开方表演示
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二、笔算开n次方根的方法 笔算开n
• • • • • • • • • • • • ④a=13,找下一个 找下一个b, 找下一个 条件是:( 条件是:(10a+b)^n-(10a)^n<=c ) :( (130+b)^3-130^3<=c=476560 (130+b)^3=2673560 b取最大值,所以b=8。 取最大值,所以 。 取最大值 差c=2673560-138^3=45488 C=c*10^n+下一段合成 下一段合成=45488*10^3+0000=45488000 下一段合成 ⑤a=138,找下一个 找下一个b, 找下一个 条件是:( 条件是:(10a+b)^n-(10a)^n<=c ) :( (1380+b)^3-(1380)^3<=45488000 B取最大,所以b=7 取最大,所以 取最大 所以,最后结果为13.87… 所以,最后结果为
三、中学里的开方运算
• 立方表 1^3=1 2^3=8 3^3=27 4^3=64 5^3=125 6^3=216 7^3=343 8^3=512 9^3=729 10^3=1000
三、中学里的开方运算
公式 ⅰ(
a ) = a ( a ≥ 0)
2
ab = a • b (a ≥ 0, b ≥ 0)
二、笔算开n次方根的方法 笔算开n • 实例 实例1
• 开平方根的办法是,首先将130321这个数从个位起两位 两位的分组:13,03,21。再从最高位(或最高两位)开始 试平方根的最高位,由于3^2<13<4^2,所以应该商3,再 用13-3^2=4,再将4与后面两位03,组成一个新数403作 为被除数,用20(这是一个固定的数,以后经常用到)乘 以第一次试的商3得到60作为除数试商(假设试出的商为 a),则必须满足(60+a)*a<=403,且a是最大的一个符合 上述条件的数,则a=6。再用403-66*6=7,再用7与最后 两位21组成一个新数721作为被除数,用20乘以前两次试 的商组成的数36的乘积(即720)作为除数来试商(假设 商b),需要满足(720+b)*b<=721,则b=1,刚好除尽。 所以这样笔算出来的结果是361。
构造开方表算法研究
No1组
小组成员:陈林林 李雅琪 赵婷婷 席彦青 李瀚明
李杰 甄珠 李曼 彭楠 王芳
构造开方的意义
• 开方运算 • 是科学计算以及中学数学 学习过程中的一种常见的 运算形式 • 是学习和工程实践中经常 需要完成的一类基本操作, 实际运算 近似值, 不易操作, 故实际操作过程中 不同的数值解算法, 在误差分析的基础上, 对不同指数的开根号运算给 出一个可行的开方表, 某个数据开根号运算的结果 通过查阅该开方表获得。
a ( a ≥ 0)
− a ( a < 0)
a
a = b
2
=
a b
a
=
(a ≥ 0,b ≥ 0)
我们的成果
• 程序演示 • 开方表
2 1 1
3
2
2
二、笔算开n次方根的方法 笔算开n • 原理:
• 设被开方数为X,开n次方,设前一步的 根的结果为a,现在要试根的下一位,设 为b,则有:(10*a+b)^n(10*a)^n<=c.(前一步的差与本段的合成), 且b取最大值,正整数。
二、笔算开n次方根的方法 笔算开n
• 算法: 算法:
一、起源与发展
• 到了公元前370年,这个矛盾被毕氏学派的 欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决 了。他的处理不可通约量的方法,出现在 欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄 德金于1872年给出的无理数的解释与现代 解释基本一致。
一、起源与发展
• 今天中学几何课本中对相似三角形的处理,仍然 反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之 处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大 冲击。这表明,几何学的某些真理与算术无关, 几何量不能完全由整数及其比来表示,反之却可 以由几何量来表示出来,整数的权威地位开始动 摇,而几何学的身份升高了。危机也表明,直觉 和经验不一定靠得住,推理证明才是可靠的,从 此希腊人开始重视演译推理,并由此建立了几何 公理体系,这不能不说是数学思想上的一次巨大 革命!
二、笔算开n次方根的方法 笔算开n
• 实例2 实例
• • • • • • • • • 2673.56开3次方根。 开 次方根 次方根。 将被开方数以小数点为中心,向两边每隔n位分 ①2,673.560,000,… (将被开方数以小数点为中心,向两边每隔 位分 , , , 表示,不足部分在两端用0补齐 补齐。) 段,用,表示,不足部分在两端用 补齐。) b,条件是:( :(10a+b) ②找b,条件是:(10a+b)^n-(10a)^n<=c. 初值a=0,差c=2 (最高段,从左向右算) 最高段,从左向右算) 初值 差 所以, 取最大整数值, 所以,b^n<=2,即:b^3<=2,切b取最大整数值,所以 即 切 取最大整数值 所以b=1. 下一个差c=2-1^3=1,与下一段合成,即:c=c*10^n+下一段 与下一段合成, 下一个差 与下一段合成 下一段 =1*10^3+673=1673 上一步b的值 条件是:( ③a=1(上一步 的值 ,找下一个 条件是:( 上一步 的值),找下一个b,条件是:(10a+b)^n-(10a)^n<=c,即: ) 即 (10+b)^3-10^3<=1673,且b取最大整值,所以 取最大整值, 且 取最大整值 所以b=3. 下一个差c=2673-13^3=476 下一个差 C=c*10^n+下一段 下一段=476*10^n+560=476*10^3+560=476560 下一段
2
一、起源与发展
• 1
无理数的产生 第一次数学危机 毕达哥拉斯悖论 (公元前500年) 公元前370年 毕氏学派的欧多克斯 给比例下新定义。
欧多克斯和狄德金 1872年 无理数的解释
美索不达米亚人长于计算,这不只是与他们优良的记数系统有 关。美索不达米亚的学者还表现出发展程序化算法的熟练技巧。他 们创造了许多成熟的算法,开方根计算就是有代表性的例子之一。 这种开方程序既简单又有效:设 x = a 是所求平方根,并设 a1 是这 根的首次近似;由方程 b1 = a / a1求出第二次近似 b1 ,若 a1 偏小,则 b1 1 偏大,反之亦然。取算术平均值 a = 2 (a + b ) 为下一步近似,因为 a 2 1 b2 = a / a 2 必偏小,取算术平均值 a = 2 (a + b ) 总是偏大,再下一步近似 将得到更好的结果。这一程序实际上可以无限继续下去。耶鲁大学 收藏的一块古巴比伦泥板(编号7289),其上载有 2 的近似值, 结果准确到六十进制三位小数,用现代符号写出来是1.414 213,是 相当精确的逼近。
• 1.从个位起向左每隔两位为一节,若带有小数从小数点起向右每隔 .从个位起向左每隔两位为一节, 两位一节, 号将各节分开; 两位一节,用“,”号将各节分开; • 2.求不大于左边第一节数的平方根,为平方根最高上的数; .求不大于左边第一节数的平方根,为平方根最高上的数; • 3.从左边第一节数里减去求得的最高位上的数的平方,在它们的差 .从左边第一节数里减去求得的最高位上的数的平方, 的右边写上第二节数作为第一个余数; 的右边写上第二节数作为第一个余数; • 4.把商的最高位上的数乘 去试除第一个余数,所得的是整数作试 去试除第一个余数, .把商的最高位上的数乘20去试除第一个余数 如果这个最大整数大于或等于10,就用9或 作试商 作试商); 商(如果这个最大整数大于或等于 ,就用 或8作试商 ; 如果这个最大整数大于或等于 • 5.用最高位的数乘以 加上试商再乘以试商。如果所得的积小于或 加上试商再乘以试商。 .用最高位的数乘以20加上试商再乘以试商 等于余数,这个试商就是平方根的第二位数;如果所得的积大于余数, 等于余数,这个试商就是平方根的第二位数;如果所得的积大于余数, 就把试商逐次减小再试,直到积小于或等于余数为止; 就把试商逐次减小再试,直到积小于或等于余数为止; • 6.用同样的方法,继续求平方根的其他各位上的数。 .用同样的方法,继续求平方根的其他各位上的数。
二、笔算开n次方根的方法 笔算开n
• 结论 • 以此原理不管是整数,小数,只要有意义, 开几次方根都可以用这种方法进行笔算。
三、中学里的开方运算
• 课标要求:
三、中学里的开方运算
ห้องสมุดไป่ตู้
三、中学里的开方运算
• 中学中所涉及的开方运算方法 • 利用计算器求立方根 • 平方表 11^2=121 12^2=144 13^2=169 14^2=196 15^2=225 16^2=256 17^2=289 18^2=324 19^2=361 20^2=400 21^2=441 22^2=484 23^2=529 24^2=576 25^2=625
• 目的通过查阅资料, • 利用计算方法课程中所学习过的误差分析、 数值逼近(函数插值 、函数逼近等)、方 程求根等算法知识点,给出自己的数值求 解算法,构造出自己的开方表,并进行一 定的误差分析; • 进一步,在给定假设误差的前提下,讨论 新的算法,探讨获得满足误差要求开方表 的条件和可行算法。
我们的目的是:得到开方表
目录
• • • • 起源于发展 手工运算开方 中学里的开方运算 我们的成果
一、起源与发展
• 2大约公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥 拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中 不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为 “四艺”,在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为: 宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比,毕达哥 拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理,但由此 也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整 数之比(不可通约)的情形,如直角边长均为1的直角 三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根 本信条,导致了当时认识上的“危机”,从而产生了 第一次数学危机。