离散数学习题详细答案

离散数学习题详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p ：2+3=5.q ：大熊猫产在中国.r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q →⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示： p q p ⌝ q ⌝ ()p p →⌝ ()p p q →⌝→⌝0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 11 1 0 0 0 1由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。

20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒00p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。

习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。

6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）()p q r ∧∨解：原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧13567m m m m m ⇔∨∨∨∨，此即主析取范式。

主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ⇔∧∧。

9、用真值表法求下面公式的主析取范式：（1）()()p q p r ∨∨⌝∧解：公式的真值表如下：p q r p ⌝ p q ∨ p r ⌝∧ ()()p q p r ∨∨⌝∧ 0 0 0 1 0 0 00 0 1 1 0 1 10 1 0 1 1 0 10 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 0 11 0 1 0 1 0 11 1 0 0 1 0 11 1 1 0 1 0 1由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

前提：,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→结论：s证明：① p 前提引入② p q ⌝∨ 前提引入③ q ①②析取三段论④ q r ⌝∨ 前提引入⑤ r ③④析取三段论⑥ r s → 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理：（2）前提：()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→结论：p u →证明：用附加前提证明法。

① p 附加前提引入② p q ∨ ①附加③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入④ r s ∧ ②③假言推理⑤ s ④化简⑥ s t ∨ ⑤附加⑦ ()s t u ∨→ 前提引入⑧ u ⑥⑦假言推理故推理正确。

16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理：（1）前提：p q →⌝，r q ⌝∨，r s ∧⌝结论：p ⌝证明：用归谬法① p 结论的否定引入② p q →⌝ 前提引入③ q ⌝ ①②假言推理④ r q ⌝∨ 前提引入⑤ r ⌝ ③④析取三段论⑥ r s ∧⌝ 前提引入⑦ r ⑥化简⑧r r ∧⌝ ⑤⑦合取由于0r r ∧⌝⇒，所以推理正确。

17、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：只要A 曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A 就是谋杀嫌犯。

A 曾到过受害者房间。

如果A 在11点以前离开，看门人会看见他。

看门人没有看见他。

所以，A 是谋杀嫌犯。

解：设p ：A 到过受害者房间，q ：A 在11点以前离开，r ：A 是谋杀嫌犯，s ：看门人看见过A 。

则前提：()p q r ∧⌝→，p ，q s →，s ⌝结论：r证明：① q s → 前提引入② s ⌝ 前提引入③ q ⌝ ①②拒取式④ p 前提引入⑤ p q ∧⌝ ③④合取引入⑥ ()p q r ∧⌝→ 前提引入⑦ r ⑤⑥假言推理习题四及答案：（P65-67）5、在一阶逻辑中将下列命题符号化：（2）有的火车比有的汽车快。

解：设F(x)：x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是： (()()(,))x y F x G y H x y ∃∃∧∧（3）不存在比所有火车都快得汽车。

解：设F(x)：x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y)：x 比y 快；则命题符号化的结果是： (()(()(,)))x F x y G y H x y ⌝∃∧∀→或(()(()(,)))x F x y G y H x y ∀→∃∧⌝9、给定解释I 如下：(a) 个体域为实数集合R 。

(b) 特定元素0a-=。

(c) 函数(,),,f x y x y x y R -=-∈。

(d) 谓词(,):,(,):,,F x y x y G x y x y x y R --=<∈。

给出以下公式在I 下的解释，并指出它们的真值：（2）(((,),)(,))x y F f x y a G x y ∀∀→解：解释是：(0)x y x y x y ∀∀-=→<，含义是：对于任意的实数x ，y ，若x-y=0则x<y 。

该公式在I 解释下的真值为假。

14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：（1）(()(()(,)))x F x y G y H x y ∀→∃∧解：取解释I 如下：个体域为全总个体域，()F x ：x 是兔子，()G y ：y 是乌龟，(,)H x y ：x 比y 跑得快，则该公式在解释I 下真值是1； 取解释'I 如下：(,)H x y ：x 比y 跑得慢，其它同上，则该公式在解释'I 下真值是0；故公式（1）既不是永真式也不是矛盾式。

此题答案不唯一，只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。

习题五及答案：（P80-81）中，构造下面推理的证明：15、在自然推理系统Nξ（3）前提：(()())xG x⌝∃∀∨，()x F x G x结论：()∃xF x证明：①()⌝∃前提引入xG x②()∀⌝①置换x G x③()G c⌝②UI规则④(()())∀∨前提引入x F x G x⑤()()∨④UI规则F cG c⑥()F c③⑤析取三段论⑦()∃⑥EG规则xF x22、在自然推理系统N中，构造下面推理的证明：ξ（2）凡大学生都是勤奋的。

王晓山不勤奋。

所以王晓山不是大学生。

解：设F(x)：x为大学生，G(x)：x是勤奋的，c：王晓山则前提：(()())⌝G c∀→，()x F x G x结论：()⌝F c证明：①(()())∀→前提引入x F x G x②()()→①UI规则F cG c③()⌝前提引入G c④()F c⌝②③拒取式中，构造下面推理的证明：25、在自然推理系统Nξ每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。

王大海是科学工作者，并且是聪明的。

所以，王大海在他的事业中将获得成功。

（个体域为人类集合）解：设F(x)：x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x)：x是聪明的，I(x)：x在他的事业中获得成功，c：王大海则前提：(()())F c H c∀∧→，()()∧x G x H x I xx F x G x∀→，(()()())结论：()I c证明：①()()∧前提引入F c H c②()F c①化简③()H c①化简④(()())∀→前提引入x F x G x⑤()()→④UI规则F cG c⑥()G c②⑤假言推理⑦()()∧③⑥合取引入G c H c⑧(()()())∀∧→前提引入x G x H x I x⑨()()()∧→⑧UI规则G c H c I c⑩()I c⑦⑨假言推理习题六及答案1 2 43习题七及答案：（P132-135）*22、给定{}1,2,3,4A =，A 上的关系{}1,3,1,4,2,3,2,4,3,4R =，试（1）画出R 的关系图；（2）说明R 的性质。

解：（1）● ●● ●（2）R 的关系图中每个顶点都没有自环，所以R 是反自反的，不是自反的；R 的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R 是反对称的，不是对称的；R 的关系图中没有发生顶点x 到顶点y 有边、顶点y 到顶点z 有边，但顶点x 到顶点z 没有边的情况，故R 是传递的。

26 设{}1,2,3,4,5,6A =，R 为A 上的关系，R 的关系图如图7.13所示：（1）求23,R R 的集合表达式；（2）求r(R), s(R), t(R)的集合表达式。

解：（1）由R 的关系图可得{}1,5,2,5,3,1,3,3,4,5R =所以{}23,1,3,3,3,5R R R =︒=，{}323,1,3,3,3,5R R R =︒=，可得{}3,1,3,3,3,5,n>=2n R =当；（2）{}A r(R)=R I 1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6=U ，{}1()R 1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,3,3,4,5,5,4s R R -==U{}232()R R ...R 1,5,2,5,3,1,3,3,3,5,4,5t R R R ===U U U U46、分别画出下列各偏序集,A R ≤的哈斯图，并找出A 的极大元、极小元、最大元和最小元。