第二章 连续时间系统的时域分析 知识要点

k = 0 ，1，2，L ， n −1
显然，上式对 t = 0− ， t = 0+ 也成立，即
( ) ( ) ( ) r(k) 0− = rz(ik) 0− + rz(sk) 0−
( ) ( ) ( ) r(k) 0+ = rz(ik) 0+ + rz(sk) 0+
对于零输入响应，没有激励作用，系统前后的状态不会发生改变，故应有
零输入响应 rzi (t ) 满足的微分方程为：
dn dt n
rzi (t ) +
an−1
d n−1 dt n−1
rzi (t ) + L +
a1
d dt
rzi
(t ) +
a0 rzi
(t) =
0
零输入响应 rzi (t ) 的求解步骤：
（1）写出特征方程 α n + an−1α n−1 + L + a1α + a0 = 0
dt
r
(0−
)
=
3 2
，求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应和完全响应。
解：（1）特征方程为α + 3 = 0 ，特征根为α = −3
齐次解为 Ae−3t ，特解为 1
设完全响应为 r (t ) = Ae−3t +1
激励 e(t ) = u (t ) 代入系统方程后，右端没有δ 函数项，因此，方程左端也不
而这些函数的产生，意味着存在 0− 状态到 0+ 状态的跳变量。
函数只匹配δ (t) 及其各阶导数项，使方程两端这些函数项对应相等。
（3）匹配从方程左端 r (k ) (t)的最高阶项开始，使方程右端δ 函数导数的最高
阶次项得到匹配。
3
例1
设某系统方程为 d 3 dt 3
r
(t
)
+
4
d2 dt 2
电网络结构的约束特性，即各支路电流、电压的关系：
KCL： ∑ ± i(t) = 0 n
KVL： ∑ ± u(t) = 0 n
元件约束特性：
电阻： uR (t) = RiR (t)
电容： iC
(t )
=
C
duC (t)
dt
或 uC
(t )
=
1 C
t
∫−∞
iC
(τ
)dτ
电感： uL (t) =
L
diL (t
+
)
−
r
''
(0 −
)
=
14
rz's (0+ ) = r ' (0+ ) − r ' (0− ) = −4
rzs (0+ ) = r(0+ ) − r(0− ) = 1
三、系统微分方程的解
系统微分方程的解，称为系统的全响应 r (t ) 。全响应可按三种方式分解：
1、全响应 r (t ) ＝零输入响应 rzi (t ) ＋零状态响应 rzs (t ) 注意：在求解系统的完全响应 r (t ) 时，要用到有关的三个量是：
e(t
)
+L
+
Em−1
d dt
e
(t
)
+
Eme
(t
)
或
dn dt n
r(t) +
an−1
d n−1 dt n−1
r(t) + L +
a1
d dt
r(t) +
a0 r (t )
=
bm
dm dt m
e(t) +
bm−1
d m−1 dt m−1
e(t) + L +
b1
d dt
e(t) +
b0 e(t )
结论：描述 n 阶连续时间线性时不变系统的数学模型是一个 n 阶线性常系数 微分方程。
1
二、起始状态 r(k) (0− ) 和初始条件 r(k) (0+ ) 1、起始状态 r(k) (0− )
系统在激励信号 e(t) 加入之前瞬间 t = 0− 的一组状态称为系统的起始状态
（简称 0− 状态），它包含了为计算未来响应的全部“过去”信息。
r(k
)
(0−
)
=
⎡ ⎢r ⎣
(0−
)
,
d dt
第二章 连续时间系统的时域分析
知识要点
一、连续时间系统的数学模型 1、连续时间系统数学模型的建立 原则上，具体问题的数学模型，由具体物理定律列写。 在电学系统中，由电网络结构的约束特性：基尔霍夫第一定律（KCL）和基
尔霍夫第二定律（KVL），以及元件的约束特性来建立描述连续时间系统（线性 电路）的数学模型。
r
(
0−
)
,L ,
d n−1 dt n−1
r
(
0−
)⎤⎥
⎦
注意：对于一个具体的电网络，系统的 0− 状态就是系统中储能元件的储能 决定的系统状态。
2、初始条件 r(k) (0+ )
系统在 t = 0+ 时刻的一组状态称为系统的初始条件，简称 0+ 状态或“导出的 起始状态”。
r(k
)
(0+
)
=
⎡ ⎢r ⎣
会有δ 函数。这表明响应在起始点连续，没有跳变，即
r
(0+
)
=
r
(0−
)
=
3 2
代入完全响应 r (t )
=
Ae−3t
+1，得 r (0+
)
=
A+1=
3 2
，解得
A
=
1 2
所以 r (t ) = 1 e−3t +1， t ≥ 0
2
其中，自由响应＝ 1 e−3t ，强迫响应＝1 2
（2）求零输入响应
d dt
量由原方程根据冲激函数匹配法求得。
3、 r(k) (0− ) 、 r(k) (0+ ) 、 rz(sk) (0+ ) 之间的关系： rz(sk ) (0+ ) = r (k ) (0+ ) − r (k ) (0− )
2
证明： r (t ) = rzi (t ) + rzs (t )
r(k) (t ) = rz(ik) (t ) + rz(sk) (t ) ，
比较等式两端δ (t) 及其各阶导数项的系数，得
a =1 b + 4a = 0 c + 4b + 5a = 3 d + 4c + 5b + 2a = 0 联立求解得 a =1 b = −4 c = 14 d = −38 故
d 3 r(t) = δ '' (t) − 4δ ' (t) +14δ (t) − 38Δu(t)
rzi
(t )
+
3rzi
(t
)
=
0
rzi
(0 +
)
=
r (0 −
)
=
3 2
设零输入响应为
rzi
(t)
=
Azi e−3t
，代入 r
(0−
)
=
3 2
，得
Azi
=
3 2
7
于是零输入响应
rzi
(t)
=
3 2
e−3t
（3）求零状态响应
d dt
rzs
(t )
+
3rzs
(t )
=
3u(t )
r(t) + 5 d r(t) + 2r(t) = δ '' (t) + 3δ (t)，求
dt
跳变量
rzs
(0
+
)
，
rz's
(0
+
)
，
r '' zs
(0
+
)
。
解：设
d3 dt 3
r(t
)
=
aδ
''
(t
)
+
bδ
'
(t
)
+
cδ
(t
)
+
dΔu(t
)
d2 dt 2
r (t )
=
aδ
'
(t )
+
bδ
(t )
+
dn dt n
rzs (t) +
an−1
d n−1 dt n−1
rzs (t) + L +
a1
d dt
rzs (t ) +
a0rzs (t )
6
=
bm
dm dt m
e(t) +
bm−1
d m−1 dt m−1
e(t) + L +
b1
d e(t )
零状态响应 rzs (t ) 的求解有两种方法
eαt
+其它相应的齐次解
（3）由 r (k ) (0− ) 确定 n 个待定常数 Azik 。
2、零状态响应 rzs (t ) 的定义及其求法
定义：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加
激励信号所产生的响应，称为零状态响应 rzs (t )
零状态响应 rzs (t ) 满足的微分方程为：
5
2、全响应 r (t ) ＝自由响应 rh (t ) ＋强迫响应 rp (t ) 3、全响应 r (t ) ＝瞬态响应＋稳态响应