离散数学题目及答案

数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。

C．2是偶数。

D．铅球是方的。

2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。

D．凡石头都可练成金。

5．在公式)yxQPyPy∀∧→x∃∃中变元y是（ B ）z()))(,y()((z))((,A．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元6．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．q→┐p7．给定如下4个语句:（1）我不会唱歌。

（2）如果天不下雨,我就上街。

（3）我每天都要上课。

（4）火星上有人吗?其中不是复合命题的是（ B ）A．（1）（4）B．（3）（4）C．（1）（3）D．（1）（3）（4）8．下列含有命题p，q，r的公式中，是特异（主）析取范式的是（D）A．（p ∧ q ∧ r）∨（⌝p ∧ q）B．（p ∨ q ∨ r）∧（⌝p ∧ q）C．（p ∨ q ∨ r）∧（⌝p ∨ q ∨ r）D．（p ∧ q ∧ r）∨（⌝p ∧ q ∧ r）9．设个体域为整数集,则下列公式中值为真的是（ A ）。

A．（∃y）（∃x）（x·y=2）B．（∀x）（∃y）（x·y=2）C．（∀x）（x－y=x）D．（∃x）（∀y）（x+y=2y）10．下述不是命题的是（D ）A ． 花儿是红色的B ． 月亮上有水C ． 3是偶数D ． 3>x11． 用P 表示：天下大雨；Q 表示：他乘公共汽车上班。

将“如果天下大雨，他就乘公共汽车上班。

”符号化正确的是（ A ）A ．P →QB ．Q →PC ．P ∧QD ．P ∨Q12．谓词公式（∀y ）（∀x ）（P （x ）→R （x,y ））∧∃xQ （x,y ）中变元y （ C ） A ． 是自由变元但不是约束变元 B ． 是约束变元但不是自由变元 C ． 既是自由变元又是约束变元D ． 既不是自由变元又不是约束变元13．下列命题公式为永假式的是（ C ）A ．p → （p ∨q ）B ．p ∧q →qC ．q ∧┐qD ．p →q14．下列语句中，不是命题的是（ C ） A ． 铅球不是球。

B ． 要是他不上场，我们就不会输。

C ． 刘翔跨110米栏用了不到13秒钟，你说他是不是运动健将呢?D ． 刘翔跨110米栏用了不到13秒钟，他是一个真正的运动健将。

13．关于命题变元P 和Q 的成假赋值为01对应的极大项是（ C ）A ．┐P ∧QB ．┐P ∨QC ．P ∨┐QD ．P ∧┐Q14．谓词公式（∀y ）（∀x ）（P （x ）→R （x,y ））∧∃yQ （x,y ）中变元y （ B ） A ． 是自由变元但不是约束变元 B ． 是约束变元但不是自由变元 C ． 既是自由变元又是约束变元D ． 既不是自由变元又不是约束变元15． 设:p 开关A 开，q ：开关B 开,则“开且只开A 、B 中一个开关”的命题公式是（ C ） A ． q p ⌝∧ B ． q p ∧⌝C ． （q p ⌝∧）∨（q p ∧⌝）D ． （q p ⌝∧）∧（q p ∧⌝） 16．下列等价式正确的是（ C ）A ．┐)()(x A x ∃⇔∃┐AB ．A y x A y x ))(())((∀∃⇔∀∀C ．┐)()(x A x ∃⇔∀┐AD ．)()()()())()()((x B x x A x x B x A x ∀∨∀⇔∧∀ 17．在论域D={a,b}中与公式（x ∃）A （x ）等价的不含存在量词的公式是（ B ） A ．)b (A )a (A ∧ B ． )b (A )a (A ∨ C ． )b (A )a (A →D ． )a (A )b (A →18．下列命题公式为重言式的是（ C ） A ．p→ （p ∧q ） B ．（p ∨┐p ）→q C ．p ∨┐pD ．p→┐q19．下列命题中真值为1的是（ B ）A ．若2+2=4, 则3+3≠6B ．若2+2=4, 则3+3=6C ．2+2=4, 当且仅当3+3≠6D ．2+2≠4, 当且仅当3+3=6 20．设个体域为整数，下列公式中真值为1的是（ B ） A ． ∀x ∀y （x + y = 1） B ． ∀x ∃y （x + y = 1） C ． ∃x ∀y （x + y = 1） D ． ⌝ ∃x ∃y （x + y = 1 21． 下列命题中真值为0的是（ C ）A ．若2+2=5, 则3+3≠6B ．若2+2=4, 则3+3=6C ．2+2=5, 当且仅当3+3≠6D ．2+2≠4, 当且仅当3+3=6 22．谓词公式)),()(()((y x L yE y x M x →∀∧∃中变元x （ C ） A ． 是自由变元但不是约束变元 B ． 是约束变元但不是自由变元 C ． 既是自由变元又是约束变元D ． 既不是自由变元又不是约束变元23．设个体域为整数，下列公式中真值为1的是（ B ） A ． ∀x ∀y （x + y = 1）B ．∀x ∃y （x + y = 1）C ． ∃x ∀y （x + y = 1）D ．⌝ ∃x ∃y （x + y = 1填空题1．n 个命题变元的极小项有 2n 个。

2．设3:,022:q p =+是奇数，则q p →的真值是 1 。

3．含n 个命题变项的重言式的特异（主）合取范式为 1 4．设个体域为整数集合Z ，命题3(=+∃∀y x y x ）的真值为 1 5．公式∃xP （x ）∨∃xQ （x ）的前束范式为 ∃x(P(x) Q(x))6．设p ：我很累，q ：我去学习，命题：“我很累，但我还去学习”的符号化为 q p ∧ 7．设P 表示：天下大雨；Q 表示：他乘公共汽车上班，则命题“如果天下大雨，他就乘公共汽车上班。

”的符号化是 q p →8．设P ：2+2＝4，Q ：3是奇数,则命题“2+2＝4，当且仅当3是奇数．”的符号化为 Q P ⇔ 9． 含n 个命题变项的矛盾式的特异（主）析取范式为 0 10．命题公式q p ↔成假的解释是 01,10 11．q p ↔的成假解释为 01,10计算题1．求)()(x xG x xF ⌝∃∧∀的前束范式。

解：()()()()()()()()()3xF x xG x xF x x G x x F x G x ∀∧⌝∃⇔∀∧∀⌝⇔∀∧⌝分3分2．求r q p →∧⌝)(的真值表，并写出它的特异（主）析取范式和特异（主）合取范式。

解：真值表如下：故主析取范式为()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧主合取范式为()()()p q r p q r p q r ∨∨∧∨⌝∨∧⌝∨∨3．求命题公式的p r q p →→∨))((成真赋值。

解：()()p q r ∨→p →=()()p q r p ⌝∧⌝∨→ =()()p q r p ⌝⌝∧⌝∨∨=()()p q r p ∨∧⌝∨=()()p r q r p ∧⌝∨∧⌝∨ 成真赋值 100，010，101，110，1114．将公式)())()((x xF y yR x xP ∀→∃∨∀化为前束范式。

解： ()()()()xP x yR y xF x ∀∨∃→∀()()()()x y P x R y xF x ⇔∀∃∨→∀()()()()x y P x R y zF z ⇔∀∃∨→∀ ()()()()x y z P x R y F z ⇔∃∀∀∨→5．求公式 （p ∨（q ∧r ））→（p ∧q ∧r ） 的特异（主）析取范式，并求成真赋值。

解：()()()r q p r q p ∧∧→∧∨()()()()()()()()()()()()()r q p r q p r q p r q p r q p r p q p r q p r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔∧∧∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝⇔∧∧∨⌝∨⌝∧⌝⇔∧∧∨∧∨⌝⇔成真赋值为：000，001，010，1116．用谓词公式表示“有人喜欢吃所有的食物”。

解：()x x M :是人，()y y N :是食物()x y x H :,喜欢吃y 符号化：()()()()()y x H y N y x M x ,→∀∧∃7． 用作真值表方法确定下列命题公式的类型： ).())()((q p p q q p ∨⌝→→∧→ 解： 设原式=A ，真值表如下：()()00111010111000111111p q p q q p p q A →∧→⌝∨ 则原式为永真式。

8．用逻辑式表示“某些计算机与某些外部设备之间不能相联”。

解：()C x ：x 是计算机，()D x ：x 为外部设备，(),P x y ：x 与y 相联符号化为)),()()((y x P y D x C y x ⌝∧∧∃∃9．在个体域},{b a D =，消去公式))()((y yG x F x ∃∧∀的量词。