初中奥数讲义_动态几何问题透视附答案
2020年初中数学竞赛讲义：第27讲-动态几何问题透视
2020年初中数学竞赛讲义：第27讲-动态几何问题透视春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来．动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是：1．动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．2．动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．3．以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”．【例题求解】【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是．思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和3，但该路线与直线l所围成的面积不只是两个扇形面积之和．【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A 移到点B时，A′B′的中点的位置( )A．在平分AB的某直线上移动B．在垂直AB的某直线上移动C．在AmB上移动D．保持固定不移动思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P 从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米，请你回答下列问题：(1)当x=3时，y的值是多少?(2)就下列各种情形：①0≤x≤2；②2≤x≤4；③4≤x≤6；④6≤x≤8．求y与x之间的函数关系式．(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下y与x 的关系．思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值．【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m ／秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2 (秒)．(1)当t为何值时，线段EF与BC平行?(2)设1<t<2，当t为何值时，EF与半圆相切?(3)当1≤t<2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．思路点拨动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于tAP是否为一定的方程；对于(3)，点P的位置是否发生变化，只需看PC值．注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．【例5】⊙O1与⊙O2相交于A、B两点；如图(1)，连结O2O1并延长交⊙O1于P点，连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连结C O2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD=α．(1)求：CD的长(用含R、α的式子表示)；(2)试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由；(3)设点P′为⊙O1上(⊙O2外)的动点，连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′，请你探究∠C′AD′是否等于α? C′D′与P′O l的位置关系如何?并说明理由．思路点拨对于(1)、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P点虽为OO l上的一个动点，但⊙O1、⊙O2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来．学力训练1．如图，ΔABC中，∠C=90°，AB=12cm，∠ABC=60°，将ΔABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的D处，则AC边扫过的图形的面积是cm (π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字)．2．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，将ΔABC绕点B旋转至ΔA'BC'的位置，且使A、B、C'三点在同一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是 cm ．3．一块等边三角形的木板，边长为l ，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束走过的路径长度为( )A ．23πB ．34πC ．4D ．232π+4．把ΔABC 沿AB 边平移到ΔA'B'C'的位置，它们的重叠部分的面积是ΔABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( )A ．12-B ．22C ．1D ．215．如图，正三角形ABC 的边长为63厘米，⊙O 的半径为r 厘米，当圆心O 从点A 出发，沿着线路AB —BC —CA 运动，回到点A 时，⊙O 随着点O 的运动而移动．(1)若r=3厘米，求⊙O 首次与BC 边相切时AO 的长；(2)在O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r的取值范围及相应的切点个数；(3)设O在整个移动过程中，在ΔABC内部，⊙O未经过的部分的面积为S，在S>0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围．6．已知：如图，⊙O韵直径为10，弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA，过点C作CD⊥AB于D．设CB 的长为x，CD的长为y．(1)求y关于x的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求y的值；(2)在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与⊙O有几种位置关系，并求出不同位置时y的取值范围；(3)在点B运动的过程中，如果过B作BE⊥AC于E，那么以BE 为直径的圆与⊙O能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE的长．7．如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角)．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=x，ON= (y>x≥0)，ΔAOM的面积为S，若cosα、OA是方程0-z+z的两个根．2522=(1)当∠MAN旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N移动的距离；(2)求证：AN2=ON·MN；(3)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．8．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm／s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t ，使线段PQ 把梯形ABCD 分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．9．已知：如图①，E 、F 、G 、H 按照AE=CG ，BF=DH ，BF ＝nAE(n 是正整数)的关系，分别在两邻边长a 、na 的矩形ABCD 各边上运动． 设AE=x ，四边形EFGH 的面积为S ．(1)当n=l 、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使?(2)当n=3时，如图④，求S 与x 之间的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)，探索S 随x 增大而变化的规律；猜想四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使ABCD S S 矩形21 ； (3)当n=k (k ≥1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由．10．如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位／秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位／秒的速度沿y轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作⊙O1．(1)若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O1相切?(3)如图2，若E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA⊥x轴于A点，连结AF交⊙O1于点P，试问PA·FA的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．参考答案。
专题01 几何动态问题(解析版)
专题01 几何动态问题1．小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系．如图1，ABC D 中，CD 为AB 边的中线，可得AD BD =，过点C 作CM AB ^于M ，则1122ADC BDC S AD CM BD CM S D D =×=×=．在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：（1）如图2，矩形ABCD 中，点M ，N 分别为CD ，AB 上的动点，且DM AN =，AM 与DN 交于点E ．连接CE ．①判断DAE D 与DME D 的面积关系；②若3AD =，4AB =，当点M 为CD 的中点时，求四边形BCEN 的面积；（2）ABC D 中，30A Ð=°，6AB =，点D 为AB 的中点，连接CD ，将ACD D 沿CD 折叠，点A 的对应点为点E ，若ECD D 与ABC D 重合部分的面积为ABC D 面积的14，直接写出ABC D 的面积．【解答】解：（1）①连接MN ，作DP AM ^，垂足为P ，//DM AN Q ，DM AN =，90ADM Ð=°，\四边形ANMD 是矩形，AE EM \=，DE EN =，12DAE S AE DP D \=×，12DME S EM DP D =×，DAE DME S S D D \=；②DNA DEC BCEN ABCD S S S S D D =--四边形四边形，E Q 为AM 的中点，E \到DM 的距离为12AD ，11114332222DEC S DC AD D \=×=´´´=，111433222DAN S AN AD D =×=´´´=，4312ABCD S AB CD =×=´=Q 矩形，12336BCEN S \=--=四边形；（2）设ACD S D 的高为h ，由前面提到的发现可知，CD 作为中线，可得ACD CDB S S D D =，11132222ACD S AD h AB h h D =×=´×=Q ，23ABC ACD S S h D D \==，设BC 交DE 于点Q ，Q 重合部分面积为ABC S D 的14，即13344CDQ S h h D =´=，11111244222CDQ ABC ADC ADC CDE CDB S S S S S S D D D D D D \==´===，CQ Q 是中线，QD QE \=，1111322222QE DE AD AB \===´=，CDE D Q 是由ACD D 沿CD 折叠，30A E \Ð=Ð=°，cos30°=Q\QE CE ==CE \，根据勾股定理得，CQ ==，CQE CQD S S D D \==14ABC CQE S S D D \=2．【问题再现】苏科版《数学》八年级下册第94页有这样一题：如图1，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，AD 上的点，GE BF ^，垂足为M ，那么GE = BF ．（填“<”、“ =”或“>” )【迁移尝试】如图2，在56´的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点M ．求AMC Ð的度数；【拓展应用】如图3，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP ，BP 为边在AB 的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF ，连接DE 分别交线段BC ，PC 于点M ，N ．①求DMC Ð的度数；②连接AC 交DE 于点H ，直接写出DH BC的值为 ．【解答】解：【问题再现】GE BF ^Q ，90BMG \Ð=°，将线段GE 向左平移至AL 处，交BF 于I ，AL GE \=，90AIB BMG Ð=Ð=°，90BAL ABI \Ð+Ð=°，Q 四边形ABCD 为正方形，AB BC \=，90ABC C Ð=Ð=°，90CBF ABI \Ð+Ð=°，BAL CBF \Ð=Ð，()ABL BCF ASA \D @D ，AL BF \=，GE BF \=，故答案为：=；【迁移尝试】将线段AB 向右平移至ND 处，使得点B 与点D 重合，连接PN ，如图2所示：AMC NDC \Ð=Ð，设正方形网格的边长为单位1，则由勾股定理可得：DN ==，PD ==，PN ==，222PN PD DN \+=，DPN \D 是直角三角形，90DPN Ð=°，且PN PD =，45AMC NDC \Ð=Ð=°；【拓展应用】①平移线段BC 至DK 处，连接KE ，如图3所示：则DMC KDE Ð=Ð，四边形DKBC 是平行四边形，DC KB \=，Q 四边形ADCP 与四边形PBEF 都是正方形，DC AD AP \==，BP BE =，90DAK KBE Ð=Ð=°DC AD AP KB \===，AG BP BE \==，在AKD D 和BEK D 中，AK BE DAK KBE AD KB =ìïÐ=Ðíï=î，()AKD BEK SAS \D @D ，DK EK \=，ADK EKB Ð=Ð，90EKB AKD ADK AKD \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90EKD \Ð=°，45KDE KED \Ð=Ð=°，45DMC KDE \Ð=Ð=°；②如备用图所示：AC Q 为正方形ADCP 的对角线，45DAC PAC DMC \Ð=Ð=Ð=°，AC \=，HCM BCA Ð=ÐQ ，AHD CHM ABC \Ð=Ð=Ð，ADH ACB \D D ∽，\DH AD BC AC ==，．3．已知，矩形ABCD中，4=，AC的垂直平分线EF分别交AD、BCBC cmAB cm=，8于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；D和CDE（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFBD各边匀速运动一周．即点P自A F B A®®®停止．在运动过程中，®®®停止，点Q自C D E C①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，0)ab¹，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．【解答】解：（1）①Q四边形ABCD是矩形，\，AD BC//Ð=Ð，CAD ACB\Ð=Ð，AEF CFEQ垂直平分AC，垂足为O，EF\=，OA OC\D@D，AOE COFOE OF \=，\四边形AFCE 为平行四边形，又EF AC ^Q ，\四边形AFCE 为菱形，②设菱形的边长AF CF xcm ==，则(8)BF x cm =-，在Rt ABF D 中，4AB cm =，由勾股定理得2224(8)x x +-=，解得5x =，5AF cm \=．（2）①显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上或P 在BF ，Q 在CD 时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，\以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA =，Q 点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，5PC t \=，4124QA CD AD t t =+-=-，即124QA t =-，5124t t \=-，解得43t =，\以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒．②由题意得，四边形APCQ 是平行四边形时，点P 、Q 在互相平行的对应边上．分三种情况：)i 如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP CQ =，即12a b =-，得12a b +=；)ii 如图2，当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时，AQ CP =，即12b a -=，得12a b +=；)iii 如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AP CQ =，即12a b -=，得12a b +=．综上所述，a 与b 满足的数量关系式是12(0)a b ab +=¹．4．（1）已知：如图1，ABC D 为等边三角形，点D 为BC 边上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边ADE D ，连接CE ．求证：①BD CE =，②120DCE Ð=°；（2）如图2，在ABC D 中，90BAC Ð=°，AC AB =，点D 为BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等腰Rt ADE D ，90DAE Ð=°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ，类比题（1），请你猜想：①DCE Ð的度数；②线段BD 、CD 、DE 之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D 点在BC 的延长线上运动，以AD 为边作等腰Rt ADE D ，90DAE Ð=°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连接BE ，若10BE =，6BC =，直接写出AE 的长．【解答】证明：（1）①如图1，ABC D Q 和ADE D 是等边三角形，AB AC \=，AD AE =，60ACB B Ð=Ð=°，60BAC DAE Ð=Ð=°，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，BAD EAC \Ð=Ð．在ABD D 和ACE D 中，AB AC BAD EAC AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，BD CE \=；②ABD ACE D @D Q ，60ACE B \Ð=Ð=°，6060120DCE ACE ACB \Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）90DCE Ð=°，222BD CD DE +=．证明：如图2，90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在ABD D 与ACE D 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，45B ACE \Ð=Ð=°，BD CE =，90B ACB ACE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90BCE \Ð=°，Rt DCE \D 中，222CE CD DE +=，222BD CD DE \+=；（3）①（2）中的结论还成立．理由：90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，BAC DAC DAE DAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在ABD D 与ACE D 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，45ABC ACE \Ð=Ð=°，BD CE =，90ABC ACB ACE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90BCE ECD \Ð=°=Ð，Rt DCE \D 中，222CE CD DE +=，222BD CD DE \+=；②Rt BCE D Q 中，10BE =，6BC =，8CE \===，8BD CE \==，862CD \=-=，Rt DCE \D中，DE ===，D Q\AE ==．5．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B ¢落在MN 上，折痕为EC ，连接DB ¢，如图2．①点B ¢在以点E 为圆心， BE 的长为半径的圆上；②B M ¢= ；③△DB C ¢为 三角形，请证明你的结论．拓展延伸（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点)B 折叠后，点B 的对应点B ¢落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB ¢D 面积的最大值为 ；②连接AB ¢，点P 为AE 的中点，点Q 在AB ¢上，连接PQ ，AQP AB E ¢Ð=Ð，则2B C PQ ¢+的最小值为 ．【解答】解：（1）由折叠的性质知，BE BE =¢，BC B C =¢，1322MA MB NC ND AB =====，B EB C Ð=Т，①由题意得，点B ¢在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上；②3MB MN MB MN ¢=-¢=-==；③BC B C CD =¢=Q ，而B D B C ¢===¢，\△DB C ¢为 等边三角形，故答案为①BE ；；③等边；（2）①33AB AE ==Q ，则1AE =，2BE =，Q 点B ¢在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上，如图1，ABB ¢\D 面积的最大时，只要AB 边上的高最大即可，\当B E AB ¢^时，ABB ¢D 面积的最大，ABB ¢\D 面积1132322AB B E =´´¢=´´=，故答案为3；②AQP AB E ¢Ð=ÐQ ，//PQ B E \¢，P Q 是AE 的中点，PQ \是AEB D ¢的中位线，如图2，12PQ B E \=¢，即2B C PQ B C B E ¢+=¢+¢，E \、B ¢、C 三点共线时，2B C PQ ¢+取得最小值为CE ，则CE ===，．6．（1）如图1，菱形ABCD 中，4AB =，60ABC Ð=°，点M ，N 分别为边AD ，DC 上的动点，且4DM DN +=，则四边形BMDN 的面积为 （2）如图2，平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，60ABC Ð=°，点M ，N 分别为边AD 、DC 上的动点，且4DM DN +=，则四边形BMDN 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请求出最值；（3）如图3，四边形ABCD 中，AB AD =，1CD =，90A C Ð=Ð=°，60ABC Ð=°，点M 、N 分别为边AD 、DC 上的动点，且2DM DN +=，是否存在M 、N ，使得四边形BMDN 面积最大且DMN D 的周长最小？若存在，求出DMN D 的周长最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点B 作BE DA ^延长线于点E ，过点B 作BF DC ^延长线于点F ，则90BEA BFC Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是菱形，//AB CD \，//AD BC ，60ABC D Ð=Ð=°，60BAE BCF \Ð=Ð=°，BE BF \==，连接BD ，设DM x =，则4DN x =-，BMD BNDBMDN S S S D D =+四边形1122MD BE DN BF =××+××11(4)22x =´+´-=故四边形BMDN 的面积为，故答案为：；（2）过点B 作BP DA ^延长线于点P ，过点B 作BQ DC ^延长线于点Q ，则90BPA BQC Ð=Ð=°，设DM x =，则4DN x =-，5AM AD DM BC DM x =-=-=-，3(4)1CN CD DN AB DN x x =-=-=--=-，Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC \，//AB CD ，60BAP ABC \Ð=Ð=°，60BCQ ABC Ð=Ð=°，在Rt ABP D 中，sin 60BP AB =×°=，在Rt BCQ D 中，sin 60BQ BC =×°=ABCD ABM BCNBMDN S S S S D D =--Y 四边形115(5)(1)22x x =-´-´-=-，3DN DC =Q …，43x \-…，1x \…，0k =<Q ，S \随着x 的增大而减小，1x \=时，四边形BMDN 的面积最大为=（3）连接BD ，AB AD =Q ，90A Ð=°，45ADB ABD \Ð=Ð=°，60ABC Ð=°Q ，15DBC \Ð=°，又90BCD Ð=°Q ，75BDC \Ð=°，120ADC Ð=°，设DM x =，则2DN x =-，21x \-…，1x \…，过点M 作MH BD ^，过点N 作NJ BD ^，BMD BDNBMDN S S S D D =+四边形1122BD MH BD NJ =´´+´´1[sin 45(2)sin 75]2BD x x =×××°+-°1[(sin 45sin 75)2sin 75]2BD x =×°-°+°，sin 45sin 750°-°<Q ，\当1x =时，BMDN S 四边形存在最大值，过点M 作CD 的垂线交于延长线于点K ，60MDK \Ð=°，12DK x \=，MK =，112222NK x x x =-+=-，在Rt MKN D 中，22221)(2)(1)32MN x x =+-=-+，当1x =时，2MN 存在最小值，最小值为3，MN \\存在M 、N ，使得四边形BMDN 面积最大且DMN D 的周长最小，DMN D 的周长最小为2+．7．阅读材料如图1，在ABCD中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF DE=，连接CF，证明ADE CFED@D，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移（1）如图2，AD是ABCD的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF=，求证：AC BF=．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD FD=，连接MC，¼¼请根据小明的思路完成证明过程．方法运用（2）如图3，在等边ABCD中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．①请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；②若4AB=，12CF CD=请直接写出CF的长．【解答】（1）证明：延长AD至M，使MD FD=，连接MC，在BDFD和CDMD中，BD CD BDF CDM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，()BDF CDM SAS \D @D ，MC BF \=，M BFM Ð=Ð，AE EF =Q ，EAF EFA \Ð=Ð，EFA BFM Ð=ÐQ ，M MAC \Ð=Ð，AC MC \=，AC BF \=；（2）①解：线段DF 与AD 的数量关系为：2AD DF =，证明如下：延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，如图2所示：Q 点F 为BE 的中点，BF EF \=，在BFM D 和EFD D 中，BF EF BFM EFD FM DF =ìïÐ=Ðíï=î，()BFM EFD SAS \D @D ，BM DE \=，MBF DEF Ð=Ð，//BM DE \，Q 线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，CD DE BM \==，120BDE Ð=°，18012060MBD \Ð=°-°=°，ABC D Q 是等边三角形，AB AC \=，60ABC ACB Ð=Ð=°，6060120ABM ABC MBD \Ð=Ð+Ð=°+°=°，180********ACD ACB Ð=°-Ð=°-°=°Q ，ABM ACD \Ð=Ð，在ABM D 和ACD D 中，AB AC ABM ACD BM CD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABM ACD SAS \D @D ，AM AD \=，BAM CAD Ð=Ð，60MAD MAC CAD MAC BAM BAC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，AMD \D 是等边三角形，2AD DM DF \==；②解：CF 的长为1或2．当CF 为BDE D 的中位线时，1122CF CD DE ==，C \为BD 的中点，4CD BC \==，122CF CD \==，如图3，当CF 不是BDE D 的中位线时，连接CE ，取BC 的中点N ，连接FN ，过点D 作DG CE ^，过点G 作GI CD ^于点I ，过点F 作FH BC ^于点H ，CDE D Q 为等腰三角形，120CDE Ð=°，30DCE \Ð=°，12DG CD \=，12CG CE =，12CF CD =Q ，DG CF \=，N Q 为BC 的中点，F 为BE 的中点，NF \是BCE D 的中位线，//NF CE \，12NF CE CG ==，30CNF DCE \Ð=Ð=°，12HF NF \=，12GI CG =，HF GI \=，NH CI =，FC GD =Q ，Rt FCH Rt GDI(HL)\D @D ，CH DI \=，NH CH CI DI \+=+，即NC CD =，2CD \=，即1CF =，综上所述，CF 的长为1或2．8．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE AG ^于点E ，BF AG ^于点F ，连接BE 、DF ，设EDF a Ð=，EBF b Ð=，tan tan k a b =×．（1）求证：DE EF BF =+．（2）求证：BG k BC=．（3）若点G 从点C 沿BC 边运动至点B 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC AD \==，90BAD ABC Ð=Ð=°，DE AG ^Q ，BF AG ^，90AED BFA \Ð=Ð=°，90ADE DAE \Ð+Ð=°，90BAF DAE Ð+Ð=°Q ，ADE BAF \Ð=Ð，在AED D 和BFA D 中，ADE BAF AED BFA AD BA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AED BFA AAS \D @D ，AE BF \=，DE AF =，DE AF AE EF BF EF \==+=+；（2）证明：在Rt DEF D 和Rt EFB D 中，tan tan EF EDF DE a Ð==，tan tan EF EBF BF b Ð==，\tan tan EF BF BF DE EF DEa b =×=，由（1）可知，ADE BAG Ð=Ð，90AED GBA Ð=Ð=°，AED GBA \D D ∽，\AE DE GB AB=，由（1）可知，AE BF =，\DE BF AB GB =，\BF GB DE AB=，tan tan k a b =×Q ，\GB k AB=，AB BC =Q ，\BG BG BF k BC AB DE===；（3）解：DE AG ^Q ，BF AG ^，90AED BFA \Ð=Ð=°，\当点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止时，点E 经过的路径是以AD 为直径，圆心角为90°的圆弧，同理可得点F 经过的路径，两弧交于正方形的中心点O ，如图所示：4AB AD ==Q ，\所围成的图形的面积14444AOB S S D ==´´=．9．如图，射线AB 和射线CB 相交于点B ，(0180)ABC a a Ð=°<<°，且AB CB =．点D 是射线CB 上的动点（点D 不与点C 和点B 重合），作射线AD ，并在射线AD 上取一点E ，使AEC a Ð=，连接CE ，BE ．（1）如图①，当点D 在线段CB 上，90a =°时，请直接写出AEB Ð的度数；（2）如图②，当点D 在线段CB 上，120a =°时，请写出线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）当120a =°，1tan 3DAB Ð=时，请直接写出CE BE的值．【解答】解：（1）连接AC ，如图①所示：90a =°Q ，ABC a Ð=，AEC a Ð=，90ABC AEC \Ð=Ð=°，A \、B 、E 、C 四点共圆，AEB ACB \Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，AB CB =，ABC \D 是等腰直角三角形，45ACB \Ð=°，45AEB \Ð=°；（2）AE CE =+，理由如下：在AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图②所示：ABC AEC Ð=ÐQ ，ADB CDE Ð=Ð，180180ABC ADB AEC CDE \°-Ð-Ð=°-Ð-Ð，A C \Ð=Ð，在ABF D 和CBE D 中，AF CE A C AB CB =ìïÐ=Ðíï=î，()ABF CBE SAS \D @D ，ABF CBE \Ð=Ð，BF BE =，ABF FBD CBE FBD \Ð+Ð=Ð+Ð，ABD FBE \Ð=Ð，120ABC Ð=°Q ，120FBE \Ð=°，BF BE =Q ，11(180)(180120)3022BFE BEF FBE \Ð=Ð=´°-Ð=´°-°=°，BH EF ^Q ，90BHE \Ð=°，FH EH =，在Rt BHE D 中，12BH BE =，FH EH ===，22EF EH \===，AE EF AF =+Q ，AF CE =，AE CE \=+；（3）分两种情况：①当点D 在线段CB 上时，在AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图②所示：由（2）得：FH EH ==，1tan 3BH DAB AH Ð==Q ，332AH BH BE \==，32CE AF AH FH BE \==-=-=，\CE BE =②当点D 在线段CB 的延长线上时，在射线AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图③所示：同①得：FH EH ==，332AH BH BE ==，32CE AF AH FH BE \==+==，\CE BE =；综上所述，当120a =°，1tan 3DAB Ð=时，CE BE ．10．如图，直线:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 为线段OA 的一个动点，以A 为圆心，AC 长为半径作A e ，A e 交AB 于点D ，连接OD 并延长交A e 于点E ，连接CD ．（1）当2AC =时，证明：OBD D 是等边三角形；（2）当OCD ODA D D ∽时，求A e 的半径r ；（3）当点C 在线段OA 上运动时，求OD DE g 的最大值．【解答】解：（1）Q 直线:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，\点A ，0)，点(0,2)B ，OA \=2OB =，tan OB BAO OA \Ð==30BAO \Ð=°，24AB OB \==，60ABO Ð=°，2AC AD ==Q ，2BD BO \==，且60ABO Ð=°，BDO \D 是等边三角形；（2）如图1，过点D 作DH AO ^于H ，OCD ODA D D Q ∽，30ODC OAB \Ð=Ð=°，AC AD =Q ，30BAO Ð=°，75ACD \Ð=°，45DOH ACD ODC \Ð=Ð-Ð=°，DH AO ^Q ，30DAO Ð=°，12DH r \=，AH ==，DH AO ^Q ，45DOH Ð=°，12DH OH r \==，AO OH AH =+=Q ，12r \=，6r \=-（3）如图2，连接EH ，过点O 作OG AB ^于G ，OG AB ^Q ，30BAO Ð=°，12OG AO \==3AG ==，3GD AD \=-，DH Q 是直径，90DEH OGD \Ð=°=Ð，又ODG HDE Ð=ÐQ ，ODG HDE \D D ∽，\GD OD DE DH=，239(3)22()22OD DE GD DH AD AD AD \==-=--+g g g ，\当32AD =时，OD DE g 的最大值为92．11．[问题提出]（1）如图1，已知线段4AB =，点C 是一个动点，且点C 到点B 的距离为2，则线段AC 长度的最大值是 6 ；[问题探究]（2）如图2，以正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，E 为半圆O 上一动点，若正方形的边长为2，求AE 长度的最大值；[问题解决]（3）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC ，经测量，AC =120BC =米，30ACB Ð=°，BC 下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC 下方找一点P ，将该花地扩建为四边形ABPC ，扩建后沿AP 修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分BPC D 需满足60BPC Ð=°．为容纳更多游客，要求小路AP 的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP 的长度是否存在最大值？若存在，求出AP 的最大长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当C 在线段AB 延长线上时，AC 最大，此时426AC AB BC =+=+=，故答案为：6；（2）连接AO 并延长交半圆O 于F ，如图：Q 正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，边长为2，90ADO \Ð=°，2AD =，1OD OD OF ===，当E 运动到F 时，AE 最大，AF 的长度即是AE 的最大值，Rt AOD D 中，AO ==1AF AO OF \=+=，即AE 1；（3）作BC 的垂直平分线DE ，在BC 下方作30BCO Ð=°，射线CO 交DE 于O ，以O 为圆心，OC 为半径作O e ，连接OB 、连接AO 并延长交O e 于P ，则AP 为满足条件的小路，过A 作AF OC ^于F ，如图：30BCO Ð=°Q ，30ACB Ð=°，60ACF \Ð=°，Rt ACF D 中，sin 6030AF AC =×°=，cos60CF AC =×°=DE Q 垂直平分BC ，120BC =，60CE \=，90OEC Ð=°，cos30CE OC OP \===°，OF OC CF \=-=，Rt AOF D 中，60OA ==，60AP OA OP \=+=+．即小路AP 的长度最大为60+12．在O e 中，弦CD 平分圆周角ACB Ð，连接AB ，过点D 作//DE AB 交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O e 的切线；（2）若1tan 3CAB Ð=，且B 是CE 的中点，O e DE 的长．（3）P 是弦AB 下方圆上的一个动点，连接AP 和BP ，过点D 作DH BP ^于点H ，请探究点P 在运动的过程中，BH AP BP+的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．【解答】证明：（1）如图1，连接OD 交AB 于点F ，连接OA ，OB ，AD ，CD Q 平分ACB Ð，ACD BCD \Ð=Ð，\AD BD =，AOD BOD \Ð=Ð，OA OB =Q ，OD AB \^，//AB DE Q ，OD DE \^，DE \是O e 的切线．解：（2）如图2，连接OC ，OD ，OE ，过点O 作OF BC ^于点F ，2BOC BAC \Ð=Ð，OB OC =Q ，OF BC ^，12COF COB CAB \Ð=ÐÐ=Ð，1tan tan 3CF COF CAB OF \Ð==Ð=，设CF x =，3OF x =，O Qe ，OC \=，222OF CF +Q ，222(3)x x \=+，解得：12x =，12CF \=，32OF =，1BC \=，B Q 是CE 的中点，1BE BC \==，32EF \=，222OE OF EF =+Q ，2223318((224OE \=+=，222OD DE OE +=Q ，DE \===（3）解法一：如图3，延长BP 至Q 使得PQ AP =，连接AQ ，OC ，连接OB ，BD ，连接OD 交AB 于点K ，连接HK ，A Q ，P ，B ，C 四点共圆，APQ ACB \Ð=Ð，AP PQ =Q ，Q QAP \Ð=Ð，1902Q ACB \Ð=°-Ð，DE Q 是O e 的切线，OD DE \^，//DE AB Q ，OD AB \^，K \是AB 的中点，DH BH ^Q ，90BHD \Ð=°，90BKD Ð=°Q ，B \，K ，H ，D 四点共圆，BHK ODB \Ð=Ð，BOD ACB Ð=ÐQ ，OB OD =，1902ODB ACB \Ð=°-Ð，ODB Q \Ð=Ð，BHK Q \Ð=Ð，//AQ HK \，\12BH BK BQ AB ==，BQ BP QP =+Q ，QP AP =，BQ BP AP \=+，\12BH BP AP =+．解法二：如图4，在BP 上截取BM AP =，连接DM ，BD ，DP ，AD ，Q 弦CD 平分圆周角ACB Ð，AD BD \=，Q AP AP =，PAD PBD MBD \Ð=Ð=Ð，()APD BMD SAS \D @D ，DP DM \=，AP BM =，DH BP ^Q ，DH \为PDM D 的中线，HP HM \=，2BP BM PM BM HM \=+=+，BH BM HM =+Q ，\122BH BM HM AP BP BM BM HM +==+++．13．在ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 是直线AB 上的一动点（不与点A ，B 重合）连接CD ，在CD 的右侧以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE ，点H 是BD 的中点，连接EH ．【问题发现】（1）如图（1），当点D 是AB 的中点时，线段EH 与AD 的数量关系是 12EH AD =， ．EH 与AD 的位置关系是 ．【猜想论证】（2）如图（2），当点D 在边AB 上且不是AB 的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AC BC ==，其他条件不变，连接AE 、BE ．当BCE D 是等边三角形时，请直接写出ADE D 的面积．【解答】解：（1）如图1中，CA CB=Q，90ACBÐ=°，AD BD=，CD AB\^，CD AD DB==，45A B\Ð=Ð=°，45DCB ACDÐ=Ð=°，45DCEÐ=°Q，\点E在线段CB上，DE BC^Q，45EDB B\Ð=Ð=°，DH HB=Q，EH DB \^，1122EH DB AD==，故答案为12EH AD=，EH AD^．（2）结论仍然成立：理由：如图2中，延长DE到F，使得EF DE=，连接CF，BF．DE EF=Q．CE DF^，CD CF\=，45CDF CFD\Ð=Ð=°，45ECF ECD\Ð=Ð=°，90ACB DCF\Ð=Ð=°，ACD BCF\Ð=Ð，CA CB=Q，()ACD BCF SAS\D@D，AD BF \=，45A CBF Ð=Ð=°，45ABC Ð=°Q ，90ABF \Ð=°，BF AB \^，DE EF =Q ，DH HB =，12EH BF \=，//EH BF ，EH AD \^，12EH AD =．（3）如图31-中，当BCE D 是等边三角形时，过点E 作EH BD ^于H ．90ACB Ð=°Q ，60ECB Ð=°，30ACE \Ð=°，AC CB CE EB DE =====Q 75CAE CEA \Ð=Ð=°，45CAB Ð=°Q ，30EAH \Ð=°，90DEC Ð=°Q ，60CEB Ð=°，150DEB \Ð=°，15EDB EBD \Ð=Ð=°，EAH ADE AED Ð=Ð+ÐQ ，15ADE AED \Ð=Ð=°，AD AE \=，设EH x =，则2AD AE x ==，AH =，222EH DH DE +=Q ，22(2)8x x \+=，1x \=-，2AD \=-，112)1)422ADE S AD EH D \=××=´×-=-如图32-中，当BCE D 是等边三角形时，过点E 作EH BD ^于H ．同法可求：1EH =，2AD =，111)422ADE S AD EH D \=××=´+=+综上所述，满足条件的ADE D 的面积为4-或4+．14．在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF FE AG ==，且12AG AB …，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求P Ð的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中P Ð的度数是否发生变化，若有改变，请求出P Ð的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN GP ^于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC 为定值．==Q，E与C重合，BF CF BG AG\===，\Ð=°，BGF45//Q，AB CD\Ð=Ð=°．45P BGF（2）不变．理由如下：如图所示，连接BD，取BD中点O，连接OG，OF，OC．在正方形ABCD中，有：Ð=Ð=°，OC OBOCF OBG=，45又AG BF=Q，\=，BG CF\D@D．OCF OBG SAS()Ð=Ð，\=，COF BOGOG DF\Ð=Ð=°，GOF BOC90GOF\D为等腰直角三角形．又OQ，F分别是BD，BE的中点，\，//OF DE\Ð=Ð=°．P OFG45（3）如图所示，取DP 中点Q ，连接NQ ，BD ，MQ ，由题意可得，DNP D 为等腰直角三角形，Q Q 为DP 中点，NQ DP \^．设CDP a Ð=，则45NDC a Ð=°+，45BDP a Ð=°-，M Q ，Q 分别是BP ，DP 的中点，//MQ BD \，45MQP BDP a \Ð=Ð=°-，90(45)45NQM a a \Ð=°-°-=°+，NQM NDC \Ð=Ð．，CD BD \又NQD D Q 为等腰直角三角形，\NQ ND =\NQ MQ ND CD ==，NQM NDC \D D ∽．\MN NQ NC ND ==\MNNC为定值．15．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将BCED绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF 是 （填“是”或“不是”)“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，10AB BC==，2CD=，AD AB>，过点B作BE AD^于E．①过C作CF BF^于点F，试证明：BE DE=，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求BCMD周长的最小值．【解答】解：（1）Q将BCED绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，ABF CBE \Ð=Ð，BF BE =，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC D \Ð=Ð=°，90ABE CBE \Ð+Ð=°，90ABE ABF \Ð+Ð=°，即90EBF D Ð=Ð=°，180EBF D \Ð+Ð=°，90EBF Ð=°Q ，BF BE =，\四边形BEDF 是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：Q 四边形ABCD 是“直等补”四边形，10AB BC ==，2CD =，AD AB >，90ABC \Ð=°，180ABC D Ð+Ð=°，90D \Ð=°，BE AD ^Q ，CF BE ^，90DEF \Ð=°，90CFE Ð=°，\四边形CDEF 是矩形，DE CF \=，2EF CD ==，90ABE A Ð+Ð=°Q ，90ABE CBE Ð+Ð=°，A CBF \Ð=Ð，90AEB BFC Ð=Ð=°Q ，AB BC =，()ABE BCF AAS \D @D ，BE CF \=，AE BF =，DE CF =Q ，BE DE \=；Q 四边形CDEF 是矩形，2EF CD \==，ABE BCF D @D Q ，AE BF \=，2AE BE \=-，设BE x =，则2AE x =-，在Rt ABE D 中，222(2)10x x +-=，解得：8x =或6x =-（舍去），BE \的长是8；②BCM D Q 周长BC BM CM =++，\当BM CM +的值最小时，BCM D 的周长最小，如图，延长CD 到点G ，使DG CD =，连接BG 交AD 于点M ¢，过点G 作GH BC ^，交BC 的延长线于点H ，90ADC Ð=°Q ，\点C 与点G 关于AD 对称，BM CM BM MG BG \+=+…，即BM CM BM M C +¢+¢…，\当点M 与M ¢重合时，BM M C ¢+¢的值最小，即BCM D 的周长最小，在Rt ABE D 中，6AE ===，Q 四边形ABCD 是“直等补”四边形，180A BCD \Ð+Ð=°，180BCD GCH Ð+Ð=°Q ，A GCH \Ð=Ð，90AEB H Ð=Ð=°Q ，ABE CGH \D D ∽，\10542BE AE ABGH CH CG====，即88252GH CH-==，165GH\=，125CH=，12621055BH BCCH\=+=+=，BG\===，BCM\D周长的最小值为10+．16．如图，正方形ABCD中，AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，2OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE CF=；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．（3）求线段OF长的最小值．【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：90EDFÐ=°，ED DF=，Q四边形ABCD是正方形，90ADC\Ð=°，AD CD=，ADC EDF\Ð=Ð，即ADE EDC EDC CDFÐ+Ð=Ð+Ð，ADE CDF\Ð=Ð，在ADED和CDFD中，QAD CDADE CDFDE DF=ìïÐ=Ðíï=î，()ADECDF SAS\D@D，AE CF\=；（2）解：如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P，O Q 是BC 的中点，且AB BC ==A Q ，E ，O 三点共线，OB \=由勾股定理得：5AO =，2OE =Q ，523AE \=-=，由（1）知：ADE CDF D @D ，DAE DCF \Ð=Ð，3CF AE ==，BAD DCP Ð=ÐQ ，OAB PCF \Ð=Ð，90ABO P Ð=Ð=°Q ，ABO CPF \D D ∽，\2AB CP OB PF ===，2CP PF \=，设PF x =，则2CP x =，由勾股定理得：2223(2)x x =+，x =（舍)，\，OP ==，由勾股定理得：OF ==，（3）解：如图3，由于2OE =，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA 到P 点，使得AP OC =，连接PE ，AE CF =Q ，PAE OCF Ð=Ð，()PAE OCF SAS \D @D ，PE OF \=，当PE 最小时，为O 、E 、P 三点共线，OP===，\==-=-，PE OF OP OE2\的最小值是2．OF17．ABC=，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重Ð=°，AB ACBACD中，90合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为： 垂直 ．②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB =，14CD BC =，请求出GE 的长．【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF Ð=Ð=°Q ，BAD CAF \Ð=Ð，在DAB D 与FAC D 中，AD AF BAD CAF AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()DAB FAC SAS \D @D ，B ACF \Ð=Ð，90ACB ACF \Ð+Ð=°，即BC CF ^；故答案为：垂直；②DAB FAC D @D ，CF BD \=，BC BD CD =+Q ，BC CF CD \=+；故答案为：BC CF CD =+；（2）CF BC ^成立；BC CD CF =+不成立，CD CF BC =+．Q 正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF Ð=Ð=°Q ，BAD CAF \Ð=Ð，在DAB D 与FAC D中，AD AF BAD CAF AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()DAB FAC SAS \D @D ，ABD ACF \Ð=Ð，90BAC Ð=°Q ，AB AC =，45ACB ABC \Ð=Ð=°．18045135ABD \Ð=°-°=°，1354590BCF ACF ACB \Ð=Ð-Ð=°-°=°，CF BC \^．CD DB BC =+Q ，DB CF =，CD CF BC \=+．（3）解：过A 作AH BC ^于H ，过E 作EM BD ^于M ，EN CF ^于N ，90BAC Ð=°Q ，AB AC =，4BC \==，122AH BC ==，114CD BC \==，122CH BC ==，3DH \=，由（2）证得BC CF ^，5CF BD ==，Q 四边形ADEF 是正方形，AD DE \=，90ADE Ð=°，BC CF ^Q ，EM BD ^，EN CF ^，\四边形CMEN 是矩形，NE CM \=，EM CN =，90AHD ADE EMD Ð=Ð=Ð=°Q ，90ADH EDM EDM DEM \Ð+Ð=Ð+Ð=°，ADH DEM \Ð=Ð，在ADH D 与DEM D 中，ADH DEM AHD DME AD DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ADH DEM AAS \D @D ．3EM DH \==，2DM AH ==，3CN EM \==，3EN CM ==，45ABC Ð=°Q ，45BGC \Ð=°，BCG \D 是等腰直角三角形，4CG BC \==，1GN \=，EG \==．18．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：ADG ABE D @D ；（2）连接FC ，观察并猜测FCN Ð的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB a =，(BC b a =、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、)C ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，FCN Ð的大小是否总保持不变？若FCN Ð的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan FCN Ð的值；若FCN Ð的大小发生改变，请举例说明．【解答】（1）证明：Q四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，\=，AE AGAB ADÐ=Ð=°，BAD EAG=，90\Ð+Ð=Ð+Ð，BAE EAD DAG EADBAE DAG\Ð=Ð，\D@D．BAE DAG（2）解：45Ð=°，FCN理由是：作FH MN^于H，Q，Ð=Ð=°AEF ABE90Ð+Ð=°，FEH AEB90\Ð+Ð=°，90BAE AEB\Ð=Ð，FEH BAEQ，90又AE EF=Ð=Ð=°，EHF EBA\D@D，EFH ABE\=，EH AB BCFH BE==，\==，CH BE FHÐ=°Q，FHC90\Ð=°．FCN45（3）解：当点E由B向C运动时，FCNÐ的大小总保持不变，理由是：作FH MN^于H，由已知可得90Ð=Ð=Ð=°，EAG BAD AEF结合（1）（2）得FEH BAE DAGÐ=Ð=Ð，又GQ在射线CD上，。
动态几何(讲义及答案)
《动态几何》预习指南【预习阶段】一、 以下内容是我们已经学过的，检测一下 图形运动处理框架 1．研究____________研究边、角、对角线、特殊图形等． 2．______________，分段、定范围分析时借助运动状态分析图，关注四要素： __________________________________________、 __________________________________________、 __________________________、________________． 3．分段画图，设计方案表达面积． 借助上面填写的内容，做下面的小题如图，四边形OABC 为矩形，A (6，0)，C (0，23)，D (0，33)，OA 的中点为E ，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P ，Q 分别是l 和x 轴正半轴上的动点，初始时刻点P 与点D 重合，点Q 与点E 重合，将线段PQ 沿x 轴正方向平移，平移过程中，△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，设点P 的横坐标为x ，尝试画出运动状态分析图，并求出第一段内S 关于x 的函数关系式．P (D )Q (E )y lBCO A xE y D lBCO A x第一步：找碰撞点、碰撞时x的值碰撞点，碰撞时x的值P（D）0Q（E）0_______，_______，_______，_______，_______，_______．第二步：根据上述碰撞点，画出运动状态分析图第三步：求出第一段时间内，S关于x的函数关系式及自变量的取值范围．第四步：若对上述分析框架不清楚，要求动作完成不下来，建议学习2015中考数学专题复习（十）图形运动产生的面积问题2015中考数学专题复习（十二）动态几何综合若无问题，可进入下面的预习环节．四、建议按照下面三个要求去做：①预习时用铅笔，将计算、演草都保留在讲义上；②预习时间控制在一个小时，每题10-15分钟；③每天预习时，看知识点睛→做题，思路受阻时（某个点做了2-3分钟）→再看知识点睛，再做题（再做2-3分钟），如果还不行就放弃，课堂重点听讲．五、小结基础平台篇一、综述动态几何问题，是在动态背景下，探究图形性质和图形间关系的问题．动态背景主要涉及图形运动（点、线、形）及图形变换（平移、旋转、对称）．常考查重叠部分面积、特殊位置关系、图形存在性等问题．此类问题，通常需要分析运动过程、分段画图，进而将整个运动过程拆分为几段逐一解决．函数综合问题，是在函数背景下，探究函数与几何间关系的问题．常考查几何图形间的函数关系或函数图象中的几何图形问题，以存在性问题为主．此类问题，通常从研究坐标、表达式入手，结合背景图形的几何信息，借助函数特征与几何特征的相互转化来解决．二、能力储备1.动点处理框架[1]➢研究背景图形．➢分析运动过程，分段、定范围．➢分析几何特征、表达、设计方案求解．分析运动过程常借助运动状态分析图，需关注四要素：①起点、终点——确定时间范围；②速度（注意速度是否变化）；③状态转折点——确定分段，常见状态转折点有拐点、碰撞点等；④所求目标——明确方向．2.图形运动处理框架[2]➢研究背景图形．➢分析运动过程，分段、定范围．➢分段画图，设计方案表达面积．分析运动过程常借助运动状态分析图，需关注四要素：①起始位置、终止位置——确定时间范围；②速度（注意速度是否变化）；③状态转折点——确定分段，状态转折通常是边与顶点碰撞的时刻；④所求目标——明确方向．3.函数处理框架[3]➢研究坐标、表达式，分析背景图形．➢梳理条件、整合信息．要借助横平竖直线段长，将函数特征与几何特征结合在一起进行研究．➢设计方案求解．常见处理思路：①根据几何特征表达点坐标，代入函数表达式求解；②由函数表达式设出点坐标，借助几何特征求解；③函数表达式联立求解．4.面积处理思路[4]公式法：常用于规则图形，如三角形面积12S ah=，梯形面积12()S a b h =+．割补法：常用于不规则图形，如坐标系背景下斜三角形面积常采用铅垂法．转化法：等底类、等高类、相似类．5.存在性问题——等腰三角形[5]①两定一动（两圆一线）②夹角固定、两点动（借助三线合一找相似）③三动点（分析不变特征，表达边或角）6.存在性问题——直角三角形从直角入手，确定分类．常利用勾股定理逆定理、三等角模型、121k k⋅=-解决问题．7.存在性问题——等腰直角三角形[6]从直角入手，确定分类．常构造弦图模型解决问题．参考：[1] 2015中考数学专题复习（九）动点问题[2] 2015中考数学专题复习（十）图形运动产生的面积问题2015中考数学专题复习（十二）动态几何综合[3] 2015中考数学专题复习（十一）反比例函数与几何综合2015中考数学专题复习（十四）二次函数与几何综合[4] 2015中考数学专题复习（十）图形运动产生的面积问题2015中考数学专题复习（十三）二次函数之面积问题[5] 2015中考数学专题复习（十二）动态几何综合2015中考数学专题复习（十五）四边形的存在性[6] 2015中考数学专题复习（十四）二次函数与几何综合动态几何（讲义）一、知识点睛解决动态几何问题要注意分段和线段长表达． ①分段关键是找状态转折点或碰撞点．②线段长表达要找准对应的速度和时间．尤其注意起始时刻不同、往返运动、运动过程中速度变化等情形．二、精讲精练1. 如图，已知一次函数7y x =-+与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B . （1）求点A 和点B 的坐标．（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿O →C →A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同的速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 的运动时间为t 秒． ①当t 为何值时，以A ，P ，R 为顶点的三角形的面积为8？ ②是否存在以A ，P ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．l P R QC AB xyOOy xB ACO y xB ACO y xB ACO y xB AC2. 如图，在□OABC 中，点A 在x 轴正半轴上，∠AOC =60°，OC =4cm ，OA =8cm ．动点P 从点O 出发，以1cm/s 的速度沿折线OA -AB 运动；动点Q 同时．．从点O 出发，以a cm/s 的速度沿折线OC -CB 运动，当其中一点到达终点B 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1）当a =1时，设△OPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关 系式，并直接写出当t 为何值时，S 的值最大？（2）当点P 在OA 边上，点Q 在CB 边上时，线段PQ 与对角 线OB 交于点M ．若以O ，M ，P 为顶点的三角形与△OAB 相 似，求a 与t 之间的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．x PQ BAC OyyO CA BxyO CABxyO CABxyO CABx3. 如图1，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(8，3)，定点D 的坐标为(12，0)．动点P 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴的正方向匀速运动；动点Q 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的负方向匀速运动，P ，Q 两点同时出发，相遇时停止．在运动过程中，以PQ 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形PQR ．设运动时间为t 秒． （1）当t =______时，△PQR 的边QR 经过点B ．（2）设△PQR 和矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）如图2，过定点E (5，0)作EF ⊥BC ，垂足为F ，当△PQR 的顶点R 落在矩形OABC 的内部时，过点R 作x 轴、y 轴的平 行线，分别交EF ，BC 于点M ，N ．若∠MAN =45°，求t 的值．图1DQ xBROC yA P图2MN FE DQxBR OCyA PA yC O BxD A yC O BxD A yC O BxD4. 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点O 为对角线BD的中点，点P 从点A 出发，沿折线AD -DO -OC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与△ABD 重叠部分的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒．（1）当点N 落在BD 上时，求t 的值；（2）当点P 在折线AD -DO 上运动时，求S 与t 之间的函数关 系式；（3）直接写出直线DN 平分△BCD 面积时t 的值．N M A (Q )D BP COA DB COA DB COA D BCOA D BCOA DB CO【参考答案】1．（1）(34)(70)A B ，，，．（2）①2t =时，△APR 的面积为8．②存在，t 的值为2264115438或或或时，△APQ 是等腰三角形． 2．（1）223(04)43(48)333(812)4t t S t t t t t ⎧<⎪⎪⎪=<⎨⎪⎪-+<⎪⎩≤≤≤t =8时，S 的值最大．（2）21(68)a t t =-<<或41(08)a t t =+<<．3．（1）1．（2）22396(01)21519(12)271428(24)4t t S t t t t t t ⎧-+⎪⎪⎪=--+<⎨⎪⎪-+<⎪⎩≤≤≤≤（3）t =827-． 4．（1）t =127．（2）22212(0)7251276(3)2479187211(3)40552t t S t t t t t t ⎧<⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪-+<⎪⎩≤≤≤（3）存在，t 的值为2436171173或或．。
2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题(含答案)
2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题1．如图，在矩形ABCD 中，已知点A （2，1），且AB ＝4，AD ＝3，把矩形ABCD 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝（x ＞0）的图象为曲线L ．（1）若曲线L 过AB 的中点．①求k 的值．②求该曲线L 下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L 上方与下方的靓点个数相同，求k 的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 相交于点 ，与 轴相交于点 ，点 的横坐标为-2.（1）求 的值；（2）直接写出当 且 时， 的取值范围；（3）设点 是直线AB 上的一点，过点 作 轴，交反比例函数 的图象于点 .若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点 的坐标.k x12y x =-+2(0)k y x x=<B x A B k 0x <12y y <x M M //MN x 2(0)k y x x=<N M3．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A （，1）在反比例函数y ＝ 的图象上．（1）求反比例函数y ＝ 的表达式； （2）在x 轴上是否存在一点P ，使得S △AOP ＝S △AOB ，若存在，求所有符合条件点P 的坐标；若不存在，简述你的理由．4．如图，点 ， 在 轴上，以 为边的正方形 在 轴上方，点 的坐标为 ，反比例函数 的图象经过 的中点 ， 是 上的一个动点，将 沿 所在直线折叠得到 .（1）求反比例函数 的表达式； （2）若点 落在 轴上，求线段 的长及点 的坐标.k x k x12A B x AB ABCD x C (14)，(0)k y k x=≠CD E F AD DEF EF GEF (0)k y k x=≠G y OG F5．如图，已知反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过点A （4，2），过A 作AC ⊥y 轴于点C ．点B 为反比例函数图象上的一动点，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，连接AD ．直线BC 与x 轴的负半轴交于点E ．（1）求k 的值；（2）连接CD ，求△ACD 的面积；（3）若BD ＝3OC ，求四边形ACED 的面积．6．已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．（1）求的值和直线的解析式；（2）如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；（3）如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．k x(4)A n ，8(0)y x x=>n OA 8(0)y x x =>O 45︒y M OM OA O 45︒8(0)y x x=>B B7．已知：反比例函数的图像过点A （ ， ），B （ ， ）且 （1）求m 的值；（2）点C 在x 轴上，且 ，求C 点的坐标；（3）点Q 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的右侧，设直线QA ，QB 与y 轴分别交于点E 、D ，试判断DE 的长度是否变化，若变化请说明理由，若不变，请求出长度.8．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图象上；（1）m= ；（2）已知，过点、D 点作直线交双曲线于E 点，连接OB ，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，求b 的取值范围．m y x =1x 121m --2x 45m-120x x +=16ABC s ∆=()22A ，()1B m ，()0k y x x=>0b >()40C b -，()0b ，()0k y x x=>9．已知，矩形OCBA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 坐标为（3，6），反比例函数的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，顺次连接O ，D ，E ．（1）求m 的值及点E 的坐标；（2）点M 为y 轴正半轴上一点，若△MBO 的面积等于△ODE 的面积，求点M 的坐标；（3）平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得O ，D ，E ，N 四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M的坐标．m y x=1y x =+()0m y x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．（1）求和的值；（2）当点在线段上时，如果，求的值；（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．12．如图，等边和等边的一边都在x 轴上，双曲线经过的中点C 和的中点D ．已知等边的边长为4．（1）求k 的值；（2）求等边的边长；（3）将等边绕点A 任意旋转，得到等边，P 是的中点（如图2所示），连结，直接写出的最大值．xOy 34l y x b =+：x y A B x k H y =：922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x m =H E D k b E AB ED BO =m C y BCDE C OAB AEF ()0k y k x=>OB AE OAB AEF AEF AE F '' E F ''BP BP13．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝ 的图象上的两个动点，过A 、B 分别作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，分别交反比例函数y ＝－ 的图象于点C 、D ，四边形ACBD 是平行四边形. （1）若点A 的横坐标为－4.①直接写出线段AC 的长度；②求出点B 的坐标；（2）当点A 、B 不断运动时，下列关于□ACBD 的结论：①□ACBD 可能是矩形；②□ACBD 可能是菱形；③□ACBD 可能是正方形；④□ACBD 的周长始终不变；⑤□ACBD 的面积始终不变.其中所有正确结论的序号是 .8x2x14．在平面直角坐标系 中，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于点 与点Q ． （1）求点Q 的坐标；（2）若存在点 ，使得 ，求c 的值； （3）过点 平行于x 轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数 、反比例函数数 的图象相交于点 、点 ，当 时，请直接写出a 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限相交于点C ，且点B 是AC 的中点xOy ()1110y k x k =≠()2220k y k x=≠(11)P ，(0)C c ，2PQC S = (0)M a ，()1110y k x k =≠()2220k y k x =≠()11A x y ，()22B x y ，1252x x +≤kx（1）如图1，求反比例函数y=（k≠0）的解析式；（2）如图2，若矩形FEHG 的顶点E 在直线AB 上，顶点F 在点C 右侧的反比例函数y=（k≠0）图象上，顶点H ，G 在x 轴上，且EF=4．①求点F 的坐标；②若点M 是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F 的左侧，连结MG ，并在MG 左侧作正方形GMNP ．当顶点N 或顶点P 恰好落在直线AB 上，直接写出对应的点M 的横坐标．16．如图，动点P 在函数y （x ＞0）的图象上，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数y 的图象于点A 、B ，连接AB 、OA 、OB ．设点P 横坐标为a ．（1）直接写出点P 、A 、B 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）点P 在运动的过程中，△AOB 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在平面内有一点Q （，1），且点Q 始终在△PAB 的内部（不包含边），求a 的取值范围．k xk x 3x =1x =-1317．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点A （8，1）．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积；（3）在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O 的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．18．如图1所示，已知 图象上一点 轴于点 ，点 ，动点 是 轴正半轴点 上方的点，动点 在射线AP 上，过点 作AB 的垂线，交射线AP 于点 ，交直线MN 于点 ，连结AQ ，取AQ 的中点 . m x6(0)y x x=>P PA x ⊥，(0)A a ，(0)(0)B b b >，M y B N B D Q C（1）如图2，连结BP ，求 的面积；（2）当点 在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为 .①求此时点Q ，P 的坐标；②此时在y 轴上找到一点E ，求使|EQ-EP|最大时的点E 的坐标.19．已知反比例函数y=的图象经过点A （6，1）．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数y=在第一象限的图象上点A 的左侧取点C ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，过点C 作y 轴的垂线CE ，垂足为点E ，交直线AH 于点D ．①过点A 、点C 分别作y 轴、x 轴的垂线，两条垂线相交于点B ，求证：O 、B 、D 三点共线；②若AC=2CO ，求证：∠OCE=3∠CDO ．PAB Q k xk x20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y 轴交于点C ．（1） ， ；（2）过点A 作轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点E ，当时，求点P 的坐标．（3）点M 是坐标轴上的一个动点，点N 是平面内的任意一点，当四边形是矩形时，求出点M 的坐标．21．如图1，将函数的图象T 1向左平移4个单位得到函数的图象T 2，T 2与y 轴交于点．（1）若，求k 的值（2）如图2，B 为x 轴正半轴上一点，以AB 为边，向上作正方形ABCD ，若D 、C 恰好落在T 1上，线段BC 与T 2相交于点E①求正方形ABCD 的面积；②直接写出点E 的坐标．114y k x =+22k y x=()2A m ，()62B --，1k =2k =AD x ⊥OP AD Δ41ODE ODAC S S =四边形：：ABMN ()0k y x x =>()44k y x x =>-+()0A a ，3a =22．如图1，直线的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点D 是线段AB 上一点，过D 点分别作OA 、OB 的垂线，垂足分别是C 、E ，矩形OCDE 的面积为4，且．（1）求D 点坐标；（2）将矩形OCDE 以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPQ ，记平移时间为t 秒．①如图2，当矩形MNPQ 的面积被直线AB 平分时，求t 的值；②如图3，当矩形MNPQ 的边与反比例函数的图像有两个交点，记为T 、K ，若直线TK 把矩形面积分成1：7两部分，请直接写出t 的值．23．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，26y x =-+CD DE >12y x=()40A -，()04B ，AB ()0k y k x=≠()6C a ，（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，试问在x 轴上是否存在一点D ，使的面积与的面积相等，若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，其中A ，B 两点在反比例函数 图象上，且A 点横坐标为，点C 坐标为，当为直角三角形时，求n 的值．24．如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足 +（a +b +3）2＝0，平等四边形ABCD的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝经过C 、D 两点． （1）a ＝ ，b ＝ ；（2）求D 点的坐标；（3）点P 在双曲线y ＝ 上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；（4）以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN ⊥HT ，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若()6E m ，()0k y k x=≠CE AE ，ACD ACE ABC AB BAC ∠n y x=1-()02，ABC k x k xMN HT不改变，请求出其值，并给出你的证明．25．在平面直角坐标系中，已知点，点.（1）若将沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；（2）若绕点按逆时针方向旋转度.①当时，点恰好落在反比例函数图象上，求的值；②问点能否同时落在(1)中的反比例函数的图象上?若能，直接写出的值；若不能，请说明理由.26．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点C 是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线xOy ()A -()60B -，OAB x m A y =m OAB O α()0α180<<α30= B k y x=k A B ，α2y x =(0)k y k x=≠(4)A m ，A O A 90︒B OB OB C y的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接CB ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．28．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：(0)k y k x=≠D x E 23DCO DEO S S = ：：C 112y x =+()0k y x x =>()3A a ，k y x=y x b =+A B ，()23B ，y x b =+x C D 3OCD S = D（3）若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，已知直线y=-2x 与双曲线y=（k<0）上交于A 、B 两点，且点A 的纵坐标为-2 （1）求k 的值；（2）若双曲线y= （k<0）上一点C 的纵坐标为 ，求△BOC 的面积；（3）若A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点P 的反比例函数解析式。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
点 的坐标
为 ．……
一次函数的解读式
为 ．
(3) 两点在直线 上， 的坐标分别是 ．
， ．
过点 作 ，垂足为点 ．
，
又 ， 点坐标为 ．
3．(1)解方程 ，得 ．
由m＜n，知m=1，n=5．
∴A(1，0)，B(0，5)．………………………1分
∴ 解之，得
所求抛物线的解读式为 ……3分
(2)由 得 故C的坐标为(-5，0)．………4分
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______
和位置关系为_____；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
4、（1）如图1所示，在四边形 中， = ， 与 相交于点 ， 分别是 的中点，联结 ，分别交 、 于点 ，试判断 的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形 中，若 ， 分别是 的中点，联结FE并延长，分别与 的延长线交于点 ，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
中考数学重难点专题讲座动态几何含答案
中考数学重难点专题讲座第三讲 动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，第一部分 真题精讲【例1】（2010，密云，一模）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。
但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定MN M N t D DE AB ∥BC E ABEDABMCNED AB DE ∥AB MN ∥DE MN∥MC NC EC CD =1021035t t -=-5017t =MN NC =NF BC ⊥BC F 2MC FC =4sin 5DF C CD ∠==3cos 5C ∠=310225tt -=⨯258t =ABMCNFD MN MC =M MH CD ⊥2CN CH =()321025t t =-⨯6017t =A B MCN HD MC CN =102t t -=103t =258t =6017103MNC △423=BC x x （3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45o ，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ， 易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =-， 24x CP x ∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45o ，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ． 过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ， 则ACF AGD ∆≅∆．∴ CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =+， 24x CP x ∴=+．【例3】（2010，怀柔，一模）已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．GA BCDE F ADM【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。
专题47 动态几何之其他问题(解析几何)(预测题)-初中数学重点知识点提高专题(含答案)
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何之其他问题（解析几何）是除前述动态几何问题以外的平面几何问题，本专题原创编写动态几何之其他问题（解析几何）模拟题。
在中考压轴题中，其他问题（解析几何）的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
原创模拟预测题1. 如图，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，OA ＝1，OC ＝2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次(n ＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为________(用含n 的代数式表示)．【答案】()1451n n +或()651n n +【解析】设反比例函数解析式为y ＝kx，则①与BC 、A B 平移后的对应边相交时，则由两交点纵坐标之差的绝对值为0.6得与AB 平移后的对应边相交的交点的坐标为(2，1.4)，代入y ＝k x ，得1.4＝2k ，所以k ＝145，∴反比例函数解析式为y ＝145x.则第n 次(n ＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：145n－则第n 次(n ＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为：65n－()651n +＝()651n n +.综上所述，第n 次(n ＞1)平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为()1451n n +或()651n n +.原创模拟预测题2. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，3），△OAB 沿x 轴向左平移后得到△O′A′B′，点A 的对应点在直线3y x 4=-上一点，则点B 与其对应点B′间的距离为【 】A ．94B ．3C ．4D ．5【答案】C 。
初中数学一元二次方程的应用题型分类——动态几何问题(附答案)
初中数学一元二次方程的应用题型分类——动态几何问题（附答案）1．如图．A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点：16AB cm =，6BC cm =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3/cm s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止：点Q 以2/cm s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？2．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=3cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发．（1）几秒钟后，P 、Q 间的距离等于42cm ？（2）几秒种后，△BPQ 的面积与四边形CQPA 的面积相等？3．如图．A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点：AB 16cm =，BC 6cm =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm /s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止：点Q 以2cm /s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？4．在矩形ABCD 中，12AB cm =，6BC cm =，点P 从点A 出发沿AB 以2/cm s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以1/cm s 的速度向点C 移动，点P 运动到点B 时，点Q 也停止运动，几秒钟后PQC V 的面积等于216cm ？5．如图，AO OB 50cm ==，OC 是一条射线，OC AB ⊥，一只蚂蚁由A 以2cm /s 速度向B 爬行，同时另一只蚂蚁由O 点以3cm /s 的速度沿OC 方向爬行，几秒钟后，两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为2450cm ？6．如图所示,△ABC 中,∠B=90∘，AB=6cm ，BC=8cm.(1)点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动,点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.如果P,Q 分别从A,B 同时出发.①经过几秒,使△PBQ 的面积等于82cm ?②线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分?若能，求出运动时间；若不能说明理由.(2)若P 点沿射线AB 方向从A 点出发以1cm/s 的速度移动，点Q 沿射线CB 方向从C 点出发以2cm/s 的速度移动，P ，Q 同时出发，问几秒后，△PBQ 的面积为12cm ? 7．如图，在ABC V 中，90B ∠=o ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，Q 从点B 开始沿BC 边向C 点以2/cm s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒钟后，PBQ V 的面积等于28cm ？8．（1）如图1．△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BC=8，D ，E 两点分别从B ，A 开始同时出发，分别沿线段BC ，AC 向C 点匀速运动，到C 点后停止，他们的速度都为每秒1个单位，请问D 点出发2秒后，△CDE 的面积为多少？（2）如图2，将（1）中的条件“∠C 为直角”改为∠C 为钝角，其他条件不变，请问是否仍然存在某一时刻，使得△CDE 的面积为△ABC 面积的一半？若存在，请求出这一时刻，若不存在，请说明理由．9．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点Q从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动，点P从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C 移动，如果点Q，P分别从A，B两点同时出发，当一动点运动到终点，另一动点也随之停止运动．(1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)几秒后，PQ的长度等于210cm?(3)在(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？试说明理由．10．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，（1）如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．11．如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为52cm？（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？12．小明和同桌小聪在课后复习时，对下面的一道思考题进行了认真的探索．（思考题）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时点B到墙AC 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动________米．解完（思考题）后，小聪提出了如下两个问题：(1)在（思考题）中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？(2)在（思考题）中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．13．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21.动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t（秒）.(1)设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(2)当t为何值时，以B、P、Q三点为顶底的三角形是等腰三角形？（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.14．有大小两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm,大正方形的面积比小正方形的面积2倍少32cm2,. 求大、小正方形边长.15．已知长方形的生活小区OBCD的边长分别为40米和130米，如图，建立平面直角坐标系，“创文明城市”宣传车点P从点O出发，沿OB运动至点B停止，宣传车点Q 从点C出发，沿CD运动至点D停止，两车同时出发，速度都是1米/秒；宣传车音响半径可达25米，（两点间距离公式：|AB|=）（1）求直线OC的解析式；（2）几秒时，△OPQ为等腰三角形？（3）两辆宣传车的声音是否会互相干扰？如果会，求出受干扰的时间多长；如果不会干扰，写出理由．16．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°，EF=2．将△DEF的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .17．在平面直角坐标系xoy 中，A ，B 点的坐标分别为（0，4）,（-4，0） ,P 点坐标为(0,)m ，点E 是射线BO 上的动点，满足BE=1.5OP ，以PE ，EO 为邻边作PEOQ.（1）当m=2时，求出PE 的长度；（2）当m ﹥0时，是否存在m 的值，使得PEOQ 的面积等于△ABO 面积的14,若存在求出m 的值，若不存在，请说明理由；（3）当点Q 在第四象限时，点Q 关于E 点的对称点为Q′，点Q ′刚好落在AB 上时，求m 的值（直接写出答案）．18．如图，在ABC V 中，C Rt ∠=∠，6BC cm =，12AC cm =，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2/cm s 的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 边向点B 以1/cm s 1的速度移动，若P ，Q 两点同时出发，记移动时间为()t s .（1）当2t =，求P 、Q 两点间的距离；（2）设2y PQ =，当y 最小时，求t 的值；（3）当46t ≤≤时，CPQ V的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，则说明理由.19．如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，6BC =厘米，8AC =厘米，点P 从点A 开始沿AC 向点C 以2厘米秒的速度运动；与此同时，点Q 从点C 开始沿C 边向点B 以1厘米/秒的速度运动；如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.（1）经过几秒，CPQ ∆的面积等于3平方厘米；（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQ 恰好平分ABC ∆的面积？若存在，求出运动时间t ；若不存在，请说明理由；（3）是否存在某一时刻，PQ 长为9厘米，如果存在，求出运动时间.20．如图，Rt Rt ABC FDE ≌△△，8AB cm =，6BC cm =，将ABC △沿射线DE 的方向以2cm/秒的速度平移，在平移过程中，是否存在某个时刻t ，使AEF V 成为等腰三角形，若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由.参考答案1．P ，Q 两点从出发经过6013-秒时，点P ，Q 间的距离是10cm ． 【解析】【分析】设P 、Q 两点从出发经过t 秒时，点P 、Q 间的距离是10cm ，表示出PB 、BQ ，利用勾股定理建立方程求得答案即可.【详解】设P 、Q 两点从出发经过t 秒时，点P 、Q 间的距离是10cm ，则163PB t =-，62BQ t =-， Q 222PB BQ PQ +=，解得，16013t += ，26013t -=. Q 03t <<，∴1t =（不合题意，舍去）.答：P 、Q 秒时，点P 、Q 间的距离是10cm . 【点睛】本题考查一元二次方程的应用：利用勾股定理得到等量关系是解决本题的关键.2．（1）25；（2 【解析】【分析】（1）设时间为x 秒，依题意得BP=xcm ，AP=（6-x ）cm ，BQ=2xcm ，在Rt △BPQ 中利用勾股定理列方程求解；（2）设a 秒钟后，△BPQ 的面积与四边形CQPA 的面积相等，依题意得BP=acm ，AP=（6-a ）cm ，BQ=2acm ，然后表示出△BQP 的面积和四边形CQPA 的面积，列出方程，即可解出答案．【详解】设x 秒后，，则BQ=2x ，BP=6-x ，由题意得：BQ 2+BP 2=PQ 2，∴(2x )2+(6−x )2＝)2整理得：（5x-2）（x-2）=0，解得：x 1＝25，x 2＝2 ∵BC=3cm ，∴x=2不合题意，舍去，答：25秒后； （2）设a 秒钟后，△BPQ 的面积与四边形CQPA 的面积相等，则△BPQ 的面积是△ABC 的面积的一半，由题意得：12×2a×（6-a ）=1122⨯×6×3，解得：a=62±， ∵BC=3cm ，∴不合题意，舍去，∴a=62-．答：62-秒钟后，△BPQ 的面积与四边形CQPA 的面积相等． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用．以及勾股定理的应用．关键是根据题意表示出BP 、BQ 的长．3．P ，Q P ，Q 间的距离是10cm ． 【解析】【分析】设P ，Q 两点从出发经过t 秒时，点P ，Q 间的距离是10cm ，则BQ=6-2t ，BP=16-3t ，根据勾股定理列出方程即可求出t 的值．【详解】解：设P ，Q 两点从出发经过t 秒时，点P ，Q 间的距离是10cm ，则PB=16-3t ，BQ=6-2t ，∵PB 2+BQ 2=PQ 2，∴（16-3t ）2+（6-2t ）2=102，解得 ∵0＜t ＜3，∴．答：P ，Q 两点从出发经过6013-秒时，点P ，Q 间的距离是10cm ． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；利用勾股定理得到等量关系是解决本题的关键．4．2秒钟后PQC V 的面积等于216cm【解析】【分析】设t 秒钟后PQC △的面积等于216cm ，根据PQC PBC PBQ S S S =-V V V 列出方程并解答即可.【详解】设t 秒钟后PQC △的面积等于216cm ， 依题意得：()()1161221221622t t t ⨯⨯--⨯-⨯=， 整理，得()()1020t t --=，解得10t =（舍去）或2t =.答：2秒钟后PQC △的面积等于216cm .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.5．15s，10s，30s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为2450cm．【解析】【分析】设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2，分当蚂蚁在AO上运动和蚂蚁在OB 上运动两种情况列方程，解方程即可求解.【详解】有两种情况：（1）如图1，当蚂蚁在AO上运动时，设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2，由题意，得12×3x×（50-2x）=450，整理，得x2-25x+150=0，解得x1=15，x2=10．（2）如图2，当蚂蚁在OB上运动时，设x秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2，由题意，得12×3x（2x-50）=450，整理，得x2-25x-150=0，解得x1=30，x2=-5（舍去）．答：15s ，10s ，30s 后，两蚂蚁与O 点组成的三角形的面积均为450cm 2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，分两种情况进行讨论是本题难点，解题时注意用运动的观点来观察事物．6．（1）经过2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8cm 2；线段PQ 不能否将△ABC 分成面积相等的两部分；（2）经过（5）秒，5秒，（5）秒后，△PBQ 的面积为1.【解析】【分析】（1）①经过x 秒，使△PBQ 的面积等于8cm 2，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可求解；②根据12PBQ ABC S S =V V 列出方程，解方程即可解答；（2）分三种情况：①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（0＜x≤4）；②点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 的延长线上（4＜x≤6）；③点P 在射线AB 上，点Q 在射线CB 上（x ＞6）；列方程进行讨论求解即可．【详解】（1）①设经过x 秒，使△PBQ 的面积等于8cm 212（6-x ）•2x=8 解得x 1=2，x 2=4∴经过2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8cm 2； ②12PBQ ABC S S =V V ， ()111·2668222x x -=⨯⨯⨯， 26120x x -+=，∵b 2-4ac=36-4×12=-12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ 不能否将△ABC 分成面积相等的两部分；（2）设经过x 秒，①当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上时，即当04x <≤时，12（6-x ）（8-2x ）=1，x 2-10x+23=0，解得15x =25x =(舍)②当点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 的延长线上时，即当4＜x≤6时，12（6-x ）（2x-8）=1， x 2-10x+25=0，x 1=x 2=5③当点P 在线段AB 的延长线上，点Q 在线段CB 的延长线上时，即当x ＞6时， 12（x-6）（2x-8）=1， x 2-10x+23=0，15x =25x =综上所述，经过（5）秒或5秒或（5+△PBQ 的面积为1.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确找出等量关系，列出方程，再求解．解决第（2）问时，注意分三种情况进行求解． 7．如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过2或4秒钟，使△PBQ 的面积为8cm 2.【解析】【分析】设运动时间为x 秒，由题意可知AP=xcm ，BQ=2xcm ，由此可得BP=（6-x ）cm ，然后根据直角三角形面积公式关于x 的方程，解方程即可得答案.【详解】设x 秒钟后，PBQ V 的面积等于28cm ，其中0x 6<<，由题意可得：()2x 6x 28-÷=，解得1x 2=，2x 4=，答：如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过2或4秒钟，使△PBQ 的面积为8cm 2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找到关键描述语“△PBQ 的面积等于8cm 2”这个等量关系是解决问题的关键．8．（1）D点出发2秒后，△CDE的面积为12；（2）D点出发2秒钟时△CDE的面积为△ABC 面积的一半，理由见解析.【解析】【分析】（1）D，E出发2秒后，BD=AE=2，然后求出CD，CE的长，根据三角形的面积公式求解即可；（2）如图，过B，D点分别作AC，CE边上的高，设D，E运动时间为x秒，根据根据三角形的面积公式列出方程式求解即可.【详解】（1）∵D，E出发2秒后，BD=AE=2，∴CD=BC－BD=8－2=6，CE=AC－AE=6－2=4，则S△CDE=12CD·CE=12×6×4=12.答：D点出发2秒后，△CDE的面积为12. （2）如图，过B，D作AC边上的高DH，BG 设D，E运动时间为x秒，则12(8﹣x)(6﹣x)sin∠BCG=12×6×8sin∠BCG解得x=2或x=12（舍去），所以D点出发2秒钟时△CDE的面积为△ABC面积的一半，9．（1）1 s；（2）3 s；（3）△PBQ的面积不可能等于7 cm2.【解析】分析：（1）设点P、Q的运动时间为x秒，则由题意可得：BQ=AB-AQ=5-x，BP=2x，根据三角形面积公式结合题中已知条件列出方程，解方程即可求得对应的运动时间；（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理可得BQ2+PB2=PQ2结合已知条件列出方程，解方程即可求得点P、Q对应的运动时间；（3）同（1）列出关于点P、Q的运动时间x的方程，再根据根的判别式判断所列方程有无实数根即可得出结论.详解：(1)设x s后，△PBQ的面积等于4 cm2.此时，AQ＝x cm，QB＝(5－x)cm，BP＝2x cm.由12BP·QB＝4，得12×2x(5－x)＝4，即x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4(不合题意，舍去)．所以1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.(2)在Rt△PBQ中，因为PQ＝cm，根据勾股定理，得(5－x)2＋(2x)2＝)2，解得x1＝3，x2＝－1(舍去)．所以3 s后，PQ的长度等于cm.(3)由(1)，得12×2x(5－x)＝7.整理，得x2－5x＋7＝0.因为b2－4ac＝25－28＜0，所以此方程无解．所以△PBQ的面积不可能等于7 cm2.点睛：（1）设点P、Q的运动时间为x秒，并由此表达出QB、PB的长度是解答第1小题的关键；（2）熟悉勾股定理的内容，并由此在Rt△PBQ中建立起关于点P、Q的运动时间的方程是解答第2小题的关键；（3）熟悉“一元二次方程根的判别式”，并能由此判断所列方程根的情况是解答第3小题的关键.10．（1）2秒或4秒；（2）线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分.【解析】试题分析：（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；（2）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b2-4ac来判断．试题解析：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有：12（6-x）•2x=8，解得x1=2，x2=4，经检验，x1，x2均符合题意，故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；（2）不能，理由如下：设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有：S△ABC =12×6×8=24，12（6﹣y）•2y=12，y2﹣6y+12=0，∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分.11．（1）t=1；（2）经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2；（3）当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为：109916cm2．【解析】(1)根据勾股定理PC2+CQ2=PQ2,便可求出经过1s后,P、Q两点的距离为cm2;(2)根据三角形的面积公式12PCQS PC CQ∆=⨯⨯便可求出经过2或1.5s后,S△PCQ的面积为15 cm2;(3)根据三角形的面积公式12PCQS PC CQ∆=⨯⨯以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大,进而求出四边形BPQA的面积最小值. 解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，∴AB=25cm，设经过ts后，P、Q两点的距离为cm，ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，根据勾股定理可知PC 2+CQ 2=PQ 2， 代入数据（7-2t ）2+（5t ）2=（52）2；解得t=1或t=-129（不合题意舍去）； （2）设经过ts 后，S △PCQ 的面积为15cm 2ts 后，PC=7-2t cm ，CQ=5t cm ，S △PCQ =12=12×（7-2t ）×5t=15 解得t 1=2，t 2=1.5，经过2或1.5s 后，S △PCQ 的面积为15cm 2（3）设经过ts 后，△PCQ 的面积最大，则此时四边形BPQA 的面积最小，ts 后，PC=7-2t cm ，CQ=5t cm ，S △PCQ =12×PC×CQ=12×（7-2t ）×5t=52×（-2t 2+7t ） 当t=-2b a 时，即t=722=1.75s 时，△PCQ 的面积最大， 即S △PCQ =12×PC×CQ=12×（7-2×1.75）×5×1.752=24516（cm 2）， ∴四边形BPQA 的面积最小值为：S △ABC -S △PCQ 最大=12×7×24-24516=109916（cm 2）， 当点P 运动1.75秒时，四边形BPQA 的面积最小为：109916cm 2． 12．0.8.【解析】试题分析：（1）（2）利用勾股定理判断即可.试题解析：(1)不会是0.9米．若AA 1＝BB 1＝0.9，则A 1C ＝2.4－0.9＝1.5，B 1C ＝0.7＋0.9＝1.6，1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25，∵A 1C 2＋B 1C 2≠A 1B ，∴该题的答案不会是0.9米．(2)有可能．设梯子顶端从A 处下滑x 米，点B 向外也移动x 米，则有(x ＋0.7)2＋(2.4－x)2＝2.52.解得x ＝1.7或x ＝0(舍去)．∴当梯子顶端从A 处下滑1.7米时，点B 向外也移动1.7米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等．13．（1）S=96-6t ()0t 16≤≤;(2) t 716t 23==秒或秒；（3）3029；（4）t=9，理由见解析. 【解析】试题分析： (1)△BPQ 的高PM=CD ，把底BQ 用t 表示即可；(2)用t 表示出△BPQ 的三边，分三种情况建立关于t 的方程求解；(3)过点Q 作QE ⊥AD ，垂足为E ，在直角△PQE 中分别用t 表示出两条直角边，由2OA=OB ，结合相似三角形的性质，建立方程求得t ，用正切的定义求解；(4)假设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ，由Rt △BDC ∽Rt △QPE ，列方程求解.试题解析：(1)如图，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM=DC=12，∴S=()()11216t 96-6t 0t 162⨯⨯-=≤≤； (2)由图可以知道：CM=PD=2t ，CQ=t以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ在Rt △PMQ 中，222t 12PQ =+，由()222221216PQ BQ t t =+=-得计算得出t=72； ②若BP=BQ在Rt △PMB 中，()222162t 12PB =-+由BP 2=BQ 2得：()()22216-t 16-2t 12=+即23t -32t 1440+=因为此方程无解． ∴PB≠BQ ③若PB=PQ由()222222t 1216-2t 12PB PQ =+=+，得 整理，得23t -64t 2560+=计算得出()1216t t 163==，舍去综合上面的讨论可以知道：当t 716t 23B P Q ==秒或秒时，以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形．(3)如图，由△OAP ∽△OBQ ，得12AP AOBQ OB ==∵AP=2t-21，BQ=16-t∴2(2t-21)=16-t∴t=585过点Q 作QE ⊥AD ，垂足为E ， ∵PD=2t ，ED=QC=t ，∴PE=t ．在Rt △PEQ 中，tan ∠QPE=1230t 29QE PE ==又∵AD ∥BC∴∠BQP=∠QPE∴tan ∠BQP=3029.(4)设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD如图，过点Q 作QE ⊥AD 于E ，垂足为E.∵AD ∥BC∴∠BQP=∠EPQ∵∠BFQ=∠C=90°∴∠BQF=∠BDC ，∴∠BDC=∠EPQ又∵∠C=∠PEQ=90°，∴Rt △BDC ∽Rt △QPE ∴12t 1612DC PE BC EQ ==，即． 解得t=9.所以，当t=9秒时，PQ ⊥BD.点睛：本题综合性很强，难度很大，考查的知识点很多，关键是要理解以下几点：①当没有确定等腰三角形的底边时，一般需要分三类讨论，结合勾股定理列方程求解；②利用相似三角形的对应边成比例建立方程解决问题.14．大小正方形的边长各是16cm,12cm.【解析】试题分析：本题的等量关系有两个，即小正方形的边长=大正方形的边长×12+4cm ，大正方形的面积=小正方形的面积×2-32cm 2，根据这两个等量关系列出方程组． 试题解析：设小正方形的边长为xcm ，大正方形的边长为ycm ． 根据题意，得2214{2232x y y x +-＝＝ 解得12{16x y ＝＝．故大小正方形的边长各是16cm,12cm.15．（1）y=x；（2）当t=50，t=，t=，t=时，△OPQ为等腰三角形；（3）互相干扰时间为3秒．【解析】【分析】（1）设直线OC解析式为y=kx，把C坐标代入求出k的值，即可确定出直线OC解析式；（2）分三种情况考虑：OP=PQ，PQ=QO，QO=OP，利用两点间的距离公式分别求出时间即可；（3）两辆宣传车的声音会互相干扰，理由为：分别以点P、Q为圆心，25米为半径的圆，当两圆第一次相切时，开始干扰，当两圆第二次相切时，干扰结束，设当t秒时，两圆相切，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解得到t的值，即可求出受干扰的时间．【详解】解：（1）直线OC的解析式为y=kx，把点C（130，40）代入得，k=，则直线OC的解析式为y=x；（2）∵△OPQ为等腰三角形，∴OP=PQ或PQ=QO或QO=OP，第①种：设t秒时，OP=PQ；∴OP2=PQ2，即t2=402+（130-2t）2，解得：t=50或t=；第②种：设t秒时，PQ=QO；易得：OP=2DQ，即t=2（130-t），解得：t=；第③种：设t秒时，QO=OP；∴QO2=OP2，即402+（130-t）2=t2，解得：t=，综上所述，当t=50，t=，t=，t=时，△OPQ为等腰三角形；（3）会互相干扰，理由为：依题意得，分别以点P、Q为圆心，25米为半径的圆，当两圆第一次相切时，开始干扰，当两圆第二次相切时，干扰结束，设当t秒时，两圆相切，∴PQ=50，即PQ2=2500，∴402+（130-2t）2=2500，解得：t1=5，t2=8，∴t2-t1=8-5=3（秒），答：互相干扰时间为3秒．【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两点间的距离公式，以及等腰三角形的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解本题的关键．16．（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围. 试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."②如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°，EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.17．（1）52）427m+=（3）167m=-，【解析】当m=2时∴ PO=2∵BE=1.5OP ∴BE=1.5×2=3∵ BO=4 ∴EO=4-3=1在R t △PEO 中，由勾股定理PE=22215+=（2）如图1，当点Q 在第一象限时，点E 必在x 轴的负半轴，点P 必在y 轴的正半轴.∴ OP m =， 1.5BE m =，4 1.5OE m ∴=-□PEOQ 的面积=()4 1.5m m -△ABO 的面积=12AO BO ⨯=4×4÷2=8 ∵□PEOQ 的面积等于△ABO 面积的14∴()14 1.584m m -=⨯ 解得： 12223m m ==或 如图2，当点Q 在第二象限时，∴ OP m =， 1.5BE m =， 1.54OE m ∴=-□PEOQ 的面积=()1.54m m -△ABO 的面积=12AO BO ⨯=4×4÷2=8 ∵□PEOQ 的面积等于△ABO 面积的14 ∴()11.5484m m -=⨯ 解得： 427m ±=∵BE ＞BO ∴m ＞83∴m = （3） 167m =-，18．（1）；（2）245t =；（3）当46t ≤≤时，CPQ V 的面积存在最大值，最大值为：82cm ．【解析】【分析】（1）根据勾股定理，即可得到答案；（2）根据勾股定理，得y 关于t 得的函数解析式，配方后，即可得到答案；（3）根据三角形的面积公式，得2(3)9CPQ S t =--+V ，结合46t ≤≤，即可得到结论．【详解】（1）当2t =时，AP=4cm ，CP=8cm ，CQ=2cm ，PQ ===； （2）∵AP=2t cm ，CP=(12-2t) cm ，CQ=t cm ，∴222(122)t t y PQ =-+==2241445()55t -+， ∴当y 最小时，245t =； （3）∵22(122)6(3)92CPQ t t S t t t -==-+=--+V ， 又∵46t ≤≤，∴当t=4时，CPQ V的面积有最大值，最大值为：2(43)98--+=2cm ． 【点睛】本题主要考查勾股定理以及二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质，是解题的关键． 19．（1）1秒或3秒；（2）不存在；（3）不存在【解析】【分析】（1）根据题意用x 表示出CP 、CQ ，根据三角形的面积公式列出方程，解方程得到答案； （2）根据三角形的面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；（3）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【详解】解：（1）设经过x 秒，△CPQ 的面积等于3cm 2， 由题意得，12x （8-2x ）=3， 化简得x 2-4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3，答：经过1秒或3秒，△CPQ 的面积等于3cm 2；（2）设存在某一时刻t ，使PQ 恰好平分△ABC 的面积， 则12t （8-2t ）=12×12×6×8， 化简得，t 2-4t+12=0，b 2-4ac=16-48=-32＜0，故方程无实数根，即不存在满足条件的t ；（3）由题意得，（8-2t ）2+t 2=（9）2，整理得，5t 2-32t-17=0，解得，t 1，t 2 ∵8÷2=4秒，∴0<t<4，∵165-<0，165+， ∴不存在某一时刻，使PQ 的长为9厘米.【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、勾股定理，以及一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．20．存在当t=1s ，2s ，176s ，12s 时，△AEF 是等腰三角形 【解析】【分析】首先由全等三角形的性质，得出∠ABC=∠FDE=90°，再结合勾股定理得出AC=EF=10，然后分三种情况分别讨论：①以AE为底；②以EF为底；③以AF为底．【详解】解：∵Rt△ABC≌Rt△FDE，∴∠ABC=∠FDE=90°，AC=EF，又∵AB=8cm，BC=6cm，∴AC=EF=10，假设△ABC沿射线DE的方向平移，在平移过程中，存在某个时刻t，使△AEF成为等腰三角形，分三种情况：①以AE为底，则有AF=FE，即AD=DE，则BD=2t，可列方程：8-2t=6，解得t=1；②以EF为底，则有AE=AF，∵AE2=（14-2t）2，由勾股定理可得AF2=（8-2t）2+82，∴（14-2t）2=（8-2t）2+82，解得t=176；③以AF为底，则有AE=EF，若B在线段DE上（如图1），可列方程：14-2t=10，解得t=2；若B在线段DE的延长线上（如图2），可列方程2t-14=10，解得t=12；综上所述，存在当t=1s，2s，176s，12s时，△AEF是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理及平移的性质，综合性较强，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．。
第三讲 动态几何问题
合并自： (奥数)、 (中考)、 (高考)、 (作文)、 (英语)、 (幼教)、 、 等站 E 度教育网中考数学重难点专题讲座第三讲 动态几何问题智康·刘豪【前言】第一讲和第二讲我们探讨了有关中考几何综合题的静态问题，相信很多同学已经有所掌握了。
但是静态问题的难度最多也就是中等偏上，真正让人抓狂的永远是动态问题。
从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，代数方面的动态问题我们将在第七，第八讲来解决。
由于有些题目比较难和繁琐，建议大家静下心来慢慢研究，在这些题上花越多时间，中考中遇到类似题目就会省下越多的时间。
第一部分 真题精讲【例1】（2010，密云，一模）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．CM B（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。
但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
第八讲 动态几何与函数问题(含答案).doc
中考数学重难点专题讲座第八讲 动态几何与函数问题【前言】在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。
整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。
而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。
但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。
所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。
其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。
不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。
但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。
【例1】如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。
很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。
其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。
脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
答案：
1、解：1）PD=PE。以图②为例，连接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
3.在 中，AC=BC， ，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
动态几何问题的解题技巧
解这类问题的基本策略是：
1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．
2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．
3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（AAS）
∴PD=PE
2）能，①当EP=EB时，CE= BC=1
②当EP=PB时，点E在BC上，则点E和C重合，CE=0
③当BE=BP时，若点E在BC上，则CE=
第三讲 动几何(含答案)
中考数学重难点专题讲座第三讲 动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，第一部分 真题精讲【例1】（2010，密云，一模）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。
但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。
由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
【解析】解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．ABMCNED∵AB DE ∥，AB MN ∥．∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NCEC CD=． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴1021035t t -=-．解得5017t =．【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。
几何动态型问题(解析版)
几何动态型问题（解析版）专题诠释：几何图形动态变化型问题是中考的热点问题。
对于图形运动与变化型试题，要用运动的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系，并特别关注一些特别的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静。
有特殊情形（特殊点、特殊位置、特殊值、特殊图形）逐步过渡到一般情形，再综合运用各种相关的数学知识，以及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决。
第一部分典例剖析+针对练习类型一动点问题典例1（2021•铜仁市模拟）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x 的函数关系图象如图②所示，则对角线BD的长为（）A．3B．4C．5D．6思路引领：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．∴12AB•12BC＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，∵AB＜AD，即AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4．∴AD＝BC＝4，∴BD＝5．故选：C．点睛：本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．针对训练11．（2019•本溪）如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，P A﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．思路引领：设圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP=AP2R=12R x，则PD＝AP sinα＝x×12R x=12R x2，即可求解．设：圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP=AP2R=12R x，∵CA⊥AB，即AC是圆的切线，则∠P AD＝∠PBA＝α，则PD＝AP sinα＝x×12Rx=12R x2，则y＝P A﹣PD=−12R x2+x，图象为开口向下的抛物线，故选：C．点睛：本题考查的动点的函数图象，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质、二次函数基本性质等，关键是找出相应线段的数量关系，列出函数表达式．典例2（2021•中原区校级四模）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD＝．思路引领：如图，设直线x＝5交x轴于K．由题意KD=12CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．解：如图，设直线x＝5交x轴于K，连接DK，由题意KD=12CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO=OEOA=DKAD，∴OE8=512，∴OE=10 3，∴AE=√OE2+OA2=26 3，作EH⊥AB于H．∵S△ABE=12•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH=7√2 3，∴AH=√AE2−EH2=17√2 3，∴tan∠BAD=EHAH=7√2317√23=717．点睛：本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．针对练习22．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1．动点D在边AC上，以BD为边作等边△BDE （点E、A在BD的同侧）．在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路径长为√3．思路引领：取特殊点寻找点E的运动轨迹，利用等边三角形的性质即可解决问题；解：当点D与C重合时，点E与AB的中点M重合，当点D与A重合时，点E与等边三角形△ABN的顶点N重合，所以点E的运动轨迹是△ABN的中线MN，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∴MN=√3，故答案为√3．点睛：本题考查轨迹、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会取特殊点寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型．类型二动图问题典例3 （2021秋•高州市期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（1）如图，求点E的坐标；（2）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点D，O，C，E的对应点分别为C'，O'，D'，E'．设OO'＝t，矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分的面积为s．如图，当矩形C'O'D'E'与△ABO 重叠部分为五边形时，C'E'、D'E'分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示s，并直接写出t的范围．思路引领：（1）由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，再由含30°角的直角三角形的性质得AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4√3，即可得出答案；（2）由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4√3，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，则∠E′FM＝∠ABO＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得MF＝2ME′＝2t，FE′=√3t，求出S△MFE′=12√3t2，S矩形C′O′D′E′＝8√3，即可得出答案．解：（1）由点A（6，0）得OA＝6，又OD＝2，∴AD＝OA﹣OD＝4，在矩形CODE中，由DE∥CO，得∠AED＝∠ABO＝30°，∴在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得：ED=√AE2−AD2=4√3，又CO＝4√3，∴点E的坐标为（2，4√3）；（2）由平移可知，O'D'＝OD＝2，E'D'＝ED＝4√3，ME'＝OO'＝t．由E'D'∥BO，得∠E'FM＝∠ABO＝30°，在Rt△MFE'中，MF＝2ME'＝2t．∴由勾股定理得FE′=√MF2−ME′2=√3t，∴S△MFE′=12ME′⋅FE′=12t⋅√3t=√32t2，S矩形C′O′D′E′=O′D′⋅E′D′=8√3，∴s=−√32t2+8√3（0＜t＜2）．点睛：本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．针对训练33．（2019•宁夏）将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC 分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O 时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（√3，0），与s轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．思路引领：（1）与m轴相交于点P（√3，0），可知OB=√3，OA＝1；（2）设AB 的解析式y ＝kx +b ，将点B （0，√3），A （1，0）代入即可； （3）在移动过程中OB =√3−m ，则OA ＝tan30°×OB =√33×（√3−m ）＝1−√33m ，所以s =12×（√3−m ）×（1−√33m ）=√36m 2−m +√32，（0≤m ≤√3）；当m ＝0时，s =√32，即可求Q （0，√32）． 解：（1）∵与m 轴相交于点P （√3，0）， ∴OB =√3， ∵∠ABC ＝30°， ∴OA ＝1， ∴S =12×1×√3=√32； （2）∵B （0，√3），A （1，0）， 设AB 的解析式y ＝kx +b ， ∴{b =√3k +b =0， ∴{k =−√3b =√3， ∴y =−√3x +√3；（3）在移动过程中OB =√3−m ，则OA ＝tan30°×OB =√33×（√3−m ）＝1−√33m ，∴s =12×（√3−m ）×（1−√33m ）=√36m 2−m +√32，（0≤m ≤√3） 当m ＝0时，s =√32，∴Q （0，√32）． 点睛：本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到B （0，√3）是解题的关键．典例4 如图，等边△ABC 边长为2，四边形DEFG 是平行四边形，DG ＝2，DE ＝3，∠GDE ＝60°，BC 和DE 在同一条直线上，且点C 与点D 重合，现将△ABC 沿D →E 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点B 与点E 重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC 与四边形DEFG 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是（ ）A．B．C．D．思路引领：分三种情况：①0≤t≤2时，由重叠部分为边长为t的等边三角形可得S=√34t2；②2＜t≤3时，由重叠部分即为△ABC得S=√34×22=√3；③3＜t≤5时由重叠部分是S△ABC﹣S△HEC且△HEC边长为t﹣3可得S=−√34t2+3√32t−5√34，据此可得答案．解：①当0≤t≤2时，如图1，由题意知CD＝t，∠HDC＝∠HCD＝60°，∴△CDH是等边三角形，则S=√34t2；②当2＜t≤3时，如图2，S=√34×22=√3；③当3＜t≤5时，如图3，根据题意可得CE＝CD﹣DE＝t﹣3，∠C＝∠HEC＝60°，∴△CEH为等边三角形，则S＝S△ABC﹣S△HEC=√34×22−√34（t﹣3）2=−√34t2+3√32t−5√34；综上，0≤t≤2时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，2＜t≤3时函数图象是平行于x轴的一部分，当3＜t≤5时函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．点睛：本题主要考查动点问题的函数图象，根据重叠部分形状的变化情况分类讨论是解题的关键．针对训练44．（2020•滁州模拟）在△EFG中，∠G＝90°，EG=FG=2√2，正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD和△EFG如图放置，AD与EF在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形ABCD沿EF方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路引领：分0≤t≤1、1＜t≤2、2＜t≤3、3＜t≤4分别求出函数表达式即可求解．解：EG=FG=2√2，则EF＝4，①当0≤t≤1时，如图1，设AB交EG于点H，则AE＝t＝AH，S=12×AE×AH=12t2，函数为开口向上的抛物线，当t＝1时，y=12；②当1＜t≤2时，如图2，设直线EG交BC于点G，交CD于点H，则ED＝AE﹣AD＝t﹣1＝HD，则CH＝CD﹣HD＝2﹣t＝CG，S＝S正方形ABCD﹣S△CGH＝1−12×CH×CG＝1−12（2﹣t）2，函数为开口向下的抛物线，当t＝2时，y＝1；③当2＜t≤3时，S＝S正方形ABCD＝1，④当3＜t≤4时，同理可得：S＝1−12（t﹣3）2，为开口向下的抛物线；故选：C．点睛：本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．第二部分专题提优练习1．（2021•罗湖区校级模拟）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+√32PD的最小值等于（）A．√3B．3C．3√3D．2+2√3思路引领：过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP=√32PD，即PB+√32PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP=EPDP=√32，∴EP=√32PD∴PB+√32PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A=BEAB=√32，∴BE＝3√3，故选：C．点睛：本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．√2D．2√2思路引领：根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=12CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，∴∠DP2P1＝90°，∴∠DP1P2＝45°，∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2√2，∴PB的最小值是2√2．故选：D．点睛：本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．3．（2019•潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝125．思路引领：根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标，然后求出点P 到直线AB 的距离和AB 的长度，即可求得△P AB 的面积，本题得以解决． 解：{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小， 点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5）， 设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135， ∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135， 当x ＝0时，y =135， 即点P 的坐标为（0，135），将x ＝0代入直线y ＝x +1中，得y ＝1， ∵直线y ＝x +1与y 轴的夹角是45°， ∴点P 到直线AB 的距离是：（135−1）×sin45°=85×√22=4√25， ∴△P AB 的面积是：3√2×4√252=125，故答案为：125．点睛：本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2020•长春一模）如图，直线y ＝x +1与抛物线y ＝x 2﹣4x +5交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，点P 的坐标为 ．思路引领：首先确定点A 和点B 的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标．解：{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小， 点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5）， 设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135，∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135， 当x ＝0时，y =135， 即点P 的坐标为（0，135），故答案为：（0，135）．点睛：本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．（2021春•汉阴县月考）如图，在三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝11，把三角形ABC 向下平移至三角形DEF 后，AD ＝CG ＝6，则图中阴影部分的面积为 ．思路引领：先根据平移的性质得到AD ＝BE ＝6，EF ＝BC ＝11，S △ABC ＝S △DEF ，则BG ＝5，由于S阴影部分＝S 梯形BEFG ，所以利用梯形的面积公式计算即可．解：∵三角形ABC 向下平移至三角形DEF ， ∴AD ＝BE ＝6，EF ＝BC ＝11，S △ABC ＝S △DEF ， ∵BG ＝BC ﹣CG ＝11﹣6＝5， ∴S 梯形BEFG =12（5+11）×6＝48， ∵S 阴影部分+S △DBG ＝S △DBG +S 梯形BEFG ， ∴S 阴影部分＝S 梯形BEFG ＝48． 故答案为48．点睛：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．6．（2021•仪征市二模）如图，Rt △ABC ≌Rt △FDE ，∠ABC ＝∠FDE ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4，将Rt △FDE 沿直线l 向右平移，连接BD 、BE ，则BD +BE 的最小值为 ．思路引领：根据平面直角坐标系，可以假设E（m，√3），则D（m+1，2√3），则BD+BE=√(m+1)2+(2√3)2+√m2+(√3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（﹣1，2√3），N（0，√3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值＝MN′的长．解：建立如图坐标系，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，∠BAC＝30°，∴BC=12AC＝2，AB=√3BC＝2√3，∴斜边AC上的高=2×2√34=√3，∵△ABC≌△FDE，∴EF＝AC＝4，斜边EF上的高为√3，∴可以假设E（m，√3），则D（m+1，2√3），∴BD+BE=√(m+1)2+(2√3)2+√m2+(√3)2，欲求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点R（m，0），使得R到M（﹣1，2√3），N（0，√3）的距离和的最小值，如图1中，作点N关于x轴的对称点N′，连接MN′交x轴题意R，连接RN，此时RM+RN的值最小，最小值＝MN′=√12+(3√3)2=2√7，∴BD+BE的最小值为2√7，故答案为：2√7．点睛：本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．7．（2019•乐山）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的周长是．思路引领：根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB、BC、AD的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABCD的周长．解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，∴BE＝2EF，由图可得，AB＝4cos30°＝4×√32=2√3，BC＝5，AD＝7﹣4＝3，由图象可得，AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，∵∠B＝30°，EF⊥AB，∴∠M＝60°，又∵DM＝MC＝2，∴△DMC是等边三角形，∴DC＝DM＝2，∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2√3+5+3+2＝10+2√3，故答案为：10+2√3．点睛：本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2019•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？思路引领：（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；（2）由S=12•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．∵DE∥BC，∴ADAB=AEAC，∴AE=6(8−2x)8=6−32x，∴y关于x的函数关系式为y=−32x+6（0＜x＜4）．（2）解：S△BDE=12⋅BD⋅AE=12×2x(−32x+6)=−32x2+6x（0＜x＜4）．当x=−62×(−32)=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．点睛：本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．9．已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向大正方形的内部沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S厘米2，完成下列问题：（1）平移到1.5秒时，重叠部分的面积为厘米2．（2）求小正方形在平移过程中，S与t的关系式．思路引领：（1）1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，即可计算出重叠部分的面积；（2）分情况讨论：当0≤t＜2时，当2≤t≤4时，当4＜t≤6时，当t＞6时，分别用t表示出S即可．解：（1）1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，S＝2×1.5＝3（厘米2）；故答案为：3；（2）分情况讨论：当0≤t＜2时，小正方形未完全进入大正方形，此时S＝2t；当2≤t≤4时，小正方形完全在大正方形内，此时S＝2×2＝4；当4＜t≤6时，小正方形逐渐离开大正方形，此时S＝2×2﹣2（t﹣4）＝12﹣2t；当t＞6时，无重叠部分，此时S＝0．综上所述：小正方形在平移过程中，当0≤t＜2时，S＝2t；当2≤t≤4时，S＝4；当4＜t≤6时，S＝12﹣2t；当t＞6时，S＝0．点睛：本题考查了正方形的性质，平移的性质，解决本题的关键是计算各个阶段S随t的变化规律．10．（2021•南通一模）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，D是BC的中点．点E从A出发，以acm/s（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1cm/s的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值；（2）当a=12时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；（3）当a＝2时，是否存在某个时间t，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）先表示出CF ，AE ，EC ，由相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；（2）先判断出△AEG ∽△ACD ，得出EG ，再判断出EG ＝DF ，最后分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论；（3）先表示出AG =52t 厘米，EG =32t ，DF ＝3﹣t 厘米，DG ＝5−52t （厘米），再分两种情况讨论，建立方程求解即可得出结论． 解：（1）∵t ＝2，∴CF ＝2厘米，AE ＝2a 厘米， ∴EC ＝（4﹣2a ） 厘米， ∵△ECF ∽△BCA ． ∴EC CB =CF AC．（2分）∴4−2a6=24．∴a =12．（2）由题意，AE =12t 厘米，CD ＝3厘米，CF ＝t 厘米． ∵EG ∥CD ， ∴△AEG ∽△ACD ． ∴EG CD=AEAC ，EG3=12t 4．∴EG =38t ．∵以点E 、F 、D 、G 为顶点的四边形是平行四边形， ∴EG ＝DF ．当0≤t ＜3时，38t =3−t ，∴t =2411．（7分）当3＜t ≤6时，38t =t −3，21 ∴t =245． 综上，t =2411或245 （3）∵点D 是BC 中点，∴CD =12BC ＝3，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得，AD ＝5，由题意，AE ＝2t 厘米，CF ＝t 厘米，由（2）知，△AEG ∽△ACD ，∴AE AC =AG AD =EG CD ， ∴2t 4=AG 5=EG 3∴AG =52t 厘米，EG =32t ，DF ＝3﹣t 厘米，DG ＝5−52t （厘米）．若∠GFD ＝90°，则EG ＝CF ，32t =t ． ∴t ＝0，（舍去）若∠FGD ＝90°，则△ACD ∽△FGD ．∴AD CD=FD GD ， ∴53=3−t 5−52t ． ∴t =3219． 综上：t =3219，△DFG 是直角三角形．点睛：此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，分类讨论是解本题的关键．。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。
专题4 动态问题答案
动态几何问题参考答案例题1.（2012六盘水）如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．解答：解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．∵PQ∥BC，∴，即，解得t=，∴当t=s时，PQ∥BC．（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6﹣t．S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣）2+，∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2．（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC•BC=24，∴此时S△AQP=12．由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t，∴﹣t2+6t=12，化简得：t2﹣5t+10=0，∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，∴，即，解得：PD=6﹣t，AD=8﹣t，∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣t．在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=，∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×（﹣t2+6t）=2×[﹣×（）2+6×]=cm2．所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为cm2．例题2. (2012福州)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．解：(1) ∵ 抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，0)、B (4，4)．∴ ⎩⎨⎧9a ＋3b ＝016a ＋4b ＝4，解得：⎩⎨⎧a ＝1b ＝－3． ∴ 抛物线的解析式是y ＝x 2－3x ．(2) 设直线OB 的解析式为y ＝k 1x ，由点B (4，4)，得：4＝4k 1，解得k 1＝1．∴ 直线OB 的解析式为y ＝x ．∴ 直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m ． ∵ 点D 在抛物线y ＝x 2－3x 上． ∴ 可设D (x ，x 2－3x )．又点D 在直线y ＝x －m 上，∴ x 2－3x ＝x －m ，即x 2－4x ＋m ＝0． ∵ 抛物线与直线只有一个公共点， ∴ △＝16－4m ＝0，解得：m ＝4． 此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2－3x ＝－2， ∴ D 点坐标为(2，－2)．(3) ∵ 直线OB 的解析式为y ＝x ，且A (3，0)，∴ 点A 关于直线OB 的对称点A'的坐标是(0，3)． 设直线A'B 的解析式为y ＝k 2x ＋3，过点B (4，4)，∴ 4k 2＋3＝4，解得：k 2＝14．∴ 直线A'B 的解析式是y ＝14x ＋3．∵ ∠NBO ＝∠ABO ， ∴ 点N 在直线A'B 上，∴ 设点N (n ，14n ＋3)，又点N 在抛物线y ＝x 2－3x 上，∴ 14n ＋3＝n 2－3n ，解得：n 1＝－34，n 2＝4(不合题意，会去)，∴ 点N 的坐标为(－34，4516)．第22题图① 第22题图②方法一：如图1，将△NOB 沿x 轴翻折，得到△N 1OB 1， 则N 1(－34，－4516)，B 1(4，－4)，∴ O 、D 、B 1都在直线y ＝－x 上．∵ △P 1OD ∽△NOB ， ∴ △P 1OD ∽△N 1OB 1， ∴OP 1ON 1＝OD OB 1＝12， ∴ 点P 1的坐标为(－38，－4532)．将△OP 1D 沿直线y ＝－x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(4532，38)．综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(4532，38)．方法二：如图2，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°，得到△N 2OB 2， 则N 2(4516，34)，B 2(4，－4)，∴ O 、D 、B 2都在直线y ＝－x 上． ∵ △P 1OD ∽△NOB ， ∴ △P 1OD ∽△N 2OB 2， ∴OP 1ON 2＝OD OB 2＝12， ∴ 点P 1的坐标为(4532，38)．将△OP 1D 沿直线y ＝－x综上所述，点P 的坐标是(－38，－4532)或(4532，38)．例题3 （2012南通）如图，经过点A (0，－4)的抛物线y ＝ 12x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点B (－0，0)和C ，O 为坐标原点． (1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y ＝ 1 2x 2＋bx ＋c 向上平移 72个单位长度、再向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围；(3)设点M 在y 轴上，∠OMB ＋∠OAB ＝∠ACB ，求AM 的长．解：（1）将A （0，-4）、B （-2，0）代入抛物线y= 12x 2+bx+c 中，得：0+c=-4 1 2 ×4-2b+c=0 ， 解得： b=-1 c=-4∴抛物线的解析式：y= 12x 2-x-4．（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y= 12（x+m ）2-（x+m ）-4+7 2 ， 即：y= 12x 2+（m-1）x+1 2 m2-m-1 2 ；它的顶点坐标P ：（1-m ，-1）；由（1）的抛物线解析式可得：C （4，0）； 那么直线AB ：y=-2x-4；直线AC ：y=x-4；当点P 在直线AB 上时，-2（1-m ）-4=-1，解得：m=5 2 ； 当点P 在直线AC 上时，（1-m ）-4=-1，解得：m=-2； ∴当点P 在△ABC 内时，-2＜m ＜5 2 ； 又∵m ＞0，∴符合条件的m 的取值范围：0＜m ＜5 2 ． （3）由A （0，-4）、B （4，0）得：OA=OC=4，且△OAC 是等腰直角三角形； 如图，在OA 上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB ，即∠ONB=∠OMB ； 如图，在△ABN 、△AM 1B 中，∠BAN=∠M 1AB ，∠ABN=∠AM 1B ，∴△ABN ∽△AM 1B ，得：AB 2=AN •AM 1；易得：AB 2=（-2）2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2； ∴AM 1=20÷2=10，OM1=AM1-OA=10-4=6； 而∠BM 1A=∠BM 2A=∠ABN ，∴OM 1=OM 2=6，AM 2=OM 2-O A=6-4=2． 综上，AM 的长为6或2．【反馈练习】1. （2010长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y轴上，OA =cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OAcm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒． （1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．解：(1) ∵CQ ＝t ，OPt ，CO =8 ∴OQ =8－t∴S △OPQ＝21(8)22t -=-+（0＜t ＜(2) ∵S 四边形OPBQ ＝S 矩形ABCD －S △PAB －S △CBQ＝1188)22⨯⨯-⨯⨯＝ ………… 5分∴四边形O PBQ 的面积为一个定值，且等于 …………6分（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时, △QPB 必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB ＝90°又∵BQ 与AO 不平行 ∴∠QPO 不可能等于∠PQB ，∠APB 不可能等于∠PBQ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ ∽△PBQ ∽△ABP ………………7分8=t ＝4经检验：t ＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P （，0）∵B （8）且抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点，∴抛物线是2184y x =-+，直线BP 是：8y =- …………………8分设M （m 8-）、N (m ，2184m -+)∵M 在BP 上运动 ∴m ≤≤∵21184y x =-+与28y =-交于P 、B 两点且抛物线的顶点是P∴当m ≤≤时，12y y > ………………………………9分∴12MN y y =-＝21(24m --+ ∴当m =时，MN 有最大值是2∴设MN 与BQ 交于H 点则4)M 、7)H∴S △BHM ＝132⨯⨯∴S △BHM ：S 五边形QOPMH ＝＝3:29∴当MN 取最大值时两部分面积之比是3：29． …………………10分2（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1，0），C （3，0），D （3，4）．以A 为顶点的抛物线y=ax 2+bx+c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动．同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P ，Q 的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ． （1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．解：（1）A（1，4）．…（1分）由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．…（2分）（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1，4﹣t）．…（3分）∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．…（4分）∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．…（5分）又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，即S△ACG=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．…（7分）当t=2时，S△ACG的最大值为1．…（8分）（3）t=或t=20﹣8．…（12分）3．（2012珠海）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=，DC=，高CE=，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒．（1）填空：∠AHB=；AC=；（2）若S2=3S1，求x；（3）设S2=mS1，求m的变化范围．解：（1）过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，∵CD∥AB，∴四边形DBKC是平行四边形，∴BK=CD=，CK=BD，∴AK=AB+BK=3+=4，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BD=AC，∴AC=CK，∴BK=EK=AK=2=CE，∵CE是高，∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，∴∠ACK=90°，∴∠AHB=∠ACK=90°，∴AC=AK•cos45°=4×=4；故答案为：90°，4；（2）直线移动有两种情况：0＜x＜及≤x≤2．①当0＜x＜时，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△QG，∴=4，∴S2=4S1≠3S1；②当≤x≤2时，∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH，∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3，∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3，∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S△BCD=×4×1=2，∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB，∴S△CRQ=2×（）2=8（2﹣x）2，∵S梯形ABCD=（AB+CD）•CE=×（3+）×2=8，S△ABD=AB•CE=×3×2=6，∵MN∥BD，∴△AMN∽△ADB，∴，∴S1=x2，S2=8﹣8（2﹣x）2，∵S2=3S1，∴8﹣8（2﹣x）2=3×x2，解得：x1=＜（舍去），x2=2，∴x的值为2；（3）由（2）得：当0＜x＜时，m=4，当≤x≤2时，∵S2=mS1，∴m===﹣+﹣12=﹣36（﹣）2+4，∴m是的二次函数，当≤x≤2时，即当≤≤时，m随的增大而增大，∴当x=时，m最大，最大值为4，当x=2时，m最小，最小值为3，∴m的变化范围为：3≤m≤4．4.（2011长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。
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【例题求解】
【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是．
(黄冈市中考题)
思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和3，但该路线与直线l所围成的面积不只是两个扇形面积之和．
【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A移到点B时，A′B′的中点的位置( )
A．在平分AB的某直线上移动 B．在垂直AB的某直线上移动
⌒
C．在AmB上移动 D．保持固定不移动
(荆州市中考题)
思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．
【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A →B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米，请你回答下列问题：
(1)当x=3时，y的值是多少?
(2)就下列各种情形：
①0≤x≤2；②2≤x≤4；③4≤x≤6；④6≤x≤8．求y与x之间的函数关系式．
(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下y与x的关系．
(吉林省中考题)
思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．
注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与
形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．
建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值． 【例4】 如图，正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，BC=2cm ，现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，点E 沿线段BA 以1m ／秒的速度向点A 运动，点F 沿折线A —D —C 以2cm ／秒的速度向点C 运动，设点E 离开点B 的时间为2 (秒)． (1)当t 为何值时，线段EF 与BC 平行? (2)设1<t <2，当t 为何值时，EF 与半圆相切?
(3)当1≤t <2时，设EF 与AC 相交于点P ，问点E 、F 运动时，点P 的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP ：PC 的值．
(江西省中考题)
思路点拨 动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于t 的方程；对于(3)，点P 的位置是否发生变化，只需看PC
AP
是否为一定
值．
注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想．
【例5】 ⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点；如图(1)，连结O 2 O 1并延长交⊙O 1于P 点，连结PA 、PB 并分别延长交⊙O 2于C 、D 两点，连结C O 2并延长交⊙O 2于E 点．已知⊙O 2的半径为R ，设∠CAD=α． (1)求：CD 的长(用含R 、α的式子表示)； (2)试判断CD 与PO 1的位置关系，并说明理由；
(3)设点P ′为⊙O 1上(⊙O 2外)的动点，连结P ′A 、P ′B 并分别延长交⊙O 2于C ′、D ′，请你探究∠C ′AD ′是否等于α? C ′D ′与P ′O l 的位置关系如何?并说明理由．
(济南市中考题)
思路点拨 对于(1)、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P 点虽为OO l 上的一个动点，但⊙O 1、⊙O 2一些
量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来．
学力训练
1．如图， ΔABC 中，∠C=90°，AB=12cm ，∠ABC=60°，将ΔABC 以点B 为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB 延长线上的D 处，则AC 边扫过的图形的面积是 cm (π=3.14159…，最后结果保留三个有效数字)． (济南市中考题)
2．如图，在Rt Δ ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3 cm ，将ΔABC 绕点B 旋转至ΔA'BC'的位置，且使A 、B 、C'三点在同一条直线上，则点A 经过的最短路线的长度是 cm ．
(黄冈市中考题
)
3．一块等边三角形的木板，边长为l ，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束走过的路径长度为( ) A ．
23π B ．3
4π
C ．4
D ．232π+
(烟台市中考题)
4．把ΔABC 沿AB 边平移到ΔA'B'C'的位置，它们的重叠部分的面积是ΔABC 的面积的一半，若AB=2，则此三角形移动的距离AA'是( ) A ．12- B ．
2
2
C ．1
D ．21
(荆门市中考题
)
5．如图，正三角形ABC 的边长为63厘米，⊙O 的半径为r 厘米，当圆心O 从点A 出发，沿着线路AB —BC —CA 运动，回到点A 时，⊙O 随着点O 的运动而移动．
⌒
(1)若r=3厘米，求⊙O 首次与BC 边相切时AO 的长；
(2)在O 移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r 的取值范围及相应的切点个数；
(3)设O 在整个移动过程中，在ΔABC 内部，⊙O 未经过的部分的面积为S ，在S>0时，求关于r 的函数解析式，并写出自变量r 的取值范围．
(江西省中考题)
6．已知：如图，⊙O 韵直径为10，弦AC=8，点B 在圆周上运动(与A 、C 两点不重合)，连结BC 、BA ，过点C 作CD ⊥AB 于D ．设CB 的长为x ，CD 的长为y ．
(1)求y 关于x 的函数关系式；当以BC 为直径的圆与AC 相切时，求y 的值；
(2)在点B 运动的过程中，以CD 为直径的圆与⊙O 有几种位置关系，并求出不同位置时y 的取值范围； (3)在点B 运动的过程中，如果过B 作BE ⊥AC 于E ，那么以BE 为直径的圆与⊙O 能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE 的长．
(太原市中考题)
7．如图，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN=∠POQ=α(α为锐角)．当∠MAN 以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转(∠MAN 保持不变)时，M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平移移动．设OM=x ，ON= (y >x ≥0)，ΔAOM 的面积为S ，若cos α、OA 是方程02522=+-z z 的两个根． (1)当∠MAN 旋转30°(即∠OAM=30°)时，求点N 移动的距离； (2)求证：AN 2
=ON ·MN ；
(3)求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； (4)试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．
(河北省中考题)
8．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=3cm ，∠C ＝60°，BD ⊥CD ． (1)求BC 、AD 的长度；
(2)若点P 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度运动，点Q 从点C 开始沿CD 边向点D 以1cm ／s 的速度运动，当P 、Q 分别从B 、C 同时出发时，写出五边形ABPQD 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围(不包含点P 在B 、C 两点的情况)；
(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t ，使线段PQ 把梯形ABCD 分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
(青岛市中考)
9．已知：如图①，E 、F 、G 、H 按照AE=CG ，BF=DH ，BF ＝nAE(n 是正整数)的关系，分别在两邻边长a 、na 的矩形ABCD 各边上运动．
设AE=x ，四边形EFGH 的面积为S ．
(1)当n=l 、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使? (2)当n=3时，如图④，求S 与x 之间的函数关系式(写出自变量x 的取值范围)，探索S 随x 增大而变化的规律；猜想四边形EFGH 各顶点运动到何位置，使ABCD S S 矩形2
1
； (3)当n=k (k ≥1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由．
(福建省三明市中考题)
10．如图1，在直角坐标系中，点E从O点出发，以1个单位／秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位／秒的速度沿y轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作⊙O1．
(1)若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O1的位置关系，并证明你的结论；
(2)在(1)的条件下，连结FB，几秒时FB与⊙O1相切?
(3)如图2，若E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA⊥x轴于A 点，连结AF交⊙O1于点P，试问PA·FA的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．
(武汉市中考题)
参考答案。