离散数学 最短路径问题
离散数学最短路径和关键路径
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1
关键路径(续)
vi的缓冲时间TS(vi)=TL(vi)-TE(vi), i=1,2,,n vi在关键路径上TS(vi)=0
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例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成
时间, 缓冲时间及关键路径.
解 最早完成时间
TE(v1)=0
TE(v2)=max{0+1}=1
TE(v3)=max{0+2,1+0}=2
设带权图G=<V,E,w>, 其中eE, w(e)0. 设V={v1,v2,,vn}, 求v1到其余各顶点的最短路径 p标号(永久性标号) : 第r步获得的v1到vi最短路径的 权 t标号(临时性标号) : 第r步获得的v1经过p标号顶点 到达vi的路径的最小权, 是v1到vi的最短路径的权的上 界 第r步通过集Pr={v | v在第r步已获得永久性标号} 第r步未通过集Tr=V-Pr
*
带权图G=<V,E,w>, 其中w:ER. eE, w(e)称作e的权. e=(vi,vj), 记w(e)=wij . 若vi,vj不 相邻, 记wij =. 设L是G中的一条路径, L的所有边的权之和称作L的 权, 记作w(L). u和v之间的最短路径: u和v之间权最小的通路.
标号法(, 1959)
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标号法(续)
例1(续) 求v0到v5的最短路径 v0 v1 v2 v3 v4 v5 0 0 1 4 1 1/v0 3 8 6 2 3/v1 8 4 3 7 4/v2 10 4 7/v4 9 5 9/v3 w 0 1 3 7 4 9 =v0v1v2v4v3v5, w()=9
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关键路径
vi的最早完成时间TE(vi): 从始点v1沿最长路径到vi
离散数学最短路径和关键路径
例1 L1=v0v1v3v5, w(L1)=10, L2=v0v1v4v5, w(L2)=12,
L3=v0v2v4v5, w(L3)=11.
3
标号法(E.W.Dijkstra, 1959)
设带权图G=<V,E,w>, 其中eE, w(e)0. 设V={v1,v2,,vn}, 求v1到其余各顶点的最短路径
的顶点, 称作终点. 通常边的权表示时间, 始点记作v1, 终点记作vn
7
关键路径
关键路径: PETR图中从始点到终点的最长路径 vi的最早完成时间TE(vi): 从始点v1沿最长路径到vi 所需的时间
TE(v1)=0
TE(vi)=max{TE(vj)+wji|vj -(vi)}, i=2,3,,n
vi的最晚完成时间TL(vi): 在保证终点vn的最早完成 时间不增加的条件下, 从始点v1最迟到达vi的时间
TL(vn)=TE(vn)
TL(vi)=min{TL(vj)-wij|vj +(vi)}, i=n-1,n-2,,1
8
关键路径(续)
vi的缓冲时间TS(vi)=TL(vi)-TE(vi), i=1,2,,n vi在关键路径上TS(vi)=0
离散数学最短路径和 关键路径
7.4 最短路径与关键路径
带权图 最短路径与Dijkstra标号法 PERT图与关键路径
2
最短路径
带权图G=<V,E,w>, 其中w:ER.
eE, w(e)称作e的权. e=(vi,vj), 记w(e)=wij . 若vi,vj不 相邻, 记wij =.
设L是G中的一条路径, L的所有边的权之和称作L的 权, 记作w(L). u和v之间的最短路径: u和v之间权最小的通路.
实验三最短路径的算法（离散数学实验报告）
实验三最短路径的算法（离散数学实验报告）实验3：最短路径算法⼀、实验⽬的通过本实验的学习，理解Floyd（弗洛伊得）最短路径算法的思想⼆、实验内容⽤C语⾔编程实现求赋权图中任意两点间最短路径的Floyd算法，并能对给定的两结点⾃动求出最短路径三、实验原理、⽅法和⼿段1、Floyd算法的原理定义：Dk[i,j] 表⽰赋权图中从结点vi出发仅通过v0，v1，┉，vk-1中的某些结点到达vj的最短路径的长度，若从vi到vj没有仅通过v0，v1，┉，vk-1 的路径，则D[i,j]=∝即D-1[i,j] 表⽰赋权图中从结点vi到vj的边的长度，若没有从结点vi到vj的边，则D[i,j]=∝D0[i,j] 表⽰赋权图中从结点vi到vj的”最短”路径的长度, 这条路上除了可能有v0外没有其它结点D1[i,j] 表⽰赋权图中从结点vi到vj的”最短”路径的长度, 这条路上除了可能有v0，v1外没有其它结点┉┉┉根据此定义，D k[i,j]=min{ D k-1[i,j] , D k-1[i,k-1]+D k-1[k-1,j] }定义：path[i,j]表⽰从结点vi到vj的“最短”路径上vi的后继结点四、实验要求要求输出每对结点之间的最短路径长度以及其最短路径五、实验步骤（⼀）算法描述Step 1 初始化有向图的成本邻矩阵D、路径矩阵path若从结点vi到vj有边，则D[i,j]= vi到vj的边的长度，path[i,j]= i；否则D[i,j]=∝，path[i,j]=-1Step 2 刷新D、path 对k=1,2,┉n 重复Step 3和Step 4Step 3 刷新⾏对i=1,2,┉n 重复Step 4Step 4 刷新Mij 对j=1,2,┉n若D k-1[i,k]+D k-1[k,j][结束循环][结束Step 3循环][结束Step 2循环]Step 5 退出（⼆）程序框图参考主程序框图其中，打印最短路径中间结点调⽤递归函数dist()，其框图如下，其中fist,end是当前有向边的起点和终点dist(int first, int end)七、测试⽤例：1、输⼊成本邻接矩阵：D ：06380532290141003210∝∝∝∝V V V V V V V V （其中∝可⽤某个⾜够⼤的数据值代替，⽐如100）可得最短路径矩阵：P ：131132122211111010103210--------V V V V V V V V以及各顶点之间的最短路径和最短路径长度：从V0到V1的最短路径长度为：1 ；最短路径为：V0→V1 从V0到V2的最短路径长度为：9 ；最短路径为：V0→V1→V3→V2 从V0到V3的最短路径长度为：3 ；最短路径为：V0→V1→V3 从V1到V0的最短路径长度为：11；最短路径为：V1→V3→V2→V0从V1到V2的最短路径长度为：8 ；最短路径为：V1→V3→V2 从V1到V3的最短路径长度为：2 ；最短路径为：V1→V3 从V2到V0的最短路径长度为：3 ；最短路径为：V2→V0 从V2到V1的最短路径长度为：4 ；最短路径为：V2→V0→V1 从V2到V3的最短路径长度为：6 ；最短路径为：V2→V0→V1→V3 从V3到V0的最短路径长度为：9 ；最短路径为：V3→V2→V0 从V3到V1的最短路径长度为：10；最短路径为：V3→V2→V0→V1 从V3到V2的最短路径长度为：6 ；最短路径为：V3→V2 参考程序： #include #define INFINITY 100 #define Max 10int a[Max][Max],P[Max][Max]; main() {void Print_Flod(int d);int i,j,k,D=4;printf("请输⼊成本邻接矩阵：\n");for(i=0;ifor(j=0;j{scanf("%d",&a[i][j]);}for(i=0;ifor(j=0;j{if(a[i][j]>0&& a[i][j]elseP[i][j]=-1;}for(k=0;kfor(i=0;ifor(j=0;jif (a[i][k]+a[k][j]{a[i][j]=a[i][k]+a[k][j];P[i][j]=k;}Print_Flod(D);}void Print_Flod(int d){void dist(int first,int end);int i,j;for(i=0;ifor(j=0;jif(i!=j){ printf("from V%d to V%d: ",i,j); dist(i,j);printf("V%d",j);printf(" (The length is: %d)\n",a[i][j]); }}void dist(int first,int end){ int x;x=P[first][end];if(x!=first){ dist(first,x); dist(x,end); }else printf("V%d->",x);}输出结果：。
离散数学--第7章-图论-4最短路问题
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7.4.2 Floyd算法
19
定义7.4.1:已知矩阵A＝(aij)m×l，B＝(bjk)l×n，规定C＝A*B ＝(cij)m×n，其中cij＝min(ai1＋b1j, ai2＋b2j, …, ail＋blj)
定义7.4.2已知矩阵A＝(aij)m×n，B＝(bij)m×n，规定D＝A B ＝(dij)m×n，其中dij＝min(aij,bij)
Dijkstra算法在物流配送中的应用
OSPF（open shortest path first, 开放最短路径优先）算法是 Dijkstra算法在网络路由中的一个具体实现。
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7.4 .1 Dijkstra算法
17
Dijkstra算法要求图上的权是非负数，否则 结果不正确；
Dijkstra算法同样适用于无向图，此时一个 无向边次相当于两个有向边。
5次 u＝e，S＝{a,c,b,d,e}
迭 代
L(e)＋ω (e,z)＝10＋3＝13＜L(z)
L(b)＝3，L(d)＝10，L(e)＝12，L(z)
L(z)＝13
＝∞
结 u＝z，S＝{a,c,b,d,e,z}
3次 u＝b，S＝{a,c,b}
束 从a到z的最短路的长度为13。
迭代 L(b)＋ω (b,d)＝3＋5＝8＜L(d) L(b)＋ω (b,e)＝3＋∞＝∞
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7.4 .1 Dijkstra算法
9
procedure Dijkstra(G:所有权都为正数的加权连通简单图)
{G带有顶点a＝v0,v1,…,vn＝z和权ω(vi,vj)，若(vi,vj)不是G的边，则ω(vi,vj)＝ ∞}
for i:＝1 to n
离散数学 迷宫最短路径
迷宫最短路径⒈问题描述从一个迷宫的入口到出口找出一条最短路经。
用一个二维数组MAZE(1：m，1：n)模拟迷宫，数组元素为0表示该位置可以通过，数组元素为1表示该位置不可以通行。
MAZE(1，1)和MAZE(m，n)分别为迷宫的入口和出口。
⒉基本要求(1)输入数据a.输入迷宫的大小m行和n列，两者为整数b.由随机数产生0或1，建立迷宫。
(2)输出数据首先输出模拟迷宫的二维数组，若存在最短路经，则由出口回朔到入口打印这一条路径，如下所示：(m，n)，……， (I，j)，……， (1，1)如无通道，则打印：THERE IS NO PATH.#include<time.h>#define OVERFLOW -2#define ERROR 0#define NULL 0#define true 1#define TRUE 1#define false 0#define FALSE 0#define STACK_INIT_SIZE 100#define STACKINCREMENT 10#include <stdio.h>#include <stdlib.h>/*初始化迷宫,1表示通道,0表示墙*/typedef struct MStackElem{int x;int y;int val;}MStackElem;typedef struct {MStackElem * base;MStackElem * top;int stackSize;}MStack;void initStack(MStack *s) {s->base = (MStackElem *)malloc(STACK_INIT_SIZE * sizeof(MStackElem));if (!s->base) {printf("in initStack()...Failed to initalize the MStack ,no enough spac e! exit now. ");exit(OVERFLOW);}s->top = s->base;s->stackSize = STACK_INIT_SIZE;}void push(MStack *s,MStackElem e) {if (s->top - s->base >= s->stackSize) {s->base = (MStackElem *)realloc(s->base, (STACK_INIT_SIZE+STACKINCREMEN T) * sizeof(MStackElem));if (!s->base) {printf("in push()...Failed to realloc the MStack ,no enough space! exi t now. ");exit(OVERFLOW);}s->top = s->base + s->stackSize;s->stackSize += STACKINCREMENT;}*(s->top++) = e;}MStackElem getTop(MStack *s) {if (s->top == s->base) {printf("in getTop(),empty stack! exit now. ");exit(ERROR);}else {return *(s->top - 1);}}void pop(MStack *s) {if (s->top == s->base) {printf("in pop(),empty stack! exit now. ");exit(ERROR);}else {--(s->top);}}MStack realPath,path;int unPass(MStack path,MStackElem cur) {int flag = 1;while(path.top != path.base){MStackElem e = *(path.top - 1);if (e.x == cur.x&& e.y == cur.y)回复2楼2010-01-15 19:07举报 |吧友125.77.120.*{flag = 0;}(path.top)--;}return flag;}MStackElem getEast(MStackElem cur,int *maze,int n) { if(cur.y != 7) {cur.y += 1;cur.val = *(maze+cur.x*n+cur.y);}return cur;}MStackElem getSouth(MStackElem cur,int *maze,int n) { if(cur.x != 7) {cur.x += 1;cur.val = *(maze+cur.x*n+cur.y);}return cur;}MStackElem getWest(MStackElem cur,int *maze,int n) {if(cur.y != 0) {cur.y -= 1;cur.val = *(maze+cur.x*n+cur.y);}return cur;}MStackElem getNorth(MStackElem cur,int *maze,int n) {if(cur.x != 0) {cur.x -= 1;cur.val = *(maze+cur.x*n+cur.y);}return cur;}MStackElem getNext(MStackElem cur,int *maze,int n) {MStackElem next;next.x = next.y=next.val = -1;if(getEast(cur,*maze,n).val != 0 && unPass(path,getEast(cur,*maze,n))) {next = getEast(cur,*maze,n);}else if(getSouth(cur,*maze,n).val != 0 && unPass(path,getSouth(cur,*maze,n))) { next = getSouth(cur,*maze,n);}else if(getWest(cur,*maze,n).val != 0 && unPass(path,getWest(cur,*maze,n))) { next = getWest(cur,*maze,n);}else if(getNorth(cur,*maze,n).val != 0 && unPass(path,getNorth(cur,*maze,n))) { next = getNorth(cur,*maze,n);}return next;}int getMazePath(int *maze,int n){回复3楼2010-01-15 19:07举报 |吧友125.77.120.*MStackElem start,end,cur;start.x = 0;start.y = 0;start.val = *(maze+start.x*n+start.y);end.x = 7;end.y = 7;end.val = *(maze+end.x*n+end.y);cur = start;printf("%d",cur.x);printf("%d",cur.y);printf("%d",cur.val);do{if (unPass(path,cur)) {push(&realPath,cur);push(&path,cur);cur = getNext(cur,*maze,n);if (cur.x == end.x && cur.y == end.y) {push(&realPath,cur);push(&path,cur);return true;}else if(cur.val == -1) {pop(&realPath);cur = getTop(&realPath);}}else {cur = getNext(cur,*maze,n);if (cur.val == -1) {pop(&realPath);cur = getTop(&realPath);}}} while (cur.x != end.x || cur.y != end.y); }。
dijkstra最短路径算法步骤离散数学
dijkstra最短路径算法步骤离散数学Dijkstra最短路径算法是一种经典的图论算法，用于解决单源最短路径问题。
它由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪科斯彻在1956年提出，被广泛应用于网络路由算法等领域。
Dijkstra算法的核心思想是通过不断更新节点之间的最短路径来找到从源节点到目标节点的最短路径。
在离散数学中，Dijkstra算法是一种十分重要的算法，在实际应用中也具有很高的效率和可靠性。
Dijkstra算法的步骤相对简单，但是需要一定的数学基础和思维逻辑。
首先，需要定义一个起始节点，将其到其他所有节点的距离初始化为无穷大，然后将其加入到一个集合中。
接着，选择集合中距离起始节点最近的节点作为当前节点，更新当前节点到其他节点的距离，如果通过当前节点到其他节点的距离比起始节点到其他节点的距离更短，则更新最短距离。
重复这个过程，直到所有节点都被遍历过一次，最终得到从起始节点到其他所有节点的最短路径。
在离散数学中，Dijkstra算法常常被用来解决网络连接、通信传输等问题。
例如，在计算机网络中，路由器通过Dijkstra算法计算最短路径，将数据包发送到目标地址，保证通信的快速和稳定。
又如在电力系统中，Dijkstra算法可以用来优化电网的输电路径，减少能量损耗，提高供电质量。
因此，学习和掌握Dijkstra算法对于离散数学的学习和实践具有重要意义。
除了Dijkstra算法，离散数学还包括许多其他重要的内容，如图论、集合论、逻辑推理等。
图论是离散数学的一个重要分支，研究图的性质和图之间的关系。
集合论是研究集合及其元素之间的关系和性质的数学分支，是数学中的基础理论之一。
逻辑推理是研究命题之间推理关系的数学分支，是数学和哲学的交叉领域。
这些内容共同构成了离散数学这门学科的基础，对于理解和应用数学知识具有重要意义。
总的来说，Dijkstra最短路径算法是离散数学中的一个重要内容，通过学习和掌握该算法，可以更好地理解和运用离散数学知识。
离散数学 实验报告 迷宫最短路径问题求解
离散数学迷宫问题问题描述：一只老鼠走进了一个迷宫，这个迷宫是由M行N列（如:10行8列）的方格构成的，相邻方格之间可能是相通的，也可能有墙相隔，各方格位置由其对应坐标确定，如图所示。
迷宫在（1，1）处有一个入口，在（M,N）处有一个出口，在入口和出口之间有通路相通。
问题是让你帮助老鼠找出从入口到出口的一条最短路径。
00001000110010100001000000001010101000000011101110001000基本要求：为老鼠找出一条从入口到出口的最短路径。
实现提示：1、迷宫用数组表示，1代表是墙走不通，0表示可以通行。
边界可以扩充为墙，即M×N 迷宫用(M+2)×(N+2)数组表示。
2、向4个方向前进时的位移量可以用以下数组表示，处理是方便。
int move[4][2]={ {0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0} };3、采用图的广度优先搜索算法。
#include<stdio.h>#define m 7#define n 8void path(){int maze[m+2][n+2] ;int move[4][2]={ {0,-1},{-1,0},{0,1},{1,0} };int s[54][3];int top=0;int i,j,k,f=0;int g,h,p;for(i=0;i<m+2;++i)for(j=0;j<n+2;++j)scanf("%d",&maze[i][j]);maze[1][1]=2;s[top][0]=1;s[top][1]=1;s[top][2]=0;++top;while(top!=0&&f==0){--top;i=s[top][0];j=s[top][1];k=s[top][2];while(k<4){g=i+move[k][0];h=j+move[k][1];if(g==m&&h==n&&maze[g][h]==0) {for(p=0;p<top;++p)printf("%3d,%d\n",s[p][0],s[p][1]);printf("%3d,%d\n",i,j);printf("%3d,%d\n",m,n);f=1;}//ifif(maze[g][h]==0){maze[g][h]=2;s[top][0]=i;s[top][1]=j;s[top][2]=k;++top;i=g;j=h;k=0;}//ifk=k+1;}//while}//whileif(f==0)printf("no path\n"); }//pathvoid main(){path();}。
离散数学 最短路径dijkstra算法
离散数学是数学的一个分支，研究离散对象和不连续对象的数量关系及其结构的数学学科。
离散数学对于计算机科学和信息技术领域有着重要的应用，其中最短路径dijkstra算法是离散数学中的一个重要算法，它被广泛应用于计算机网络、交通规划、电路设计等领域，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、最短路径dijkstra算法的基本原理最短路径dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·达斯提出的，用于解决带权图中的单源最短路径问题。
该算法的基本原理是：从一个源点出发，按照权值递增的顺序依次求出到达其它各个顶点的最短路径。
具体来说，最短路径dijkstra算法的实现步骤如下：1. 初始化：将源点到图中各个顶点的最短路径估计值初始化为无穷大，将源点到自身的最短路径估计值初始化为0；2. 确定最短路径：从源点开始，选择一个离源点距离最近的未加入集合S中的顶点，并确定从源点到该顶点的最短路径；3. 更新距离：对于未加入集合S中的顶点，根据新加入集合S中的顶点对其进行松弛操作，更新源点到其它顶点的最短路径的估计值；4. 重复操作：重复步骤2和步骤3，直到集合S中包含了图中的所有顶点为止。
二、最短路径dijkstra算法的实现最短路径dijkstra算法的实现可以采用多种数据结构和算法，比较常见的包括邻接矩阵和邻接表两种表示方法。
在使用邻接矩阵表示图的情况下，最短路径dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n表示图中顶点的个数；而在使用邻接表表示图的情况下，最短路径dijkstra 算法的时间复杂度为O(nlogn)。
三、最短路径dijkstra算法的应用最短路径dijkstra算法可以应用于计算机网络中路由选择的最短路径计算、交通规划中的最短路径选择、电路设计中的信号传输最短路径计算等领域。
在实际应用中，最短路径dijkstra算法通过寻找起始点到各个顶点的最短路径，为网络通信、交通规划、电路设计等问题提供有效的解决方案。
初中最短路径问题7种类型
初中最短路径问题7种类型初中最短路径问题7种类型最短路径问题是离散数学中一个重要的研究领域，其应用广泛，包括交通路线规划、网络优化等。
对于初中学生来说，了解和掌握最短路径问题，有助于培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
下面将介绍初中最短路径问题的七种类型。
1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，从一个确定的源点出发，求到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福特算法来求解。
通过学习和理解这些算法，学生可以逐步掌握寻找最短路径的基本方法。
2. 多源最短路径问题多源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，求任意两个顶点之间的最短路径。
这个问题可以通过使用佛洛依德算法来解决。
学生可以通过了解和实践佛洛依德算法，掌握多源最短路径问题的求解方法。
3. 无权图最短路径问题无权图最短路径问题是指在一个无向无权图中，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用广度优先搜索算法来解决。
学生可以通过学习广度优先搜索算法，了解和掌握无权图最短路径问题的解决方法。
4. 具有负权边的最短路径问题具有负权边的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权边，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法来解决。
学生可以通过了解和实践贝尔曼-福特算法，理解和应用具有负权边的最短路径问题。
5. 具有负权环的最短路径问题具有负权环的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权环，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法的改进版来解决。
学生可以通过学习和理解贝尔曼-福特算法的改进版，解决具有负权环的最短路径问题。
6. 具有边权和顶点权的最短路径问题具有边权和顶点权的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，除了边权之外，还考虑了顶点的权重，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用约翰逊算法来解决。
图论中的最短路径问题及其算法实现
图论中的最短路径问题及其算法实现引言：图论是离散数学的一个重要分支，研究的是表示物体间关系的图及其性质、结构和相关算法。
其中，最短路径问题是图论中的一类经典问题，它在实际应用中有着广泛的应用价值。
本文将探讨最短路径问题的定义、性质以及常见的算法实现，旨在帮助读者深入了解这一重要的图论问题。
一、最短路径问题的定义和特性在图论中，最短路径问题是指在有向图或无向图中找到连接两个顶点之间路径长度最短的路径。
根据具体的问题，最短路径可以有不同的定义，如边的权重、顶点的权重等。
下面介绍最常见的两种最短路径问题：单源最短路径和全源最短路径。
1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在给定图中，从一个源顶点出发，找到到达其余所有顶点的最短路径。
其中，最短路径可以使用不同的度量标准来定义，如路径长度、路径权重等。
研究单源最短路径问题的常见算法有迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法。
2. 全源最短路径问题全源最短路径问题是指在给定图中，找到任意两个顶点之间的最短路径。
全源最短路径问题可以通过多次应用单源最短路径算法来解决。
在常见的全源最短路径算法中，弗洛伊德算法和约翰逊算法是两种常用的解法。
二、常见最短路径算法的实现1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是用于解决单源最短路径问题的一种贪心算法。
其主要思想是通过不断更新从源顶点到其他顶点的距离，直到找到最短路径。
具体实现步骤如下：- 初始化距离数组dist，将源顶点到其他顶点的距离初始化为无穷大（或一个很大的数），源顶点的距离初始化为0。
- 在未访问顶点集合中选择距离最短的顶点，将其标记为已访问。
- 更新源顶点到其他顶点的距离，如果经过当前顶点的路径比之前记录的距离要短，则更新距离数组dist。
- 重复上述步骤，直到所有顶点都被标记为已访问。
2. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于解决单源最短路径问题的动态规划算法。
与迪杰斯特拉算法不同的是，贝尔曼-福特算法可以处理带有负权边的图。
离散数学迪杰斯特拉算法最短路径教案
离散数学迪杰斯特拉算法最短路径教案一、教学目标1.理解迪杰斯特拉算法的原理和基本思想；2.掌握迪杰斯特拉算法的具体步骤；3.能够运用迪杰斯特拉算法求解给定图中的最短路径问题。
二、教学过程1.算法介绍首先，简要介绍迪杰斯特拉算法的基本思想：在带权有向图中，迪杰斯特拉算法用于求解单源最短路径问题，即从起点到其他所有顶点的最短路径。
迪杰斯特拉算法采用贪心策略，逐步扩展最短路径，直到达到终点或者无法扩展为止。
2.算法步骤（1）创建两个集合，一个为已确定最短路径的集合S，一个为未确定最短路径的集合V-S；（2）初始化起点到所有顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0；（3）循环进行以下步骤，直到V-S为空集合：a.选择V-S中距离起点最近的顶点u，将其加入集合S；b.更新起点到V-S中所有顶点的距离，若经过顶点u到达顶点v 的距离更短，则更新距离值；（4）输出起点到各顶点的最短路径。
3.算法实现（1）设计一个函数Dijkstra(graph, start)用于实现迪杰斯特拉算法，输入参数为带权有向图和起点。
（2）创建两个集合S和V-S，初始时S为空集合，V-S为图中所有顶点的集合；（3）初始化起点到所有顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0；（4）循环进行以下步骤，直到V-S为空集合：a.选择V-S中距离起点最近的顶点u，将其加入集合S；b.更新起点到V-S中所有顶点的距离，若经过顶点u到达顶点v 的距离更短，则更新距离值；（5）输出起点到各顶点的最短路径。
4.算法应用以一个具体的图为例，演示迪杰斯特拉算法的应用过程：（1）展示给定的带权有向图，并说明起点和终点；（2）根据迪杰斯特拉算法的步骤，逐步展示算法的执行过程，包括加入集合S、更新距离值等；（3）计算得出起点到各顶点的最短路径，并进行展示。
5.实例练习给定一个带权有向图，要求学生用迪杰斯特拉算法求解起点到各顶点的最短路径，并输出结果。
可以提供一些带权图的实例供学生练习。
离散数学中的图的最短路径与迪杰斯特拉算法
在离散数学中，图论是一个重要的研究领域，涉及到许多与图有关的概念和算法。
其中，最短路径和迪杰斯特拉算法被广泛应用于图中节点之间最短路径的计算与查找。
首先，我们来了解一下最短路径的概念。
在一个有向或无向图中，最短路径是指从起始节点到目标节点的路径中，具有最小权重的路径。
权重可以表示为两个节点之间的距离、成本或代价等。
在现实生活中，最短路径问题可以应用到许多场景中，比如寻找两个城市之间的最短路线或者确定网络中两台计算机之间的最短连接。
要计算图中的最短路径，其中一种经典的算法是迪杰斯特拉算法。
迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，通过逐步更新节点的距离值来找到最短路径。
它的基本思想是从起始节点开始，首先将起始节点的距离值设置为0，然后将所有其他节点的距离值设置为无穷大。
接下来，算法根据每条边的权重更新节点的距离值，直到找到目标节点或者遍历完所有节点为止。
具体来说，迪杰斯特拉算法可以分为以下几个步骤：1.初始化：将起始节点的距离值设为0，将其他节点的距离值设为无穷大。
2.遍历：从起始节点开始，逐一考察与当前节点相邻的节点。
3.更新距离：对于每一个相邻节点，计算通过当前节点到达该节点的距离，并将其与该节点存储的当前最短距离进行比较。
如果通过当前节点的路径更短，就更新该节点的最短距离值。
4.标记节点：在遍历的过程中，通过节点之间的最短路径更新，我们可以逐渐标记节点为“已访问”，确保每一个节点的最短路径都已计算。
5.终止条件：当遍历完成或者找到目标节点时，算法终止。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N是图中的节点数量。
尽管在大规模图中可能会出现效率问题，但对于中小规模的图，该算法具有较高的实用价值。
总结来说，离散数学中的图的最短路径与迪杰斯特拉算法密不可分。
通过迪杰斯特拉算法，我们可以在图中找到从起始节点到目标节点的最短路径。
该方法的基本思想是贪心的，通过逐步更新节点的距离值，从而逐渐找到最短路径。
无论是用于寻找城市间最短路线还是网络中最短连接，这个算法都具有广泛的应用前景。
离散数学最短路径算法描述和比较
离散数学最短路径算法描述和比较最短路径算法是离散数学中常见的问题之一，它可以用来解决网络、交通、通信等领域中的路由规划问题。
本文将对几种常见的最短路径算法进行描述和比较，包括迪杰斯特拉算法、贝尔曼福特算法、弗洛伊德算法和A*算法。
1. 迪杰斯特拉算法(Dijkstra's Algorithm)迪杰斯特拉算法是一种用于在加权有向图中寻找最短路径的算法。
该算法基于贪心策略，以节点的累积权重作为优先级，逐步扩展路径直到找到目标节点。
迪杰斯特拉算法的优点是时间复杂度相对较低，适用于稠密图或有边权的问题。
然而，该算法对于存在负权边的图并不适用。
2. 贝尔曼福特算法(Bellman-Ford Algorithm)贝尔曼福特算法是一种能够处理包含负权边的图的最短路径算法。
该算法采用动态规划的思想，通过反复迭代更新每个节点的最短路径估计值，直到收敛为止。
贝尔曼福特算法的时间复杂度较高，为O(V*E)，其中V为节点数，E为边数。
然而，该算法对于存在负权环的图有一定的应用价值。
3. 弗洛伊德算法(Floyd-Warshall Algorithm)弗洛伊德算法是一种用于解决任意两点之间最短路径的算法，也被称为全源最短路径算法。
该算法基于动态规划的思想，通过枚举节点中转进行路径优化，得到所有节点之间的最短路径。
此算法适用于解决包含负权边或负权环的图的最短路径问题。
然而，弗洛伊德算法的时间复杂度较高，为O(V^3)，其中V为节点数。
4. A*算法(A* Algorithm)A*算法是一种启发式搜索算法，用于在图中找到最短路径。
它根据节点的估计代价来进行搜索，将代价分为两部分：从起点到当前节点的已知代价（g值）和从当前节点到目标节点的估计代价（h值）。
A*算法通过不断更新g值和h值，选择估计代价最小的节点进行扩展，直到找到目标节点。
A*算法是一种高效、准确的最短路径算法，但它的估计代价函数的选择对算法效果有很大的影响。
离散数学迪杰斯特拉算法最短路径教案
离散数学迪杰斯特拉算法最短路径教案在离散数学中，最短路径算法是一个非常重要的主题。
最短路径算法的目的是找到两个节点之间最短的路径。
在本教案中，我们将重点介绍迪杰斯特拉算法，它是解决最短路径问题的一种常用算法。
迪杰斯特拉算法的原理和实现方法都非常重要，希望通过本教案的介绍，学生可以对迪杰斯特拉算法有一个清晰的认识，并能够熟练地运用它解决实际问题。
一、迪杰斯特拉算法概述1.1算法原理迪杰斯特拉算法是一种用于求解带权有向图中单源最短路径的算法。
该算法的基本原理是不断地更新起始节点到各个节点的最短路径，最终得到起始节点到其他所有节点的最短路径。
1.2算法应用迪杰斯特拉算法广泛应用于计算机网络、通信网络以及交通运输等领域。
例如，在路由器中，迪杰斯特拉算法被用于计算最短路径，以便将数据包发送到目标节点。
1.3算法优势相对于其他最短路径算法，如贝尔曼福德算法和弗洛伊德算法，迪杰斯特拉算法具有更高的效率，因为它采用了贪心算法的思想，在每一步都选择当前最优的路径。
二、迪杰斯特拉算法的基本步骤2.1初始化首先，我们需要对算法进行初始化。
我们需要创建一个数组来保存起始节点到其他各个节点的最短路径，同时需要创建一个集合来保存已经找到最短路径的节点。
2.2确定当前最短路径节点然后，我们需要确定当前最短路径的节点。
从起始节点开始，我们先将其加入到集合中，然后找到起始节点到其他所有节点的最短路径，并将这些路径保存在数组中。
2.3更新最短路径数组接着，我们需要更新最短路径数组。
对于每个未找到最短路径的节点，我们需要比较当前最短路径和通过已知最短路径节点到达该节点的路径，选择较小的那个作为当前最短路径。
2.4循环迭代最后，我们需要循环迭代上述步骤，直到集合中包含了所有的节点或者所有节点的最短路径都已经找到。
三、迪杰斯特拉算法的算法流程在了解了迪杰斯特拉算法的基本步骤之后，我们可以将算法的整个流程总结如下：1.初始化：创建一个数组dist来保存起始节点到其他节点的最短路径，创建一个集合visited来保存已经找到最短路径的节点。
离散数学解决离散数学中的问题
离散数学解决离散数学中的问题离散数学是数学的一个分支领域，主要研究离散结构以及离散对象之间的关系。
它在计算机科学、信息技术、密码学等领域中有着广泛的应用。
在离散数学中，我们可以通过不同的方法和技巧来解决各种问题。
本文将介绍几个常见的离散数学问题，并探讨它们的解决方法。
一、图论问题图论是离散数学中一个重要的分支，主要研究图的性质和关系。
在图论中，常常出现以下几类问题：1. 最短路径问题：给定一个带权重的有向图，要求找到两个顶点之间的最短路径。
常用的解决方法包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
2. 最小生成树问题：给定一个带权重的无向图，要求找到一个包含所有顶点且边的权重之和最小的生成树。
常用的解决方法包括Prim算法和Kruskal算法。
3. 旅行商问题：给定一个带权重的完全有向图，要求找到一条经过每个顶点一次且路径权重最小的环路。
该问题属于NP难问题，常用的解决方法包括动态规划和回溯法。
二、集合与逻辑问题在离散数学中，集合论和逻辑推理是非常重要的工具。
以下是几个与集合和逻辑相关的问题：1. 集合关系的判断：给定两个集合A和B，判断A是否是B的子集、两个集合是否相等等。
可以通过集合的定义和性质进行判断。
2. 命题逻辑问题：给定一系列命题，通过逻辑推理判断命题之间的关系，如“与”、“或”、“非”等。
常用的推理方法包括真值表、推理规则和演绎法。
3. 谓词逻辑问题：给定一个谓词逻辑表达式，通过推理判断该表达式的真假。
谓词逻辑是一种对命题进行量化的方式，常用的推理规则包括全称量化规则和存在量化规则。
三、组合数学问题组合数学是研究离散结构的一种方法，常常涉及到排列、组合和集合等概念。
以下是几个与组合数学相关的问题：1. 排列组合问题：给定一组元素，问有多少种排列或组合方式。
可以通过组合数学中的排列和组合公式来计算。
2. 鸽巢原理问题：给定一组容器和一组元素，要求将元素放入容器中，保证每个容器至少包含一个元素。
离散数学图论
如图G1是非连通图， G2是连通图。
G1
G2
21
连通分支：设无向图G=<V, E>，V关于顶点之间的 连通关系 的商集 V/ ={V1,V2,…,Vk}，Vi为等价 类，称导出子图G[Vi] (i=1,2,…,k) 为G的连通分 支, 其个数记作p(G)=k。
如： p(G1)=2， p(G2)=1 G是连通图 p(G)=1 n阶零图的连通分支数最多， p(Nn)=n
有圈的长度2。
• 复杂通路和复杂回路： 中的边重复出现。
20
14.3 图的连通性
（23）无向图的连通性 设无向图G=<V, E>，u, vV， u与v连通：u与v之间存在通路. 记作uv. 规定uu。 连通关系： ={<u,v>| u,vV且uv}是等价关系。 连通图：平凡图, 任意两点都连通的图。
注意：图的数学定义与图形表示，在同构的意义 下是一一对应的。
7
（5）几个特殊的图
通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指 无向图和有向图, 用ek表示无向边或有向边. V(G), E(G) —表示图G的顶点集, 边集.
|V(G)|, |E(G)| —表示图G的顶点数集（阶）和边数.
n 阶图、有限图、零图、平凡图、空图、基图
（6）顶点和边的关联
关联、关联次数、环、孤立点
（7）相邻
vi
vj
点相邻、边相邻
(vi,vj)
ek el
8
（8）邻接
vi
邻接到、邻接于
（9）邻域和关联集
设无向图G, vV(G)
v的邻域、 v的闭邻域、 v的关联集
设有向图D, vV(D)
v的后继元集
离散数学最短通路的算法
离散数学最短通路的算法离散数学算法之最短通路是指在一个图（Graph）中，从一个起点到另一个终点所经过的路径中，权值之和最小的那一条路径。
求解最短通路的算法在图论以及计算机科学中有着极其广泛的应用，其中最常见的有迪杰斯特拉算法（Dijkstra算法）和弗洛伊德算法（Floyd 算法）。
一、迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是解决单源最短路径问题的一种贪心算法，可以分为两个部分：第一是使用贪心策略求最短路径；第二是通过松弛操作来更新与源点的距离。
1. 算法流程（1）初始化：对图进行初始化，包括将源点距离设为0，将其他所有节点距离设为无穷大。
（2）遍历节点：从源点开始，按照距离递增顺序遍历所有节点，当遍历到一个节点时，该节点的距离就能确定下来。
（3）松弛操作：选定一个节点后，对该节点的所有出边进行松弛操作，这里所谓的松弛是指判断通过该节点到达它的邻居节点能否缩短前者的距离。
（4）重复执行2~3步，直到所有节点距离确定。
2. 算法特点迪杰斯特拉算法能够高效地解决所有非负权图的单源最短路问题，时间复杂度为O(nlogn)或O(n2)，其中n为节点数。
二、弗洛伊德算法弗洛伊德算法是解决任意两点间最短路径的一种动态规划算法，其核心思想是通过矩阵运算来逐步求解最短路程。
1. 算法流程（1）初始化：定义一个n*n的矩阵dist，初始化为邻接矩阵（即如果i和j之间有边相连，则dist[i][j]赋为权值，否则赋为无穷大）。
（2）更新矩阵：用三重循环遍历所有的节点i、j、k，判断dist[i][j]是否大于dist[i][k]+dist[k][j]，如果是，则令dist[i][j]等于这两个值中的较小者。
（4）重复执行2~3步，直到所有节点对之间的最短路程全部确定。
2. 算法特点弗洛伊德算法能够高效地解决大多数图的任意两点间最短路径问题，时间复杂度为O(n3)，其中n为节点数。
总之，迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法虽然各具特点，但都可以高效地解决不同类型的图最短路径问题，用户可以根据需要选择适合的算法进行求解。
dijkstra最短路径算法步骤离散数学
一、概述在计算机科学领域中，图论算法是一类非常重要的算法之一。
而Dijkstra最短路径算法则是其中的经典之作。
本文将介绍Dijkstra算法的步骤，以及其在离散数学中的应用。
二、Dijkstra最短路径算法的基本概念1. Dijkstra最短路径算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫·迪克斯特拉于1956年提出的，用于求解一个图中从起始顶点到其他各顶点的最短路径。
2. Dijkstra算法采用贪婪的策略，每次找到当前到起点距离最短的顶点，并将其纳入最短路径中。
3. 在Dijkstra算法中，需要维护一个到起点的距离数组dist[]和一个标记数组visited[]，分别用于记录当前已知最短路径的距离和是否已访问过该顶点。
三、Dijkstra最短路径算法的步骤1. 初始化a. 将起点到各顶点的距离数组dist[]初始化为无穷大，将标记数组visited[]初始化为false。
b. 将起点到自身的距离初始化为0。
2. 更新距离a. 从待访问的顶点中选择dist[]最小的顶点v，将该顶点标记为已访问。
b. 遍历v的所有相邻顶点，更新其距离：如果通过顶点v到达该相邻顶点的距离比当前已知距离小，则更新dist[]数组。
3. 重复步骤2，直到所有顶点都被标记为已访问。
四、Dijkstra算法在离散数学中的应用1. 在网络路由中，Dijkstra算法被用于寻找网络中最短路径，以确保数据包能够以最快的速度传输到目的地。
2. 在地图导航系统中，Dijkstra算法被用于寻找最短驾驶路径，以节省行驶的时间和成本。
3. 在通信网络中，Dijkstra算法被用于寻找最短路径，以确保通信的高效和稳定。
五、总结Dijkstra最短路径算法是一种十分有效的图论算法，在实际应用中具有广泛的用途。
通过本文的介绍，相信读者对Dijkstra算法的步骤和在离散数学中的应用有了更加深入的了解。
希望本文可以为学习和研究算法的读者提供一些帮助。
离散数学中的图的遍历与最短路径
离散数学是数学的一个重要分支，研究离散结构与离散量的关系。
在离散数学当中，图是一个重要的概念，它用来描述事物之间的关系。
图的遍历与最短路径是图论中的两个重要问题，它们在计算机科学和网络通信等领域有广泛的应用。
图的遍历是指通过某种策略，按某个顺序访问图的所有节点。
在图的遍历过程中，我们需要使用一种数据结构来记录已经访问过的节点，并按照某种规则来选择下一个要访问的节点。
常用的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
深度优先搜索是一种递归的搜索算法，它会首先访问一个节点的所有邻接节点，然后再依次递归访问这些节点的邻接节点，以此类推，直到没有未访问的邻接节点。
深度优先搜索能够完整地遍历图中的每个节点，并且可以用来解决一些需要遍历整个图的问题，例如判断图的连通性或寻找图的割点。
广度优先搜索是一种非递归的搜索算法，它从图的某个起始节点开始，先访问该节点的所有邻接节点，然后再依次访问这些邻接节点的邻接节点，以此类推，直到遍历完整个图。
广度优先搜索能够找到最短路径，因为它首先访问的是距离起始节点最近的节点，然后再访问离起始节点更远的节点。
因此，广度优先搜索常用于寻找最短路径或解决一些需要在有限步数内找到目标节点的问题。
最短路径是图论中的一个常见问题，它用于寻找两个节点之间最短的路径。
在有向图中，最短路径可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来求解。
Dijkstra算法通过维护一个距离数组来记录起始节点到其他节点的距离，并通过选择路径距离最短的节点来更新距离数组，直到找到最短路径。
Bellman-Ford算法则利用动态规划的思想，通过多次循环来更新距离数组，直到没有更新为止。
在无向图或有向无环图中，最短路径可以使用广度优先搜索来求解。
广度优先搜索能够找到距离起始节点最近的节点，并且同时能够记录节点之间的路径。
因此，在广度优先搜索过程中，我们可以使用一个数组来记录节点之间的路径，并根据起始节点到目标节点的路径来回溯，从而找到最短路径。
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权和为10 权和为 权和为9 权和为 权和为10 权和为 权和为15 权和为 e 权和为 权和为18 权和为13 权和为
8
由此可见： 关于 的指标D 关于T的指标 由此可见：e关于 的指标 T(e) = 9
对于目标集T={e,f,g,z}，已用穷举法得到e关于 的指标 对于目标集 ，已用穷举法得到 关于T的指标 关于 DT(e) = 9 ，同样用穷举法可得 关于 的指标 T(f) = 6, 同样用穷举法可得f 关于T的指标 的指标D g关于 的指标 T(g) = 8，对于点 ，由于不存在 关于T的指标 关于 的指标D ，对于点z a到z但不通过 中其它点的通路，约定DT (z ) = ∞ 。 到 但不通过 中其它点的通路， 但不通过T中其它点的通路 比较T中四个点的指标可知： 的指标最小，因此可得： 比较 中四个点的指标可知：点f 的指标最小，因此可得： 中四个点的指标可知 a 到f 的最短通路权和为 T(f) = 6。 的最短通路权和为D 。
5
三、赋权图的最短通路
基本思想：先求出 到某一点的最短通路 到某一点的最短通路， 基本思想：先求出a到某一点的最短通路， 然后利用这个结果再去确定a到另一点的最短通路， 然后利用这个结果再去确定 到另一点的最短通路， 到另一点的最短通路 如此下去，直到找到 到 的最短通路为止 的最短通路为止。 如此下去，直到找到a到z的最短通路为止。
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一般地， 中指标最小的点， 一般地，设T={t1, t2, …, tn}，其中 1为T中指标最小的点， ，其中t 中指标最小的点 即 DT(t1) =min(DT(t1) , DT(t2),…DT(tn))
则a到t1的最短通路的权和就是 T(t1) 。 到 的最短通路的权和就是D 当得到目标集T中最小指标点 是目的地z，则问题得解。 当得到目标集 中最小指标点t1后，如果 t1是目的地 ，则问题得解。 中最小指标点 如果t 不是目的地z，则把t 中挖去， 如果 1不是目的地 ，则把 1从T中挖去，得到新的目标集 1， 中挖去 得到新的目标集T 即 T1=T-{t1}
DT1(e) = DT1(f) = DT1(g) = DT1(z)=∞ 比较以上各点的指标可知， 是最小指标点 是最小指标点。 比较以上各点的指标可知，b是最小指标点。但b不是目标 不是目标 于是可得： 点，所以挖去b,于是可得： 所以挖去 于是可得
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（2）令T2=T1-{b}={c,d,e,f,g,z}，T2中各点的指标为： ） ， 中各点的指标为： DT2(c)=min(DT1(c), DT1(b)+W(b,c))=min(4,2+3)=4 (a DT2(d)= min(DT1(d), DT1(b)+W(b,d))=min(3,∞)=3 (a DT2(e)= min(DT1(e), DT1(b)+W(b,e))=min(∞,2+6)=8(a DT2(f)= min(DT1(f), DT1(b)+W(b,f))=min(∞, ∞)=∞ DT2(g)= min(DT1(g), DT1(b)+W(b,g))=min(∞, ∞)=∞ DT2(z)= min(DT1(z), DT1(b)+W(b,z))=min(∞, ∞)=∞ 比较以上各点的指标可知， 是最小指标点。 不是目标点， 比较以上各点的指标可知，d 是最小指标点。但 d 不是目标点，
2
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法 问题的提法——寻求网络中两点间的最 寻求网络中两点间的最 短路就是寻求连接这两个点的边的总权数为 短路就是寻求连接这两个点的边的总权数为 最小的通路。 最小的通路。 （2）应用背景 应用背景——管道铺设、交通网络、线 管道铺设、 管道铺设 交通网络、 路安排、厂区布局、设备更新等。 路安排、厂区布局、设备更新等。
若取T={e,f,g,z}，点e关于 的指标 T(e)就是由 到e 但不通过 中其 ， 关于T的指标 就是由a到 但不通过T中其 若取 关于 的指标D 就是由 他点（ 他点（即f,g,z）的所有通路中权和最小者。 ）的所有通路中权和最小者。
7
如图
用穷举法可得： 到 但不通过T中其他点 中其他点（ 用穷举法可得：a到e 但不通过 中其他点（即f,g,z） ） 的通路有： 的通路有： a b a a a a a b c c d d e c e b c c e b e e
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以上用穷举法求目标集中各点的指标，思路简单， 以上用穷举法求目标集中各点的指标，思路简单， 但方法不可取,特别是图中的点较多时。 但方法不可取 特别是图中的点较多时。 特别是图中的点较多时
下面介绍用递推的方法来求目标集中各点的指标。 下面介绍用递推的方法来求目标集中各点的指标。
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如果已经求得目标集T={t1, t2, …, tn}中各点的指标 设t1为T中指标最 中各点的指标,设 如果已经求得目标集 中各点的指标 中指标最 小的点，那么能推出 中各点的指标. 中各点的指标 小的点，那么能推出T1=T-{t1}中各点的指标 已不属于目标集T 对于 中与t 对于T 只须注意到 t1已不属于目标集 1,对于 1中与 1邻接的点 t ,当寻求这点 t 当寻求这点 的指标时, 所组成的通路,也是一条由 的指标时 将a到t1的最短通路再加上边 1t所组成的通路 也是一条由 到t 到 的最短通路再加上边t 所组成的通路 也是一条由a到 但不通过T 中其他点的所有通路.所以 关于T 所以t关于 但不通过 1中其他点的所有通路 所以 关于 1的指标 DT1(t) =min(DT(t), DT(t1)+W(t1,t)) 其中W(t1,t)是边 1,t上的权 是边t 上的权. 其中 是边 上的权 对于T 中与t 那么它的指标没有发生变化, 对于 1中与 1不邻接的点 t2 , 那么它的指标没有发生变化 即 DT1(t2) = DT (t2)
6
目标集——设V是图的点集，T是V的子集，且T 含有目标 z 但不含有 ， 设 是图的点集 是图的点集， 是 的子集 的子集， 但不含有a， 目标集 则称T为目标集。 则称 为目标集。 为目标集 指标——在目标集 中任取一点 t ，由 a 到 t 但不通过目标集 中 在目标集T中任取一点 但不通过目标集T中 指标 在目标集 其他点的所有通路中各边权之和（简称为通路权和） 其他点的所有通路中各边权之和（简称为通路权和）的 关于T 的指标， 最小者称为点 t 关于 的指标，记为 DT(t)。 。
比较以上各点的指标可知， 是最小指标点 是最小指标点。 不是目标点， 比较以上各点的指标可知，c是最小指标点。但c 不是目标点，
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所以挖去c 于是可得 于是可得： 所以挖去 ,于是可得：
（4）令T4=T3-{c}={e,f,g,z}，T4中各点的指标为： ） ， 中各点的指标为： DT4（e）=min(DT3(e), DT3(c)+W(c,e))=min(8,4+2)=6 (a ） DT4（f）=min(DT3(f), DT3(c)+W(c,f))=min(5,4+6)=5 (a ） DT4（g）=min(DT3(g), DT3(c)+W(c,g))=min(10,4+7)=10(a ） g) DT4（z）=min(DT3(z), DT3(c)+W(c,z))=min(∞,∞)=∞ ） 比较以上各点的指标可知， 是最小指标点 是最小指标点。 不是目标点 不是目标点， 比较以上各点的指标可知，f是最小指标点。但f不是目标点，
最短路径问题
如下图所示的单行线交通网， 例:如下图所示的单行线交通网，每个弧旁边的 数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从v 数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从 1出 发，经过这个交
v2
通网到达v 通网到达 6，
3
6 4 1
v4 3
要寻求总路 程最短的线 路。
v3 v1 5 v5 1 2
对于T 又求出其各点的指标，并确定最小指标点， 对于 1，又求出其各点的指标，并确定最小指标点，如果这个最小 指标点就是目的地z，则问题得解。如果不是目的地 ，则把在T 指标点就是目的地 ，则问题得解。如果不是目的地z，则把在 1中 又挖去这个最小指标点，得到新的目标集 不断重复上述过程， 又挖去这个最小指标点，得到新的目标集T2，不断重复上述过程， 直到目的地z为某个目标集的最小指标点为止。 直到目的地 为某个目标集的最小指标点为止。 为某个目标集的最小指标点为止 由此可见，求最短通路问题的关键是：如何求目标集中各点的指标。 由此可见，求最短通路问题的关键是：如何求目标集中各点的指标。
v6 6
1
的路线是很多的。比如从v 出发， 从v1到v6的路线是很多的。比如从v1出发， 经过v 到达v 或者从v 出发，经过v 经过v2 ,v4到达v6或者从v1出发，经过v2，v3， 到达v 等等。但不同的路线， v5到达v6等等。但不同的路线， 经过的总长 度是不同的。例如，按照第一个线路， 度是不同的。例如，按照第一个线路，总长 度是3 单位， 度是3+6+3=12单位，按照第二个路线，总长 12单位 按照第二个路线， 度是3 度是3+1+1+6=11单位。 11单位。 单位
DT3（f）=min(DT2(f), DT2(d)+W(d,f))=min(∞,3+2)=5 (a ） DT3（g）=min(DT2(g), DT2(d)+W(d,g))=min(∞,3+7)=10(a ） g) DT3（z）=min(DT2(z), DT2(d)+W(d,z))=min(∞,∞)=∞ ）
13
用狄克斯特洛算法求下列图中a 的最短通路。 例1 用狄克斯特洛算法求下列图中 到z的最短通路。 的最短通路
解 （1）首先取目标集 1={b,c,d,e,f,g,z}， T1中各点的指标为： ）首先取目标集T ， 中各点的指标为： DT1(b) =2, DT1(c) =4, DT1(d) =3, (a (a (a b) c) d)ຫໍສະໝຸດ 3二、赋权图的定义