第二章 连续时间系统的时域分析 知识要点

比较等式两端δ (t) 及其各阶导数项的系数，得
a =1 b + 4a = 0 c + 4b + 5a = 3 d + 4c + 5b + 2a = 0 联立求解得 a =1 b = −4 c = 14 d = −38 故
d 3 r(t) = δ '' (t) − 4δ ' (t) +14δ (t) − 38Δu(t)
分方程在整个时间范围内成立了。
（2）由于定义了
δ (t) = d u(t) ，δ ' (t) = d δ (t)，L
d
d
这表明函数在跳变点处的导数要出现冲激函数项。因此，如果由于激励信号
的加入，在微分方程右端出现了冲激函数项 aδ (t) ， bδ ' (t) 等，则方程左端也应
有对应的冲激函数项。匹配就是使方程左端产生这样一些对应相等的冲激函数，
第二章 连续时间系统的时域分析
知识要点
一、连续时间系统的数学模型 1、连续时间系统数学模型的建立 原则上，具体问题的数学模型，由具体物理定律列写。 在电学系统中，由电网络结构的约束特性：基尔霍夫第一定律（KCL）和基
尔霍夫第二定律（KVL），以及元件的约束特性来建立描述连续时间系统（线性 电路）的数学模型。
dn dt n
rzs (t) +
an−1
d n−1 dt n−1
rzs (t) + L +
a1
d dt
rzs (t ) +
a0rzs (t )
6
=
bm
dm dt m
e(t) +
Hale Waihona Puke Baidu
bm−1
d m−1 dt m−1
e(t) + L +
b1
d dt
e(t) +
b0 e(t )
零状态响应 rzs (t ) 的求解有两种方法
dt
r
(0−
)
=
3 2
，求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应和完全响应。
解：（1）特征方程为α + 3 = 0 ，特征根为α = −3
齐次解为 Ae−3t ，特解为 1
设完全响应为 r (t ) = Ae−3t +1
激励 e(t ) = u (t ) 代入系统方程后，右端没有δ 函数项，因此，方程左端也不
原方程
初始条件 r (k ) (0+ ) 零状态响应 rzs (t ) 的定解条件是：
原方程
零状态响应的初始条件 rz(sk ) (0+ ) （即：跳变量 rz(sk ) (0+ ) ）
零状态响应的函数形式与完全响应的函数形式相同。
零输入响应 rzi (t ) 的定解条件是：
原方程的齐次方程
起始状态 r (k ) (0− )
方法一：直接求解微分方程 步骤：（1）求出通解；
（2）由跳变量 rz(sk ) (0+ ) = r (k ) (0+ ) − r (k ) (0− )确定 n 个待定常数。
方法二：卷积积分法 步骤：
（1）先求冲激响应 h(t)；
（2）再利用 rzs (t) = h(t)∗ e(t)求零状态响应。
例 2 已知系统方程为 dr (t ) + 3r (t ) = 3e(t ) ，激励 e(t ) = u (t ) ，起始状态
dt 3
d2 dt 2
r (t )
=
δ
' (t) −
4δ
(t ) + 14Δu(t )
d r(t) = δ (t) − 4Δu(t)
dt
4
r(t) = Δu(t)
所以
( ) ( ) ( ) r ''' zs
0+
= r ''' 0 +
− r ''' 0 −
= −38
r '' zs
(0
+
)
=
r
''
(0
e(t
)
+L
+
Em−1
d dt
e
(t
)
+
Eme
(t
)
或
dn dt n
r(t) +
an−1
d n−1 dt n−1
r(t) + L +
a1
d dt
r(t) +
a0 r (t )
=
bm
dm dt m
e(t) +
bm−1
d m−1 dt m−1
e(t) + L +
b1
d dt
e(t) +
b0 e(t )
结论：描述 n 阶连续时间线性时不变系统的数学模型是一个 n 阶线性常系数 微分方程。
+
)
−
r
''
(0 −
)
=
14
rz's (0+ ) = r ' (0+ ) − r ' (0− ) = −4
rzs (0+ ) = r(0+ ) − r(0− ) = 1
三、系统微分方程的解
系统微分方程的解，称为系统的全响应 r (t ) 。全响应可按三种方式分解：
1、全响应 r (t ) ＝零输入响应 rzi (t ) ＋零状态响应 rzs (t ) 注意：在求解系统的完全响应 r (t ) 时，要用到有关的三个量是：
k = 0 ，1，2，L ， n −1
显然，上式对 t = 0− ， t = 0+ 也成立，即
( ) ( ) ( ) r(k) 0− = rz(ik) 0− + rz(sk) 0−
( ) ( ) ( ) r(k) 0+ = rz(ik) 0+ + rz(sk) 0+
对于零输入响应，没有激励作用，系统前后的状态不会发生改变，故应有
cΔu(t
)
d r(t) = aδ (t)+ bΔu(t)
dt
r(t) = aΔu(t)
代入原方程得
aδ '' (t) + bδ ' (t) + cδ (t) + dΔu(t) + 4aδ ' (t) + 4bδ (t) + 4cΔu(t)
+ 5aδ (t) + 5bΔu(t) + 2aΔu(t) = δ '' (t) + 3δ (t)
电网络结构的约束特性，即各支路电流、电压的关系：
KCL： ∑ ± i(t) = 0 n
KVL： ∑ ± u(t) = 0 n
元件约束特性：
电阻： uR (t) = RiR (t)
电容： iC
(t )
=
C
duC (t)
dt
或 uC
(t )
=
1 C
t
∫−∞
iC
(τ
)dτ
电感： uL (t) =
L
diL (t
( ) ( ) ( ) rz(ik ) 0+ = rz(ik ) 0− = r (k ) 0−
对于零状态响应，在 t = 0− 时刻激励尚未接入，故应有
( ) rz(sk) 0− = 0
故 rz(sk) (0+ ) = r(k) (0+ ) − rz(ik) (0+ ) = r(k) (0+ ) − r(k) (0− )
r (k) (0− ) ：起始状态，它决定零输入响应； rz(sk ) (0+ ) ：跳变量，它决定零状态响应； r (k) (0+ )：初始条件，它决定完全响应； 这三个量之间的关系是： rz(sk ) (0+ ) = r (k ) (0+ ) − r (k ) (0− )
亦即
完全响应 r (t ) 的定解条件是：
4、求跳变量的冲激函数匹配法 冲激函数匹配法的基本原理有三条： （1）对于一个描述连续时间系统的微分方程，由于它在整个时间范围
(− ∞,+∞) 内都成立，它在任一特定时刻当然也成立。在引入δ 函数以前，函数在
不连续点（跳变点）的导数不存在。这样，一个微分方程就不能在整个时间范围
内成立。δ 函数的引入解决了函数在跳变点处导数存在的问题，从而使得一个微
而这些函数的产生，意味着存在 0− 状态到 0+ 状态的跳变量。
函数只匹配δ (t) 及其各阶导数项，使方程两端这些函数项对应相等。
（3）匹配从方程左端 r (k ) (t)的最高阶项开始，使方程右端δ 函数导数的最高
阶次项得到匹配。
3
例1
设某系统方程为 d 3 dt 3
r
(t
)
+
4
d2 dt 2
求出特征根α1 ，α 2 ，L ，α n
（2）根据特征根的不同形式，写出所对应的齐次解形式。 若其特征根均为单根，则设零输入响应为
n
( ) ∑ rzi t = Azik eαkt k =1
若其特征方程中有一个 m 阶重根α 时，则设零输入响应为
( ) ( ) rzi
t
=
Azi 0
+
Azi1t
+L+
A t m−1 zim −1
dt
)
或
i
L
(t
)
=
1 L
∫t −∞
u
L
(τ
)dτ
建立连续时间系统数学模型，不是本课程主要讨论的问题。 2、连续时间系统的数学模型一般形式
C0
dn dt n
r
(t)
+
C1
d n−1 dt n−1
r
(t)
+L +
Cn−1
d dt
r
(t)
+
Cn r
(t)
=
E0
dm dt m
e(t
)
+
E1
d m−1 dt m−1
eαt
+其它相应的齐次解
（3）由 r (k ) (0− ) 确定 n 个待定常数 Azik 。
2、零状态响应 rzs (t ) 的定义及其求法
定义：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加
激励信号所产生的响应，称为零状态响应 rzs (t )
零状态响应 rzs (t ) 满足的微分方程为：
(
0+
)
,
d dt
r
(0+
)
,L ,
d n−1 dt n−1
r
(
0+
)⎤⎥
⎦
注意： （1）对于一个具体的电网络，一般情况下换路期间电容两端的电压和流过
电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：uC (0− ) = uC (0+ ) ，
iL (0− ) = iL (0+ )。
（2）当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，0− 到 0+ 状态就会发生跳变。
rzi
(t )
+
3rzi
(t
)
=
0
rzi
(0 +
)
=
r (0 −
)
=
3 2
设零输入响应为
rzi
(t)
=
Azi e−3t
，代入 r
(0−
)
=
3 2
，得
Azi
=
3 2
7
于是零输入响应
rzi
(t)
=
3 2
e−3t
（3）求零状态响应
d dt
rzs
(t )
+
3rzs
(t )
=
3u(t )
1
二、起始状态 r(k) (0− ) 和初始条件 r(k) (0+ ) 1、起始状态 r(k) (0− )
系统在激励信号 e(t) 加入之前瞬间 t = 0− 的一组状态称为系统的起始状态
（简称 0− 状态），它包含了为计算未来响应的全部“过去”信息。
r(k
)
(0−
)
=
⎡ ⎢r ⎣
(0−
)
,
d dt
r(t) + 5 d r(t) + 2r(t) = δ '' (t) + 3δ (t)，求
dt
跳变量
rzs
(0
+
)
，
rz's
(0
+
)
，
r '' zs
(0
+
)
。
解：设
d3 dt 3
r(t
)
=
aδ
''
(t
)
+
bδ
'
(t
)
+
cδ
(t
)
+
dΔu(t
)
d2 dt 2
r (t )
=
aδ
'
(t )
+
bδ
(t )
+
5
2、全响应 r (t ) ＝自由响应 rh (t ) ＋强迫响应 rp (t ) 3、全响应 r (t ) ＝瞬态响应＋稳态响应
四、零输入响应 rzi (t ) 和零状态响应 rzs (t )
1、零输入响应 rzi (t ) 的定义及其求法
定义：没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产 生的响应，称为零输入响应。
量由原方程根据冲激函数匹配法求得。
3、 r(k) (0− ) 、 r(k) (0+ ) 、 rz(sk) (0+ ) 之间的关系： rz(sk ) (0+ ) = r (k ) (0+ ) − r (k ) (0− )
2
证明： r (t ) = rzi (t ) + rzs (t )
r(k) (t ) = rz(ik) (t ) + rz(sk) (t ) ，
零输入响应 rzi (t ) 满足的微分方程为：
dn dt n
rzi (t ) +
an−1
d n−1 dt n−1
rzi (t ) + L +
a1
d dt
rzi
(t ) +
a0 rzi
(t) =
0
零输入响应 rzi (t ) 的求解步骤：
（1）写出特征方程 α n + an−1α n−1 + L + a1α + a0 = 0
（3）当系统已经用微分方程表示时，系统从 0− 状态到 0+ 状态有没有跳变取
决于微分方程右端自由项是否包含δ (t) 及其各阶导数项。如果包含有δ (t) 及其各
阶导数，说明响应的 0− 到 0+ 状态发生了跳变，即 r(0+ ) ≠ r(0− ) 或 r ' (0+ ) ≠ r ' (0− ) 等 等。初始条件 r (k ) (0+ ) 与起始状态 r (k ) (0− ) 之差，称为跳变量，记为 rz(sk) (0+ ) 。跳变
r
(
0−
)
,L ,
d n−1 dt n−1
r
(
0−
)⎤⎥
⎦
注意：对于一个具体的电网络，系统的 0− 状态就是系统中储能元件的储能 决定的系统状态。
2、初始条件 r(k) (0+ )
系统在 t = 0+ 时刻的一组状态称为系统的初始条件，简称 0+ 状态或“导出的 起始状态”。
r(k
)
(0+
)
=
⎡ ⎢r ⎣
会有δ 函数。这表明响应在起始点连续，没有跳变，即
r
(0+
)
=
r
(0−
)
=
3 2
代入完全响应 r (t )
=
Ae−3t
+1，得 r (0+
)
=
A+1=
3 2
，解得
A
=
1 2
所以 r (t ) = 1 e−3t +1， t ≥ 0
2
其中，自由响应＝ 1 e−3t ，强迫响应＝1 2
（2）求零输入响应
d dt