二元一次方程基本概念及基本解法讲解

二元一次方程

一、二元一次方程的概念：

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 注意：二元一次方程满足的三个条件： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.

练习1：已知下列方程，其中是二元一次方程的有________．

(1)2x -5＝y ； (2)x -1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x -4y ＝7； (6)102x +

=；(7)251x y +=；(8)132x y +=；(9)280x y -=；(10)462

x y

+=．

【变式1】下列方程中，属于二元一次方程的有（ ）

A .71xy -=

B .2131x y -=+

C .4535x y x y -=-

D . 2

31x y

-

= 二、二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 注意：

(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：2,

5.

x y =⎧⎨

=⎩．

(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．

如：10x y +=的解可以是241

,,869x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨

===⎩⎩⎩

等等

练习2：二元一次方程x -2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程解的是( )

A ．0

12

x y =⎧⎪

⎨=-⎪⎩ B ．11x y =⎧⎨=⎩ C ．10x y =⎧⎨=⎩ D ．11x y =-⎧⎨

=-⎩ 【变式2】若方程24ax y -=的一个解是2

1

x y =⎧⎨

=⎩，则a= .

三、二元一次方程组

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎩

⎨⎧=-=+520

13y x x 也是二元一次方

程组.

练习3：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

A.

2

237

5(9)1

x y

x y

⎧+=

⎨

+=-

⎩

B.

2

1

38

237

y

x

x y

⎧

-=

⎪

⎨

⎪-=

⎩

C.

135()

237

x z x y

x z y

=+-

⎧

⎨

-=

⎩

D.

5()()8

2317

x y x y

x y

-++=

⎧

⎨

=-+

⎩（）

四、二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般

写成

x a

y b

=

⎧

⎨

=

⎩

的形式．

(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组

25

26

x y

x y

+=

⎧

⎨

+=

⎩

无解，而方程组

1

222

x y

x y

+=-

⎧

⎨

+=-

⎩

的解有无数个．

【巩固练习】

一、选择题

1．下列方程中，属于二元一次方程的是（）

A．xy-7＝1 B．2x-1＝3y+1 C．4x-5y＝3x-5y D．

2

31 x

y

-=

2．下列方程组是二元一次方程组的是（）

A．

5

3 x y

z x

+=

⎧

⎨

+=⎩B．

1

1

1

3

x

x

y

x

⎧

+=

⎪⎪

⎨

⎪-=

⎪⎩

C．

4

34

x y xy

x y

-+=

⎧

⎨

-=

⎩

D．

1

213

2

11

2(2)

32

x y

x y x y

⎧

-=

⎪⎪

⎨

⎪-=-

⎪⎩

3. 以

3

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

为解建立一个二元一次方程，不正确的是（）

A．3x-4y＝5 B．1

3

x y

-=C．x +2y＝-3 D．

25

236

x

y

-=

4. 方程组

23

3

x y

x y

-=

⎧

⎨

+=

⎩

的解是（）

A．

1

2

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

B．

2

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

C．

1

1

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

D．

2

3

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩