连续时间系统的时域分析经典法
连续时间系统的时域分析经典法
在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
m
d2 dt 2
v(t)
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2d dt
(Bet
)
3(Bet
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
i(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R1LC
e(t)
d2 d t2
i(t
)
1 R1C
d i(t) 1 d
dt
R1C dt
iL
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析时域分析是对连续时间系统进行分析和研究的一种方法。
通过时域分析，可以了解系统的时间响应特性、稳定性以及系统的动态行为。
本文将从连续时间系统的时域分析方法、常用的时域参数以及时域分析在系统设计中的应用等方面进行详细介绍。
一、连续时间系统的时域分析方法连续时间系统的时域分析方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：通过解析方法可以得到系统的解析表达式，从而分析系统的时间响应特性。
常用的解析方法包括微分方程法、拉普拉斯变换法和傅里叶变换法等。
- 微分方程法：对于线性时不变系统，可以通过设立系统输入和输出之间的微分方程，然后求解微分方程来得到系统的时间响应。
- 拉普拉斯变换法：通过对系统进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数，进而分析系统的时间响应。
- 傅里叶变换法：通过对系统输入和输出进行傅里叶变换，将时域信号转化为频域信号，从而分析系统的频率响应。
2. 数值法：当系统的解析表达式难以获得或无法求解时，可以通过数值方法进行时域分析。
常用的数值方法包括欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。
- 欧拉法：通过差分近似，将微分方程转化为差分方程，然后通过计算差分方程的递推关系来得到系统的时间响应。
- 中点法：在欧拉法的基础上，在每个时间步长内，通过计算两个相邻时间点上的导数平均值来改进估计值，从而提高精度。
- 四阶龙格-库塔法：在中点法的基础上，通过对导数进行多次计算和加权平均，从而进一步提高精度。
二、常用的时域参数时域分析除了对系统的时间响应进行分析外，还可以提取一些常用的时域参数来描述系统的性能和特性。
1. 零点：系统的零点是指系统传递函数中使得输出为零的输入值。
2. 极点：系统的极点是指系统传递函数中使得输出无穷大的输入值。
3. 零极点图：零极点图是用来描述系统传递函数中的零点和极点分布情况的图形。
4. 频率响应：频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应。
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
连续时间信号的时域分析和频域分析
时域与频域分析的概述
时域分析
研究信号随时间变化的规律，主 要关注信号的幅度、相位、频率 等参数。
频域分析
将信号从时间域转换到频率域， 研究信号的频率成分和频率变化 规律。
02
连续时间信号的时
域分析
时域信号的定义与表示
定义
时域信号是在时间轴上取值的信号， 通常用 $x(t)$ 表示。
表示
时域信号可以用图形表示，即波形图 ，也可以用数学表达式表示。
05
实际应用案例
音频信号处理
音频信号的时域分析
波形分析：通过观察音频信号的时域波形，可 以初步了解信号的幅度、频率和相位信息。
特征提取：从音频信号中提取出各种特征，如 短时能量、短时过零率等，用于后续的分类或 识别。
音频信号的频域分析
傅里叶变换：将音频信号从时域转换 到频域，便于分析信号的频率成分。
通信系统
在通信系统中，傅里叶变 换用于信号调制和解调， 以及频谱分析和信号恢复。
时频分析方法
01
短时傅里叶变换
通过在时间上滑动窗口来分析信 号的局部特性，能够反映信号的 时频分布。
小波变换
02
03
希尔伯特-黄变换
通过小波基函数的伸缩和平移来 分析信号在不同尺度上的特性， 适用于非平稳信号的分析。
将信号分解成固有模态函数，能 够反映信号的局部特性和包络线 变化。
频域信号的运算
乘法运算
01
在频域中，两个信号的乘积对应于将它们的频域表示
相乘。
卷积运算
02 在频域中，两个信号的卷积对应于将它们的频域表示
相乘后再进行逆傅里叶变换。
滤波器设计
03
在频域中，通过对频域信号进行加权处理，可以设计
系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
信号与系统 连续时间系统的时域分析
2
得
di ( t ) di 1 ( t ) di ( t ) C L L u ( t ) R L 2 R 1 1 2 R C dt dt dt 1
7
2
*
L i C (t ) i S (t ) R1 ＋ u 1 (t ) －
i L (t )
根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)， 因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))
1 t y ( t ) y ( t ) y ( t ) Ae Be e h p 3 1 y ( 0 )A B 1 3 1 y '( 0 ) 2 A 4 B 2 解得 A=5/2，B=-11/6 3 5 2 t 11 4 t 1 t y ( t ) e e e , t 0 2 6 3
【解】（1）列出电路的微分方程
回路方程：
R i ( t ) v ( t ) e ( t ） 1 C
d v ( t ) L i ( t ) i ( t ) R C L L 2 dt
结点方程：
(1)
(2)
d i ( t ) C v ( t ) i ( t ) C L dt
*
(3)
21
消去变量Vc(t):
P0＝？P1＝？
*
15
例：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y " ( t ) 6 y ' ( t ) 8 y ( t ) f ( t ), t 0
初始条件y(0)=1, y’(0)=2, 输入信号f(t)=e-t u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
(1)求齐次方程y’’(t)+6y’(t)+8y(t)特征根有一对单复根。即λ 分方程的齐次解：
第二章_连续时间系统的时域分析
2.1 引言 2.2 微分方程式的建立与求解 2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质
1
重点和难点
重点： 连续时间系统的零输入响应和零状态响应的含义和求解； 理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法；
R1i ( t ) v C ( t ) e ( t ), t 0
4 6 5 14 5 A
e (0 ) v C (0 )
1 d d i (0 ) e (0 ) v C (0 ) dt R1 d t dt d
1/C iC(0+)
10 B 4 4 B 8 5
12
(4)
完全响应
i ( t ) A1 e
2 t
A2 e
5t
8/5
d dt i(0 )
(5)
确定换路后的 i ( 0 ) 和
13
§2.3 起始点的跳变—从0-到0+状态的转换 一、初始条件的求解——根据电路求
激励e(t)在t=0时刻加入，系统的响应区间为 0 t
d dt
n 1
n 1
r ( 0 )]
求解方法：根据系统的起始状态、激励信号情况以及元 件约束和网络拓扑约束求。
14
求初始条件
（1）首先求出vC(0-)和iL(0-)，即电容上的起始电压和 电感中的起始电流。 （2）根据能量连续性原理： a)当没有冲激电流（或阶跃电压）作用于电容C 有
v C (0 ) v C (0 )
6
a) 求齐次解rh(t)：系统固有的响应
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的
卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意
信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导
(t) h(t)
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4
齐次解yh(t)
yh (t)
K1e2t
K
e4t
2
t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
[例2-4-3] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动
态方程 y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0+)=1, y ‘(0+)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， (1)求系统的零状态响应y(t) 。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
第二章 连续时间系统的时域分析
19
2.3 起始点的跳变(初始条件的确定）
分析 激励加入：t=0时刻
响应区间：t≥0+
0
0
0
t
起始状态（0-状态）：激励加入之前瞬间的状态。
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
9
n阶线性时不变系统的模型
一个线性系统，其激励信号 e(t ) 与响应信号 r (t ) 之间的关 系，可以用下列形式的微分方程式来描述
d n r (t ) d n 1 r (t ) d r (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt d m e(t ) d m 1 e(t ) d e(t ) E0 E1 Em 1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt
dt
21
[ 例 ] 如 图 所 示 ， 已 知 R1=1Ω, R2=3/2Ω, e2(t)=4V,
e1(t)=2V, L=1/4H, C=1F, t<0时开关S处于1的位置而 且电路已经达到稳态；当t=0时，S由1转向2。
建立i(t)的微分方程并求解i(t)在t>0时的变化。
解 ： (1) 由 元 件 的 约
k
初始条件（0+状态/导出的起始状态）：
k
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
由于用经典法求解微分方程时，是考虑了激励作用以 (k ) 后的解， 时间范围是 0 t 所以要利用r (0 ) 确定系 数Ai,而不是利用 r ( k ) (0 ) 。 20
连续时间系统的时域分析
四．求解系统微分方程旳经典法
分析系统旳措施：列写方程，求解方程。
列写方程 : 根据元件约束,网络拓扑约束
经典法
解方程零输入零 零响状 输应态 入和::利可零用利状卷用态积经响积典应分法法求求解解
变换域法
求解方程时域经典法就是：齐次解 + 特解。
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
a ic
vt
b
代入上面元件伏安关系，并化简有
C
d2 vt
dt2
1 R
d vt
dt
1 L
vt
d iS t
dt
这是一种代表RLC并联电路系统旳二阶微分方程。
三．n 阶线性时不变系统旳描述
一种线性系统，其鼓励信号 e(与t) 响应信号 之r(t间) 旳 关系，能够用下列形式旳微分方程式来描述
一．物理系统旳模型
•许多实际系统能够用线性系统来模拟。 •若系统旳参数不随时间而变化，则该系统能够用 线性常系数微分方程来描述。
二．微分方程旳列写
•根据实际系统旳物理特征列写系统旳微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特征约束和网络拓扑 约束列写系统旳微分方程。
元件特征约束：表征元件特征旳关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自旳电压与电流旳关系以及四 端元件互感旳初、次级电压与电流旳关系等等。
第二章 连续时间系统旳时域分析 §2.1 引言
系统数学模型旳时域表达
时域分析措施:不涉及任何变换，直接求解系统旳 微分、积分方程式，这种措施比较直观，物理概念比 较清楚，是学习多种变换域措施旳基础。
输入输出描述 : 一元 N 阶微分方程 状态变量描述 : N 元一阶微分方程
本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。
连续时域分析方法
连续时域分析方法什么是连续时域分析方法？连续时域分析方法是指对连续时间信号在时域上进行分析的方法。
通常采用微积分及微分方程的方法来处理信号的变化和传递，可以用来处理线性信号和非线性信号。
连续时域分析方法是信号处理领域中的基础，其应用广泛，如在信号源编码和数字信号处理方面等。
连续时域分析方法常见的技术1. 微分方程方法通过利用微分方程来描述信号的传递和变化，来获得信号的时域特征。
该方法以微分方程为基础，通过对微分方程的求解，得到信号的时域响应。
比如我们可以用一阶微分方程来描述电路中的电压变化：V(t)=RC（dv(t)/dt）+i(t)，其中R，C为电阻和电容，i(t)是电路中的电流。
通过对这个微分方程求解，可以得到信号的时域响应。
2. 傅里叶分析法傅里叶分析法是指把信号分解成若干个基本频率的正弦信号或余弦信号，来描述信号的时域特征。
傅里叶分析法将信号沿时间轴上的变化分解成不同频率的正弦波，用频域中的谱图表示信号。
其基本思想是将信号分解成一系列基本频率的正弦波，使得每个波形的能量都可以在频谱中表示出来，而且可以对每个基频的信号进行进一步的处理。
3. 差分方程法差分方程法是指通过对信号采样和量化，然后应用差分方程求解来处理信号的时域响应。
差分方程法可以把连续时间信号通过采样与量化处理后得到离散时间信号，对这个离散化的信号应用差分方程来得到其时域响应。
差分方程法常用于数字信号处理中，比如数字滤波和数字控制等领域。
4. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是指将时域信号转换成在复平面上的拉普拉斯变量表示，然后对其进行变换操作，得到在拉普拉斯空间中的响应，并通过反变换将其转换回时域。
拉普拉斯变换法的基本思想是将时域信号转换为复平面上的拉普拉斯变量表示，再对其进行变换操作，将其变换为在拉普拉斯空间中所代表的信号的响应。
这种方法可以用于线性和非线性信号处理，广泛应用于线性系统和控制理论等领域。
5. 各种传输函数模型在连续时域分析方法中，还有一些常见的模型用于表示信号的传递和变化。
郑君里信号与系统习题解答第二章
第二章 连续时间系统的时域分析经典法：双零法卷积积分法：求零状态响应求解系统响应→定初始条件满足换路定则起始点有跳变：求跳变量零输入响应：用经典法求解零状态响应：卷积积分法求解()()()()⎩⎨⎧==-+-+0000L L c c i i u u例题•例题1：连续时间系统求解（经典法，双零法） •例题2：求冲激响应（n >m ） •例题3：求冲激响应（n ＜m ） •例题4：求系统的零状态响应 •例题5：卷积 •例题6：系统互联例2-1分析在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是： ：起始状态，它决定零输入响应；()()()()()()()()()强迫响应。
状态响应，自由响应，并指出零输入响应，零，求系统的全响应，已知 系统的微分方程为描述某t u t e r r t e t t e t r t t r t t r =='=+=++--,00,206d d 22d d 3d d LTI 22()-0)(k r ⎩⎨⎧状态变量描述法输出描述法—输入建立系统的数学模型：跳变量，它决定零状态响应； ：初始条件，它决定完全响应；这三个量之间的关系是 分别利用 求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。
解：方法一：利用 先来求完全响应，再求零输入响应，零状态响应等于完全响应减去零输入响应。
方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量 来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。
本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。
方法一1. 完全响应 该完全响应是方程 （1）方程（1）的特征方程为 特征根为 方程（1）的齐次解为因为方程（1）在t >0时，可写为 （2）显然，方程（1）的特解可设为常数D ，把D 代入方程（2）求得 所以方程（1）的解为下面由冲激函数匹配法定初始条件 由冲激函数匹配法定初始条件 据方程（1）可设代入方程（1），得匹配方程两端的 ，及其各阶导数项，得 所以，所以系统的完全响应为()+0)(k zsr ()+0)(k r ()()()+-+=-000)()()(k zs k k r r r ()()++00)()(k k zs r r ，()()代入原方程有将t u t e =()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()++'0,0r r ()()++''0,0zs zs r r ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足00,20='=--r r 0232=++αα2121-=-=αα，()t t e A e A t r 221--+=()()()()t u t r t t r tt r 62d d 3d d 22=++3=D ()3221++=--tt e A e A t r ()()()t u b t a t t r ∆+=δ22d d ()()t u a t t r ∆=d d ()无跳变t r ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ2=a ()t δ()()22000=+=+'='-+a r r ()()200==-+r r ()()代入把20,20=='++r r ()3221++=--t t e A e A t r 1,021-==A A 得()0 32≥+-=-t e t r t ()t r zi 再求零输入响应2.求零输入响应 （3）（3）式的特征根为 方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为所以，系统的零输入响应为 下面求零状态响应零状态响应=完全响应—零输入响应，即 因为特解为3，所以强迫响应是3，自由响应是方法二（5）以上分析可用下面的数学过程描述 代入（5）式 根据在t =0时刻，微分方程两端的 及其各阶导数应该平衡相等，得 于是t >0时，方程为 齐次解为 ，特解为3，于是有所以，系统的零状态响应为方法一求出系统的零输入响应为()是方程响应因为激励为零，零输入t r zi ()()()02d 3d d 22=++t r dt t r t t r ()()()()()()的解．，且满足 0000 2000='='='===--+--+r r r r r r zi zi zi zi 2121-=-=αα，()t t zi e B e B t r 221--+=()()式解得，代入，由)4(0020='=++zi zi r r 2,421-==B B ()0 242≥-=--t e e t r t t zi ()0 342≥++-=--t e e t r t t zs t t e e 24--+-()是方程零状态响应t r zs ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足000='=--zs zs r r ()项由于上式等号右边有t δ()应含有冲激函数，，故t r zs "()将发生跳变，即从而t r zs '()()-+'≠'00zs zs r r ()处是连续的．在而0=t t r zs ()()()()()t u a t r t t u b t a t r tzs zs∆=+∆+=+d d ,d d 22δ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ()t δ2=a ()()()()002000===+'='-+-+zs zs zs zs r r a r r ()()()()t u t r t t r t t r 62d d 3d d 22=++ 221t t e D e D --+()3221++=--t t zi e D e D t r ()()得由初始条件0,200=='++zs zs r r 1,421=-=D D ()0) ( 342≥++-=--t e e t r t t zs ()0 242≥-=--t e e t r t t zi完全响应=零状态响应+零输入响应，即例2-2冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。
第二章 连续时间系统的时域分析 重要公式
量由原方程根据冲激函数匹配法求得。 三、系统微分方程的解 1、全响应 r t ＝零输入响应 rzi t ＋零状态响应 rzs t 注意：在求解系统的完全响应 r t 时，要用到有关的三个量是： r k 0 ：起始状态，它决定零输入响应；
特别地
f t f1 t f 2 t f1 t f 2
1
1
t
f1 1 t f 21 t
f t t f t f t t t1 f t t1 f t t1 t t2 f t t2 t t1 f t t1 t2 f1 t t1 f 2 t t2 f1 t t2 f 2 t t1 f t t1 t2
方法二：卷积积分法 步骤： （1）先求冲激响应 ht ； （2）再利用 rzs t ht et 求零状态响应。 五、冲激响应 h t 和阶跃响应 g t
1、冲激响应 h t 的定义
定义： 系统在单位冲激信号 t 的激励下产生的零状态响应， 称为冲激响应。 冲激响应 h t 满足的微分方程为：
2、初始条件 r k (0 ) 系统在 t 0 时刻的一组状态称为系统的初始条件，简称 0 状态或“导出的 起始状态” 。
d d n 1 r (0 ) r 0 , r 0 , , n 1 r 0 dt dt
k
dn d n 1 d h t a ht a1 ht a 0 ht n 1 n n 1 dt dt dt
MATLAB 3.连续时间LTI系统的时域分析
1
3.连续时间 LTI 系统的时域分析
作业题
2、某连续系统的输入为 e(t)，输出为 y(t)，系统的微分方程为：y ’’(t)+5y ’(6)+6y(t)=3f ’(t)+2f(t) 绘出该系统的单位冲激响应和单位阶跃响应时域图形 若f t = ������ −2������ ������(������)，绘出系统的零状态响应时域图形
将激励信号和单位冲击响应进行卷积，由下图发现结果一致。
6
3.连续时间 LTI 系统的时域分析
作业题
4、如下图所示的电路中，已知 电压 y(t ) 作为系统输出：
R1 R2 R3 4() ， L1 L2 1( H ) ，如果以电阻 R3 上
请画出系统的冲击响应 h(t) 请画出系统在激励e(������) = 12������(������)（v）作用下的零状态响应，要求写出系统微分方程的求 解步骤。 对所求结果进行验证。
零输入响应： eq1='D2y+4*Dy+4*y=0'; cond='Dy(-0.01)=1,y(-0.01)=1'; answer=dsolve(eq1,cond) answer = 103/(100*exp(1/50)*exp(2*t))+ (3*t)/(exp(1/50)*exp(2*t)) >> 全响应： eq1='D2y+4*Dy+4*y=Df+3*f'; eq2='f=exp(-t)*heaviside(t)'; cond='Dy(-0.01)=1,y(-0.01)=1'; answer=dsolve(eq1,eq2,cond); simplify(answer.y) ans = (3*t+2*exp(t+1/50)*heaviside(t)-2*exp(1/50)*heaviside(t)-t*exp(1/50)* heaviside(t) + 103/100)/exp(2*t + 1/50)
连续系统的时域分析法
电容电压的突变
由伏安关系 iC (t ) C 1 t vc ( t ) ic ( ) d vC (t ) C 1 0 1 0 1 t ic ( ) d ic ( ) d ic ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vc (0 ) ic ( ) d ic ( ) d C 0 C 0 当有冲激电流 1 0 令t 0 , v c (0 ) v c (0 ) i c ( ) d 0 或阶跃电压作 C 0 用于电容时： 如果i c (t )为有限值 0 vC ( 0 ) vC ( 0 ) ic ( ) d 0 , 此时v (0 ) v (0 ) 0 c c 如果i c ( t )为 t 1 0 1 1 此时 0 ic ( ) d C ， vc (0 ) vc (0 ) C C
yh (t ) C1e
2 t
C2e
3 t
求特解： f t 2e , t 0 y'' ( t ) y' ( t ) y( t ) f ( t )
t
查表2-2设 y p (t ) Pe
t t
t
，代入原方程，得
t t
Pe 5( Pe ) 6Pe 2e
an 1
该方程的全解由齐次解 yh (t ) 和特解 即 y(t ) yh (t ) y p (t ) 1.齐次解：齐次解是齐次微分方程
y p (t ) 组成，
y( n) (t ) an1 y( n1) (t ) a1 y(1) (t ) a0 y(t ) 0 的解，
为使方程两边平衡ht应含有冲激及其高阶导数即将ht代入微分方程使方程两边平衡确定系数a冲激平衡法求系统的单位冲激响应冲激平衡法求系统的单位冲激响应由动态方程右边t的最高阶导数与方程左边ht的最高阶导数确定1由系统的特征根来确定前的指数形式
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析连续时间系统是一种基础性的数学模型，用于描述物理系统、电路和控制系统等的行为。
在实际应用中，我们经常需要对连续时间系统进行时域分析，以更好地理解它们的行为特性和设计控制系统。
时域分析是指在时间域上通过观察时域响应，分析系统的动态特性和稳态特性，进而对系统行为进行描述和分析的一种方法。
对于连续时间系统，一般采用微分方程或者传递函数的形式来描述系统，从而进行时域分析系统的微分方程形式为：$$\frac{d^n y(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_m\frac{d^mx(t)}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$其中，$y(t)$代表系统的输出，$x(t)$代表系统的输入，$a_i$和$b_j$是系数。
时域分析的主要目的是求解系统在单位施加输入的情况下的输出响应$y(t)$。
为了简单起见，我们这里主要关注一阶和二阶连续时间系统。
$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$$应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：其中，$G(s)$代表系统的传递函数，$s$代表变换域变量。
通过求解系统的传递函数，我们可以得到系统的单位施加输入下的响应，进而进行时域分析，研究系统的动态和稳态特性。
$$\frac{d^2y(t)}{dt^2}+2\xi \omega_n\frac{dy(t)}{dt}+\omega_n^2 y(t)=x(t)$$其中，$\omega_n$代表系统的固有频率，$\xi$代表系统的阻尼比。
应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：。
2第二章、连续时间系统的时域分析
1 4p
2
H2(
p)
2
p3
1 3p2
4
p
2
H1(
p)
2
2 p2 p3 3p2
p
1 4p
2
H2(
p)
2 p3
1 3p2
4
p
2
讨论：
1、在电路中有三个独立的储能元件，为一个三阶系 统，特征方程应为三次方程，即H(p)的分母多项式 的最高次数应为三次。
2、所以这类题目也可直接求解，最后通过核对电路 的阶数来确定是否能消去分子分母中的公共因子。
1 C1 r(0)
n
C2
r(0)
n2 C3 r(0)
nn1 Cn r(n1) (0)
C1 1
C2
1
C3 12
Cn 1n1
1
2 2 2
n1 2
1
3 32
n1 3
1
1
r(0)
n
r(0)
n2 r(0)
nn1 r(n1) (0)
一、特征根为异（实）根 算子方程写为： ( p 1)( p 2 ) ( p n )r 0
由前面的讨论可写出解的一般形式：
r(t) C1e1t C2e2t Cnent
若给定系统的n个初始条件：r(0), r(0), r(n1) (0)
我们就可以确定其中的待定常数C1，C2，…Cn。
)i1
1 p
i2
e
1 p
i1
(2 p
1
1 p
)i2
0
( p2
p
1)
1 p
i1
1 p
i2
e
1 p
i1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(B1t p Bpt Bp1)eat cost (B1t p Bpt Bp1)eat sin t
例2-3
求微分方程
d3 dt 3
r(t)
7
d2 dt 2
r(t)
16
d dt
r(t)
12 r (t )
e(t)
的齐次解。
解：特征方程 特征根
3 7 16 12 ( 2)( 3)
微分方程的建立
例2-1 图示为RLC并联电路，求并联电路的输出电压
v(t) 与激励源 iS(t) 之间的关系。
解：
电阻： 电感：
iR (t) iL (t)
1 v(t)
R
1 L
t
v(
)d
iS
(t
)
iR R
iL
iC
LC
v(t)
电容：
iC
(t)
C
d dt
v(t
)
1
根据基尔霍夫电流定律：R
v(t)
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
R2iL
(t
)
e(t)
d dt
iL
(t)
R1 L
i(t)
R2 L
iL
(t)
1 L
e(t)
R1i(t) vC (t) e(t)
求导
C
R1
d dt
i
i(t) C
(t)
d dt
vC
d C
dt (t)
vC (t) iL (t)
C
d dt
e(t
)
R1C
d dt
i(t)
i(t
)
iL
(t
)
C
d dt
e(t)
i(t)
1 R1C
R2 L
d dt
i(t)
1 LC
R2 R1LC
i(t)
1 R1
d2 dt 2
e(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R2 LC
e(t)
把电路参数代入，得：
d2 dt 2
i(t
)
7
d dt
i(t)
10i(t)
d2 dt 2
e(t)
6
d dt
e(t)
4e(t)
(2)求系统的完全响应
d dt
i(t
)
1 R1C
i(t)
1 R1C
iL
(t)
1 R1
d dt
e(t)
再消去变量iL (t)得：
1 R1C
d dt
iL
(t)
1 R1C
R1 L
i(t)
1 R1C
R2 L
iL (t)
1 R1C
1 e(t) L
R2 L
d i(t) R2
dt
L
1 i(t) R2
R1C
L
1 R1C
iL
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2
d dt
(Bet
)
3(Bet
1 L
t v(
)d
C
d dt
v(t)
iS (t )
iR (t) iL (t) iC (t) iS(t)
C
d2 dt 2
v(t)
1 R
d dt
v(t)
1 L
v(t)
d dt
iS
(t
)
例2-2 图示为机械位移系统，质量为 m 的刚体一端由
弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面的摩
擦系数为 f ，外加牵引力为FS(t) ，求外加牵引力 FS(t) 与刚体运动速度 v(t) 间的关系。
1 2(重根)，2 3
齐次解为
rh (t) ( A1 A2t)e2t A3e3t
例2-4
给定微分方程 d2 dt 2
r(t) 2 d r(t) 3r(t) dt
de(t) e(t) dt
如果已知：(1)e(t) t2;(2)e(t) et ,分别求两种情况下此方程
的特解。
解：(1) 将e(t) t2代入方程右端，得到t2 2t，为使两端
解：由机械系统元件特性：弹簧
在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
e(t)
6
d dt
e(t
)
4e(t)
e(t )
解：(1)t=0时的微分方程表示为
d2 dt 2
i(t
)
7
d dt
i(t
)
10i(t
)
4V 2V
2 (t) 12 (t) 8u(t)
o
t
(2)已知i(0 ) 4 5A和i(0 ) 0A s，
用冲激匹配法求i(0 )和i(0 )。
i(t) a (t) b (t) cu(t) i(t) a (t) bu(t)
方程右端存在 (t) d r(t)必定含3 (t)
dt
r(t)必定含3 (t)
r(t)在时刻 t 0必定含 9u(t)
d r(t)还必定含 9 (t)
dt
r(0 ) r(0 ) 9
方程右端含 (t)，它一定属于r(t),因而可以设
r(t) a (t) b (t) cu(t)
r(t) a (t) bu(t)
a (t) b (t) cu(t) 3a (t) bu(t) 3 (t)
a 3 b 3a 0 c 3b 0
a 3 b 9 c 27
所以 r(0 ) r(0 ) 9
例2－6 用冲激平衡法求例2－5的完全响r(t)。
d2 dt 2
i(t)
7
d dt
i(t)
10i(t)
d2 dt 2
(i n) 2
rh (t) et ( A1 cost B1 sin t) eit ( Ai cosit Bi sin it)
常用激励信号对应的特解形式
激励函数 e(t)
E（常数）
tp eat
cost sin t t peat cost t peat sin t
响应函数 r(t)的特解 B B1t p B2t p1 Bpt Bp1 Beat
rh (t) rp (t)
齐次解 rh (t) 的形式
（1）特征根是不等实根 1,2,,n
rh (t)
A1e1t
A2e2t
Anent
n
Aieit
i1
（2）特征根是 k 重实根 1 2 k
k
rh (t) ( A1 A2t Aktk1)et ( Aiti1)et
i1
（3）特征根是成对共轭复根 i i ji
)]
11 4
6 5
A
14 A 5
d dt
i(0 )
1[d R1 dt
e(0 )
d dt
vC (0 )]
1 R1
d dt
e(0 )
1 C
i(0 )
iL
(0 )
154
4 5
A
s 2A s
(4)求i(t)在t 0时的完全响应
i(t)
A1e2t
A2e5t
8 5
(t 0 )
解得：
i
(0
)
A1
A2
e(t) 4V
e(t) 2V C 1F
L 1H 4
R2
3 2
解：(1)列微分方程
回路方程：
R1i(t) vC (t) e(t)
vC
(t)
L
d dt
iL
(t)
iL
(t ) R2
结点方程：
i(t
)
C
d dt
vC
(t
)
iL
(t
)
先消去变量vC (t)得：
R1i (t )
L
d dt
iL
(t)
齐次解：特征方程
7 10
( 2)( 5)
特征根
1 2，2 5
齐次解为： ih (t) A1e2t A2e5t
(t 0 )
特解： 由于t 0时
e(t) 4V
方程等好右端为4 4，令特解为iP (t) B,代入方程
10B 4 4
所以
B 16 10 8 5
系统的完全响应为：i(t)
8 5
14 5
d dt
i(0 )
2 A1
5A2