大学物理电磁学部分练习题讲解

大学物理电磁学部分练习题

1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的？（D ） （A ）带正电荷的导体，其电势一定是正值． （B ）等势面上各点的场强一定相等． （C ）场强为零处，电势也一定为零．

（D ）场强相等处，电势梯度矢量一定相等． 2.当一个带电导体达到静电平衡时：D （A ）表面上电荷密度较大处电势较高． （B ）表面曲率较大处电势较高．

（C ）导体内部的电势比导体表面的电势高．

（D ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零．

3. 一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为σ．该球面内、外的场强分布

为（r

表示从球心引出的矢径）： （ 0 r r R 3

02εσ）

=)(r E

)(R r <， =)(r E

)(R r >．

4.电量分别为q 1，q 2，q 3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为R ，则b 点处的电势U ＝

)22(813210q q q R

++πε

5.两个点电荷，电量分别为+q 和-3q ，相距为d ，试求：

（l ）在它们的连线上电场强度0=E

的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？ （2）若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U ＝ 0的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？

．解：设点电荷q 所在处为坐标原点O ，X 轴沿两点电荷的连线．

（l ）设0=E

的点的坐标为x ′，则

•

•

d

q +q 3-

x θ O

d E ⎛

0)'(43'42

02

0=--

=

i d x q

i x q E

πεπε

可得 0'2'222=-+d dx x

解出 d x )31(21'1+-=和 d x )13(21'

2-=

其中'1x 符合题意，'2x 不符合题意，舍去． （2）设坐标x 处 U ＝ 0，则

)

(43400x d q

x q U --

=

πεπε

0])

(4[40

=--=

x d x x

d q πε

得 4/04d x x d ==-

6.一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.

解答：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O

点处的电场就是所有这些带电圆环在O 点的电场的叠加。

今取一半径为r ，宽度为Rd θ的带电细圆环。 带电圆环在P 点的场强为：()

3222

01

ˆ4qx

E r

a x πε=

+ 在本题中，cos x h R θ==，a r = 所以可得：()

33

222

0044hdq hdq

dE R

r h πεπε=

=

+ 上式中()222sin dq r Rd R d σπθπσθθ==

即：33

00

2sin cos sin cos 42R d dE d R σπθθθσ

θθθπεε== 整个半球面为：2000sin cos 24E dE d π

σ

σθθθεε===⎛⎜⎠⎰，方向沿半径向外 7. 电荷q 均匀地分布在一半径为R 的圆环上。计算在圆环的轴线上任一给定点

P 的场强。

2q q l R =

d d π2220048q q l

E r R r εε==

d d d ππ()

3/2

2204qx x R ε=

+π223

08R

qx l E Rr ε=⎰

πd π解：

8. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如图在圆上取ϕRd dl =

ϕλλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为

2

0π4d d R R E εϕ

λ=

方向沿半径向外

则 ϕ

ϕελ

ϕd sin π4sin d d 0R

E E x =

=

ϕϕελ

ϕπd cos π4)cos(d d 0R

E E y -=

-=

积分R R E x 000

π2d sin π4ελ

ϕϕελπ

==

⎰

0d cos π400

=-=

⎰

ϕϕελ

π

R

E y

∴ R

E E x 0π2ελ

=

=，方向沿x 轴正向．

9. 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量

λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强．

解: 高斯定理0

d ε∑⎰=⋅q S E s

取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=

则 rl E S E S

π2d =⋅⎰

cos x x L

L

L x E E E E E r

θ====⋅⎰⎰⎰

d d d ()

3/2

22

04qx x R ε=

+π223

08R

qx l E Rr ε=⎰

πd π