上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题
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值；
（3）设点 Q 在直线 y x m 上，且在第一象限内， 直线 y x m 与 y 轴的交点为点 D ，
y
如果 AQO DOB ，求点 Q 的坐标 .
O
x
图7
24.解：（ 1） ∵直线 y x m 的经过点 A( 4,0) ∴ 4 m 0 …………………… 1 分
∴ m 4 ……………………………… 1 分 ∵直线 y x m 的经过点 B(n,3) ∴ n 4 3 …………………… 1 分
第 24 题图
备用图
24. （本题满分 12 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 3 分，第（ 3）小题 5 分）
解：（ 1） 点 B（- 1， 0）、 C（ 3，0）在抛物线 y ax2 bx 3上
ab3 0
a1
∴
，解得
9a 3b 3 0
b2
∴抛物线的表达式为 y x 2 2x 3 ，顶点 D 的坐标是（ 1， - 4）
∴ sin ABP AP PB
∴ sin ABP
10
………………………………………… 1 分
10
（3）过点 Q 作 QH x 轴，垂足为点 H ，则 QH ∥ y 轴
∵ AQO DOB , OBD QBO
∴△ OBD ∽△ QBO
∴ OB
DB
…………… 1 分
QB OB
∵直线 y x 4 与 y 轴的交点为点 D
∴△ CAD∽△ AOB，∴ ACD OAB
∵OA=OC， AOC 90 ∴ OAC OCA 45
∴ OAC OAB OCA ACD ，即 BAC BCD
若以 O、 P、 C为顶点的三角形与△ ABC相似 ，且△ ABC为锐角三角形
则 POC 也为锐角三角形，点 P 在第四象限
（ 1 分） （ 1 分）
6
6 18
， ∴ P1( , )
t
5
55
②当 POC ACB 时 ,由 tan POC tan ACB
∴ 6 2t 1 ，解得 t 2 ，∴ P2 (2, 2) t
综上得
6 P1( ,
18) 或 P2( 2,
2)
55
崇明区
tan 45
（ 2 分）
1 得 PH 1 ，
OH （ 2 分）
24．（本题满分 12 分，第 (1) 、 (2) 、 (3) 小题满分各 4 分） 已知抛物线经过点 A(0, 3) 、 B (4,1) 、 C (3, 0) ．
由点 C（ 3，0）， D（ 1， - 4）得直线 CD 的表达式是 y 2x 6 ，设 P(t,2t 6) （ 0 t 3 ）
过 P 作 PH⊥ OC，垂足为点 H，则 OH t ， PH 6 2t
①当 POC
ABC 时,由 tan POC tan ABC 得 PH
OH
AO ， BO
6 2t
∴
3 ，解得 t
解：（ 1）设所求二次函数的解析式为 y ax2 bx c(a 0) ，……………………… 1 分
将 A （ 0 , 3 ）、 B （ 4 ，）、 C （ 3 , 0 ）代入，得
16a 4b c 1, 9a 3b c 0, c 3.
1 a
2
解得 b
5
……… 2 分
2
c3
所以，这个二次函数的解析式为
y
1 x2
5 x3
22
（ 2）∵ A （ 0 , 3 ）、 B （ 4 ，）、 C （ 3 , 0 ）
∴点 D 的坐标为 (0,4) , OBiblioteka Baidu 4
又 OB 10 ， DB 2
∴ QB 5 2 ， DQ 4 2 …………… 1 分
∵ AB 3 2 ∴ AQ 8 2 , DQ ∵ QH ∥ y 轴
42
∴ OD AD QH AQ
∴ 4 42 QH 8 2
∴ QH 8 …………………………………… 1 分 即点 Q 的纵坐标是 8 又点 Q 在直线 y x 4 上 点 Q 的坐标为 ( 4,8) …………… 1 分
（1）求抛物线的解析式； （2）联结 AC、BC、 AB，求 BAC 的正切值； （3）点 P 是该抛物线上一点， 且在第一象限内， 过点 P 作 PG AP 交 y 轴于点 G ，当点 G
在点 A 的上方，且 △ APG 与 △ ABC 相似时，求点 P 的坐标．
y
A
B
O
C
x
（第 24 题图）
24．（ 本题满分 12 分，每小题 4 分 ）
∴ n 1 ………………………………………… 1 分 （2 ）由可知点 B 的坐标为 ( 1,3)
∵抛物线 y x 2 bx c 经过点 A 、 B 16 4b c 0
∴
1b c 3 ∴ b 6， c 8 ∴抛物线 y x 2 bx c 的表达式为 y x 2 6x 8 ………………… 1 分 ∴抛物线 y x 2 6x 8 的顶点坐标为 P( 3, 1) …………… 1 分 ∴ AB 3 2 , AP 2 , PB 2 5 ∴ AB 2 BP 2 PB 2 ∴ PAB 90 …………………………………… 1 分
长宁区
24．（本题满分 12 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 3 分，第（ 3）小题 5 分）
如图在直角坐标平面内，抛物线 y ax2 bx 3与 y 轴交于点 A，与 x 轴分别交于点
B（ - 1， 0）、点 C（3， 0），点 D 是抛物线的顶点 . （ 1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （ 2）联结 AD、 DC，求 ACD 的面积； （ 3）点 P 在直线 DC上，联结 OP，若以 O、P、C 为顶点的三角形与△ ABC相似，求点 P 的坐标．
（ 2 分） （ 2 分）
（2）∵ A（ 0， - 3）， C（ 3， 0），D（ 1， - 4） ∴ AC 3 2 ， CD 2 5 ， AD 2
∴ CD 2 AC 2 AD 2 ∴ CAD 90
（ 2 分）
∴ S ACD
1 AC AD
2
1 32 2
2 3.
（3）∵ CAD
AOB 90 ， AD AC 2 ， BO AO
上海市各区 2018 届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题
宝山区、嘉定区
24．（ 本题满分 12 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 4 分，第（ 3）小题 4 分 ）
已知平面直角坐标系 xOy （如图 7），直线 y x m 的经过点 A( 4,0) 和点 B (n,3) . （1）求 m 、 n 的值； （2）如果抛物线 y x 2 bx c 经过点 A 、 B ，该抛物线的顶点为点 P ，求 sin ABP 的
（3）设点 Q 在直线 y x m 上，且在第一象限内， 直线 y x m 与 y 轴的交点为点 D ，
y
如果 AQO DOB ，求点 Q 的坐标 .
O
x
图7
24.解：（ 1） ∵直线 y x m 的经过点 A( 4,0) ∴ 4 m 0 …………………… 1 分
∴ m 4 ……………………………… 1 分 ∵直线 y x m 的经过点 B(n,3) ∴ n 4 3 …………………… 1 分
第 24 题图
备用图
24. （本题满分 12 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 3 分，第（ 3）小题 5 分）
解：（ 1） 点 B（- 1， 0）、 C（ 3，0）在抛物线 y ax2 bx 3上
ab3 0
a1
∴
，解得
9a 3b 3 0
b2
∴抛物线的表达式为 y x 2 2x 3 ，顶点 D 的坐标是（ 1， - 4）
∴ sin ABP AP PB
∴ sin ABP
10
………………………………………… 1 分
10
（3）过点 Q 作 QH x 轴，垂足为点 H ，则 QH ∥ y 轴
∵ AQO DOB , OBD QBO
∴△ OBD ∽△ QBO
∴ OB
DB
…………… 1 分
QB OB
∵直线 y x 4 与 y 轴的交点为点 D
∴△ CAD∽△ AOB，∴ ACD OAB
∵OA=OC， AOC 90 ∴ OAC OCA 45
∴ OAC OAB OCA ACD ，即 BAC BCD
若以 O、 P、 C为顶点的三角形与△ ABC相似 ，且△ ABC为锐角三角形
则 POC 也为锐角三角形，点 P 在第四象限
（ 1 分） （ 1 分）
6
6 18
， ∴ P1( , )
t
5
55
②当 POC ACB 时 ,由 tan POC tan ACB
∴ 6 2t 1 ，解得 t 2 ，∴ P2 (2, 2) t
综上得
6 P1( ,
18) 或 P2( 2,
2)
55
崇明区
tan 45
（ 2 分）
1 得 PH 1 ，
OH （ 2 分）
24．（本题满分 12 分，第 (1) 、 (2) 、 (3) 小题满分各 4 分） 已知抛物线经过点 A(0, 3) 、 B (4,1) 、 C (3, 0) ．
由点 C（ 3，0）， D（ 1， - 4）得直线 CD 的表达式是 y 2x 6 ，设 P(t,2t 6) （ 0 t 3 ）
过 P 作 PH⊥ OC，垂足为点 H，则 OH t ， PH 6 2t
①当 POC
ABC 时,由 tan POC tan ABC 得 PH
OH
AO ， BO
6 2t
∴
3 ，解得 t
解：（ 1）设所求二次函数的解析式为 y ax2 bx c(a 0) ，……………………… 1 分
将 A （ 0 , 3 ）、 B （ 4 ，）、 C （ 3 , 0 ）代入，得
16a 4b c 1, 9a 3b c 0, c 3.
1 a
2
解得 b
5
……… 2 分
2
c3
所以，这个二次函数的解析式为
y
1 x2
5 x3
22
（ 2）∵ A （ 0 , 3 ）、 B （ 4 ，）、 C （ 3 , 0 ）
∴点 D 的坐标为 (0,4) , OBiblioteka Baidu 4
又 OB 10 ， DB 2
∴ QB 5 2 ， DQ 4 2 …………… 1 分
∵ AB 3 2 ∴ AQ 8 2 , DQ ∵ QH ∥ y 轴
42
∴ OD AD QH AQ
∴ 4 42 QH 8 2
∴ QH 8 …………………………………… 1 分 即点 Q 的纵坐标是 8 又点 Q 在直线 y x 4 上 点 Q 的坐标为 ( 4,8) …………… 1 分
（1）求抛物线的解析式； （2）联结 AC、BC、 AB，求 BAC 的正切值； （3）点 P 是该抛物线上一点， 且在第一象限内， 过点 P 作 PG AP 交 y 轴于点 G ，当点 G
在点 A 的上方，且 △ APG 与 △ ABC 相似时，求点 P 的坐标．
y
A
B
O
C
x
（第 24 题图）
24．（ 本题满分 12 分，每小题 4 分 ）
∴ n 1 ………………………………………… 1 分 （2 ）由可知点 B 的坐标为 ( 1,3)
∵抛物线 y x 2 bx c 经过点 A 、 B 16 4b c 0
∴
1b c 3 ∴ b 6， c 8 ∴抛物线 y x 2 bx c 的表达式为 y x 2 6x 8 ………………… 1 分 ∴抛物线 y x 2 6x 8 的顶点坐标为 P( 3, 1) …………… 1 分 ∴ AB 3 2 , AP 2 , PB 2 5 ∴ AB 2 BP 2 PB 2 ∴ PAB 90 …………………………………… 1 分
长宁区
24．（本题满分 12 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 3 分，第（ 3）小题 5 分）
如图在直角坐标平面内，抛物线 y ax2 bx 3与 y 轴交于点 A，与 x 轴分别交于点
B（ - 1， 0）、点 C（3， 0），点 D 是抛物线的顶点 . （ 1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （ 2）联结 AD、 DC，求 ACD 的面积； （ 3）点 P 在直线 DC上，联结 OP，若以 O、P、C 为顶点的三角形与△ ABC相似，求点 P 的坐标．
（ 2 分） （ 2 分）
（2）∵ A（ 0， - 3）， C（ 3， 0），D（ 1， - 4） ∴ AC 3 2 ， CD 2 5 ， AD 2
∴ CD 2 AC 2 AD 2 ∴ CAD 90
（ 2 分）
∴ S ACD
1 AC AD
2
1 32 2
2 3.
（3）∵ CAD
AOB 90 ， AD AC 2 ， BO AO
上海市各区 2018 届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题
宝山区、嘉定区
24．（ 本题满分 12 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 4 分，第（ 3）小题 4 分 ）
已知平面直角坐标系 xOy （如图 7），直线 y x m 的经过点 A( 4,0) 和点 B (n,3) . （1）求 m 、 n 的值； （2）如果抛物线 y x 2 bx c 经过点 A 、 B ，该抛物线的顶点为点 P ，求 sin ABP 的