统计学课件 第六章 抽样推断

例：从某企业的全部员工1000人中随机抽出40个员工调查他们的 每日加班时间，调查结果见下表：
每日加班时间（小时） 人数（人）
2以下
5
2----4
25
4以上
10
合计
40
1、请计算40个员工的平均每 人每日加班时间及标准差？
2、请计算日加班时间不少于 2小时员工的成数（比重）及 标准差？
第一节 抽样推断的一般问题
x
x
x
x
由于 t t 1 0.2 0.2
x
x
2 0.2 X 2 0.2 1.8 X 2.2
第二节 抽样误差
（2）要求的把握（概率）为95.45%时，则总体指标应当介于
2 0.4 X 2 0.4
t 2 0.2 0.4
x
x
1.6 X 2.4
（3）要求的把握（概率）为99.73%时，则总体指标应当介于
的灯泡的比例的可能范围？
1、 x 4500（小时） t=1.96
2 300 3（0 小时）
x n n 100
x t X x t
x
x
2、
p
20 100
20%
t=1.96
4500 1.96 30 X 4500 1.96 30
p
p (1 p) n
20% 80% 4% 100
x
2
nn
50 0.（5 分钟） 10000
p
p (1 p) 10% 90% 0.3%
n
10000
第二节 抽样误差
（三）影响抽样平均误差的因素 1、总体各单位标志的变异程度。变异程度越大，误差越大。 2、样本容量的大小。样本容量越大，误差越小。 3、抽样方法。 4、抽样组织方式。 三、抽样极限误差（△）
p t p P p t p
20%1.964% P 20%1.964%
第三节 抽样估计
一、抽样估计 指根据样本指标对总体参数进行估计，也称为参数估计。包括点估 计和区间估计。 （一）点估计 又称定值估计，即用样本指标值作为总体参数的估计值。 实际中，用样本平均指标值估计总体平均指标值；用样本成数值估 计总体成数值；用样本方差值估计总体方差值。 但要注意：样本方差 s2 不是总体方差 2 的无偏估计量，而修正
1、x
xf f
15 3 25 510 3.25(小时) 40
s
(x x)2 f
(1 3.25)2 5 (3 3.25)2 25 (5 3.25)2 10 1.199（小时）
f
40
2、p n1 35 87.5% n 40
s p q p （1 p） n1 n0 87.5% 12.5% 33.07% nn
1、 x
2
nn
40 （4 元） 100
2、
p
p (1 p) n
30% 70% 4.58% 100
第二节 抽样误差
课堂练习：湖南卫视从全国收看快乐男声节目的观众中随机抽取了 10000名进行调查，来了解观众收看快乐男声节目的平均时间，调 查结果为：这10000名观众的平均收看时间为120分钟，标准差为 50分钟，其中有1000名竟然是老年人。 问题（1）请计算观众平均收看时间的抽样平均误差？（2）请计算 收看快乐男声节目的老年人比例的抽样平均误差？
n 1
(x x)2 (n 30) s n
(x x)2 f f 1
(x x)2 f
f
(
f
30)
第一节 抽样推断的一般问题
（2）属性问题下、包括样本成数、样本方差和标准差。即： p n1
n
s2 p q p （1 p） n1 n0 nn
s p q p （1 p） n1 n0 nn
◆抽样平均误差：所有可能出现的样本的指标值与总体指标值离差
平方的平均数的平方根。一般用 表示
变量问题： x
属性问题： p
第二节 抽样误差
(x X)2
x
所有可能抽取的样本数目
( p P)2
p 所有可能抽取的样本数目
例：假设有A、B、C、D四个人，假设每个人的收入分别为1、2、 3、4，现在要从中不重复随机抽出2个人进行调查他们的平均收入 水平。共有6种可能：AB、AC、AD、BC、BD、CD。即有6个可 能的样本，也意味着有6个样本平均数，分别为：1.5、2、2.5、 2.5、3、3.5，而总体平均数为2.5，则抽样平均误差为：
在目的Ⅰ下是变量总体和变量样本，在目的Ⅱ下是属性总体和属性 样本
第一节 抽样推断的一般问题
注意：从一个总体中抽出容量为n的样本，有多种可能性，即抽样 前不确定到底抽出哪个样本。
例：假设有A、B、C、D四个人，现在要从中随机抽出2个人进行 调查。共有6种可能：AB、AC、AD、BC、BD、CD。但在抽之前 是无法知道到底会抽出哪种组合，即每种组合都有1/6的可能。 ●n≥30为大样本；n＜30为小样本。 （二）总体参数（总体指标）和统计量（样本指标）
●指样本指标与总体指标之间的误差范围，用符号△表示，计算公 式为：
x
x
X
p pP
例：假设有A、B、C、D四个人，假设每个人的收入分别为1、2、
3、4，现在要从中不重复随机抽出2个人进行调查他们的平均收入
水平。共有6种可能：AB、AC、AD、BC、BD、CD。即有6个可
能的样本，也意味着有6个样本平均数，分别为：1.5、2、2.5、
2 0.6 X 2 0.6
t 3 0.2 0.6
x
x
1.4 X 2.6
把握越大，误 差越大。
1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6
第二节 抽样误差
根据前例可得，用样本指标推断总体参数（总体指标）的计算公式 为：
x X x
x
x
x t X x t
x
x
即只要知道了样本指标、概率和抽 样平均误差就可以推断出总体指标 的可能范围。
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第二节 抽样误差
概率（把握性）与概率度的关系：
概率度（t） 1
概率F（t） 0.6827
1.96
0.9500
2
0.9545
3
0.9973
例：假设样本平均数为2，抽样平均误差为0.2，现在用样本指标来 推断总体指标的范围。 （1）要求的把握（概率）为68.27%时，则总体指标应当介于
x X x 2 X 2
2
x
n
n
重复抽样
2
（
N
n
）
2 (1 n )
x n N 1
nN
不重复抽样
2、属性问题（成数）的抽样平均误差
p
p (1 p) n
重复抽样
p
p (1 p) ( N n ) n N 1
p (1 p) (1 n )
n
N
不重复抽样
第二节 抽样误差
由于总体标准差和方差未知，可用以下方法解决：
1、总体参数
（1）变量问题下，包括总体平均数、总体方差和标准差。即：
X X N
X
XF F
∑F=N
2 （X - X）
N
2 （X - X）F F
（X - X）
N
（X - X）F F
第一节 抽样推断的一般问题
（2）属性问题下、包括总体成数、总体方差和标准差。即：
P N1 N
2 P Q P （1 P） N1 N0
第一节 抽样推断的一般问题
（三）重置抽样（重复抽样）和不重置抽样 三、抽样推断的特点 1、部分推断总体 2、建立在随机概率的基础上 3、运用概率估计的方法 4、误差可事先计算并加以控制
第二节 抽样误差
一、抽样误差的概念
●指样本指标与总体指标之间的差数。按原因分为：登记性误差和 代表性误差 1、登记性误差：全面和非全面调查都会产生，但能够控制并消除。 2、代表性误差：抽样调查才有。具体分为系统性误差和随机误差： ◆系统性误差：未遵循随机原则造成。可以消除。
NN
P Q P （1 P） N1 N0
NN
2、统计量
（1）变量问题下，包括样本平均数、样本方差和标准差。即：
x x n
x xf f
s2
(x x)2
(x x)2 (n 30)
n 1
n
s2 (x x)2 f f 1
(x x)2 f f
( f
30)
s
(x x)2
x
2
nn
50 0.（5 分钟） 10000
x 120（分钟）
t=2
x t X x t
x
x
119 X 121
120 2 0.5 X 120 2 0.5
p
p (1 p) 10% 90% 0.3%
n
10000
t=2
p 1000 10% 10000
p t p P p t p
定抽样极限误差，那么总体指标的可能范围就能确定出来。
●抽样极限误差还有另外一个计算公式：
t t : 概率度
●概率度：将抽样极限误差标准化后的一个度量。
第二节 抽样误差
●概率：某个随机事件出现的可能性。如向天空抛出一枚硬币，出 现正面和反面属于随机事件，出现的概率为50%。概率的取值范围 介于0到1之间。 ●一般来说，用样本指标来推断总体指标的时候，若误差越大，则 把握性越大。
2.5、3、3.5，而总体平均数为2.5。
1.5 2 2.5 3 3.5
第二节 抽样误差
xX x
该式表明样本指标在总体参数周围的某一范围内变动，把上面的公 式展开可得到：
X x X
x
x
再进行转换可得到：
x X x
x
x
该不等式表示总体指标（参数）应当介于样本指标分别加减极限误