连续时间系统S域零极点分析
第四章——连续时间系统的S域分析
第4章 连续时间系统的S 域分析4.1拉普拉斯变换的定义、收敛域（一） 定义拉氏正变换：()()()0stf t F s f t e dt ∞-==⎡⎤⎣⎦⎰拉氏逆变换：()()112j st j F s F s e ds j σσπ+∞--∞=⎡⎤⎣⎦⎰ （二） 常用函数的拉氏变换[1] 阶跃函数()01stste u t e dt ss∞-∞-==-=⎡⎤⎣⎦⎰ [2] 指数函数()01a s tatat ste ee e dt a sa s∞-+∞---⎡⎤==-=⎣⎦++⎰ （σ>a -） [3] n t 函数[]21t s =232t s ⎡⎤=⎣⎦1!nn n t s +⎡⎤=⎣⎦[4] 冲激函数()()01stt t e dt δδ-∞-==⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0000st stt t t t e dt e δδ-∞---=-=⎡⎤⎣⎦⎰4.2拉普拉斯逆变换（一） 部分分式分解[1]极点为实数，无重根例 求下示函数的逆变换()()()3259712s s s F s s s +++=++ 解 用分子除以分母（长除法）可得()()()()()()322222222225971232277323232232332323221212s s s F s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s +++=++++++=++++++++++=++++++++=++-++ 故有()()()222t t f t t t e e δδ--'=++- ()0t ≥[2]包含共轭复数极点()()12cos sin tA jB A jB e A t B t s j s j αββαβαβ--⎡⎤+-+=-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+-++⎣⎦例 求下面函数的逆变换()()()223252s F s s s s +=+++ 解()()()()()()()()2222220123252312231212221212s F s s s s s s s s s j s j s k k k s s j s j +=++++=⎡⎤+++⎣⎦+=+++-+=++++-++下面分别求系数012,,k k k()()02725s k s F s =-=+=()()21123121225s j s j k s j s =-++-+==+++ 也即12,55A B =-=，故而可以得到其逆变换的函数表达式 ()()()27122cos 2sin 2555t t f t e e t t --⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()0t ≥ [3]多重极点设有()()()()()()()()()()1111121111k kkk A s A s F s B s s p D s E S K K K s p D S s p s p -==-=++⋅⋅⋅++---现记()()()11kF S s p F s =-则个系数的计算公式为：()()1111111!i i i s p d K F s i ds --==-例 求下示函数的逆变换()()321s F s s s -=+解 将()F s 写成展开式()()()131112232111K K K K F s s ss s =++++++ 容易求得：()202s K sF s ===-为求出与重根有关的个系数，令()()()3121s F s s F s s-=+=故有11123S s K s=--==12122S d s K ds s =--⎛⎫== ⎪⎝⎭213211222S d s K ds s =--⎛⎫== ⎪⎝⎭于是有()()()323222111F s s ss s =++-+++ 所求逆变换为()232222t t t f t t e te e ---=++- ()0t ≥4.3微分方程的S 域求解对于二阶连续时间LTI 系统，描述系统的微分方程为()()()()()1010,0y t a y t a y t b x t b x t t ''''++=+≥()()0,0y y --'为系统的初始状态。
信号与系统第四章拉普拉斯变换连续时间系统的s域分析
sf
0
t
e
st
d
t
推广：
f 0 sF ( s )
L
d
f 2(t)
dt
sF s
f
0
f
(0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
d
L
f n(t)
dt
snF(s)
f
(t) e t
0σ
σ0 的信号称为指数阶信号；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
3.lim tne t 0 0 t
4. lime te t 0 α t
5.et2 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标， 为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。
本章内容及学习方法
4
第 页
本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。
本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。
最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍 系统稳定性问题。
注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。
一.积分微分方程拉氏变换的步骤
取
y(t)的微分方程 拉
初始条件
氏 变
换
Y(s)的代数方程
经典法求解
微分方程的解
解方程
取 拉 氏
反 Y(s)的函数
第四章 连续时间信号与系统的s域分析 (1)
F s
0
f t e st dt
其中，s j 称为复频率
§ 4-1 拉普拉斯变换
1.拉普拉斯变换的定义 F s 实际上就是指数加权后的因果信 t e 号 f t , 0 t ，的FT。因此，求F s 的 t e f t ，并进而得到因果 逆FT，就可得到 信号f t ，即 f t e 1 F s e d F s e ds 2 2 j
0
e
f t dt
这使得增长速度不快于指数增长函数的信号都存在LT。使 LT收敛的取值范围称为LT的收敛域。 拉普拉斯变换的缺点是：不象傅里叶变换有明确的物理意 义，它没有明确的物理意义。复频率更多的是数学意义。
§ 4-1 拉普拉斯变换
2.典型信号的拉普拉斯变换 （1）单位冲激信号
f1 t u t f2 t u t F1 s F2 s
对于有冲激响应 ht 的因果LTI系统而言， 因果激励 f t 产生的零状态响应为yt ht f t 在s域中有 Y s H s F s 其中，系统函数 H s 是系统冲激响应 ht 的LT。
n t
n!
te
t
u t
s
1
2
t e
2
t
u t
s 3
2
§ 4-2 拉普拉斯变换的性质
n t t 例4-11 求因果指数加权正弦信号 e cos0 t ut
和 t n e t sin0 t ut 的LT。
t e
§ 4-1 拉普拉斯变换
1.拉普拉斯变换的定义
尽管奇异函数的使用扩大了傅里叶变换的应用范 围，仍有不少常见信号，例如指数增长因果信号， 不存在傅里叶变换。为了进一步扩大傅里叶变换 应用范围，先把信号进行恰当的指数衰减，然后 对它进行傅里叶变换。这就产生了如下定义的拉 普拉斯变换（Laplace Transformation，简写 LT）。 因果信号f t , 0 t 的拉普拉斯变换 F s 定义为
§6 连续时间系统的s域分析
系统也是稳定的。
的全部极点都在S平面的左半边。
例3.
X (s)
1 ( s 1) ( s 2 )
第
6
页
确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。
s 极点：
j
1,
s 2
j
j
2 1
2 1
2 1
右边信号
左边信号
双边信号
判断因果性和稳定性！
第
Y (s) X (s) H (s)
其中 H ( s ) 是 h ( t ) 的拉氏变换，称为系统函数
或转移函数。
如果 X ( s )的ROC包括 j 轴，则 X ( s ) 和H ( s ) 的
第
3
页
ROC必定包括 j 轴，以 s j 代入，即有
Y ( j ) X ( j ) H ( j )
2 t
u( t )
6.3 由系统函数的零极点分布确定频率特性
H jω H s s jω K
s z
j j 1
m
jω z
j s jω
m
s P
i i 1
n
K
j 1
jω p
i i 1
n
可见H j ω的特性与零极点的位置 有关。
h( t ) e
at at
1
a 0, 在左实轴上 ,
u( t ), 指数衰减
a 0, 在右实轴上 , h( t ) e u( t ), a 0, 指数增加 ω H ( s) 2 , p1 jω, 在虚轴上 2 s ω h( t ) sinωtu( t )，等幅振荡
[北京交通大学信号与系统课件]第七章连续时间信号与系统的S域分析
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六拉普拉斯反变换部分分式展开法计算拉普拉斯反变换方法 1 利用复变函数中的留数定理 2 采用部分分式展开法 [例] 采用部分分式展开法求下列的反变换解 Fs为有理真分式极点为一阶极点解解 Fs为有理假分式将Fs化为有理真分式归纳 1 Fs为有理真分式m n极点为一阶极点 2 Fs为有理真分式 m n极点为r重阶极点 3 Fs为有理假分式 m n 为真分式根据极点情况按1或2展开[例] 求下列Fs的反变换解解令s2q 解 k2 k3用待定系数法求信号的复频域分析小结信号的复频域分析实质是将信号分解为复指数信号的线性组合信号的复频域分析使用的数学工具是拉普拉斯变换利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换的性质可对任意信号进行复频域分析复频域分析主要用于线性系统的分析连续系统响应的复频域分析微分方程描述系统的S域分析电路的S域模型微分方程描述系统的S域分析时域微分方程时域响应yt S域响应Ys 拉氏变换拉氏反变换解微分方程解代数方程 S域代数方程二阶系统响应的S域求解已知 f ty0-y 0- 求yt 1 经拉氏变换将域微分方程变换为域代数方程 2 求解s域代数方程求出Yxs Yf s 3 拉氏反变换求出响应的时域表示式求解步骤 Yxs Yfs yt a1yt a2y t 系统的微分方程为 yt5yt6yt2ft8ft 激励fte-tut初始状态y0-3 y0-2求响应yt 例1 解对微分方程取拉氏变换可得电路的s域模型时域复频域 RLC串联形式的s域模型 [例2]图示电路初始状态为vc0--E 求电容两端电压 vct 解建立电路的s域模型由s域模型写回路方程求出回路电流电容电压为系统函数Hs与系统特性系统函数Hs 系统函数的定义Hs与ht的关系s域求零状态响应求Hs的方法零极点与系统时域特性零极点与系统频响特性连续系统的稳定性一系统函数Hs 1定义系统在零状态条件下输出的拉氏变换式与输入的拉式变换式之比记为Hs 2 Hs与ht的关系 ht t yft tht 一系统函数Hs 3求零状态响应 4求Hs的方法①由系统的冲激响应求解HsL[ht] ③由系统的微分方程写出Hs ht Hs ft yftftht Fs YfsFsHs ②由定义式第七章连续时间信号与系统的S域分析连续时间信号的复频域分析连续时间系统的复频域分析连续时间系统函数与系统特性连续时间系统的模拟 71 连续时间信号的复频域分析从付立叶变换到拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换及其存在的条件常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换反变换一从傅里叶变换到拉普拉斯变换f teatut a 0的傅里叶变换不存在将ft乘以衰减因子推广到一般情况令s j 定义对 fte-t求傅里叶反变换可推出拉普拉斯正变换拉普拉斯反变换拉普拉斯变换符号表示及物理含义符号表示物理意义信号ft可分解成复指数est的线性组合 Fs为单位带宽内各谐波的合成振幅是密度函数 s是复数称为复频率Fs称复频谱关于积分下限的说明二单边拉普拉斯变换及其收敛条件积分下限定义为零的左极限目的在于分析和计算时可以直接利用起始给定的0-状态单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换的收敛域对任意信号ft 若满足上式则 ft应满足 0 拉氏变换存在的充要条件为绝对可积 0称收敛条件收敛区 j 0 0称收敛坐标 S平面右半平面左半平面 [例] 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域分析求收敛域即找出满足的取值范围收敛域为全S平面不存在 1指数型函数e t ut 三常用信号的拉普拉斯变换同理正弦信号 2 阶跃函数ut 4 t的正幂函数t nn为正整数根据以上推理可得四拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 [例] 计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换解时域信号傅里叶变换拉普拉斯变换不存在结论 1当收敛域包含纵轴时拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在2当收敛域不包含纵轴时拉普拉斯变换存在而傅里叶变换不存在 3当收敛域的收敛边界位于纵轴时拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在五拉普拉斯变换的性质 1线性特性若则 2展缩特性若则 3时移右移特性若则例题p241 4卷积特性 5乘积特性乘积性质两种特殊情况 1 指数加权性质s域平移特性若则 2线性加权性质s域微分特性 6微分特性 [证明] 重复应用微分性质求得若ft0 t 0则有 f r0 - 0r012 7积分特性若 f -10- 则有 [证明] 其中右边第一项第二项按部分分式得 8初值定理和终值定理若注意事项p247。
拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析基本要求通过本章的学习...
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()stf t F s f t dt e ζ∞--==⎰逆变换 1[()]()()2j stj F s f t F s ds j e σσζπ+∞-∞==⎰双边拉普拉斯变换： 正变换()()stB s f t dt e F ∞--∞=⎰逆变换1()()2j stB j f t s ds j e F σσπ+∞-∞=⎰（2） 定义域若0σσ>时，lim ()0tt f t eσ-→∞=则()tf t eσ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()stf t dt e +∞--⎰存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。
0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。
0σ与函数()f t 的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+（2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则()[]()(0)df t sF s f dtζ-=- 11()0()[]()(0)n n n n r r nr d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中()(0)r f-是r 阶导数()r rd f t dt 在0-时刻的取值。
《信号与系统》实验3(连续系统的s域分析)
实验三 连续系统的s 域分析学号： 姓名： 成绩：一、实验目的（1）熟悉拉氏变换。
（2）掌握系统响应s 域求法。
（3）熟悉系统的频率响应。
二、实验原理连续LTI 系统，在s 域可以用系统函数H(s)描述，其实质是系统冲激响应h(t)的拉氏变换。
)()()(s A s B s H =（1） 拉氏逆变换若H(s)的极点分别为p1,…,pn ，则H(s)可表示为：部分分式+多项式∑=+-+⋅⋅⋅+-+-=Mm m m n n s c p s r p s r p s r s H 02211)(由此可以方便的求出其拉氏逆变换（即对应的时间域信号）。
（2）s 域求响应变换到s 域，系统响应等于激励信号与系统函数相乘)()()(s H s E s R =（3）系统的频率响应如果系统函数H(s)的收敛域包含虚轴，则令s=j ω，得到系统的频率响应H(j ω)。
三、验证性实验 已知系统)(9)(3)(8)(6)()1()1()2(t e t e t r t r t r+=++，其系统函数为8693)(2+++=s s s s H 。
（1） 求零、极点。
程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8]; %分母多项式系数 zs=roots(b); ps=roots(a);plot(real(zs),imag(zs),'go',real(ps),imag(ps),'rx'); grid;legend('zero','pole');-4-3.5-3-2.5-2问题：该系统的零点能够抵销什么形式的激励信号？（2） 求冲激响应h(t)（系统函数的逆变换） 程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8]; %分母多项式系数 [r,p,k]=residue(b,a) 运行结果： r =1.5000 1.5000 p = -4 -2 k = [] 则t t e e t h s s s H 245.15.1)(25.145.1)(--+=+++=问题：该系统是不是稳定系统？（3） e(t)=u(t)时，求零状态响应ss s s s E s H s R st u L s E 8693)()()(1)]([)(23+++====程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8,0]; %分母多项式系数[r,p,k]=residue(b,a); %求留数、极点 t=0:0.1:10;f=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t); plot(t,f);02468100.511.5问题：响应的极点有哪些，与激励相同的极点是哪一个，对应着响应的什么分量？（4） 求频率响应H(j ω)。
《信号与系统》连续时间信号与系统的S域分析
f2(t)
1
2
j
F1(s) F2 (s)
X
第
十．对s微分
24 页
若L f (t) F(s)，则
L tn
f
(t)
(1)n
dn F(s) d sn
常用形式：Ltf (t) d F(s)
ds
n取正整数
十一．对s积分
若L
f
(t)
F ( s)，则L
f
(t) t
s
F(s)d
s
X
信号与系统
VC
(s)
1 C
IC (s) s
iC (1) (0 s
)
1
1
sC IC (s) s vC (0 )
1
C
i (1)
C
(0
)
1 C
0
iC
(
)
d
vC (0 )
X
第
电容元件的s 域模型
16 页
iC t C vC t
1 vC (t) C
t
ic ( )d
VC
(s)
1 C
IC (s) s
4.4 拉普拉斯逆变换
(1)利用像函数直接求原函数 (2)部分分式法 (3)利用留数定理——围线积分法 (4)数值计算方法——利用计算机
信号与系统
部分分式法 求拉普拉斯逆变换
* 找F(s)的极点 * 部分分式展开法 * 求拉普拉斯逆变换 * 两种特殊情况
拉氏逆变 换的过程
第
一．找F(s)的极点
27 页
X
第
五．s域平移
19 页
若若LL ff ((tt)) FF((ss)，)，则则LLf (ft()te)eαtαt F(Fs (sα) α) 若L f (t) F(s)，则 L f (t)eαt F(s α)
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的s 域分析4.1 基本要求1. 深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念；2. 熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义和它们的运用；3. 能根据时域电路模型画出s 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应；4. 能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性；5. 理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系；6. 会判断系统的稳定性。
4.2 公式摘要1. 拉氏变换、傅氏变换和算子符号之间的区别和联系（1）拉氏变换法在求解问题时能够把初始条件的作用计入，而算子符号则不能。
但是拉氏变换不能反映出零输入响应，可能会丢失一些固有频率，而算子符号则不会。
（2）傅氏变换为时域到频域变换，ω只能描述振荡重复频率；拉氏变换为时域到复频域变换，s 不仅能描述振荡，也能反映振荡幅度的衰减或增长速率。
（3）拉氏变换收敛域坐标00σ>则对应傅立叶不存在；收敛坐标00σ<则对应傅立叶变换只需将s 用j ω替换即可；收敛坐标00σ=，则不能简单地用j ω替换s 得到对应的傅立叶变换，除此之外还将出现冲激项。
2. 利用拉氏变换性质求拉氏变换（1）单边拉氏变换收敛域形式为Re[]s a >，极点在a 左边。
（2）利用延时定理求解拉氏变换适用于00()()f t t u t t --且00t >。
利用尺度变换求解拉氏变换适用于()f at 且0a >。
（3）利用时域微积分特性求解单边拉氏变换需要注意起始值(0)f-和积分值01(0)()f f d ττ----∞=?。
必须理解采用0-的原因是需要把0t =处可能有的冲激考虑在内。
（4）注意单边拉氏变换的卷积定理要求参与卷积的信号为因果信号。
（5）务必注意：对信号作各种操作后，会对收敛域有影响。
3. 求双边拉氏变换及其收敛域（1）反因果信号2()()()f t f t u t =-的双边拉氏变换求解时需将它的积分区间通过变量替换为0到正无穷，以便判断收敛域范围。
连续时间信号与系统的S域分析
报告四：一、设计题目1求信号)()(2t e t f t ε-=的拉普拉斯变换. 2求6554)(2+++=s s s s F 的拉普拉斯反变换3求象函数6554)(22++++=s s s s s F 的零点，极点，并绘制零点分布图。
4已知某线性时不变系统的系统函数121)(2++-=s s s s H ，求该系统的单位冲激相应和频率响应，并用matlab 绘制它们的曲线二、设计目的 1.掌握拉普拉斯变换的定义及收敛问题。
2.掌握拉普拉斯逆变换的求解方法。
3.掌握用MTLAB 仿真实现拉普拉斯变换。
三、设计原理连续时间信号的拉普拉斯变换F(s)的定义为正变换；F s =f (t )e −st dt +∞0逆变换；f t = F jω e st ds σ+j∞σ−j∞拉普拉斯变换有两个主要用途；求解微分方程和分析系统特性。
求解常系数线性微分方程的时候，需要利用拉普拉斯逆变换求出时域的表达式。
四、设计的过程及仿真1clear all; close all; clc;syms t s;ft=exp(-2*t);Fs=laplace(ft,t,s)运行后的结果为：F=1/(s + 2)clear all; close all; clc;syms t s;Fs=sym('(4*s+5)/(s^2+5*s+6)') ;ft=ilaplace(Fs,s,t)运行后的结果为：ft ==7/exp(3*t) - 3/exp(2*t)3.clear all; close all; clc;b=[1 4 5] %F(s)表达式分子式的系数向量a=[1 5 6] %F(s)表达式分母式的系数向量[z,p,k] = tf2zp(b,a) %调用函数求解零极点disp('零点：');disp(z');disp('极点：');disp(p');disp('极点：');disp(k');zplane(z,p);程序运行后的结果为：z =-2.0000 + 1.0000i-2.0000 - 1.0000ip =-3.0000-2.0000k =1零点：-2.0000 - 1.0000i -2.0000 + 1.0000i极点：-3.0000 -2.0000直接项：1系统的零、极点分布如图所示；4.clear all; close all; clc;b=[0 1 -1] %F(s)表达式分子式的系数向量a=[1 2 1] %F(s)表达式分母式的系数向量figure(1);H=impulse(b,a); %调用函数求冲激响应plot(H,'-k','linewidth',2);title('单位冲激响应');axis([0 1000 -0.5 1]);figure(2);[H,w]=freqs(b,a); %调用函数求频率响应plot(w,abs(H),'-k','linewidth',2);xlabel('ω rad/s');ylabel('幅度');title('幅频响应');figure(3)plot(w,angle(H),'-k','linewidth',2);xlabel('ω rad/s');ylabel('相位');title('相频响应');程序运行后，系统的单位冲激响应和频率响应如图所示；五、设计的结论及收获通过本次实验，实现了MTLAB仿真实现拉普拉斯变换，掌握了拉普拉斯变换的定义及收敛问题，普拉斯逆变换的求解方法。
第五章 连续时间系统的S域分析PPT课件
第4-2页
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信号与系统 电子教案 第五章 连续时间系统的S频域分析
3
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
二、收敛域
三、(单边)拉普拉斯变换
5.2 拉普拉斯变换的性质
5.3 拉普拉斯变换逆变换
5.4 复频域分析
一、微分方程的变换解
二、系统函数
三、系统的零极点图
四、系统的s域框图
状区域，如图所示。
α0
βσ
第4-8页
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信号与系统 电子教案
5.1 拉普拉斯变换
9
例4 求下列信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t)
f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t)
f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t)
3、指数函数e-s0t ←→ 1
s s0
> -Re[s0]
s
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0
sin0t = (ej0t– e-j0t )/2j ←→
0
s2
2 0
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信号与系统 电子教案
5.1 拉普拉斯变换
12
4、周期信号fT(t)
F T(s)0 fT(t)esd t t
五、电路的s域模型
5.5 系统的稳定性
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信号与系统 电子教案
4
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ， 适当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅 度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
第4章 拉普拉斯变换连续时间系统的S域分析
lim f (t )e t 0
t
当 0
(4.1-8)
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
lim f (t )e t 0
t
( 0 )
(4.1-8)
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域 分析
主讲：卢亚玲
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
拉普拉斯变换的发展史
（1）19世纪末，英国工程师赫维赛德（O.Heaviside, 1850-1925）发明“运算法”（算子法）解决电工程计
算中的一些基本问题。
1 1 1 j 2 s a j s a j ( s a ) 2 2
1 ( a j ) t ( a j ) t e cos t u (t ) (e e )u (t ) 2 1 1 1 sa j 2 s a j s a j ( s a ) 2 2
lim f (t )e
t
t
0
( a)
4.1-2(c)
因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在， 所以一般可以 不标明收敛区。
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
4.1.2
1. F(s)=F(ω)| s=jω
当拉氏变换的收敛区包括jω轴， F(s)可由F(ω)直 接得到， 仅将jω换为s， F(s)=F(ω)| s=jω (4.1-9)
n n st
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析
S域分析极点与零点
衰减因子
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)
V01(s)
=
H
(s).E1
(s)
=
α(1− e−sτ s(s +α)
)
（7）求第一周期的稳态响应
V 0 s1 ( s ) = V 01 ( s ) − V 0 t ( s )
=
α (1 − e − sτ ) s(s + α )
+
1 − e ατ 1 − eαT
m
k∏(s − zj)
H (s) =
j =1 n
∏(s − pi)
i =1
jω
p1
z1
p0
z0
σ
p2
z2
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
时域特性 （1）时域特性——h(t) Ki与零点分布有关
m
k∏(s − zj )
H(s) =
j=1 n
∏(s −pi)
i=1
反变换
∑ h (t ) =
L
−
1
⎡ ⎢
（3） 有二重极点分布—— (a)在原点有二重极点
jω
h(t)
σ
0
t
H (s) = 1 S2
h(t) = t
（3） 有二重极点分布—— (b)在负实轴上有二重极点
jω
h(t)
σ
0
t
H
(s)
=
(S
1
+α
)2
h (t ) = te −αt
（3） 有二重极点分布—— (c)在虚轴上有二重极点
jω
h(t)
σ
0
t
H (s) = 2ωS
连续时间信号与系统的S域分析
2、展缩特性 若 则
L f (t ) F (s)
Re(s) 0
a0
为什么a>0,而在傅立叶变换中a是 没有限制的，
1 f (at ) F ( s / a ) a
L
因为：此为单边拉什变换，要求 有展缩，而不能有翻转
Re(s) a 0
3、时移特性
若
L f (t ) F (s)
(4) t的正幂函数t n,n为正整数
n t n n n st st L[t u (t )] (t )e dt (e ) 0 0 s s n n 1 st n n 1 t e dt L [ t u (t )] 0 s s
0
则：X(s) 1 e sT e2sT
1 1 - e sT
ROC : Re{s} 0
4、卷积特性
L f1 (t ) F1 (s)
Re(s) 1 Re(s) 2
f 2 (t ) F2 (s)
L
L f1 (t ) * f 2 (t ) F1 (s) F2 (s)
关于积分下限的说明： 积分下限定义为零的左极限，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。
单边拉普拉斯变换存在的条件
充要条件为：
| f (t ) | e t dt C
对任意信号f(t) ，若满足上式，则 f(t)应满足
t
lim f (t )e t 0
(0)
s 0 (s 0 )
2 2 0
Re(s) - 0
e
0t
sin 0 tu(t )
L
连续时间信号与系统的S域分析课件
03
S域分析的理论基础
S域的定义和性质
S域的定义
S域，也称为拉普拉斯变换域，是通过拉普拉斯变换将时间函数映射到复平面上的频域表示。
S域的性质
线性性、时移性、频移性、微分性、积分性等，这些性质使得S域分析在信号处理、控制系统等领域具有广泛的 应用。
S域与时域的关系
时域到S域的转换
通过拉普拉斯变换，可以将时域信号转换为S域信号，从而方便进行频域分析 。
教学方法：本课程将 采用理论授课、案例 分析、实验实践等多 种教学方法，以确保 学生能够全面、深入 地理解和掌握课程内 容。
学习建议：为了更好 地学习本课程，学生 应
认真听讲，积极参与 课堂讨论；
及时完成课后作业， 巩固所学知识；
多做实践，提高分析 问题和解决问题的能 力。
02
连续时间信号与系统的基 础知识
S域分析的局限性和挑战
局限性
S域分析在处理某些具有复杂时间特性的信号和系统时，可能表现 出一定的局限性，需要结合其他时域、频域分析方法进行综合研究 。
计算复杂性
对于高阶、复杂的系统，S域分析涉及的计算可能变得繁琐和复杂 ，需要借助计算机辅助工具进行高效求解。
理解难度
S域分析涉及较多的数学概念和抽象思维，对学生的学习和理解能力 提出了一定的挑战。
S域分析的实验和仿真方法
实验设计
设计针对S域分析的实验，通过采集实源自信号并对其进行S域变换，以验证理论分析的正确性和有效性。
仿真工具的应用
利用仿真工具，如Simulink等，建立S域分析的仿真模型，对信号进行模拟和仿真分析，进一步加深对S域分析的理解和掌握。
结果可视化与分析
通过实验和仿真获得的结果，可以进行可视化展示和分析，直观地观察信号的S域特性，为后续的理论学习和实践应用提供有力支持。
连续时间系统S域分析小结.
几何法绘制频率响应特性曲线
s H (s) s 1/ Rc
几何法绘制频率响应特性曲线
1 1 H (s) Rc s 1/ Rc
几何法绘制频率响应特性曲线
1 1 R1C1 R2C2
几何法绘制频率响应特性曲线
j j3
|H(j)|
-2
-1
0
σ
2
0
3
10
-j3
系统稳态响应的求解
正 H (e j0 ) Am cos[n0 (0 )]
例题：
如图所示电路中，R=5Ω，L=2H，C＝0.1F， 电路初始状态为零；
L
+ e(t) － R + C
r(t) －
(1)求系统函数H(s)；画出S平面极零点分布图 并判断系统的稳定性；分析系统的通频特性；
(2)若输入激励e(t)=u(t)，求系统的零状态响应。
1.4
1.2
1
0.8
|H(jw)|
y(t ) [1 e (cos2t 0.5 sin 2t )]u(t )
t
熟练掌握拉氏变换的性质，利用典型信号的变 换求解信号变换 初值、终值定理和卷积定理
拉氏逆变换的求解方法：1.部分分式分解法； 2.围线积分法（留数法） 利用拉氏变换求解微分方程
系统函数H(s)
系统函数的定义： 利用冲激响应确定 由微分方程写出系统函数 由系统的S域电路模型写出系统函数 由系统的模拟框图写出系统函数 由系统函数的极零点图写出 系统函数的应用：
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实验七 连续时间系统S 域零极点分析一、目的（1）掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系（2）掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系 （3）掌握利用MATLAB 进行S 域分析的方法二、零极点分布与系统稳定性根据系统函数)(s H 的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一。
稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数)(s H 包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。
对任意有界信号)(t f ，若系统产生的零状态响应)(t y 也是有界的，则称该系统为稳定系统，否则，则称为不稳定系统。
上述稳定性的定义可以等效为下列条件：● 时域条件：连续系统稳定充要条件为∞<⎰∞∞-dt t h )(，即冲激响应绝对可积； ● 复频域条件：连续系统稳定的充要条件为系统函数)(s H 的所有极点位于S 平面的左半平面。
系统稳定的时域条件和频域条件是等价的。
因此，只要考察系统函数)(s H 的极点分布，就可判断系统的稳定性。
对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便地求出极点位置，从而判断系统稳定性，但对于告阶系统，手工求解极点位置则显得非常困难。
这时可利用MATLAB 来实现这一过程。
例7-1：已知某连续系统的系统函数为：试用MATLAB 求出该系统的零极点，画出零极点图，并判断系统是否稳定。
解：调用实验六介绍的绘制连续系统零极点图函数sjdt 即可解决此问题，对应的MATLAB 命令为： a=[8 2 3 1 5];b=[1 3 2]; [p,q]=sjdt(a,b) 运行结果为： p =-0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i 0.4905 - 0.7196i 0.4905 + 0.7196i q =-2 -1绘制的零极点图如图7-1所示。
由程序运行结果可以看出，该系统在S 平面的右半平面有一对共轭极点，故该系统是一个不稳定系统。
三、零极点分布与系统冲激响应时域特性设连续系统的系统函数为)(s H ，冲激响应为)(t h ，则 显然，)(s H 必然包含了)(t h 的本质特性。
对于集中参数的LTI 连续系统，其系统函数可表示为关于s 的两个多项式之比，即∏∏==--==Ni iMj j p s q s C s A s B s H 11)()()()()( （7-1）其中),,2,1(M j q j =为)(s H 的M 个零点，),,2,1(N i p i =为)(s H 的N 个极点。
若系统函数的N 个极点是单极点，则可将)(s H 进行部分分式展开为：∑=-=Ni i i p s ks H 1)( （7-2）从式（7-1）和（7-2）可以看出，系统冲激响应)(t h 的时域特性完全由系统函数)(s H 的极点位置决定。
)(s H 的每一个极点将决定)(t h 的一项时间函数。
显然，)(s H 的极点位置不同，则)(t h 的时域特性也完全不同。
下面利用例子说明)(s H 的极点分布与)(t h 时域特性之间的关系。
例7-2：已知连续系统的零极点分布如图7-2所示，试用MATLAB 分析系统冲激响应)(t h 的时域特性。
解：系统的零极点图已知，则系统的系统函数)(s H 就可确定。
这样就可利用绘制连续系统冲激响应曲线的MATLAB 函数impulse()，将系统冲激响应)(t h 的时域波形绘制出来。
对于图7-2（a ）所示的系统，系统函数为ss H 1)(=，即系统的极点位于原点，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：a=[1 0]; b=[1];impulse(b,a)绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（a ）所示，此时)(t h 为单位阶跃信号。
对于图7-2（b ）所示的系统，系统函数为α+=s s H 1)(，即系统的极点为位于S 平面左半平面的实极点，令2=α，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：a=[1 2]; b=[1];impulse(b,a)绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（b ）所示，此时)(t h 为衰减指数信号。
对于图7-2（c ）所示的系统，系统函数为α-=s s H 1)(，即系统的极点为位于S 平面右半平面的实极点，令2=α，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：a=[1 -2]; b=[1];impulse(b,a)绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（c ）所示，此时)(t h 为随时间增长的指数信号。
对于图7-2（d ）所示的系统，系统函数为22)(1)(βα++=s s H ，即系统的极点为位于S 平面左半平面的一对共轭极点，令5.0=α、4=β，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：a=[1 1 16.25]; b=[1];impulse(b,a,5)绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（d ）所示，此时)(t h 为按指数衰减的正弦振荡信图7-2 例7-2的系统零极点图（a ）（b ） （c ） （d ） （e ） （f ） 图7-3 例7-2的系统冲激响应时域波形图号。
对于图7-2（e ）所示的系统，系统函数为221)(β+=s s H ，即系统的极点为位于S 平面虚轴上的一对共轭极点，令4=β，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：a=[1 0 16]; b=[1];impulse(b,a,5)绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（e ）所示，此时)(t h 为等幅正弦振荡信号。
对于图7-2（f ）所示的系统，系统函数为22)(1)(βα+-=s s H ，即系统的极点为位于S 平面右半平面上的一对共轭极点，令5.0=α、4=β，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：a=[1 -1 16.25]; b=[1];impulse(b,a,5)绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（f ）所示，此时)(t h 为按指数增长的正弦振荡信号。
从上述程序运行结果和绘制的系统冲激响应曲线，可以总结出以下规律：系统冲激响应)(t h 的时域特性完全由系统函数)(s H 的极点位置决定，)(s H 位于S 平面左半平面的极点决定了)(t h 随时间衰减的信号分量，位于S 平面虚轴上的极点决定了冲激响应的稳态信号分量，位于S 平面右半平面的极点决定了冲激响应随时间增长的信号分量。
三、由连续系统零极点分布分析系统的频率特性由前面分析可知，连续系统的零极点分布完全决定了系统的系统函数)(s H ，显然，系统的零极点分布也必然包含了系统的频率特性。
下面介绍如何通过系统的零极点分布来直接求出系统的频率响应)(ωj H 的方法——几何矢量法，以及如何用MATLAB 来实现这一过程。
几何矢量法是通过系统函数零极点分布来分析连续系统频率响应)(ωj H 的一种直观而又简便的方法。
该方法将系统函数的零极点是为S 平面上的矢量，通过对这些矢量的模和幅角的分析，即可快速确定出系统的幅频响应和相频响应。
其基本原理如下：设某连续系统的系统函数为：其中),,2,1(M j q j =为)(s H 的M 个零点，),,2,1(N i p i =为)(s H 的N 个极点。
则频率响应为：∏∏===--==Ni iMj jj s p s q s Cs H j H 11)()()()(ωω （7-3）现在从几何矢量空间的角度分析S 平面，即将S 平面的任一点看成是从原点到该点的矢量，则ωj 即是从S 平面原点到虚轴上角频率为ω的点的矢量。
同理，),,2,1(M j q j =和),,2,1(N i p i =即是从S 平面原点到系统函数各零点和极点的矢量。
现在考虑矢量j q j -ω，由矢量运算可知，它实际上就是零点j q 到虚轴上角频率为ω的点的矢量，如图7-3所示；而矢量i p j -ω则是极点i p 到虚轴上角频率为ω的点的矢量。
令其中，j B 为矢量j q j -ω的模，j ψ为该矢量的幅角；i A 为矢量i p j -ω的模，i θ为该矢量的幅角。
因此有：)(11)()()()(ωϕθψωωj Ni ij iMj j j j e j H eA eB Cj H ==∏∏== （7-4）则系统的幅频特性和相频特性为：∏∏===N i iMj jABCj H 11)(ω （7-5）∑∑==-=N i iMj j11)(θψωϕ （7-6）由上述分析可以得出如下结论：● 连续系统的幅频响应)(ωj H 等于系统函数所有零点到虚轴上角频率为ω的点的距离之积与系统函数所有极点到虚轴上角频率为ω的点的距离之积的比值； ● 连续系统的相频响应)(ωϕ等于系统函数所有零点到虚轴上角频率为ω的点的矢量相角之和与系统函数所有极点到虚轴上角频率为ω的点的矢量相角之和的差值。
让矢量ωj 沿着虚轴变化，即角频率ω由∞~0进行改变，便可直观地求出系统幅频响应和相频响应随ω的变化，从而分析出系统的频率特性。
根据上述结论，若已知系统的零极点分布，即可直接由几何矢量法分析出系统的频率特性。
上述过程可用MATLAB 快速实现。
用MATLAB 实现已知系统零极点分布，求系统频率响应，并绘制其幅频特性和相频特性曲线的程序流程如下：（1） 定义包含系统所有零点和极点位置的行向量q 和p ；（2） 定义绘制系统频率响应曲线的频率范围向量f1和f2、频率取样间隔k ，并产生频率等分点向量f ；（3） 求出系统所有零点和极点到这些等分点的距离； （4） 求出系统所有零点和极点到这些等分点的矢量相角；（5） 根据式（7-5）和（7-6）求出f1到f2频率范围内各频率等分点的)(ωj H 和)(ωϕ；（6） 绘制f1~f2频率范围内系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。
下面是完成上述分析过程的MATLAB 实用函数splxy()。
function splxy(f1,f2,k,p,q)%根据系统零极点分布绘制系统频率响应曲线程序%f1、f2：绘制频率响应曲线的频率范围（即频率起始和终止点，单位为赫兹） %p 、q ：系统函数极点和零点位置行向量 %k ：绘制频率响应曲线的频率取样间隔 p=p'; q=q';f=f1:k:f2; %定义绘制系统频率响应曲线的频率范围w=f*(2*pi);y=i*w;n=length(p); m=length(q); if n==0 %如果系统无极点yq=ones(m,1)*y;vq=yq-q*ones(1,length(w)); bj=abs(vq);cosaij=angle(vq)./pi.*180; ai=1; thetai=0; elseif m==0 %如果系统无零点yp=ones(n,1)*y;vp=yp-p*ones(1,length(w)); ai=abs(vp);thetai=angle(vp)./pi.*180; bj=1; cosaij=0; elseyp=ones(n,1)*y; yq=ones(m,1)*y;vp=yp-p*ones(1,length(w)); vq=yq-q*ones(1,length(w)); ai=abs(vp);thetai=angle(vp)./pi.*180; bj=abs(vq);cosaij=angle(vq)./pi.*180; endsubplot(121);Hw=prod(bj,1)./prod(ai,1); plot(f,Hw);title('连续系统幅频响应曲线') xlabel('频率w （单位：赫兹）') ylabel('F(jw)') subplot(122);Angw=sum(cosaij,1)-sum(thetai,1); plot(f,Angw);title('连续系统相频响应曲线') xlabel('频率w （单位：赫兹）') ylabel('Angle(jw)')下面举例说明如何调用该函数。