）方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．【注意】1）在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。
2）二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．【注意】1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如⎩⎨⎧2x ＋1＝0，x ＋2y ＝2也是二元一次方程组。
这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。
3） 方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。
4）二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【注意】1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。
2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。
如：⎩⎨⎧x ＋y ＝5，4x ＋4y ＝20.有的方程组无解，如：⎩⎨⎧x ＋y ＝5，x ＋y ＝2.考点知识二 解二元一次方程组消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。
二元一次方程的意思
二元一次方程的意思
二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程。
一般来说，二元一次方程的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知数，x 和y为未知数，且a和b不能同时为0。
解二元一次方程就是要找出一对使得方程成立的x和y的值。
解二元一次方程的方法有很多种，比如代入法、消元法、图解法等。
这些方法都可以用来求解二元一次方程的解。
二元一次方程在数学中有着广泛的应用，比如在几何学中用来求解直线的交点坐标，或者在物理学中用来描述两个变量之间的线性关系。
解二元一次方程的过程可以帮助我们理解未知数之间的关系，从而解决实际生活中的问题。
在代数学习中，二元一次方程是一个重要的概念，学生需要掌握如何解二元一次方程，以及如何将实际问题转化为二元一次方程进行求解。
掌握二元一次方程的求解方法不仅可以帮助我们提高数学解题的能力，也可以培养我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
总之，二元一次方程是含有两个未知数的一次方程，解二元一
次方程的方法有很多种，对于数学学习和实际问题求解都具有重要意义。
希望我的回答能够帮助你理解二元一次方程的意思。
二元一次方程
1. 二元一次方程（1）概念：方程两边都是整式,含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.你能区分这些方程吗？5x+3y=75（二元一次方程）；3x+1=8x（一元一次方程）；2y+y=2(一元一次方程）；2x-y=9（二元一次方程）。
对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：①等号两边的代数式是整式；②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；③未知数的项的次数都是1，实际上是指方程中最高次项的次数为1，在此可与多项式的次数进行比较理解，切不可理解为两个未知数的次数都是1.（2）二元一次方程的解使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；③在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解.你能试着解方程3x－y=6吗？2. 二元一次方程组（1）二元一次方程组：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.对二元一次方程组的理解应注意：①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.3.代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）代入法解二元一次方程组的步骤①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的. ）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.例题：{x-y=3 ①{3x-8y=4②由①得x=y+3③③代入②得3（y+3)-8y=4y=1所以x=4则：这个二元一次方程组的解{x=4{y=14. 加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.（2）加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
二元一次方程组知识点整理
二元一次方程组知识点整理第五章：二元一次方程组知识点整理知识点1：二元一次方程（组）的定义1.二元一次方程的概念：二元一次方程是指含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程。
注意：1）方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数。
2）含有未知数的项的次数都是1.3）二元一次方程的左右两边都必须是等式。
（三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1.即若ax+by=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1，n=1.例1：已知（a－2）x－by|a|－1/mn＝5是关于x、y的二元一次方程，则a＝______，b＝_____．例2：下列方程为二元一次方程的有：①2x-5=y，②x-4=1，③xy=2，④x+y=3，⑤x-y=2，⑥xy+2x-y=2，⑦3x+2y，⑧a+b+c=1巩固练】下列方程中是二元一次方程的是（）A．3x-y2=0.B．(1+y)/(7x+21/5)=1.C．-y=6.D．4xy=3/23.二元一次方程组的概念：由两个二元一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。
注意：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1.③方程组中每个方程均为整式方程。
例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A。
{x+y=4,2x+3y=7}B。
{2a-3b=11,5b-4c=6}C。
{x^2=9,y=2x}D。
{x+y=8,2x-y=4}巩固练】已知下列方程组：（1）{y=-2,(2){y-z=4,x-y=1/2},(3){x-y=1/3,x+y=2},(4){x+y=3/2,3x+y=2}其中属于二元一次方程组的个数为（）A．1B.2C．3D．4知识点2：二元一次方程组的解定义一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。
1.类型题1：根据定义判断例：方程组{ x-y=2.y=4}的解是（）A。
二元一次方程
二元一次方程二元一次方程，也称为一元二次方程，是高中数学中重要的概念之一。
它是指形如ax+by+c=0的方程，其中a、b、c为已知的实数，而x、y为未知数。
在这篇文章中，我们将探讨二元一次方程的基本概念、解法以及应用。
通过详细的讲解和例题分析，帮助读者加深对二元一次方程的理解。
一、基本概念二元一次方程可以看作是一种含有两个变量的一次方程，其一般形式为ax+by+c=0。
其中，a、b、c为已知实数，x、y为未知数。
我们可以通过消元、代入或配方法等多种方式来求解二元一次方程。
二、解法解二元一次方程的基本方法有三种：消元法、代入法和配方法。
接下来，我们将分别介绍这三种方法的步骤和原理。
1. 消元法消元法是解二元一次方程的常用方法。
具体步骤如下：（1）通过变换，使其中一个未知数的系数相等或相差一个倍数；（2）将两个方程相减，消去一个未知数，得到另一个未知数的方程；（3）求解得到其中一个未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入任一方程中，求解另一个未知数的值。
2. 代入法代入法是解二元一次方程的另一种常用方法。
具体步骤如下：（1）选择一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数；（2）将该函数代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的方程；（3）求解得到该未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入最初选择的方程中，求解另一个未知数的值。
3. 配方法配方法也是解二元一次方程的重要方法之一。
具体步骤如下：（1）将一个方程的两边同时乘以一个系数，使得其两个未知数的系数相等或相差一个倍数；（2）将两个方程相加（或相减），得到一个只含有一个未知数的方程；（3）求解得到该未知数的值；（4）将求得的未知数的值代入任一方程中，求解另一个未知数的值。
三、应用二元一次方程在实际生活中有着广泛的应用。
下面我们以一个例子来说明二元一次方程的具体应用。
例题：一个体育馆里有男性和女性运动员，总共有100人。
男性每人平均站立重量为70kg，女性每人平均站立重量为60kg。
初中数学 二元一次方程组及其解法
二元一次方程组及其解法一、二元一次方程的概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的一般形式为：ax by c ++=0(,)a b ≠0≠0．【例】x y +2=5，x y 2=3，x y 3=-2，x y 2+3+6=0等都是二元一次方程． 2．二元一次方程的判定： 必须同时满足四个条件：（1）含有两个未知数——“二元”；（2）未知数项的最高次数为1——“一次”； （3）方程两边都是整式——整式方程； （4）未知数的系数不能为0．【例】x y +=1，()y x 1=+82，x y 3-1=2-5，x y 4=3等都是二元一次方程；y x 4+=5，x y z 2+3=，x y 21+=02，x x 2+3=-5等都不是二元一次方程． 3．二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．【注】任何一个二元一次方程都有无数个解．【例】x y =1⎧⎨=2⎩和x y =3⎧⎨=1⎩是方程x y +2=5的解，可以看出x y +2=5有无数个解．二、二元一次方程组的概念和解法1．二元一次方程组：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．【注意】（1）二元一次方程组不一定由几个二元一次方程合在一起．（2）方程可以超过两个．【例】x x y 2=6⎧⎨3-=1⎩，x x y 2=6⎧⎨3-=1⎩，x y x y =2⎧⎪=3⎨⎪+=4⎩等都是二元一次方程组．2．二元一次方程组的解：使二元一次方程组的几个方程左、右两边都相等的两个未知数的值（即几个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解．【例】x x y 2=6⎧⎨3-=1⎩的解是x y =3⎧⎨=8⎩．3．二元一次方程组解的情况：一般情况下，一个二元一次方程组只有唯一一组解；但在特殊情况下，二元一次方程组也可能无解或有无数组解．【例】方程组x y x y +=1⎧⎨2+2=2⎩有无数组解，方程组x y x y +=2⎧⎨2+2=2⎩和x y x y =2⎧⎪=3⎨⎪+=4⎩无解．4．二元一次方程组的基本解法（1）代入消元法：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将该方程中的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，例如y ax b =+；②把y ax b =+代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x 的值； ④把求得的x 的值代回y ax b =+中，求出y 的值，从而得出方程组的解；⑤把这个方程组的解写成x my n =⎧⎨=⎩的形式．解方程组：19,x y x y 3+4=⎧⎨-=4.⎩解：19,x y x y 3+4=⎧⎨-=4.⎩①②由②，得x y =4+，③ 把③代入①，()y y 34++4=19， ∴y y 12+3+4=19，得y =1． 把y =1代入③，得x =4+1=5．∴方程组的解为5x y =⎧⎨=1.⎩，（2）加减消元法：①把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数相反或相等；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值，从而得出方程组的解；⑤把这个方程组的解写成x my n=⎧⎨=⎩的形式．解方程组：x y x y +2=1⎧⎨3-2=11⎩解：x y x y +2=1⎧⎨3-2=11⎩①②①+②，得x 4=12，解得：x =3．将x =3代入①，得y 3+2=1， 解得y =-1．∴方程组的解是x y =3⎧⎨=-1⎩．5．解方程组的三大解题思想（1）消元思想；（2）整体思想；（3）换元思想．（1）在下列方程中，①x 4+5=1；②x y 3-2=1；③x y1+=1；④xy y +=14；⑤x y =；⑥()y x 1=+82，其中是二元一次方程的是__________．（填序号）（2）已知方程||n m x y m -1-1+2=是关于x 、y 的二元一次方程，则m =_____，n =______．（3）若已知方程()()()k x k x k y k 22-1++1+-7=+2，当k =______时，方程为一元一次方程，当k =_______时，方程为二元一次方程．【解析】（1）②⑤⑥；（2）m =0或2，n =2．（3）-1，1．模块一 二元一次方程的概念例题1（1）已知x y =1⎧⎨=-1⎩是方程x ay 2-=3的一个解，那么a 的值是_________．（2）若x ky k =2⎧⎨=-3⎩是二元一次方程x y 2-=14的解，则k 的值是_________．【解析】（1）1；（2）2．（1）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．x y y 2+=1⎧⎪1⎨=-1⎪⎩ B ．x xy 2=1⎧⎨=-1⎩ C ．x y y z 2+=1⎧⎨-=-1⎩D ．x y =1⎧⎨=-1⎩（2）已知x y =-4⎧⎨=3⎩是方程组ax y x by +=-1⎧⎨-=2⎩的解，则()a b 6+=______．（3）已知x y =2⎧⎨=1⎩是二元一次方程组ax by bx ay +=1⎧⎨+=2⎩的解，则a b -的值为______．【解析】（1）D ；（2）由题意得a =1，b =-2，a b +=1，∴()a b 6+=1．（3）把解代入方程组得a b b a 2+=1⎧⎨2+=2⎩①②，①-②得a b -=-1．（1）用代入消元法解方程组：x y x y 3+4=2⎧⎨2-=5⎩．（2）用加减消元法解方程组：x y x y 4+3=5⎧⎨-2=4⎩．例题2模块二二元一次方程组的概念和解法例题3例题4【解析】（1）由题意得，x yx y3+4=2⎧⎨2-=5⎩①②由②，得y x=2-5，③把③代入①，得()x x3+42-5=2，∴x x3+8-20=2，得x11=22，解得x=2．把x=2代入③，得y=-1．∴方程组的解为xy=2,⎧⎨=-1.⎩（2）由题意得，x yx y4+3=5⎧⎨-2=4⎩①②①×2+②×3，得x x8+3=10+12，∴x11=22，解得x=2．将x=2代入①，得y8+3=5，解得y=-1．∴方程组的解为xy=2,⎧⎨=-1.⎩【提示】展示解二元一次方程组的基本解法．用合适的方法解下列二元一次方程组：（1）()()()x yy x3-1=+5⎧⎨5-1=3+5⎩（2）()()()x yx y+1=5+2⎧⎨32-5-43+4=5⎩（3）()()x y yx y4--1=31--2⎧⎪⎨+=2⎪23⎩（4）m n n mnm+-⎧-=2⎪⎪34⎨⎪4+=14⎪3⎩（5）x yx y3-22-1⎧+=2⎪⎪45⎨3+23+1⎪-=0⎪45⎩（6）...x yx y112⎧+=⎪535⎨⎪05-03=02⎩【解析】（1）由题意得，x yx y3-=8⎧⎨3-5=-20⎩①②①-②，得y4=28，解得y=7．将y=7代入①，得x3-7=8，解得x=5．∴方程组的解为xy=5⎧⎨=7⎩．（2）由题意得，x yx y-5=9⎧⎨-2=6⎩①②②-①，得y3=-3，解得y=-1．将y=-1代入①，得x+5=9，解得x=4．∴方程组的解为xy=4⎧⎨=-1⎩．（3）xy=2⎧⎨=3⎩．（4）mn18⎧=⎪⎪5⎨6⎪=-⎪5⎩．（5）xy=2⎧⎨=3⎩．（6）xy14⎧=⎪⎪17⎨12⎪=⎪17⎩．例题5【提示】练习解二元一次方程组的一般步骤：（1）去分母，去括号，最好转化为各项系数为整数的二元一次方程组； （2）多观察，系数为1±时优先使用代入消元法，其次才是加减消元法．解方程组：（1）x y x y 23+17=63⎧⎨17+23=57⎩（2）x y x y 2011-2013=4023⎧⎨2013-2011=4025⎩【解析】（1）两方程相加，得：x y 40+40=120，即x y +=3 ①两方程相减，得：x y 6-6=6，即x y -=1 ② ①+②得：x 2=4，解得x =2，①-②得：y 2=2，解得y =1，∴方程组的解为：x y =2⎧⎨=1⎩．（2）x y 3⎧=⎪⎪2⎨1⎪=-⎪⎩2．【提示】系数对称的二元一次方程组的特殊解法．（1）若方程组.a b a b 2-3=13⎧⎨3+5=309⎩的解是..a b =83⎧⎨=12⎩，则方程组()()()().x y x y 2+2-3-1=13⎧⎨3+2+5-1=309⎩的解是（ ）A ．..x y =63⎧⎨=22⎩B ．..x y =83⎧⎨=12⎩C ．..x y =103⎧⎨=22⎩D ．..x y =103⎧⎨=02⎩（2）用适当的方法解下列方程组：()()x y x y x y x y 3+-2-=-1⎧⎪⎨+-+=1⎪⎩24．【解析】（1）A ．比较两个方程组可知..x a y b +2==83⎧⎨-1==12⎩，解得..x y =63⎧⎨=22⎩．（2）令x y u +=，x y v -=，则u v u v 3-2=-1⎧⎪⎨+=1⎪⎩24，解得u v =1⎧⎨=2⎩，即x y x y +=1⎧⎨-=2⎩，解得x y 3⎧=⎪⎪2⎨1⎪=-⎪⎩2．【提示】整体换元法．例题6例题7解方程组：（1）x y z x y z x y z +-=0⎧⎪2-3+2=5⎨⎪+2+=13⎩ （2）x y z x y z x y z 2+3+=16⎧⎪-+2=-1⎨⎪+2-=5⎩【解析】（1）由题意得，x y z x y z x y z +-=0⎧⎪2-3+2=5⎨⎪+2+=13⎩①②③由①，得y z x =-，④把④代入②和③， 得x z x z 5-=5⎧⎨-+3=13⎩，解得x z =2⎧⎨=5⎩． 把x z =2⎧⎨=5⎩代入④得，y =3．∴方程组的解为x y z =2⎧⎪=3⎨⎪=5⎩．（2）由题意得，x y z x y z x y z 2+3+=16⎧⎪-+2=-1⎨⎪+2-=5⎩①②③③①+得，④x y 3+5=21， 2③②⨯+得，⑤x y 3+3=9，④﹣⑤得y 2=12，y =6，将y =6代入⑤得，x 3=-9，x =-3，将x =-3，y =6代入①得，()z =16-2⨯-3-3⨯6=4， ∴方程组的解为x y z =-3⎧⎪=6⎨⎪=4⎩．【提示】三元一次方程组的基本解法：（1）通过消元把三元一次方程组转化为二元一次方程组； （2）解二元一次方程组．模块三 多元一次方程组的解法例题8（1） x y zx y z ⎧==⎪234⎨⎪5+2-3=8⎩ （2） x y z x y z x y z 2++=2⎧⎪+2+=4⎨⎪++2=6⎩【解析】（1）令x y zk ===234，即x k =2，y k =3，z k =4， 代入②可求得k =2，所以x y z =4⎧⎪=6⎨⎪=8⎩．（2）①＋②＋③得x y z ++=3，用①、②、③分别减去此式得x y z =-1⎧⎪=1⎨⎪=3⎩．【提示】三元一次方程组的特殊解法：（1）连比设k 型；（2）对称轮换型，整体相加．解方程组：（1）pq p q pq p q1⎧=⎪+5⎪⎨1⎪=⎪-3⎩ （2）xyx y yz y z zx z x ⎧=1⎪+⎪⎪=2⎨+⎪⎪=3⎪+⎩【解析】（1）原方程组可化为p q q p 11⎧+=5⎪⎪⎨11⎪-=3⎪⎩，解得q p 1⎧=4⎪⎪⎨1⎪=1⎪⎩，∴q p 1⎧=⎪4⎨⎪=1⎩．（2）原方程组可化为，解得，∴．【提示】均为可以转化为二元一次方程组或者三元一次方程组的分式方程．11111121113x y y z z x ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩151217121112x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩12512712x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=-⎩例题9非常挑战（1）已知二元一次方程x y--1=023，下列用含x 的代数式表示y 正确的是（ ）. A ．y x 3=-12 B ．y x 3=+12 C ．y x 3=-32 D ．y x 3=+32（2）下列方程属于二元一次方程的是（ ）A ．x y +=1B ．xy +5=4C ．y x 23-8=D ．x y1+=2（3）已知方程||||()()a b a x b y -1-4-2-+5=3是关于x 、y 的二元一次方程，则a =________，b =__________．【解析】（1）C ；（2）A ；（3）根据题意可得：a -2≠0，b +5≠0，||a -1=1，||b -4=1，所以a =-2，b =5．（1）下列不是二元一次方程组的是（ ）A ．x y =2⎧⎨=-1⎩B ．m n n m =2+3⎧⎨3-=4⎩C ．x y y z +=2⎧⎨+=3⎩D ．(()）a a b a b 4+2=5⎧⎨2-+1=2+-3⎩（2）二元一次方程ax by +=6有两组解是x y =2⎧⎨=-2⎩与x y =-1⎧⎨=-8⎩，求a 、b 的值．【解析】（1）C ．（2）将两组解分别代入ax by +=6，可得a b a b 2-2=6⎧⎨--8=6⎩，解得a b =2⎧⎨=-1⎩．复习巩固演练1演练2解方程组：（1）m n m n 3+2=2⎧⎨5-4=7⎩（2）()()()()y x x y 3-1=4-4⎧⎨5-1=3+5⎩（3）()()y x x y y x -1⎧-=3⎪2⎨⎪2-+32-=-6⎩ （4）x y x y +1+2⎧=⎪⎪34⎨-3-31⎪-=⎪4312⎩【解析】（1）m n =1⎧⎪⎨1=-⎪⎩2． （2）x y =7⎧⎨=5⎩． （3）x y =2⎧⎨=-1⎩． （4）x y =2⎧⎨=2⎩．解下列方程组：（1）x y x y 21+23=243⎧⎨23+21=241⎩ （2）x y x y 2014+2013=2012⎧⎨2012+2011=2010⎩（3）x y x yx y x y 2+32-3⎧+=7⎪⎪43⎨2+32-3⎪+=8⎪32⎩【解析】（1）x y =5⎧⎨=6⎩．（2）x y =-1⎧⎨=2⎩．（3）设x y a 2+3=，x y b 2-3=，则原方程组可变为,,a ba b ⎧+=7⎪⎪43⎨⎪+=8⎪32⎩整理，得,,a b a b 3+4=84⎧⎨2+3=48⎩解得,.a b =60⎧⎨=-24⎩∴,,x y x y 2+3=60⎧⎨2-3=-24⎩解得,,x y =9⎧⎨=14⎩ ∴原方程组的解为,.x y =9⎧⎨=14⎩演练3演练4解方程组：（1）x z z y x y z -=4⎧⎪-2=-1⎨⎪+-=-1⎩（2）::::::x y z u x y z u =1234⎧⎨9+7+3+2=200⎩（3） x y z y z x z x y +-=11⎧⎪+-=3⎨⎪+-=1⎩（4）mn m n mn m n 1⎧=⎪⎪3+213⎨1⎪=⎪2+312⎩【解析】（1）x y z =-7⎧⎪=-5⎨⎪=-11⎩．（2）设x k =，y k =2，z k =3，u k =4，所以有k k k k 9+14+9+8=200， 即k =5，故x y z u =5⎧⎪=10⎪⎨=15⎪⎪=20⎩．（3）①＋②＋③得：x y z ++=15，分别去减①、②、③式可得：x y z =6⎧⎪=7⎨⎪=2⎩．（4）m n 1⎧=⎪⎪2⎨1⎪=⎪3⎩．演练5。