离散数学习题详细答案

离散数学习题详细答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

离散数学习题答案

习题一及答案：（P14-15）

14、将下列命题符号化：

（5）李辛与李末是兄弟

解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p

（6）王强与刘威都学过法语

解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是

p q ∧

（9）只有天下大雨，他才乘班车上班

解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →

（11）下雪路滑，他迟到了

解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→

15、设p ：2+3=5.

q ：大熊猫产在中国.

r ：太阳从西方升起.

求下列复合命题的真值：

（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→

解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，

(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔

()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔

19、用真值表判断下列公式的类型：

（2）()p p q →⌝→⌝

解：列出公式的真值表，如下所示： p q p ⌝ q ⌝ ()p p →⌝ ()p p q →⌝→⌝

0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0

1 0 0 1 0 1

1 1 0 0 0 1

由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。

20、求下列公式的成真赋值：

（4）()p q q ⌝∨→

解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：

()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒00

p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。

习题二及答案：（P38）

5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：

（2）()()p q q r ⌝→∧∧

解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧

()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，

所以成真赋值为011，111。

6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：

（2）()()p q p r ∧∨⌝∨

解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：

（1）()p q r ∧∨

解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧

()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧

13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取范式。

主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。

9、用真值表法求下面公式的主析取范式：

（1）()()p q p r ∨∨⌝∧

解：公式的真值表如下：

p q r p ⌝ p q ∨ p r ⌝∧ ()()p q p r ∨∨⌝∧ 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1 1

0 1 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1 0 1

1 1 1 0 1 0 1

由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨

习题三及答案：（P52-54）

11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→

结论：s

证明：

① p 前提引入

② p q ⌝∨ 前提引入

③ q ①②析取三段论

④ q r ⌝∨ 前提引入

⑤ r ③④析取三段论

⑥ r s → 前提引入

⑦ s ⑤⑥假言推理

15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理：

（2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→

结论：p u →

证明：用附加前提证明法。

① p 附加前提引入

② p q ∨ ①附加

③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入

④ r s ∧ ②③假言推理

⑤ s ④化简

⑥ s t ∨ ⑤附加

⑦ ()s t u ∨→ 前提引入

⑧ u ⑥⑦假言推理

故推理正确。

16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理：

（1）前提：p q →⌝，r q ⌝∨，r s ∧⌝

结论：p ⌝

证明：用归谬法

① p 结论的否定引入

② p q →⌝ 前提引入

③ q ⌝ ①②假言推理

④ r q ⌝∨ 前提引入

⑤ r ⌝ ③④析取三段论

⑥ r s ∧⌝ 前提引入

⑦ r ⑥化简

⑧r r ∧⌝ ⑤⑦合取

由于0r r ∧⌝⇒，所以推理正确。

17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：

只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就是谋杀嫌犯。A 曾到过受害者房间。如果A 在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以，A 是谋杀嫌犯。 解：设p ：A 到过受害者房间，q ：A 在11点以前离开，r ：A 是谋杀嫌犯，s ：看门人看见过A 。

则前提：()p q r ∧⌝→，p ，q s →，s ⌝

结论：r

证明：

① q s → 前提引入

② s ⌝ 前提引入

③ q ⌝ ①②拒取式

④ p 前提引入