离散数学题库与答案

数理逻辑部分选择、填空及判断✓下列语句不是命题的（ A ）。

(A) 你打算考硕士研究生吗？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。

(C) 离散数学是计算机系的一门必修课。

(D) 雪是黑色的。

✓命题公式P→(P∨⌝P)的类型是（ A ）(A) 永真式(B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式(D) 析取式✓A是重言式，那么A的否定式是( A )A. 矛盾式B. 重言式C. 可满足式D.不能确定✓以下命题公式中，为永假式的是( C )A. p→(p∨q∨r)B. (p→┐p)→┐pC. ┐(q→q)∧pD. ┐(q∨┐p)→(p∧┐p)✓命题公式P→Q的成假赋值是( D )A. 00,11B. 00,01,11C.10,11D. 10✓谓词公式)xxP∧∀中，变元x是 ( B )R,(x)(yA. 自由变元B. 既是自由变元也是约束变元C. 约束变元D. 既不是自由变元也不是约束变元✓命题公式P→(Q∨⌝Q)的类型是( A )。

(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 析取式✓设B不含变元x，)xx→∃等值于( A )A)((BA. B( D. BxxA→x∃)((∃ C. Bx∧A∃)( B. )∀)xA→x)(Ax(Bx∨✓下列语句中是真命题的是( D )。

A．你是杰克吗？ B．凡石头都可练成金。

C．如果2+2=4，那么雪是黑的。

D．如果1+2=4，那么雪是黑的。

✓从集合分类的角度看，命题公式可分为( B )A. 永真式、矛盾式B. 永真式、可满足式、矛盾式C. 可满足式、矛盾式D. 永真式、可满足式✓命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。

A. ﹁p∨qB. ﹁(p∨q)C. ﹁p∧qD. p→﹁q✓一个公式在等价意义下，下面写法唯一的是( D )。

(A) 式 (B) 析取式 (C) 合取式 (D) 主析取式✓下列含有命题p，q，r的公式中，是主析取式的是( D )。

(A) (p ∧ q ∧ r) ∨ (⌝p ∧ q) (B) (p ∨ q ∨ r) ∧ (⌝p ∧ q)(C) (p ∨ q ∨ r) ∧ (⌝p ∨ q ∨ r)(D) (p ∧ q ∧ r) ∨ (⌝p ∧ q ∧ r) ✓ 设个体域是整数集合，P 代表∀x ∀y ((x <y )→(x -y <x ))，下面描述正确的是（ C ）。

(A) P 是真命题 (B) P 是假命题(C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式✓ 对一阶逻辑公式((,)(,))(,)x y P x y Q y z xP x y ∀∀∧∧∃的说确的是( B ).(A) x 是约束的，y 是约束的，z 是自由的；(B) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是自由的；(C) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是约束的；(D) x 是约束的，y 是约束的，z 是约束的；✓ n 个命题变元可产生( D )个互不等价的布尔小项。

(A) n (B) n 2 (C) 2n (D) 2n✓ 命题“没有不犯错误的人”符号化为（ D ）。

设x x M ：)(是人，x x P ：)(犯错误。

(A) ))()((x P x M x ∧∀ (B) )))()(((x P x M x ⌝→∃⌝(C) )))()(((x P x M x ∧∃⌝ (D) )))()(((x P x M x ⌝∧∃⌝✓ 下列命题公式等值的是（ C ）B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A QP Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨⌝∨∨⌝∨→→→⌝→→∨⌝∧⌝ ✓ 给定命题公式：)(R Q P ∧∨，则所有可能使它成真赋值为（ B ），成假赋值为（ C ）。

(A) 111，011；000 (B) 111，011，100，101，110；(C) 000，010，001； (D) 000，110，011，001，100。

✓ 给定前提：R P Q S Q P ⌝∨→→,,)(，则它的有效结论为：（ B ）。

(A) S ； (B) S R →； (C) P ； (D) Q R →。

✓ 命题：“所有的马都比某些牛跑得快”的符号化公式为：（ C ）。

假设：)(x H ：x 是马；)(x C ：x 是牛；),(y x F ：x 比y 跑得快。

(A) ))),()(()((y x F y C y x H x ∧∃∧∀； (B) ))),()(()((y x F y C y x H x →∃→∀；(C) ))),()(()((y x F y C y x H x ∧∃→∀； (D) ))),()(()((y x F y C x H x y ∧→∀∃。

✓ 设P ：a 是偶数，Q ：b 是偶数.R ：a +b 是偶数，则命题“若a 是偶数，b 是偶数，则a +b 也是偶数”符号化为( C )．(A) P ∧Q ∧R (B) P ∧Q ⇔R (C) P ∨Q →R (D) P ∧Q →R✓ 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( B )．(A) P (x ,y ) (B) P (x ,y )∨Q (z ) (C)R (x ,y ) (D)P (x ,y )∧R (x ,y )✓ 判断一个语句是否为命题，首先要看它是否为述句，然后再看它是否有唯一的真值。

✓ 命题公式(P ∨Q)→R 的只含联结词⌝和∧的等值式为：))((R Q P ⌝∧⌝∧⌝⌝⌝。

✓ B A B A ⇒∧→)(为假言推理规则。

✓ 在一阶逻辑中符号化命题“有会说话的机器人。

”设M(x):x 是机器人； S(x):x是会说话的；上述句子可符号化为： (∃x)(M(x)∧S(x)) 。

✓ 设p:我们爬山,q:我们划船,在命题逻辑中，命题“我们不能既爬山又划船”的符号化形式为¬（p ∧q ） .✓ 设p:小王走路,q:小王唱歌,在命题逻辑中，命题“小王边走路边唱歌”的符号化形式为 （p ∧q ） .✓ 量词否定等值式⇔⌝∀)(x xA )(x A x ⌝∃。

✓ 设F(x):x 是人，H(x,y):x 与y 一样高，在一阶逻辑中，命题“人都不一样高”的符号化形式为(()()(,))x y F x F y H x y ∀∀∧→.✓ 若含有n 个命题变项的公式A 是矛盾式，则A 的主合取式含 2n 个极小项。

✓ 取个体域为全体整数的集合，给出下列各公式：(1) ()()()()x y z x y z ∀∀∃-= (2) ()()x xy x ∀= (3) ()()(2)x y x y y ∃∀+= 其中公式 (1) 的真值为真，公式 (3) 的真值为假。

✓ 若含有n 个命题变项的公式A 是重言式，则A 的主合取式为 1或T 。

✓ 命题公式)(R Q P ∧∨的所有成假赋值为 000,001,010 。

✓ 谓词公式()()xP x xQ x ∀→∃的前束式为(()())x P x Q x ∃⌝∨。

✓ 在一阶逻辑中，将命题“没有不能表示成分数的有理数”符号化为 ✓ ))()((x G x F x ⌝∧⌝∃或))()((x G x F x →∀（设)(x F ：x 是有理数；)(x G ：x 能表示成分数。

）✓ 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为A (1)∨A (2)∨(B (1)∧B (2)) .✓ 设P ，Q 是两个命题，当且仅当P ，Q 的真值均为1时，Q P ↔的值为1。

( × ) ✓ 谓词公式A 是q q p ∧→⌝)(的代换实例，则A 是重言式。

( × ) ✓ 重言式的主析取式包含了该公式的所有的极小项。

( √ ) ✓ 命题公式A →(B →C)与(A ∧B)→C 等价。

( √ ) ✓ 设A ，B ，C 为命题公式，若,A B B C ⇒⇒，则A C ⇒。

( √ )✓ 在一阶谓词公式中，同一变元符号不能够既约束出现又自由出现。

( × ) ✓ 在一阶逻辑中，公式的前束式是唯一的。

( × )计算✓ 求命题公式(((p ∨q)∧¬p)→q)∧r 的主析取式。

答案：m 1∨m 3∨m 5∨m 7✓ 用等值演算法求公式(())P Q R P ∨→∧⌝的主析取式，并由主析取式求主合取式。

解：主析取式：013(())()()()()()()()()P Q R PP Q R PP P Q P R P P Q R P Q R P Q R P Q R m m m ∨→∧⌝⇔∨⌝∨∧⌝⇔∧⌝∨⌝∧⌝∨∧⌝⇔⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⇔∨∨主合取式为：24567M M M M M ∧∧∧∧✓ 求公式（P ∧Q ）∨（﹁P ∧R ）的主析取式，并由主析取式求主合取式。

解：（﹁P ∧﹁Q ∧R ）∨（﹁P ∧Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧﹁R ）∨（P ∧Q ∧R ）主合取式为：（P∨R∨Q）∧（﹁Q∨P∨R）∧（﹁P∨Q∨R）∧（﹁P∨Q∨﹁R）✓化公式))]}xyyAyxyyx→B∧∃∀⌝为前束式。

→∃A∀∀x),((((),[)xBx(y){,,(y解：原式))]}xyxyByyxx→∀⌝∃⇔⌝∃∨∧∀∃AyA),([((y),)(,Bx(yx)(,{xyxyAyx→yxBy∃∃∃⇔∧∀∃∨⌝⌝A((),,)y,(())]}[Bx(yx){,)(uyxyAwx→vuBv∃∃∃⇔A∀∃∨⌝⌝∧((),,)w,(())]}uB[(wu)){,(xx→yAvB⌝wuy∀∃⇔u∃∧⌝∃∃∨v(),((,))]}()[,uw)AB,u({wvyuux→ByxA∃∃∃⇔v∀∃∨⌝∧⌝w((),,)A,(())]}Bu[u{w),(w（或))]}uyx⌝vBxA∧y∃∃⇔）u∃∀⌝∧∃∨w()v((,,()[,u)ABw,({wu证明✓构造下面推理的证明：任何自然数都是整数；存在着自然数。

所以存在着整数。

个体域为实数集合R。

证明：先将原子命题符号化：设()G x：x为整数。

则F x：x为自然数，()前提：(()())x F x G x∀→，()∃xF x结论：()∃xG x①()∃前提引入xF x②()F c① ES规则③(()())∀→前提引入x F x G x④()()F cG c→③ US规则⑤()G c②④假言推理⑥()∃⑤ EG规则xG x✓用自然推理系统中，证明下列推理：(∀x)(A(x)→B(x)) ⇒ ((∀x)A(x)→(∃x)B(x))证明：①(∀x)A(x) 附加前提引入②A(c) ①-∀③(∀x)(A(x)→B(x)) 前提引入④A(c)→B(c) ③-∀⑤B(c) ②④假言推理⑥(∃x)B(x) ⑤+∃⑦(∀x)A(x)→(∃x)B(x) ①⑥CP 规则⑧t ⑤⑥假言推理✓ 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：前提：q p r q p ,),(→→结论：s r ∨证明：○1)(r q p →→ 前提引入 ○2p 前提引入 ○3r q → ○1○2假言推理 ○4q 前提引入 所以 (∀x)(A(x)→B(x)) ⇒ ((∀x)A(x)→(∃x)B(x))✓ 判断下面推理是否正确，并证明你的结论。